文档内容
2025 年普通高等学校招生全国统一考试
数 学
注意事项:
1. 答题前,请务必将自己的姓名、准考证号用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在试
卷及答题卡的规定位置。
2. 请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相
符。
3. 作答选择题必须用 2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动,
请用橡皮擦干净后, 再选涂其他答案。作答非选择题, 必须用 0.5 毫米黑色墨水的签
字笔在答题卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律无效。
4. 本试卷共 4 页, 满分 150 分, 考试时间为 120 分钟。考试结束后, 请将本试卷和
答题卡一并交回。
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共计 40 分. 每小题
给出的四个选项中,只有 一个选项是正确的. 请把正确的选项
填涂在答题卡相应的位置上.
1. (1+5i)i 的虚部为
A. -1 B. 0 C. 1 D. 6
2. 设全集 U={1,2,3,4,5,6,7,8,9} ,集合 A={1,3,5} ,则 ∁ A 中元素个数为
U
A. 0 B. 3 C. 5 D. 8
3. 若双曲线 C 的虚轴长为实轴长的 7 倍,则 C 的离心率为
A. √2 B. 2 C. √7 D. 2√2
( π)
4. 若点 (a,0)(a>0) 是函数 y=2tan x− 的图象的一个对称中心,则 a 的最小值
3
为
A. 30∘ B. 60° C. 90° D. 135∘5. 设 f (x) 是定义在 R 上且周期为 2 的偶函数,当 2≤x≤3 时, f (x)=5−2x ,则
( 3)
f − =
4
1 1 1 1
A. − B. − C. D.
2 4 4 2
6. 帆船运动员借助风力驾驶帆船,
7. 若圆 x2+(y+2) 2=r2(r>0) 上到直线 y=√3x+2 的距离为 1 的点有且仅有 2 哥,
则 r 的取值范围是
A.(0,1) B.(1,3) C. (3,+∞) D. (0,+∞)
8. 若实数 x,y,z 满足 2+log x=3+log y=5+log z ,则 x,y,z 的大小关系不可能
2 3 5
是
A. x>y>z B. x>z>y C. y>x>z D. y>z>x
二、选择题:本题共 3 小题,每小题 6 分,共 18 分。在每小题给
出的选项中,有多项符合 题目要求。全部选对的得 6 分,部分
选对的得部分分,有选错的得 0 分。
9. 在正三棱柱 ABC−A B C 中, D 为 BC 中点,则
1 1 1
A. AD⊥A C B. B C⊥ 平面 A A D
1 1 1
C. CC // 平面 A A D D. AD//A B
1 ! 1 1
10. 设抛物线 C:y2=6x 的焦点为 F ,过 F 的直线交 C 于 A、B ,过 F 且垂直
3
于 AB 的直线交 l:y=− x 于 E ,则
2
A. |AD|=|AF| B. |AE|=|AB|
C. |AB|≥6 D. |AE|⋅|BE|≥18
1 1
11. 已知 △ABC 的面积为 ,若 cos2A+cos2B+cos2C=2,cosAcosBsinC= ,
4 4
则
A. sinC=sin2A+sin2B B. AB=√2
√6
C. sin A+sinB= D. AC2+BC2=3
2三、填空题: 本大题共 3 小题, 每小题 5 分, 共计 15 分.
12. 若直线 y=2x+5 是曲线 y=ex+x+a 的切线,则 a= _____.
13. 若一个等比数列的前 4 项和为 4 , 前 8 项和为 68 ,则该等比数列的公比为_____.
14. 一个箱子里有 5 个球,分别以 1∼5 标号,若有放回取三次,记至少取出一次的球
的个数 X ,则 E(X)= _____.
四、解答题:本题共 5 小题,共 77 分。解答应写出文字说明、
证明过程或演算步骤。
15.(13 分)
16.(15 分)
a a 1
设数列 {a } 满足 n+1= n + .
n n n+1 n(n+1)
(1)证明: {na } 为等差数列；
n
(2)设 f (x)=a x+a x2+⋯+a xm ,求 f′(2) .
1 2 m
17.(15 分)
如图所示的四棱锥 P−ABCD 中, PA⊥ 平面 ABCD , BC//AD,AB⊥AD .
(1)证明:平面 PAB⊥ 平面 PAD ；
(2)若 PA=AB=√2,AD=√3+1,BC=2,P,B,C,D 在同一个球面上,设该球面的球
心为 O .
(i)证明: O 在平面 ABCD 上；
(ii) 求直线 AC 与直线 PO 所成角的余弦值.
18.(17 分)x2 y2
设椭圆 C: + =1(a>b>0) ,记 A 为椭圆下端点, B 为右端点, |AB|=√10 ,且椭圆
a2 b2
2√2
C 的离心率为 .
3
(1)求椭圆的标准方程；
(2) 设点 P(m,n) .
( i ) 若 P 不在 y 轴上,设 R 是射线 AP 上一点, |AR|⋅|AP|=3 ,用 m,n 表示点
R 的坐标;
(ii) 设直线 OQ 的斜率为 k ,直线 OP 的斜率为 k ,若 k =3k ,M 为椭圆上一
1 2 1 2
点,求 |PM| 的最大值.
19.(17 分)
设函数 f (x)=5cosx−cos5x .
[ π]
(1)求 f (x) 在 0, 的最大值；
4
(2)给定 θ∈(0,π) , a 为给定实数,证明:存在 y∈[a−θ,a+θ] ,使得 cos y≤cosθ ；
(3)若存在 φ ,使得对任意 x ,都有 5cosx−cos(5x+φ)≤b ,求 b 的最小值.
