文档内容
新高二开学摸底考试卷 03
数 学
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用
橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试范围：北师大版2019
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的．
1．若复数 满足 ，则 在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
2．古代文人墨客与丹青手都善于在纸扇上题字题画，题字题画的扇面多为扇环形.已知某纸扇的扇面如
图所示，其中外弧长与内弧长之和为 ，连接外弧与内弧的两端的线段长均为 ，且该扇环的
圆心角的弧度数为 ，则该扇环的外弧长为（ ）
A． B． C． D．
3．在 中， 是 边上靠近点 的三等分点， 是 的中点，若 ，则
（ ）
A．0 B． C． D．1
4．已知直线l： 与圆C： 有公共点，则实数m的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．5．若函数 ，则函数 的单调递增区间为（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
6．在正方体 中， 为 的中点，则异面直线 与 所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
7．将函数 的图象向左平移 个单位长度，再把所得函数图象的横坐标变为原来的
倍，可以得到函数 的图象，若 在 上没有零点，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ， 是 的中点，且 ，
则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要
求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知函数 ，则（ ）．
A． 的最小正周期为 B． 的最大值为3
C． 的图象关于点 对称 D． 的图象关于直线 对称
10．已知圆 ，则（ ）
A．圆 的圆心坐标为
B．圆 的周长为
C．圆 与圆 外切
D．圆 截 轴所得的弦长为3
11．正方体 中， 分别为 的中点， 为侧面 内一点，则（ ）
A．存在点 ，使得 平面B．线段 上不存在点 ，使 与 所成角为30°
C．当 ∥平面 时， 的最大值为
D．当点 为侧面 中心时，平面 截正方体所得的截面为五边形
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知复数z的模为2，则 的最大值为 ．
13．如图，在 中， ， 是线段 上一点，若 ，则 的最大值为
.
14．十七世纪法国数学家、被誉为业余数学家之王的皮埃尔・德・费马提出的一个著名的几何问题：
“已知一个三角形，求作一点，使其与这个三角形的三个顶点的距离之和最小”，意大利数学家托里
拆利给出了解答，当 的三个内角均小于 时，使得 的点 即为
费马点；当 有一个内角大于或等于 时，最大内角的顶点为费马点.已知 ， ， 分别是
三个内角 ， ， 的对边，且 ，若点 为 的费马点， ，
则实数 的取值范围为 .
四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16,17题15分，第18,19题17分，共77分．解答
应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本题满分13分）已知 ，复数 .
(1)若 为纯虚数，求 ；
(2)若 在复平面内对应的点位于第二象限，求整数 的值.16．（本题满分15分）如图，在梯形 中， ， 分别为 的中点，
是线段 上的动点．
(1)若 ，求证： 三点共线；
(2)若 ，求 的最小值．
17．（本题满分15分）如图，在正方形 中，点E、F分别是AB、BC的中点，将 、
分别沿DE、DF折起，使A，C两点重合于P，连接EF，PB.
(1)求证： ；
(2)点M是PD上一点，若直线MF与平面 所成角的正切值为 ，求二面角 的余弦值.18．（本题满分17分）已知函数 .
请在下面的三个条件中任选两个解答问题.
①函数 的图象过点 ；
②函数 的图象关于点 对称；
③函数 相邻对称轴与对称中心之间距离为1.
(1)求函数 的解析式；
(2)若 是函数 的零点，求 的值组成的集合；
(3)当 时，是否存在 满足不等式 ？若存在，求出 的范围；若不存在，
请说明理由.
19．（本题满分17分）定义: 为实数 对
的“正弦方差”.
(1)若 ，则实数 对 的“正弦方差” 的值是否是与 无关的定值，并证明
你的结论
(2)若 ，若实数 对 的“正弦方差” 的值是与 无关
的定值，求 值.
