文档内容
新高二开学摸底考试卷
数学•全解全析
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用
橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合
题目要求的．
1．若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】求出向量 的坐标，根据模的计算公式求得答案.
【详解】因为 ，所以 ,
因此， ，故选： .
2．复数 在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【分析】化简复数后，利用复数对应象限内点的特征求解即可.
【详解】由题意得 ，故 在复平面内对应的点为 ，
该点位于第三象限，故C正确.故选：C
3．为了培养青少年无私奉献，服务社会，回馈社会的精神，某学校鼓励学生在假期去社会上的一些福利
机构做义工．某慈善机构抽查了其中100名学生在一年内在福利机构做义工的时间（单位：小时），绘制
成如图所示的频率分布直方图，则x的值为（ ）
A．0.0020 B．0.0025 C．0.0015 D．0.0030
【答案】B
【分析】根据题意结合频率和为1列式求解即可.【详解】由题意可得： ，解得 .故选：B.
4．已知四边形 中， ，并且 ，则四边形 是（ ）
A．菱形 B．正方形 C．等腰梯形 D．长方形
【答案】A
【分析】由 ，得到四边形 为平行四边形，再由 ，得到 ，得出四边形
为菱形.
【详解】由题意，四边形 中，
因为 ，可得 且 ，所以四边形 为平行四边形，
又因为 ，可得 ，
所以四边形 为菱形.故选：A.
5．抛掷两枚质地均匀的硬币，记事件 “第一枚硬币正面朝上”，事件 “第二枚硬币反面朝上”，
事件 “两枚硬币都正面朝上”，事件 “至少一枚硬币反面朝上”则（ ）
A． 与 独立 B． 与 互斥 C． D．
【答案】D
【分析】写出样本空间及事件 ，再结合相互独立事件、互斥事件判断AB；利用古典概率公式计
算判断CD.
【详解】样本空间 {(正,正),(正,反),(反,正),(反,反)}，事件 {(正,正),(正,反)}，
事件 {(正,反),(反,反)}，事件 {(正,正)}，事件 {(正,反),(反,正),(反,反)}，
对于A， ，而 ， ， 与 不独立，A错误；
对于B，事件 可以同时发生， 与 不互斥，B错误；
对于C， ，C错误；
对于D， {(正,正),(正,反),(反,反)}， ，D正确.
故选：D
6．在 中，内角 所对的边分别为 ，若 ，则 的形状一定为（ ）
A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．锐角三角形
【答案】A
【分析】利用余弦定理将 化为 ，然后化简可得答案.
【详解】 ，由余弦定理可得 ，则 ，
则 ，所以 为直角三角形. 故选：A.
7．已知两个平面 、 ，在下列条件下，可以判定平面 与平面 平行的是（ ）．
A． 、 都垂直于一个平面γ
B．平面 内有无数条直线与平面 平行
C．l、m是 内两条直线，且 ∥ ， ∥
D．l、m是两条异面直线，且 ∥ ， ∥ ， ∥ ， ∥
【答案】D
【分析】对于ABC，举例判断，对于D，由面面平行的判定理分析判断.
【详解】对于A，如在正方体 中，平面 和平面 都与平面ABCD垂直，但这
两个平面不平行，所以A错误，
对于B，如在正方体 中，平面 和平面 ，平面 中所有平行于交线
的直线都与平面 平行，但这两个平面不平行，所以B错误，
对于C，如在正方体 中，平面 和平面 ， 分别为 的中点，则
在平面 内，且都与平面 平行，但这两个平面不平行，所以C错误.
对于D，因为l、m是两条异面直线，所以将这两条直线平移到共面 时，一定在 内形成两条相交直线，
由面面平行的判定定理可知，该结论正确．
故选：D
8．已知正三棱柱 的底面边长为2，侧棱长为 为棱 上一点， 则三棱锥
的体积为（ ）
A．3 B． C．1 D．
【答案】C
【分析】连接 ,通过已知条件证明 平面 ,即 为三棱锥 的高，再通过三棱锥的
体积公式计算即可.【详解】如图所示，连接 ,
因为 为正三角形，且 为 中点，
所以 ,
又因为 平面 ,且 平面 ，
所以 ,
因为 , 平面 , 平面 ，
所以 平面 ,
所以 为三棱锥 的高，且 ,
所以
故选：C.
9．已知三棱锥 的底面ABC是边长为1的等边三角形， 平面ABC且 ，一只蚂蚁从
的中心沿表面爬至点P，则其爬过的路程最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用垂直条件证明得 平面 ，即可得平面 平面 ，然后根据平面展开图判断最
短距离，再利用勾股定理计算求解即可.
【详解】将底面 旋转，以 为轴，旋转至平面 与平面 共面，如图，
设 的中心为 ，此时 为最短距离，设 到直线 的距离为 ，
则 ，所以 .故选：B
10．在直角梯形 中， ， ， ，点 为梯形 四条边上
的一个动点，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】此题可以先证明一下极化恒等式，再使用，轻松解决此题.
【详解】如图 中，O为AB中点，
（极化恒等式）
共起点的数量积问题可以使用.
如图，取 中点 ，则由极化恒等式知，
，要求 取值范围，只需要求 最大，最小即可.
由图，可知 最大时，P在D点，即 ，此时 ，
最小时，P在O点，即 ，此时 .
综上所得， 取值范围为: .
故选：D.二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分．
11．复数 ．
【答案】 /
【分析】由复数的除法运算即可求解.
【详解】 ，
故答案为：
12．已知向量 ， ，若 ，则 ，若 ，则 ．
【答案】
【分析】根据平面向量共线以及垂直的坐标运算，即可得到结果.
【详解】由题意可得，若 ，则 ；
若 ，则
故答案为: ;
13．甲､乙两人独立解同一道数学题目，甲解出这道题目的概率是 ，乙解出这道题目的概率是 ，这道题
被解出（至少有一人解出来）的概率是 .
【答案】
【分析】设这道题没被解出来为事件A，则这道题被解出（至少有一人解出来）的概率
【详解】设数学题没被解出来为事件A，
则 ，
则这道题被解出（至少有一人解出来）的概率：
.
故答案为：
14．在 中， ，满足此条件 有两解，则 边长度的取值范围为 .
【答案】
【分析】根据三角形有两解，应满足 ，化简即可求解.
【详解】 有两解， ， .
故答案为： .15．如图，正方体的 棱长为 ， ， ， ， 分别是所在棱上的动点，且满足
，则以下四个结论正确有
①． ， ， ， 四点一定共面
②．若四边形 为矩形，则
③．若四边形 为菱形，则 ， 一定为所在棱的中点
④．若四边形 为菱形，则四边形 周长的取值范围为
【答案】①④
【分析】对①：连接正方体体对角线以及 ，通过证明 互相平分，即可判断四边形 为
平行四边形，从而证明四点共面；对②：通过证明当 时，也有四边形 为矩形，即可判断；
对③：通过证明 分别为所在棱中点时，也有四边形 为菱形，即可判断；对④：根据正方体侧
面展开图，结合四边形 的形状，求得周长的最值，即可判断.
【详解】因为正方体的 棱长为 ，且 ，
可得 ， ，
对于①：连接 ，交于点 ，如下图所示：
根据题意，可得 ，又 /， ，故点 为直线 的中点，
同理可得 ，故点 也为直线 的中点，
则四边形 的对角线互相平分，故四边形 为平行四边形，
则 四点共面，故①正确；对于②：因为 // ，故当 时，四边形 为平行四边形，则 ，
又 平面 平面 ，故 ，则 ，
又四边形 为平行四边形，故四边形 为矩形；
同理，当 时，也有四边形 为矩形，
综上所述，当 或 时，四边形 为矩形，故②错误；
对于③：若 为所在棱的中点时，易知 /，
又 平面 ，
故 平面 ，又 平面 ，故 ；
则 ，又四边形 为平行四边形，故四边形 为菱形，
即当 为所在棱中点时，四边形 为菱形；
同理，当 分别为所在棱的中点时，四边形 也为菱形，故③错误；
对于④：根据选项C中所证，不妨取 分别为所在棱的中点，此时四边形 为菱形满足题意，
取 的中点分别为 ，画出正方体的部分侧面展开图如下所示
由图可知，当 分别与 重合时，四边形 的周长最小，最小值为 ；
当 分别与 重合时，四边形 的周长最大，最大值为 ；
故四边形 周长的取值范围为 ，故④正确；
故选：①④
三、解答题：本题共6小题，共85分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16．（13分）已知向量 ．
（1）求 ；
（2）求 与 夹角的大小；
（3）求 ．
【答案】（1）5，（2） ，（3）5
【分析】（1）直接利用坐标求解即可；
（2）利用向量的夹角公式求解；
（3）先求出 的坐标，再求其模【详解】解：（1）因为 ，
所以 ，
（2）设 与 夹角为 ，则
，
因为 ，所以 ，
所以 与 夹角的大小为 ，
（3）因为 ，
所以 ，
所以
17．（13分）如图，在正方体 中，E为 的中点．
(1)求证： ；
(2)求证： 平面BDE．
【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析
【分析】（1）由线面垂直的判定定理证明 平面 ，结合线面垂直的性质即可得解；
（2）由中位线定理得出 ，结合线面平行的判定定理即可得证.
【详解】（1）
如图所示，连接 ，交 于点 ，在正方体 中， 平面 ，而 平面 ，
所以 ，
又因为在正方形 中， ，且注意到 ， 平面 ，
所以 平面 ，
而 平面 ，
所以 ；
（2）
如图所示，连接 ，
因为 分别为 的中点，所以 ，
而 平面 ， 平面 ，
从而 平面 .
18．（14分）在 中，
(1)求 值；
(2)求角 和 的面积.
【答案】(1) (2) ， 的面积为
【分析】（1）根据正弦定理边化角和二倍角公式可得 ，再利用余弦定理计算得出结果；
（2）根据余弦定理推论计算得出角；再根据三角形面积公式计算的结果；
【详解】（1）在 中，由正弦定理得
因为 ，所以 ，
由余弦定理得 ，代入 ，
解得 或 （舍）
（2）由余弦定理推论得 ，因为 ，所以角 ；
因此 的面积为 .
19．（15分）某地区高考实行新方案，规定：语文、数学和英语是考生的必考科目，考生还要从物理、化
学、生物、历史、地理和政治六个科目中选取三个科目作为选考科目．为了解某校学生选科情况，现从高
一、高二、高三学生中各随机选取了100名学生作为样本进行调查，调查数据如下表，用频率估计概率．
第1门 第2门 第3门 第4门 第5门 第6门
选考情况
物理 化学 生物 历史 地理 政治
高一选科人
80 70 35 20 35 60
数
高二选科人
60 45 55 40 40 60
数
高三选科人
50 40 60 40 40 70
数
(1)已知该校高一年级有400人，估计该学校高一年级学生中选考历史的人数；
(2)现采用分层抽样的方式从样本中随机抽取三个年级中选择历史学科的5名学生组成兴趣小组，再从这5
人中随机抽取2名同学参加知识问答比赛，求这2名参赛同学来自不同年级的概率；
(3)假设三个年级选择选考科目是相互独立的．为了解不同年级学生对各科目的选择倾向，现从高一、高二、
高三样本中各随机选取1名学生进行调查，设这3名学生均选择了第k门科目的概率为 ，
当 取得最大值时，写出k的值．（结论不要求证明）
【答案】(1)80人 (2) (3)6
【分析】（1）样本中高一学生共有100人，其中选择历史学科的学生有20人，由此能估计高一年级选历
史学科的学生人数．
（2）应从样本中三个年级选历史的学生中分别抽取人数为1，2，2，编号为 ， ， ， ， ，从这
5名运动员中随机抽取2名参加比赛，利用列举法能求出事件“这2名参赛同学来自相同年级”的概率．
（3）利用相互独立事件概率乘法公式求解．
【详解】（1）解：由题意知，样本中高一学生共有 人，其中选择历史学科的学生有 人，
故估计高一年级选历史学科的学生有 人．
（2）解：应从样本中三个年级选历史的学生中分别抽取人数为1，2，2，
编号为 ， ， ， ， ，
从这5名运动员中随机抽取2名参加比赛，所有可能的结果为 ，， ， ， ， ， ， ， ， ，共10种，
设 为事件“这2名参赛同学来自不同年级”，
则 为事件“这2名参赛同学来自相同年级”有 ， ， ， 共2种，
所以事件 发生的概率 ．
（3）解： ，
，
，
，
，
，
当 取得最大值时， ．
20．（15分）在△ 中，角 所对的边为 ，△ 的面积为S，且 ．
(1)求角 ；
(2)若 ，试判断△ 的形状，并说明理由．
【答案】(1) (2)等腰直角三角形，理由见解析
【分析】（1）应用面积公式及余弦定理得出正切进而得出角；
（2）先应用正弦定理及两角和差的正弦公式化简得出 ，结合 判断三角形形状即可.
【详解】（1）在 中，因为 ，则 ，
整理得 ，且 ，所以 .
（2）由正弦定理得 ,
,
,
,
于是 ,
又 ，故 ，所以 或 ，因此 （舍去）或 ，所以
.是等腰直角三角形.
21．（15分）如图，在三棱柱 中， ， ，平面 平面 .
(1)求证： ；
(2)从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，当直线 与平面 所成角为 时，
（ⅰ）求证：平面 平面 ；
（ⅱ）求二面角 的正弦值.
条件①： ；条件②： .注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.
【答案】(1)证明见解析； (2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）
【分析】（1）根据面面垂直可证线面及线线垂直，进而可得线面垂直证明线线垂直；
（2）（i）若选①，可证四边形 为矩形，进而可得线线垂直，证得面面垂直；若选②，由勾股定理
可证 ，进而可证面面垂直；（ii）过 作 于点 ，再过 作 ，可得二面角的
平面角，再根据定义法可得二面角的正弦值.
【详解】（1）因为 ，所以 ，
因为平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，因为 平面 ，所以 ，
因为三棱柱 ，所以四边形 是平行四边形，
因为 ，所以 是菱形，所以 ，
因为 ， ， 平面 ，所以 平面 ，
因为 平面 ，所以 ；
（2）若选择条件①：
（ⅰ）因为 ，所以平行四边形 为矩形，所以 ，
由（1）知， ，
因为 ， ， 平面 ，所以 平面 ，
因为 平面 ，所以平面 平面 ；（ⅱ）因为 平面 ， 平面 ，
所以直线 与平面 所成的角为 ，所以 ，
因为 ，所以 ， ， ， ，
作 于 ，
因为平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，又 平面 ，所以 .
作 于 ，连接 ，
因为 ， ， 平面 ，所以 平面 ，
因为 平面 ，所以 ，
所以 是二面角 的平面角.
因为 ，所以 ，
因为 ，所以 ，所以 ，
所以二面角 的正弦值为 .
若选择条件②： ，因为 ，
所以 ，所以 ，
由（1）知， ，
因为 ， ， 平面 ，所以 平面 ，
因为 平面 ，所以平面 平面 ；
（ⅱ）因为 平面 ， 平面 ，所以直线 与平面 所成的角为 ，所以 ，
因为 ，所以 ， ， ， ，
作 于 ，
因为平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，又 平面 ，所以 .
作 于 ，连接 ，
因为 ， ， 平面 ，所以 平面 ，
因为 平面 ，所以 ，
所以 是二面角 的平面角.
因为 ，所以 ，
因为 ，所以 ，所以 ，
所以二面角 的正弦值为 .
