文档内容
高二开学摸底考试卷（广东专用）
数学·答案及评分标准
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的．
1．B 2．D 3．C 4．D 5．A 6．B 7．C 8．B
二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分）
9．BCD 10．BCD 11．AC
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
12． 13． 14．
四、解答题（本大题共5小题，共77分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程
或演算步骤）
15．（13分）
(1) ;(2)∴x＝－ 或－ 或－ 或 ．
【详解】试题分析：解：(1)当x∈ 时，A＝1， ＝ － ，T＝2π，ω＝1.
且f(x)＝sin(x＋φ)过点 ，
则 ＋φ＝π，φ＝ .
f(x)＝sin .
当－π≤x＜－ 时，－ ≤－x－ ≤ ，
f ＝sin ，
而函数y＝f(x)的图象关于直线x＝－ 对称，
则f(x)＝f ，即f(x)＝sin ＝－sin x，－π≤x＜－ .
∴
(2)当－ ≤x≤ 时， ≤x＋ ≤π，
由f(x)＝sin ＝ ，
得x＋ ＝ 或 ，x＝－ 或 .
当－π≤x＜－ 时，由f(x)＝－sin x＝ ，sin x＝－ ，
得x＝－ 或－ .
∴x＝－ 或－ 或－ 或 .
考点：三角函数的图像与解析式
点评：解决的关键是根据三角函数的性质来结合图像来得到参数的求解，同事解三角方程，属于基础题．
16．（15分）（1）18.45；（2） .
【分析】（1）取中间值与该组频数相乘，除以总数，即得平均数.
（2）列出所有基本事件，找出所求事件包含多少个基本事件，按照古典概型概率计算公式求解即可.
【详解】解：（1）设该农场的水果重量的平均数为 ，则
（2）重量不小于 克的水果有 个，记为
其中重量不小于 克的水果有 个，记为
从 中任取 个，有
，共 种情况
至少有 个水果的重量不小于 克的有
，共 种情况
则至少有 个水果的重量不小于 克的概率
【点睛】有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数．(1)基本事件总数较少时，用列举法把所有基本事件一一列出时，要做到不重复、不遗漏，可借助“树状图”列举．
(2)注意区分排列与组合，以及计数原理的正确使用.
17．（15分）（1）证明见解析；（2） ．
【分析】（1）由线面垂直的性质定理，证出 平面 ．在 中根据中位线定理，证出
，从而 平面 ，结合面面垂直的判定定理，可得平面 平面 ；
（2）根据线面平行判定定理，得到 平面 ，推出三棱锥 的体积等于三棱锥 的
体积．再由面面垂直的性质证出点 到平面 的距离等于正 的高，算出 的面积，利用锥体
体积公式算出三棱锥 的体积，即可得到三棱锥 的体积．
【详解】（1） 平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，
平面 ，
又 中， 、 分别是 、 的中点，
，可得 平面
平面 ， 平面 平面 ；
（2） ， 平面 ， 平面 ，
平面 ，
因此 上的点 到平面 的距离等于点 到平面 的距离，
，
取 的中点 ，连接 、 ，则 ，
平面 ， 平面 ， ，而 ,
于是 ，
平面 平面 ，平面 平面 ，
由题意知 , 是正三角形，则, 是正三角形，
点 到平面 的距离等于正 的高，即为 ，
因此，三棱锥 的体积 ．18．（17分）(1)
(2)
【分析】（1）先由已知及正弦定理得到 ，然后据（1）的条件得到 ，进一步可得到 ，
最后使用余弦定理解出 ；
（2）先由已知及 是锐角三角形，得到 ，再对任意的 构造满足题目条
件且面积等于 的 ，即可得到 的面积的取值范围是 .
【详解】（1）由 及正弦定理得
.
故 ，得 .
所以 ，知 .
记 的外接圆半径为 ，则 ，且 ，故 .
又有 ，
所以 ，即 .
故 ，
解得 .
（2）我们已有 ，记 的外接圆半径为 ，则 .
是锐角三角形当且仅当 ，即 ，故 的范围是
.又因为
.
故由 的范围是 ，知 的范围是 ，所以 的范围是 .
而 ，所以 的面积的取值范围是 .
19．（17分）(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）根据给定的性质，求出函数 在 的解析式，再分类讨论求出最大值.
（2）根据给定的性质，求出函数 的解析式，并分析函数性质作出图象，令 ，把函数 的
零点问题转化为一元二次方程实根分布求解.
【详解】（1）由 具有“ 性质”，得 对 恒成立，则函数 是 上的偶函
数，
当 时， ， ，
则当 时， ；当 时， ，
所以当 ，最大值为 ；当 时，最大值为 .
（2）函数 具有“ 性质”，则 ，即 ，
而当 时， ，则当 时， ， ，
于是 ，函数 在 上单调递减，函数值集合为 ，
在 上单调递增，函数值集合为 ，在 上单调递减，函数值集合为 ，
在 上单调递增，函数值集合为 ，函数 的图象如图，
令 ，显然当 时，方程 无解，当 或 时，方程 有2个解，
当 时，方程 有3个解，当 时，方程 有4个解，函数 有8个零点，则 在 上有两个不等的实数根 ，
因此 ，解得 ，
所以 的取值范围为 .
