文档内容
新高二开学摸底考试卷（福建专用）
数 学
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用
橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试范围：
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的．
1．（23-24高一下·甘肃兰州·期末）设集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据交集的定义直接求解即可.
【详解】因为 ， ，
所以 .
故选：B
2．（23-24高一下·云南·期末）如图，在 中，若 为 上一点，且满足
，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用 将 用 表示，由共线定理推论即可求得.
【详解】因为 所以
由 ,因 三点共线，由共线定理推论可得， 解得
故选：A.
3．（23-24高一下·河南许昌·期末）有一组样本数据如下：56，62，63，63，65，67，68，69，71，
74，76，76，77，78，79，79，80，85，87，88，95，98，则其 分位数与 分位数的和为
（ ）
A．144 B．145 C．146 D．147
【答案】D
【分析】由百分位数的定义求解即可.
【详解】因为 ，所以样本数据的25%分位数为第六个数据即67；
因为 ，所以样本数据的75%分位数为第十七个数据即80.
所以25%分位数与75%分位数的和为 .
故选：D.
4．（23-24高二下·安徽宣城·期末）已知 角的终边过点 ，则 （ ）
A． B． C． D．1
【答案】D
【分析】根据三角函数的定义求出 ，对已知进行弦化切，即可求出答案.
【详解】因为角 的终边过点 ，
所以 ，
所以 .
故选：D
5．（23-24高一上·云南曲靖·期末）若定义在 上的偶函数 在 上单调递减，且 ，
则满足 的 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据函数的奇偶性以及单调性，判断函数值的正负情况，由 结合函数
的性质列出不等式组，可求得答案.
【详解】因为定义域为 的偶函数 在 内单调递减，且 ，
所以 在 上单调递增，且 ，所以当 时， ，当 时， ，
所以由 可得 或 或 或 ，
所以得 或 或 ，
所以满足 的 的取值范围是 ．
故选：B．
6．（23-24高一下·福建福州·期末）如图，圆锥底面半径为 ，母线 ，点 为 的中点，一只
蚂蚁从 点出发，沿圆锥侧面绕行一周，到达 点，其最短路线长度和其中下坡路段长分别为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】将圆锥侧面沿母线 剪开并展开成扇形，最短路线即为扇形中的直线段 ，利用余弦定理
即可求解，过 作 的垂线，垂足为 ，由题意得到 为上坡路段， 为下坡路段，计算即可.
【详解】如图，将圆锥侧面沿母线 剪开并展开成扇形，
由题可得该扇形半径 ，弧长为 ，故圆心角 ，
最短路线即为扇形中的直线段 ，由余弦定理可得： ；
，
过 作 的垂线，垂足为 ，当蚂蚁从 点爬行到点 过程中，它与点 的距离越来越小，故
为上坡路段，当蚂蚁从点 爬行到点 的过程中，它与点 的距离越来越大，故 为下坡路段，下坡路段长 ，
故选：D
7．（23-24高二下·江西九江·期末）牛顿冷却定律（Newton's law of cooling）是牛顿在1701年用实验确
定的：物体在空气中冷却，如果物体的初始温度为 ，环境温度为 ，则 分钟后物体的温度
（单位： ）满足： .已知环境温度为 ，一块面包从温度为 的烤箱里拿
出，经过10分钟温度降为 ，那么大约再经过多长时间，温度降为 ？（参考数据：
）（ ）
A．33分钟 B．28分钟 C．23分钟 D．18分钟
【答案】C
【分析】根据题意列出方程，指数对数互化，解出即可．
【详解】解：依题意，得 ，
化简得 ，解得 .
设这块面包总共经过 分钟，温度降为30°，
则 ，化简得 ，
解得 ，
故大约再经过 （分钟），这块面包温度降为30°，
故选：C.
8．（23-24高一下·湖南·期末）冰雹猜想又称考拉兹猜想、角谷猜想、 猜想等，其描述为：任一
正整数 ，如果是奇数就乘以3再加1，如果是偶数就除以2，反复计算，最终都将会得到数字1．例如：
给出正整数5，则进行这种反复运算的过程为5→16→8→4→2→1，即按照这种运算规律进行5次运算
后得到1．若从正整数6，7，8，9，10中任取2个数按照上述运算规律进行运算，则运算次数均为奇
数的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题中定义，分别求出正整数6，7，8，9，10按照题中所给运算规律进行运算的次数，最
后根据古典概型的概率计算公式进行求解即可.
【详解】按照题中运算规律，正整数6的运算过程为 ，运算次数
为 ；
正整数7的部分运算过程为 ，
当运算到10时，运算次数为10，由正整数 的运算过程可知，正整数7总的运算次数为 ；
正整数8的运算次数为 ；
正整数9的部分运算过程为 ，当运算到7时，运算次数为3，
由正整数7的运算过程可知，正整数9总的运算次数为 ．
正整数10的运算次数为6；
故正整数6，7，8，9，10的运算次数分别为偶数、偶数、奇数、奇数、偶数，
从正整数6，7，8，9，10中任取2个数的方法总数为：
，共 种，
其中的运算次数均为奇数的方法总数为： ，共 种，
故运算次数均为奇数的概率为 ．
故选：A.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要
求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．（23-24高一上·江苏苏州·阶段练习）已知正数a，b，则下列说法正确的是（ ）
A． 的最小值为2 B．
C． D．
【答案】BC
【分析】由基本不等式和重要不等式逐一判断选项，讨论等号成立的条件可得结果.
【详解】解：A选项： ，当且仅当 时等号成立，而 ，故
“等号”不成立，A不正确；
B选项： ，当且仅当 时等号成立，故B正确；
C选项： ，当且仅当 时等号成立，故C正确；
D选项： ，当且仅当 时等号成立，故D不正确；
故选：BC
10．（23-24高一下·江苏无锡·期中）已知 ， 表示直线， ， ， 表示平面，则下列推理不正确
的是（ ）
A． ，
B． ， ，且C． ， ，
D． ， ，
【答案】AB
【分析】对于A，根据直线与直线的位置关系判断；对于B，根据直线与平面的位置关系判断；对于
C，根据面面平行的位置关系判断；对于D，根据面面平行的性质定理判断.
【详解】对于A，因为 ，则 可以平行或相交，故A错误；
对于B，因为 ，则 或 ， 或 ，故B错误；
对于C，因为 ，则由面面平行的位置关系得 ，故C正确；
对于D，因为 ，则由面面平行的性质定理得 ，故D正确.
故选：AB.
11．（23-24高一下·四川绵阳·期末）记 的内角 的对边分别为 ，则（ ）
A．当 时， 为直角三角形
B．当 时， 最大角与最小角之和为
C．当 .时，
D．当 时， 为锐角三角形
【答案】ABC
【分析】根据余弦定理求解长度，即可判断A，根据余弦定理求解中间角，即可求解B，根据正弦定理
即可求解C，利用正弦定理边角互化，结合三角恒等变换即可求解D.
【详解】对于A,由余弦定理可得 ,
由于 ，故 为直角三角形，A正确，
对于B， 三角形的三边长分别为 ，
， ， ，故 ,
则该三角形最大角与最小角之和为 ,B正确，
对于C，由正弦定理可得 ,由于 ，故 ，C正确，
对于D，由 可得,
所以 ，由于 ,所以 ，进而 ,故 ，因此三角形为钝角
三角形，D错误，
故选：ABC
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．（广东省广州市白云区2023-2024学年高一下学期期末数学试题）已知复数z满足 ，
则 ．
【答案】 /
【分析】先求出复数z，再根据复数的模的定义直接计算即可得解.
【详解】由题意 ，
故 .
故答案为： .
13．（23-24高二下·重庆·阶段练习）若不等式 成立的一个充分不必要条件是 ，则实
数 的取值范围为 ．
【答案】
【分析】根据绝对值不等式的解法，结合充分不必要条件的性质进行求解即可.
【详解】由 ，
因为不等式 成立的一个充分不必要条件是 ，
所以有 ，等号不同时成立， ，
当 时， 是不等式 成立的充要条件，不符合题意，
所以 ，实数 的取值范围为 .
故答案为： .
14．（23-24高一下·重庆万州·期中）一个棱长为2的正四面体盒子内部放置了一个正方体，且该正方
体在铁盒内能任意转动，则该正方体棱长的最大值为 .
【答案】 /
【分析】将所求问题转化为正方体的外接球，即为正四面体的内切球，作出图形，利用等体积法求得内切球的半径，利用正方体的体对角线等于正方体的外接球的直径即可求解.
【详解】由题意可知，正方体在正四面体内部任意旋转，
当正方体的棱长取得最大值时，正方体的外接球即为正四面体的内切球，
将正四面体放到正方体中，作出图形如图，
因为正四面体的棱长为2，则图中正方体的棱长为 ，
所以正四面体的体积为 ，
侧面积为 ，
设正四面体的内切球的半径为 ，则 ，解得 ，
设放置进去的正方体的棱长最大值为 ，则 ，解得 .
故答案为： .
四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16,17题15分，第18,19题17分，共77分．解答
应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（23-24高一下·山西大同·期末）某工厂生产某款产品，该产品市场评级规定：评分在10分及以上
的为一等品，低于10分的为二等品．下面是检验员从一批产品中随机抽取的10件产品的评分：
9.5 10.2 9.7 9.8 10.0 9.6 10.1 9.7 10.1 10.3
经计算得 ，其中 为抽取的第 件产品的评分， ．
(1)求这组样本的平均数和方差；
(2)若厂家改进生产线，使得生产出的每件产品评分均提高0.3．根据以上随机抽取的10件产品改进后
的评分，估计改进后该厂生产的产品评分的平均数和方差．
【答案】(1)样本平均数为 ，样本方差为 ．
(2)平均数为 ，方差为
【分析】（1）根据题意，由平均数以及方差的计算公式代入计算，即可求解；
（2）根据题意，由平均数与方差的性质即可得到结果.【详解】（1）样本平均数为 ．
样本方差为 ．
（2）因为改进后随机抽取的10件产品的评分是改进前抽取的10件产品的评分每个提高0.3分，所以
改进后生产的产品评分的平均数 ，
方差为 ．
16．（23-24高一下·湖南株洲·期末）小米在2024年推出SU7汽车，创始人雷军为了了解广大客户对小
米SU7的评价，令销售部随机抽取200名客户进行了问卷调查，根据统计情况，将他们的年龄按
， ， ， 分组，并绘制出了如图所示的频率分布直方图.
(1)估计样本数据中用户年龄的众数与平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
(2)销售部从年龄在 ， 内的样本中按比例分配的分层随机抽样方法抽取6人，再从这6人
中随机抽取2人进行电话回访，求这2人取自不同年龄区间的概率.
【答案】(1)平均数为44.5，众数为45.
(2) .，
【分析】（1）根据频率分步直方图易知众数，由平均数计算公式可得结果；
（2）由抽样比可确定每层中的抽样人数，再由古典概率计算公式可得结果
【详解】（1）由平均数计算公式，可估计平均数为
，
根据频率分步直方图，估计众数为45.
（2）由已知可得抽取的6人中，年龄在 内的有4人，分别记为 ；
年龄在 内的有2人，分别记为 ；
则从这6人中随机抽取2人的样本点为
， ， ， ， ， ， ， ， ，
， ， ， ， ， ，共15个；
记事件 “这2人取自不同年龄区间”，其包含样本点有 ， ， ， ，， ， ， ，共8个，
故这2人取自不同年龄区间的概率为 .
17．（23-24高一下·上海宝山·期末）锐角 中角 、 、 的对边分别为 、 、 ，且
．
(1)求角 的大小；
(2)若 ，求 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）借助正弦定理将角化为边后，借助余弦定理计算即可得；
（2）借助正弦定理将边化为角后，结合两角和的正弦公式与辅助角公式可将 化为正弦型函数形式，
再利用锐角三角形性质可得角的范围，即可得解.
【详解】（1）由正弦定理可得 ，即 ，
由余弦定理 可得 ，又 ，则 ；
（2）由 ，则 、 ，
则
，
由 为锐角三角形，可得 ，解得 ，
则 ，则 ，
故 .
18．（23-24高一上·江西鹰潭·期末）已知函数 （ ），其相邻两
个对称中心之间的距离为 .(1)求实数 的值及函数 的单调递增区间；
(2)将 图象上所有点向平左移 个单位长度，再将图象上所有点向上平移1个单位，得到函数
的图象，若 在 上有两个不同零点，求实数 的取值范围.
【答案】(1) ， 单调递增区间是 （ ）；
(2) .
【分析】（1）利用三角恒等变换得 ，再由相邻两个对称中心之间的距离为 ，
可求得 ，即 ，再根据正弦函数的单调性即可求解；
（2）由三角函数的图象变换可得 ，然后将 的零点问题转化为直线
与函数 在 的图象的交点个数问题，再结合几何图形求出实数 的取值范围.
【详解】（1）依题意，
因为相邻两个对称中心之间的距离为 ，
所以 的周期 ，解得 ，
所以 ，
由 ， ，
得 ，
所以 单调递增区间为 .
（2）由 ，可得 ，
由 ， ，
得 ， ，所以函数 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以函数 在 的图象如图所示：
因为 在 上有两个不同零点，
即直线 与函数 在 的图象有两个交点，此时 ，
所以实数 的取值范围是 .
19．（23-24高一下·广东广州·期中）若 是定义在 上的增函数，其中 ，存
在函数 ， ，且函数 图像上存在两点 ， 图像上存在两
点 ，其中 两点横坐标相等， 两点横坐标相等，且 ，则称 在 上可以对
进行“ 型平行追逐”，即 是 在 上的“ 型平行追逐函数”. 已知
是定义在 上的奇函数， 是定义在 上的偶函数．
(1)求满足 的 的值；
(2)设函数 ，若不等式 对任意的 恒成立，求实数 的
取值范围；
(3)若函数 是 在 上的“ 型平行追逐函数”，求正数 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）先确定 的表达式，再解方程得到结果；（2）计算 的表达式，然后对 分类讨论即可；
（3）将命题转化为 在 上不是单调函数，再通过对 换元并分析单调
性得到答案.
【详解】（1）由于 是奇函数，故 ，即
恒成立，所以 ；
由于 是偶函数，故 ，即 恒成
立，所以 .
故 ， .
现要解方程 ，而 ，故命题等
价于 ，即 .
这是关于正实数 的二次方程，解得 ，所以 .
（2）由于 ，
而 单调递增，且对 有 ，故当 时， 的取值范围是
.
从而命题等价于对任意的 ，有 ，即 .
若 ，则有 ，故条件对 不成立，不符合要求；
若 ，则对 有 ，符合要求.
所以 的取值范围是 .
（3）我们有 ， .
根据题目定义， 是 在 上的“ 型平行追逐函数”，当且仅当存在 ，满足
.换言之，函数 在 上不是单调函数.
由于
，
而 在 上递增，取值范围为 .
故命题等价于 在 上不是单调函数.
对 ，我们知道 在 上递减，在 上递增.
所以命题等价于 ，从而正数 的取值范围是 .
【点睛】关键点点睛：本题的关键点在于对 型函数的单调性的反复运用.
