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新高二开学摸底考试卷
数学·答案及评分标准
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符
合题目要求的．
1 2 3 4 5 6 7 8
A A B D B B C C
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9 10 11
CD AC ABD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）
【详解】（1）由题意得 ，因为 为钝角，
则 ，则 ，………………………………………………………………………………（2
分）
则 ，解得 ，…………………………………………………………（4
分）
因为 为钝角，则 .……………………………………………………………………………………（6
分）
（2）选择① ，则 ，
因为 ，则 为锐角，则 ，
此时 ，不合题意，舍弃；
选择② ，因为 为三角形内角，则 ，………………………………（7
分）
则代入 得 ，解得 ，………………………………………………………（8
分）……………………………………………（10
分）
,………………………………………………………………………………（11
分）
则 .………………………………………………………………（13
分）
选择③ ，则有 ，解得 ，…………………………………………………（7
分）
则由正弦定理得 ，即 ，解得 ，………………………………………（8
分）
因为 为三角形内角，则 ，………………………………………………………（9
分）
则 …………………………………………（10
分）
，……………………………………………………………………………（11
分）
则 ………………………………………………………………（13
分）
16．（15分）
【解析】（1）记事件 甲连胜四场，则 ；……………………………………………（4
分）
（2）记事件 为甲输，事件 为乙输，事件 为丙输，…………………………………………………（5
分）
则四局内结束比赛的概率为，………………………………………（8
分）
所以，需要进行第五场比赛的概率为 ；……………………………………………………（10
分）
（3）记事件 为甲输，事件 为乙输，事件 为丙输，
记事件 甲赢，记事件 丙赢，…………………………………………………………………………（11
分）
则甲赢的基本事件包括： 、 、 、
、 、 、 、 ，……………………………………………………（13
分）
所以，甲赢的概率为 .………………………………………………………（14
分）
由对称性可知，乙赢的概率和甲赢的概率相等，
所以丙赢的概率为 .…………………………………………………………………（15
分）
17．（15分）
【解析】（1）由辅助角公式得 ，……………………………………（2
分）
则 ，………………（6
分）
所以该函数的最小正周期 ;………………………………………………………………………（7
分）
（2）由题意， …………………………（8
分）
……………………………………………………（9
分），…………………………（12
分）
由 可得 ，………………………………………………………………………（13
分）
所以当 即 时，函数取最大值 .……………………………………………………（15
分）
18．（17分）
【详解】（1）因为 为 的中点，所以 ，………………（2
分）
四边形 为平行四边形，所以 ，……………………………………………………………（4
分）
又因为 平面 ， 平面 ，………………………………………………………………（5
分）
所以 平面 ；…………………………………………………………………………………………（6
分）
（2）如图所示，作 交 于 ，连接 ，
因为四边形 为等腰梯形， ，所以 ，
结合（1） 为平行四边形，可得 ，又 ，
所以 为等边三角形， 为 中点，所以 ，
又因为四边形 为等腰梯形， 为 中点，所以 ，
四边形 为平行四边形， ，
所以 为等腰三角形， 与 底边上中点 重合，
， ，………………………………………………………………………（8
分）
因为 ，所以 ，所以 互相垂直，……………………………………（9
分）
以 方向为 轴， 方向为 轴， 方向为 轴，建立 空间直角坐标系，………………（10
分）
， ， ， ，…（11
分）
设平面 的法向量为 ，则 ，即 ，令 ，得 ，即 ，…………………（13
分）
设平面 的法向量为 ，
则 ，即 ，令 ，得 ，即 ，………（14
分） ，………………………………………………………………………
（15分）
则 ，…………………………………………………………………………………………（16
分）
故二面角 的正弦值为 .……………………………………………………………………（17
分）
19．（17分）
【详解】（1）由已知 ，得 ，………………………………………………………………（1
分）
所以 ，即 ，……………………………………………（2
分）
又 ，所以 ，………………………………………………………………………………（3
分）
所以 ；………………………………………………………………………（5
分）
（2）①设 ，则 ，…………………………………（6分）所以 ，………………………………………………………………（7
分）
，………………………（8
分）
所以 ，…………………………………………………………………………（9
分）
② ，
所以 ；……………………………………………………………………………（10
分）
（3）由（2）得 ，
故 ，……………………………………………………………（12
分）
………………………………（13
分）
，………………………………………………………………………………（14
分）
当且仅当 ，即 时等号成立，…………………………………………………（16
分）
所以 的最小值是9．……………………………………………………………………………………（17
分）
