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参照机密级管理★启用前
2025 年高考综合改革适应性演练
数 学-
答案解析
一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的．
!=!! "#$#"%#=" !$#"#&% !I"=
1. 已知集合 ，则 （ ）
A. !"# B. !"# C. !"#$% D. !!"#$#"#%&
【答案】C
【解析】
【分析】由交集的运算求解即可；
【详解】由题意可得!I"=!"#$%.
! !"
2. 函数 !!""=#$% # "+ $的最小正周期是（ ）
% &&
! !
A. B. C. ! D. !!
! !
【答案】D
z
【解析】 x
x
k
.
【分析】根据三角函数最小正周期的求法求c得正确答案.
o
m
!!
【详解】依题意， ! (") 的最小正周期! = =!!.
"
3. !"!=#$! （ ）
A. 2 B. 4 C. ! " D. 6
【答案】C
【解析】
【分析】根据复数模的概念直接求解.
【详解】由题意： ! = !! +"! =! #.
! ! ! ! !
4. 已知向量! =!"#$%#" =!$#"%，则!!!!"="" （ ）
A. 2 B. 1 C. 0 D. !!
2025届八省联考·数学 答案解析 第1页/共18页
学科网（北京）股份有限公司【答案】B
【解析】
【分析】利用向量的坐标运算求解.
! !
【详解】"!=(!"#)，!=(!"#)，
! !
!!"="" ( !"!)，
! ! !
( )
!!" !#"=$ !#+($=") " " ".
!!
5. 双曲线"!!= "的渐近线方程为（ ）
#
A. !=±" B. ! =±!" C. ! =±!" D. ! =±!"
【答案】C
【解析】
【分析】根据双曲线的标准方程，结合渐近线方程，可得答案.
!! !
【详解】由方程"!!= "，则! =!""=#，所以渐近线 " =± #=±!#.
# $
6. 底面直径和母线长均为2的圆锥的体积为（ ）
!
A. ! B. ! C. !! D. !!
!
【答案】A z
x
x
k
【解析】
.
c
o
【分析】由勾股定理先求出圆锥的高，进而利用m 圆锥体积公式求解即可.
【详解】由题可知圆锥的底面半径!=!，母线长! =!，高!=!="=!! #! !! "! #，
" #
∴圆锥的体积为! =! ="!#! .
# #
!
7. 在!!"#中，!" ="##" =$!=%#&'( !#" ，则!!"#的面积为（ ）
)
A. 6 B. 8 C. 24 D. 48
【答案】C
【解析】
【分析】先根据余弦定理求出!"边的长度，再利用三角形面积公式求出三角形面积即可.
【详解】设!"= #，根据余弦定理!"! = #"! +!#!! "!#"" #!#"#$ !#"，
2025届八省联考·数学 答案解析 第2页/共18页
学科网（北京）股份有限公司!
已知!" =!，!" =!"，"#$!!="# ，代入可得：
%
"
#! =$%! +!!!" !"$%" ! ，即!! !+"!! =#$ %，解得!=!，
&
由于!"! + #!! ="#+$"=%&&= #"!，则!!"#为直角三角形，
!
则! =! !=" # $%.
$
8. 已知函数 !""#=!"$"! #$ !#!，若当!>!时， !!"">#，则!的取值范围是（ ）
A. !!""#$ B. !!"#$% C. !!"#$% D. !!"#+"$
【答案】B
【解析】
【分析】分类讨论，去掉绝对值，结合一元二次不等式的求解即可得解.
!!! ""!"!"!"!#"
【详解】当!>!，!>!时， ##!$="! !"=" !"! $ ，
%"+!!" "!!时， !!""># m ， 故!>!不符合题意；
当!!时， !""#=" "=# !#!= "+! #>" !#! (" !#)(" #) $，解得!>!"，
由于!>!时， !!"">#，故!!!!，解得!!时， !""#= "! >$恒成立，符合题意；
当!!时， !""#=" "=# !#!= "+! #>" !#! (" !#)(" #) $，解得!> "，
由于!>!时， !!"">#，故!!"!，解得!!"!< ".
综上!!"!"".
【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是对!分类讨论，结合因式分解方法有针对性求解!>!时的
! (")=" "=# !#!= "+! #>" !#! (" !#)(" #) "的解集，从而可求解.
2025届八省联考·数学 答案解析 第3页/共18页
学科网（北京）股份有限公司二、选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求．全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分．
9. 已知!!"#$%是抛物线!""! =!#$的焦点，M是C上的点，O为坐标原点．则（ ）
A. ! =!
B. !!" !!!#" !
C. 以M为圆心且过F的圆与C的准线相切
D. 当!!="#° !"# 时，!!"# 的面积为! "
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据焦点坐标求出 ! =!判断A，根据抛物线定义判断B，C，应用已知联立方程求出点的坐标
计算判断三角形的面积判断D.
!
【详解】因为!!"#$%是抛物线!""! =!#$的焦点，所以 =!，即得 ! =!，A选项正确；
!
设!(" "# ) 在 !! =""上，所以! !!，
! ! !
! !
所以 "# = $ +!= %# ，B选项正确；
! " "
因为以M为圆心且过F的圆半径为 !" = # +"等于M与C的准线的距离，所以以M为圆心且过F的圆
z !
x
x
k
与C的准线相切，C选项正确；
.
c
o
m
当!!="#° !"# 时,! >"#
!
!
! ="#$%!°= &，且!! =#" ， ! >!，
" !' " " !
!
" #
所以 #!! !$! !%&= # ", ! =" #或 ! =! 舍
" " ! ! #
"
所以!!"# 的面积为$ ==! !" % # $，D选项错误.
!!"# % !
2025届八省联考·数学 答案解析 第4页/共18页
学科网（北京）股份有限公司10. 在人工神经网络中，单个神经元输入与输出的函数关系可以称为激励函数．双曲正切函数是一种激励函
!! !!!! !! +!!! !"#$!
数．定义双曲正弦函数"#$%!= ，双曲余弦函数"#$%!= ，双曲正切函数%&#$!= ．则
& & '(!$!
（ ）
A. 双曲正弦函数是增函数 B. 双曲余弦函数是增函数
!"#$!+!"#$ "
C. 双曲正切函数是增函数 D.
!"#$(!+ ")=
%+!"#$!!"#$ "
【答案】ACD
【解析】
【分析】对A、B：借助导数求导后即可得；对C：借助双曲正弦函数与双曲余弦函数将双曲正切函数化简
后，结合指数函数性质即可得；对D：借助双曲正弦函数与双曲余弦函数，分别将等式左右两边化简即可得.
!! !!!!
【详解】对A：令 " (!)="#$%!= ，
&
!! +!!
则 ""(!)= >"恒成立，故双曲正弦函数是增函数，故A正确；
#
!! +!!!
对B：令"(!)="#$%!= ，
&
则""(!)=
!! !!!!
，由A知，!!(") 为增函数，又!"(!)=
"! !"!
=!，
" #
z
x
故当!!("#!") 时，!!(")!，
.
c
o
故!(") 在(!"!")上单调递减，在 (!"+!) 上单 m 调递增，故B错误；
"! !"!!
$%&'! "! !"!! "!! !# !
!
对C：()&'!= ! = = = =# ，
*+$'! "! +"!! "! +"!! "!! +# "!! +#
!
由" ="!! +#在!上单调递增，且 "="!! +#>#，
!
故#$%&!="! 是增函数，故C正确；
'!! +"
%!! !" "!!+!" !#
对D：由C知#$&'!= ，则$%&'(!+ ")= ，
%!! +" "!!+!" +#
2025届八省联考·数学 答案解析 第5页/共18页
学科网（北京）股份有限公司"!! !# "!" !#
$%&'!+$%&' " "!! +# + "!" +# ( "!! !+# )( !"+!+" # ) ( "!" # )( "!! # )
= =
#+$%&'!$%&' " "!! !# "!" !# ( "!! +# )( "!" +# ) !+ ( "!! # )( "!" !# )
#+ "
"!! +# "!" +#
"!!+!" +!"!! !"!"+!# "!!+!" +"!!! "!" # !!"!!+!" ! !"!!+!" #
= = = ，
"!!+!" +!"!! +"!" +#+"!!+!" !"+!! "!" # +!"!!+!" ! +"!!+!" #
!"#$!+!"#$ "
故!"#$(!+ ")=
.
%+!"#$!!"#$ "
11. 下面四个绳结中，不能无损伤地变为图中的绳结的有（ ）
A. B. C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】对A，原图中的圆环无法解z开，对BC转化为三叶结问题即可；对D通过绳数即可判断.
x
x
【详解】对于A选项：原图中的圆环不可 k 解开，则无法无损变为一个圆，!无法得到A选项；
.
c
o
对于D选项：为三个圆，不是一根绳，!无法得m 到D选项；
对于B,C选项：根据左手三叶结和右手三叶结不能无损转换，而BC情形为三叶结变体，则BC至少有一个
无法无损伤得到，
两者为手性，即镜像（即只能在镜子中相互重叠），再通过考场身边道具（如鞋带，头发）进行实验可知：
可以得到C选项，无法得到B选项.
2025届八省联考·数学 答案解析 第6页/共18页
学科网（北京）股份有限公司三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分．
12. 已知函 "!!"=#!!#>#$# %"，若 !!"#$%!!"#&%='，则!=____________．
【答案】!
【解析】
【分析】根据条件，利用指数和对数的运算求得答案.
【详解】由 ! (!"#) ! (!"$)=%，可得!!"#!=!!"$ %，
即!!"#+!"$ =!%!"# =&，也即 ( !"#$)! =$!，
!!>!且!!!，!=!!"# #，
两边取对数得：!"#!=!"! !"#，解得! =!.
13. 有8张卡片，分别标有数字1，2，3，4，5，6，7，8，现从这8张卡片中随机抽出3张，则抽出的3张
卡片上的数字之和与其余5张卡片上的数字之和相等的概率为____________．
!
【答案】
"#
【解析】
【分析】先写出基本事件总数#!，再求出所有卡片上的数字之和，得到抽出的3张卡片上的数字之和应为
"
!"，列举出和为!"的3张卡片即可求解.
"!#!$
【详解】从8张卡片中随机抽出3张z，
x
则样本空间中总的样本点数为%! = =C$，
x " !!'
k
因为!+"+#+$+%+&+'+(=#&， . c
o
m
所以要使抽出的3张卡片上的数字之和与其余5张卡片上的数字之和相等，
则抽出的3张卡片上的数字之和应为!"，
则抽出的3张卡片上的数字的组合有!"#"$或!"#"$或!"#"$共3种，
所以符合抽出的3张卡片上的数字之和为!"的样本点个数共3个，
!
所以抽出的3张卡片上的数字之和与其余5张卡片上的数字之和相等的概率为 .
"#
"
14. 已知曲线!# " =!#! ，两条直线! 、! 均过坐标原点O，! 和!交于M、N两点，! 和!交于P、Q
! ! ! !
#
两点，若三角形!!"# 的面积为 !，则三角形!!"#的面积为____________．
【答案】! !
【解析】
【分析】根据对称性，结合图象来求得正确答案.
2025届八省联考·数学 答案解析 第7页/共18页
学科网（北京）股份有限公司"
【详解】由于 (!!") 和 (!!!!") 都符合! =!"! "#" $，
"
"
所以曲线!的图象关于原点对称，当!>!时，函数 ! =!"! 单调递增，
"
由此画出曲线!的大致图象如下图所示，
两条直线! 、! 均过坐标原点!，所以M、N两点关于原点对称，P、Q两点关于原点对称，
! !
根据对称性，不妨设!!"!#!$位置如图，
可知 !" = !# !!$ = !% ，!!!="# $"%，
所以!!"# !!!$%，所以& = & = !，
!!"# !!$%
而!!"# 和!!"#等底等高，面积相同，所以$ = !，
!!"#
所以$ =! !.
!!"#
z
x
【点睛】方法点睛：利用曲线对称性：充x分利用曲线关于原点对称的性质，确定点的对称关系，这是解决
k
.
c
本题的基础.通过对称关系，能够推导出相关线o段和三角形之间的等量关系，为后续的面积计算提供依据.
m
2025届八省联考·数学 答案解析 第8页/共18页
学科网（北京）股份有限公司四、解答题（本题共 5小题，共 77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
15. 为考察某种药物!对预防疾病!的效果，进行了动物（单位：只）试验，得到如下列联表：
疾病
药物 合计
未患病 患病
未服用 100 80 !
服用 150 70 220
合计 250 ! 400
（1）求!，!；
（2）记未服用药物!的动物患疾病!的概率为!，给出!的估计值；
（3）根据小概率值!=!"!#的独立性检验，能否认为药物!对预防疾病!有效?
!("# "$%)!
附：!! = ，
("+$)(%+#)("+%)($+#)
! ( !! "" ) 0.050 0.010 0.001
! 3.841 6.635 10.828
z
x
x
k
.
c
o
m
【答案】（1）! =!"#，! =!"#
!
（2）
"
（3）能认为药物!对预防疾病!有效
【解析】
【分析】（1）根据列联表求和即可；
（2）用频率估计概率，计算即可；
（3）根据公式计算!!，然后根据临界值表分析判断即可.
【小问1详解】
由列联表知!=!""+#"=!#"，! =!"+#"=$%"；
【小问2详解】
由列联表知，未服用药物!的动物有! =!"#（只），
2025届八省联考·数学 答案解析 第9页/共18页
学科网（北京）股份有限公司未服用药物!且患疾病!的动物有!"（只），
!" #
所以未服用药物!的动物患疾病!的频率为 = ，
$!" %
!
所以未服用药物!的动物患疾病!的概率的估计值为!= ；
"
【小问3详解】
零假设! ! ：药物!对预防疾病!无效，
!
"##($##"%##$&#"'#)!
!###
由列联表>得到! = $ = ()%*" ()(*&，
$'#"!!#"!&#"$&# !+%
根据小概率值!=!"!#! 独立性检验，推断! 不成立，
!
即认为药物!对预防疾病!有效，该推断犯错误的概率不超过!"!#，
所以根据小概率值!=!"!#的独立性检验，能认为药物!对预防疾病!有效.
""
16. 已知数列 {" } 中，" ="#" = !
! ! !+! " +$
!
! ! "
（1）证明：数列$!# %为等比数列；
"
& '
!
（2）求
{" }
的通项公式；
!
z
" x
x
（3）令# = !+! ，证明:" <" #) !
!
$
"
%
% & o
'"( m $ $
! "
# #
# ! #
所以数列$ %在!"!!上单调递减，从而数列 {" } 在!"!!上单调递增，且" !
2025届八省联考·数学 答案解析 第11页/共18页
学科网（北京）股份有限公司【解析】
【分析】（1）由切线斜率为2，结合导数知识可得切线过点
(!"!#)
，然后可得切线方程；
（2）由!=!是 !!""的极小值点，可得! ="+!，然后据此讨论 !!""的单调性，分析得 !!""在!=!时
的极值情况，从而得解.
【小问1详解】
!
当!=!"!"= #时， !""#=!$%"! "，其中!>!，
"
" ! !!+!! ! !!+!! !
则 ""#!$= + != " ，令 """!#=#! = !，
! !! !! !!
化简得"!! !!!=! !(! +#)("!= !) $，解得!=!（负值舍去），
又此时 !!"#=!$，则切线方程过点 (!"!#) ，结合切线方程斜率为2，
则切线方程为!+!="(!" #) ，即!!! "!=" #.
【小问2详解】
! " !+#!! !# "
由题可得 !!""定义域为 (!"+!) ， $""##=! != $ ，
# #! #!
因!=!是 !!""的极小值点，则 !!!"#=""+ "" =# #$ =" +# "，
z
!+!! +("!")! " ! (! ! x "x )(! ")
则 #"#!$= ! = k ，
!! !!.
c
o
m
若!!!，令 !!"">"# #" (#$%) ，令 !!(")<"! #"$+("# ) ，
则 !!""在(!"#)上单调递增，在(!"+!)上单调递减，
得!=!是 !!""的极大值点，不满足题意；
若!"# #" (#$%) ，令 !!(")<"! #" (!"#)$!+(#" ) ，
则 !!""在 (!!") 上单调递增，在 (!"!)"(#"+!) 上单调递减，
得!=!是 !!""的极大值点，不满足题意；
(!!")!
若!=!，则 ""#!$=! < %， !!""在 (!"+!) 上单调递减，无极值，不满足题意；
!!
若!>!，令 !!"">"# #" ($%#) ，令 !!(")<"! #" (!"#)$!+(#" ) ，
2025届八省联考·数学 答案解析 第12页/共18页
学科网（北京）股份有限公司则 !!""在 (!"!) 上单调递增，在 (!"#)"(!"+!) 上单调递减，
得!=!是 !!""的极小值点，满足题意；
综上，!=!是 !!""的极小值点时，!>!.
!
18. 已知椭圆C的离心率为 ，左、右焦点分别为𝐹 (−1,0)，𝐹 (1,0)
" ! "
（1）求C的方程；
（2）已知点! ("#$) ，证明：线段!" 的垂直平分线与C恰有一个公共点；
! ! "
（3）设M是坐标平面上的动点，且线段!"的垂直平分线与C恰有一个公共点，证明M的轨迹为圆，
!
并求该圆的方程．
!! "!
【答案】（1） + ="
# $
（2）证明见解析 （3）点! 的轨迹是圆，该圆的方程为(!!+")! ="! "#
【解析】
!
【分析】(1)根据椭圆焦点坐标得!=!，离心率为 ，得!=!，从而求出!，得出椭圆方程；
"
(2)写出中垂线方程，联立椭圆方程，判别式等于零，即可证明恰一个公共点；
(3)解法一：利用设直线方程联立椭圆方程的方法，根据判别式等于0，即可求解.
z
x
x
解法二：利用椭圆定义和线段垂直平分线k的性质结合光学性质，得到 !" ="，从而得到点! 的轨迹和
. !
c
o
轨迹方程. m
【小问1详解】
!
因为椭圆左、右焦点分别为𝐹 (−1,0)，𝐹 (1,0)，所以!=!，又因为椭圆C的离心率为 ，
! " "
!! "!
得!=!!"="! #，所以椭圆方程! + =".
# $
【小问2详解】
由! ("#$) ，𝐹 (−1,0)得直线! "斜率为! =!，中点坐标为(0,2)，
! ! ! "
!
所以线段!" 的垂直平分线方程为! =! +" "，
! "
"
联立垂直平分线方程和椭圆方程
2025届八省联考·数学 答案解析 第13页/共18页
学科网（北京）股份有限公司!!! "!
+ ="
"
" # $ !
# 得!! !+!!=" #，𝑥 =1， ! =
" "
"
" =$ !+ !
"% !
!!= !" =! "，所以直线与椭圆相切，
! !"
线段!" 的垂直平分线与C恰有一个公共点# "# $；
! " % $&
【小问3详解】
解法一：设!(" "# ) ，
! !
! !"
当! =!时，!"的垂直平分线方程为!= ! ，
! ! #
! !"
此时 ! =±#$! =%或!!；
# !
! +!#" !+ #!# "+ ! # !! "! #
当! !!时，!"的垂直平分线方程为" =! " $ !! " % + "=! " +! " " ，
! ! " & ! ' ! " !"
" " "
! ! +# "!! + "! #
#" =" " !+ " "
联立$ " !" ，
" "
#
%$!! +%"! =#!
!( !! +#"! # )! + (! +##)( !! "! # ) (! +#)!"
得$!! +#%$ " + " = " " " ! " % #!，
$ %"! z "x ! "! %
& " "x " '
k
.
即 ! $%+# # = (! " +$)! + " %#!! #(! " +$)( ! " #! + "# " !+ c $o ) m ! ( ! " ! " " ! $ )! $! "
$
"!
%
"! "!
& " ' " "
因为线段!"的垂直平分线与C恰有一个公共点，
!
$%(! +$)!( !#! + "! $ )! ! ##(+! +$)!" !( !! "! $ )! "
= + # 故!=# " " " #$& " % $ " " $!% "，
"#
$
"!
%
$ "! %
" & " ' & " '
# ( !! +!"! $ )! %&(! +$)!
即 " " !#'! " = "，
"! "!
" "
则!! +! ( "!"+" $!! ) !" ="!! $%"" &"" $' #，
# # # # # #
即!" +! ( !"+! $+" ) !! ("+=!$)!(" %)(" &) #，
# # # # # #
!! +! ( ""+" $!+ ) !" + ( !"" "!=" $ )( "" "" $% ) #，
# # # # # # #
2025届八省联考·数学 答案解析 第14页/共18页
学科网（北京）股份有限公司即 ( !! +"! +!" +# )( !!+!"! !!"= #$ ) "，
" " " " " "
!!! +"! +!! +#=(! +#)! +"! >"+$" !! "="! !! #% "，
" " " " " " " "
而
(!"#)
，
(!!"#)
也满足该式，
故点! 的轨迹是圆，该圆的方程为!! +!"! !!=! "# $，即(!!+")! ="! "#.
解法二：设线段!"的垂直平分线!与C恰有一个公共点为P，
!
则当点P不在长轴时，线段!"的垂直平分线!即为点P处的切线，
!
也为!!"# 的角平分线，
!
作!!"! 的角平分线!" ，根据椭圆的光学性质得!" !#，
! "
!"!"#+"!"$= "#!，!则=!!+ "# $"% "#!，
! ! ! z
x
x
k
故!=!!+ "! !"# "#$!， .
! " " c
o
m
所以!"""# 三点共线，所以 !" = !# + #" = #" + #" =#，
! ! ! " !
所以点! 的轨迹是以! 为圆心，4为半径的圆，
!
当P在椭圆长轴上时，M点为 (!"#) 或 (!!"#) 也满足 !" ="，
!
故点! 的轨迹是圆，该圆的方程为(!!+")! ="! "#.
【点睛】方法点睛：判断直线与椭圆公共点的个数问题的方法是：
(1)首先根据题意得到直线和椭圆方程；
(2)联立直线和椭圆方程，消元得到一元二次方程；
(3)计算!，根据> !"< !"= !，判断直线与椭圆公共点的个数.
19. 在平面四边形!"#A中，!"= !# =#A=!，!!=!"=#° !°" # "!A $%" ，将!!"#沿AC翻折至
2025届八省联考·数学 答案解析 第15页/共18页
学科网（北京）股份有限公司!!"#，其中P为动点.
（1）设!" ! #A，三棱锥!!"#A 的各个顶点都在球O的球面上．
（i）证明：平面!"# !平面!"#；
（ii）求球O的半径
（2）求二面角!!"#!A的余弦值的最小值.
!
【答案】（1）（i）证明见解析；（ii）球O的半径为 ；
"
!
（2） .
!
【解析】
【分析】（1）（i）由题设求证!"!!#，即可由线面垂直的判定定理得!"!平面!"# ，再由面面垂直
判定定理得证；（ii）建立以A为原点空间直角坐标系!!"#A，设球心!("!#!$)
，半径!，由
!"= #"=A"= B"= C列方程组即可计算求解.
（2）过P作!" ! #A于G，在平面!"#中，过G作!" ! #A，设"!="# !，!"(!"!) ，以G
为原点建立空间直角坐标系!!"#$，求平面!"# 和平面!"# 的一个法向量，由空间向量夹角公式，通
过换元结合二次函数的性质求解即得.
【小问1详解】 z
x
x
在!!"#中，由!" ="# =!，!!="#° k !" 得!!=!="°# "#! !" ，
.
c
o
m
所以" !=""==!!!#"#$ "!# ! % "#$&'! &，且!!!="#"!=°"A="!°° #"A !"# $# %# ，即
!"!!#，
（i）证明：因为!"!!#，!" ! #A，!"!=#" "，!"!#" !平面!"# ，
所以!"!平面!"# ，又!"!平面!"#，
所以平面!"# !平面!"#；
（ii）以A为原点，!"!!#分别为x轴和y轴正方向建立如图所示空间直角坐标系!!"#A，
! ! !"
则!("#"#")#"($#"#")##("#$#")#A#"# # $，设球心!("!#!$) ，半径!，
# $
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2025届八省联考·数学 答案解析 第16页/共18页
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解得!= $"= $#= $$= ，所以球O的半径为 ；
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【小问2详解】
在平面!"# 中，过P作!" ! #A于G，在平面!"#中，过G作!" ! #A，
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x
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所以二面角!!"#!A的余弦值的最小值为 .
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【点睛】方法点睛：求空间二面角常用方法：
（1）定义法：根据定义作出二面角的z平面角；
x
x
k
（2）垂面法：作二面角棱的垂面，则垂面与二面角两个面的两条交线所成的角就是二面角所成角的平面
.
c
o
角； m
（3）向量坐标法：作空间直角坐标系，求出二面角的法向量，由空间向量的夹角公式计算即可；
（4）射影面积法：求出斜面面积和它在有关平面的射影的面积，再由射影面积公式计算求解.
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