文档内容
ISBN 978-7-5499-9163-1
9 787549 991631>
定价： 元
12.86书书书主 编 单 墫 李善良
副 主 编 葛 军 徐稼红 石志群
本册主编 樊亚东
编写人员 孙旭东 张松年 葛 军 徐稼红 樊亚东 李善良
祁建新 石志群 仇炳生 张乃达 单 墫
责任编辑 田 鹏
普通高中教科书
书 名 数学（选择性必修第一册）
主 编 单 墫 李善良
责任编辑 田 鹏
出版发行 江苏凤凰教育出版社（南京市湖南路１号Ａ楼 邮编２１０００９）
照 排 南京展望文化发展有限公司
印 刷 江苏凤凰扬州鑫华印刷有限公司（电话：０５１４８５８６８８５５）
厂 址 扬州市江阳工业园蜀岗西路９号（邮编：２２５００８）
开 本 ８９０毫米×１２４０毫米 １／１６
印 张 １４．２５
版 次 ２０２１年４月第１版
印 次 ２０２１年４月第１次印刷
书 号 ＩＳＢＮ９７８７５４９９９１６３１
定 价 １２．８６元
盗版举报 ０２５８３６５８５７９
苏教版图书若有印装错误可向出版社联系调换
质量热线：０２５８３６５８５２８ ０２５８３６５８５２６大自然这本书是用数学语言写成的．
———伽利略
一种科学只有在成功地运用数学时，才算达到完
善的地步．
———马克思
致 同 学
亲爱的同学，高中阶段的数学学习生活有趣吗？
我们知道，数学是高中阶段的重要学科，不仅是学习物理、化学
等学科的基础，而且可以帮助我们认识世界，改造世界，创造新的生
活，对我们的终身发展有较大的影响．
怎样学习数学？
第一，要学会发现问题、提出问题．面对各种情境（生活的、数学
的、科学的），我们需要学会观察、实验、归纳，学会从特殊到一般、从
具体到抽象、从模糊到清晰，大胆地提出数学问题．
第二，要尝试分析并解决所提出的问题．通过抽象、推理、建模、
运算等多种活动，建立数学理论，并运用这些数学理论去解决
问题．
第三，要学会回顾反思．在解决完问题之后，要思考：我们是如何
解决这个问题的，从中可以得到哪些启发，还能提出哪些问题．
在数学学习过程中，我们要主动地学习数学基础知识、基本技
能，自觉地感悟基本数学思想，不断积累数学活动经验，提升数学抽
象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析等核心素养，
并逐步学会用数学眼光观察世界、用数学思维思考世界、用数学语言
表达世界．
通过数学学习，我们会发现数学非常奇妙，非常有趣．数学将给
我们以新奇和动力，我们的思维水平会不断提高，我们的创造能力会
得到发展．我们将快乐地成长．
１考虑广大同学的不同需要，本书提供了较大的选择空间．
书中的引言、正文、练习、习题中的“感受·理解”部分、阅读、本
章回顾、本章测试等内容构成一个完整的体系．它体现了教科书的基
本要求，是所有学生应当掌握的内容，相信你一定能学好这部分
内容．
本书还设计了一些具有挑战性的内容，包括思考、探究、链接、问
题与探究、应用与建模，以及习题中的“思考·运用”“探究·拓展”
等．在掌握基本内容之后，选择其中一些内容作思考与探究，相信你
会更加喜欢数学．
２目 录
第１章 直线与方程
１．１ 直线的斜率与倾斜角 ………………………………………… ５
１．２ 直线的方程 …………………………………………………… １０
１．３ 两条直线的平行与垂直 ……………………………………… ２０
１．４ 两条直线的交点 ……………………………………………… ２７
１．５ 平面上的距离 ………………………………………………… ３１
问题与探究 向量方法在直线中的应用 ………………………… ４１
阅读 解析几何的产生 …………………………………………… ４２
第２章 圆与方程
２．１ 圆的方程 ……………………………………………………… ５１
２．２ 直线与圆的位置关系 ………………………………………… ５８
２．３ 圆与圆的位置关系 …………………………………………… ６３
问题与探究 圆的切线与切点弦 ………………………………… ６７
阅读 数学问题（节选） …………………………………………… ６８
第３章 圆锥曲线与方程
３．１ 椭圆 …………………………………………………………… ７５
３．２ 双曲线 ………………………………………………………… ８８
３．３ 抛物线 ……………………………………………………… １０１
应用与建模 双曲线时差定位法 ………………………………… １１１
阅读 圆锥曲线的起源 …………………………………………… １１２
第４章 数列
４．１ 数列 ………………………………………………………… １２３
４．２ 等差数列 …………………………………………………… １２９
１
书书书４．３ 等比数列 …………………………………………………… １４３
４．４ 数学归纳法 ………………………………………………… １５７
问题与探究 数列的转化 ………………………………………… １６３
阅读 斐波那契数列 ……………………………………………… １６４
第５章 导数及其应用
５．１ 导数的概念 ………………………………………………… １７３
５．２ 导数的运算 ………………………………………………… １８６
５．３ 导数在研究函数中的应用 ………………………………… １９６
应用与建模 三次样条模型 ……………………………………… ２０９
阅读 微积分的建立 ……………………………………………… ２１１
专题 数学建模与数学探究
案例分析 …………………………………………………………… ２１６
课题推荐 …………………………………………………………… ２２１
２本书部分常用符号
犽（或犽 ） 直线犾的斜率（或直线犃犅的斜率）
犾 犃犅
犃犅或｜犃犅｜ 线段犃犅的长度
犫 犫 犫
直线狔＝± 狓 两条直线狔＝ 狓和狔＝－ 狓
犪 犪 犪
曲线犆：犳（狓，狔）＝０ 曲线犆，它的方程是犳（狓，狔）＝０，方
程是犳（狓，狔）＝０的曲线犆
犪 数列｛犪｝的第狀项
狀 狀
犛 数列的前狀项和
狀
Δ狓 自变量狓的增量
Δ狔 函数狔的增量
犳′（狓） 函数犳（狓）在狓处的导数
０ ０
犳′（狓） 函数犳（狓）的导函数
狔′ 函数狔的导函数
书书书第１章 直线与方程如果代数与几何各自分开发展，那么它的进步将十分
缓慢，而且应用范围也很有限．但若两者互相结合而共同发
展，则会相互加强，并以快速的步伐向着完美化的方向猛进．
———拉格朗日
现实世界中，到处有美妙的曲线，从飞逝的流星到雨后的彩虹，
从古代的石拱桥到现代的立交桥……
行星围绕太阳运行，人们可以建立行星运动的轨迹方程，并借助
方程进一步认识它的运动规律．
在建造桥梁时，我们可以根据要求，首先确定桥拱所对应的曲线
的方程，然后进行进一步的设计和施工．
曲线可以看成满足某种条件的点的集合．引进平面直角坐标系
后，平面内的点可以用坐标 （狓，狔）来表示．根据曲线的几何特征，可
以得到曲线上任意一点的坐标（狓，狔）满足的一个方程犉（狓，狔）＝０；
反过来，以方程犉（狓，狔）＝０的解（狓，狔）为坐标的点也都在曲线上．
这样，对曲线性质的研究就可以通过对方程犉（狓，狔）＝０的研究来
进行．
直线是最常见的几何图形，直线也可以看成满足某种条件的点的
集合．在平面直角坐标系中，当点用坐标（狓，狔）表示后，直线便可用一
个方程犉（狓，狔）＝０表示，进而通过对方程的研究来研究直线．
● 如何建立直线的方程？
● 如何利用直线的方程研究直线的性质？
４１
直线与方程 第 章
１．１
直线的斜率与倾斜角
我们知道，过一点可以画出无数条直线．如图１ １ １，过点犘的
两条直线犘犃，犘犅的区别在于它们的倾斜程度不同．
图１ １ １
● 如何刻画直线的倾斜程度呢？
在实际生活中，楼梯或路面的倾斜程度可以用坡度来刻画
（图１ １ ２）．
坡度指坡面的铅
直高度与水平宽度的
比．铁路坡度用千分率
（‰）表示，公路坡度用
百分率（％）表示．
图１ １ ２
可以看出，如果楼梯台阶的高度（级高）与宽度（级宽）的比值越
大，那么坡度就越大，楼梯就越陡．
在平面直角坐标系中，我们可以采用类似的方法来刻画直线的
倾斜程度．
对于直线犾上的任意两点犘（狓，狔），犙（狓，狔），如果狓 ≠狓
１ １ ２ ２ １ ２
狔－狔
（图１ １ ３（１）），那么由相似三角形的知识可知， ２ １ 是一个定
狓－狓
２ １
值，我们将其称为直线犾的斜率（ｓｌｏｐｅ）．
狔－狔
犽＝ ２ １ （狓≠狓）．
狓－狓 １ ２
２ １
如果狓＝狓（图１ １ ３（２）），那么直线犾的斜率不存在．
１ ２
５选择性必修第一册 数学
图１ １ ３
对于与狓轴不垂直的直线犾，它的斜率也可以看作
狔－狔 纵坐标的增量 Δ狔
犽＝ ２ １ ＝ ＝ ．
狓－狓 横坐标的增量 Δ狓
２ １
例１ 如图１ １ ４，直线犾，犾，犾都经过点犘（３，２），又犾，犾，
１ ２ ３ １ ２
犾分别经过点犙（－２，－１），犙（４，－２），犙（－３，２），试计算直线
３ １ ２ ３
犾，犾，犾的斜率．
１ ２ ３
图１ １ ４
解 设犽，犽，犽分别表示直线犾，犾，犾的斜率，则
１ ２ ３ １ ２ ３
－１－２ ３ －２－２ ２－２
犽＝ ＝ ，犽＝ ＝－４，犽＝ ＝０．
１ －２－３ ５ ２ ４－３ ３ －３－３
由图１ １ ４可以看出：
（１）当直线的斜率为正时，直线从左下方向右上方倾斜；
（２）当直线的斜率为负时，直线从左上方向右下方倾斜；
（３）当直线的斜率为零时，直线与狓轴平行或重合．
例２ 经过点（３，２）画直线，使直线的斜率分别为
３ ４
（１） ； （２）－ ．
４ ５
分析 要画出直线，只需再确定直线上另一个点的位置．
解 （１）根据
Δ狔
斜率 ＝ ，
Δ狓
６１
直线与方程 第 章
３
斜率为 表示直线上的任一点沿狓轴方向向右平移４个单位长度，再
４
沿狔轴方向向上平移３个单位长度后仍在此直线上．
如果我们从点（３，２）开始，向右平移４个单位长度，再向上平移３
个单位长度，就得到点（７，５）．
因此，通过点（７，５）和点（３，２）画直线，即为所求（图１ １ ５（１））．
４ －４
４ ４ （２）由于－ ＝ ，因此，将点（３，２）先向右平移５个单位长
由于－ ＝ ， ５ ５
５ －５
度，再向下平移４个单位长度，得到点（８，－２）．通过点（８，－２）和点
因此也可以将点（３，
（３，２）画直线，即为所求（图１ １ ５（２））．
２）先向左平移５个单
位长度，再向上平移４
个单位长度，得到点
（－２，６）．再通过点
（－２，６）和点（３，２）画
直线，即为所求．还有
其他作法吗？为什么？
图１ １ ５
在平面直角坐标系中，对于一条与狓轴相交的直线，把狓轴绕着
交点按逆时针方向旋转到与直线重合时，所转过的最小正角α也能刻
画直线的倾斜程度，我们把这个角α称为这条直线的倾斜角（ａｎｇｌｅｏｆ
ｉｎｃｌｉｎａｔｉｏｎ），并规定：
与狓轴平行或重合的直线的倾斜角为０．
由定义可知，直线的倾斜角α的取值范围是
｛α狘０≤α＜π｝．
当直线的斜率为正时，直线的倾斜角为锐角（图１ １ ６（１）），
此时，
Δ狔 犖犅
犽＝ ＝ ＝ｔａｎα．
Δ狓 犃犖
图１ １ ６
７选择性必修第一册 数学
当直线的斜率为负时，直线的倾斜角为钝角（图１ １ ６（２）），
此时，
Δ狔 犖犅
犽＝ ＝ ＝－ｔａｎθ＝－ｔａｎ（π－α）＝ｔａｎα．
Δ狓 －犃犖
因此，当直线与狓轴不垂直时，该直线的斜率犽与倾斜角α之间
的关系为
（ ）
π
犽＝ｔａｎαα≠ ．
２
信息技术 在ＧＧＢ中任画一条直线犃犅，度量直线犃犅的斜率，以及直线
犃犅与狓轴形成的倾斜角α（图１ １ ７）．拖动点犅，观察斜率与倾斜
角变化的规律．
图１ １ ７
练 习 １．分别求经过下列两点的直线的斜率：
（１）（２，３），（４，５）； （２）（－２，３），（２，１）；
（３）（－３，－１），（２，－１）； （４）（１，０），（０，－２）．
２．分别求经过下列两点的直线的斜率和倾斜角：
（１）（－１，２），（－２，１）； （２）（－１，３），（槡３，－槡３）；
（３）（３，槡３），（－２，槡３）； （４）（犪＋１，犪－１），（犪，犪）．
３．设过点犃的直线的斜率为犽，分别根据下列条件写出直线上另一点犅的坐标
（答案不唯一）：
（１）犽＝４，犃（１，２）； （２）犽＝－２，犃（－２，－３）；
３ ４
（３）犽＝－ ，犃（２，－４）； （４）犽＝ ，犃（－３，２）．
２ ３
４．根据下列条件，分别画出经过点犘，且斜率为犽的直线：
３
（１）犘（１，２），犽＝３； （２）犘（２，４），犽＝－ ；
４
（３）犘（－１，３），犽＝０； （４）犘（－２，０），斜率不存在．
８１
直线与方程 第 章
５．分别判断下列三点是否在同一直线上：
（１）（０，２），（２，５），（３，７）；
（２）（－１，４），（２，１），（－２，５）；
（３）（１，２），（１，３），（１，－１）．
习题１．１
感受·理解 １．分别求经过下列两点的直线的斜率：
（１）（－３，２），（２，－１）； （２）（２，０），（０，－４）；
（３）（２，１），（３，１）； （４）（犪，犪），（犪－１，犪＋３）．
２．设狓，狔为实数，已知直线的斜率犽＝２，且犃（３，５），犅（狓，７），犆（－１，狔）是
这条直线上的三个点，求狓和狔的值．
３．（１）当实数犿为何值时，经过两点犃（－犿，６），犅（１，３犿）的直线的斜率是
１２？
（２）当实数犿为何值时，经过两点犃（犿，２），犅（－犿，－２犿－１）的直线的倾
斜角是６０°？
（３）当实数犿为何值时，经过两点犃（１，犿），犅（犿－１，３）的直线的倾斜角
是钝角？
４．已知直线犾上一点向右平移４个单位长度，再向下平移２个单位长度后，仍
在该直线上，求直线犾的斜率犽．
５．设犿为实数，若犃（１，２），犅（３，犿），犆（７，犿＋２）三点共线，求犿的值．
思考·运用 ６．已知犪，犫，犮是两两不相等的实数，分别求经过下列两点的直线的倾斜角：
（１）犃（犪，犮），犅（犫，犮）； （２）犃（犪，犫），犅（犪，犮）；
（３）犃（犫，犫＋犮），犅（犪，犮＋犪）．
７．设犿为实数，过两点犃（犿２＋２，犿２－３），犅（３－犿－犿２，２犿）的直线犾的倾
斜角为４５°，求犿的值．
８．经过点犘（０，－１）作直线犾，且直线犾与连接点犃（１，－２），犅（２，１）的线段总
有公共点，求直线犾的倾斜角α和斜率犽的取值范围．
探究·拓展 ９．如图，“坡度”常用来刻画道路的倾斜程度，这个词与直线的斜率有何关系？
坡度为４％的道路很陡吗？调查一些山路或桥面的坡度，并与同学交流．
（第９题）
９选择性必修第一册 数学
１．２
直线的方程
在平面直角坐标系中，若已知直线犾上一点犘（狓，狔）和直线犾
１ １ １
的斜率犽，或者已知直线犾上不同的两点犘（狓，狔），犘（狓，狔），则
１ １ １ ２ ２ ２
直线犾唯一确定．
在上述两种情况下，当点犘（狓，狔）在直线犾上运动时，点犘的坐
标应该满足某种关系．
● 如何得到直线犾上点犘（狓，狔）的坐标狓，狔之间的关系？
１．２．１ 直线的点斜式方程
直线犾经过点犃（－１，３），斜率为－２（图１ ２ １（１））．如果点
犘（狓，狔）在直线犾上运动，那么，
●狓，狔满足什么关系？
图１ ２ １
当点犘（狓，狔）在直线犾上运动时（除点犃外），点犘与定点
犃（－１，３）所确定的直线的斜率恒等于－２，
狔－３
所以 ＝－２，
狓－（－１）
因此 狔－３＝－２［狓－（－１）］．
显然，点犃（－１，３）的坐标也满足此方程．
因此，当点犘在直线犾上运动时，其坐标 （狓，狔）满足方程
狔－３＝－２［狓－（－１）］，
即
２狓＋狔－１＝０．
１０１
直线与方程 第 章
反过来，若点犘′（狓′，狔′）的坐标满足方程２狓＋狔－１＝０，即
２狓′＋狔′－１＝０．
当狓′＝－１时，狔′＝３，此时点犘′与点犃重合，即点犘′在直线犾上．
狔′－３
当狓′≠－１时，狔′－３＝－２［狓′－（－１）］，即 ＝－２，
狓′－（－１）
这表明过点犘′，犃的直线的斜率为－２，从而点犘′在直线犾上．
因此，以方程２狓＋狔－１＝０的解为坐标的点（狓，狔）也都在直线
犾上．
综上，当点犘在直线犾上时，其坐标（狓，狔）满足方程２狓＋狔－１＝
一般地，当点犘在 ０，并且以方程２狓＋狔－１＝０的解狓，狔为坐标的点（狓，狔）都在直线
曲线犆上时，其坐标（狓， 犾上．这时，我们将方程２狓＋狔－１＝０称为直线犾的方程，也称直线犾
狔）满足方程犉（狓，狔）＝ 为方程２狓＋狔－１＝０的直线．
０，并且以方程犉（狓，狔） 一般地，如果直线犾经过点犘（狓，狔），斜率为犽，那么，如何建
１ １ １
＝０的解为坐标的点
立直线犾的方程呢？
（狓，狔）都在曲线犆上．
如图１ ２ １（２），设直线犾上任意一点犘的坐标是（狓，狔）．
这时，我们将方程犉（狓，
当点犘（狓，狔）（不同于点犘）在直线犾上运动时，直线犘犘 的斜
狔）＝０称为曲线犆的方 １ １
率恒等于犽，即
程，也称曲线犆为方程
狔－狔
犉（狓，狔）＝０的曲线．
１ ＝犽，
狓－狓
１
故 狔－狔＝犽（狓－狓）． （）
１ １
因为点犘（狓，狔）的坐标也满足方程（），所以直线犾上的每个
１ １ １
点的坐标都是这个方程的解；反过来，可以验证，以方程（）的解为
坐标的点都在直线犾上．因此，方程（）就是过点犘，斜率为犽的直
１
线犾的方程．
方程
狔－狔＝犽（狓－狓）
１ １
叫作直线的点斜式方程（ｅｑｕａｔｉｏｎｏｆｐｏｉｎｔｓｌｏｐｅｆｏｒｍ）．
当直线犾与狓轴垂直时，斜率不存在，其方程不能用点斜式表示．
但因为犾上每一点的横坐标都等于狓，所以它的方程是
１
狓＝狓．
１
例１ 已知一直线经过点犘（－２，３），斜率为２，求这条直线的方程．
解 由直线的点斜式方程，得所求直线的方程为
狔－３＝２（狓＋２），
即 ２狓－狔＋７＝０．
１１选择性必修第一册 数学
例２ 已知直线犾的斜率为犽，与狔轴的交点是犘（０，犫），求直
线犾的方程．
解 由直线的点斜式方程，得直线犾的方程为
狔－犫＝犽（狓－０），
即 狔＝犽狓＋犫．
我们把直线犾与狔轴的交点（０，犫）的纵坐标犫称为直线犾在狔轴
上的截距（ｉｎｔｅｒｃｅｐｔ）．这个方程由直线犾的斜率和它在狔轴上的截距
确定，所以这个方程也叫作直线的斜截式方程（ｅｑｕａｔｉｏｎｏｆｓｌｏｐｅ
ｉｎｔｅｒｃｅｐｔｆｏｒｍ）．
这说明，初中学习的一次函数狔＝犽狓＋犫，它的图象确实是一条
直线，其中常数犽是直线的斜率，常数犫就是直线在狔轴上的截距．
探 究 在同一直角坐标系中作出直线
狔＝２，狔＝狓＋２，狔＝－狓＋２，狔＝３狓＋２，狔＝－３狓＋２，
尝试用计算器或
根据图１ ２ ２（１），你能推测直线狔＝犽狓＋２有什么特点吗？
计 算 机 作 出 这 些 在同一直角坐标系中作出直线
直线．
狔＝２狓，狔＝２狓＋１，狔＝２狓－１，狔＝２狓＋４，狔＝２狓－４，
根据图１ ２ ２（２），你能推测直线狔＝２狓＋犫有什么特点吗？
图１ ２ ２
练 习 １．根据下列条件，分别写出直线的方程：
（１）经过点（４，－２），斜率为３；
１
（２）经过点（３，１），斜率为 ；
２
（３）经过点（２，０），斜率为－１；
（４）经过点（０，－１），斜率为０；
（５）斜率为－２，在狔轴上的截距为－２；
槡３
（６）斜率为 ，与狓轴交点的横坐标为－７．
２
２．直线狔＝犽（狓＋１）（犽＞０）可能是（ ）．
１２１
直线与方程 第 章
３．根据下列条件，分别写出直线的方程：
（１）过点犘（－槡３，３），倾斜角为３０°；
（２）过点犘（－４，－３），倾斜角为１３５°；
（３）过点犘（０，４），倾斜角为０°；
（４）过点犘（３，２），倾斜角为９０°．
４．已知直线犾：狔＝－２狓＋３．直线犾过点犘（１，２），且它的斜率与直线犾的斜
１ ２ １
率相等．写出直线犾的方程，并在同一直角坐标系中画出直线犾和犾．
２ １ ２
５．分别写出经过下列两点的直线的方程：
（１）犘（１，２），犙（－１，４）；
（２）犘（１，０），犙（０，２）．
６．任一条直线都可以用点斜式方程表示吗？斜截式方程可以改写成点斜式方
程吗？
１．２．２ 直线的两点式方程
若直线犾经过两点犘（狓，狔），犘（狓，狔），则直线犾唯一确定．
１ １ １ ２ ２ ２
那么，
● 如何建立直线犾的方程呢？
狔－狔
如果狓≠狓，那么直线犾的斜率犽＝ ２ １．由直线的点斜式方
１ ２ 狓－狓
２ １
程，得
狔－狔
狔－狔＝ ２ １（狓－狓）．
１ 狓－狓 １
２ １
当狔≠狔时，方程可以写成
１ ２
狔－狔 狓－狓
１ ＝ １．
狔－狔 狓－狓
２ １ ２ １
这个方程是由直线上两点确定的．
方程
狔－狔 狓－狓
还有其他方法可 １ ＝ １
狔－狔 狓－狓
以得到直线的两点式 ２ １ ２ １
方程吗？ 叫作直线的两点式方程（ｅｑｕａｔｉｏｎｏｆｔｗｏｐｏｉｎｔｆｏｒｍ）．
１３选择性必修第一册 数学
当狔＝狔时，由狓≠狓知直线犾与狔轴垂直，它的方程为狔＝狔．
１ ２ １ ２ １
如果狓＝狓，那么狔 ≠狔，直线犾与狓轴垂直，它的方程为
１ ２ １ ２
狓＝狓．
１
狔－狔 狔－狔
思 考 （１）方程 １ ＝ ２ １ 的左、右两边各具有怎样的几何意
狓－狓 狓－狓
１ ２ １
义？它表示什么图形？
狔－狔 狔－狔 狔－狔 狓－狓
（２）方程 １＝ ２ １和方程 １＝ １表示同一图形吗？
狓－狓 狓－狓 狔－狔 狓－狓
１ ２ １ ２ １ ２ １
例３ 已知直线犾经过两点犃（犪，０），犅（０，犫）（图１ ２ ３），其
中犪≠０，犫≠０，求直线犾的方程．
图１ ２ ３
解 直线犾经过两点犃（犪，０），犅（０，犫），其中犪≠０，犫≠０，由直
线的两点式方程，得直线犾的方程为
狔－０ 狓－犪
＝ ，
犫－０ ０－犪
狓 狔
即 ＋ ＝１．
犪 犫
当直线犾经过原 我们把直线犾与狓轴的交点（犪，０）的横坐标犪称为直线犾在狓轴
点时，犾在狓轴和狔轴 狓 狔
上的截距，此时直线犾在狔轴上的截距为犫．方程 ＋ ＝１由直线在
上的截距都为０． 犪 犫
狓轴和狔轴上的非零截距所确定，所以这个方程也叫作直线的截距式
方程（ｅｑｕａｔｉｏｎｏｆｉｎｔｅｒｃｅｐｔｆｏｒｍ）．
例４ 已知三角形的顶点是犃（－５，０），犅（３，－３），犆（０，２）
（图１ ２ ４），分别求这个三角形三边所在直线的方程．
图１ ２ ４
１４１
直线与方程 第 章
解 直线犃犅过犃（－５，０），犅（３，－３）两点，由直线的两点式方
程，得
狔－０ 狓－（－５）
＝ ，
－３－０ ３－（－５）
即 ３狓＋８狔＋１５＝０，
这就是直线犃犅的方程．
直线犅犆在狔轴上的截距为２，斜率是
２－（－３） ５
犽＝ ＝－ ，
０－３ ３
由直线的斜截式方程，得
５
狔＝－ 狓＋２，
３
即 ５狓＋３狔－６＝０，
这就是直线犅犆的方程．
直线犃犆在狓轴、狔轴上的截距分别是－５，２，由直线的截距式方
程，得
狓 狔
＋ ＝１，
－５ ２
即 ２狓－５狔＋１０＝０，
这就是直线犃犆的方程．
练 习 １．分别写出经过下列两点的直线的方程：
（１）（１，３），（－１，２）； （２）（２，３），（０，２）；
（３）（３，３），（３，４）； （４）（－２，３），（３，３）；
（５）（０，３），（－２，０）； （６）（２，０），（０，－２）．
２．根据下列条件，分别写出直线的方程：
（１）在狓轴、狔轴上的截距分别是３，－４；
（２）过点犘（１，５），且在狔轴上的截距为６；
（３）过点犘（－３，４），且在狓轴上的截距为３．
３．已知两点犃（３，２），犅（８，１２）．
（１）求直线犃犅的方程；
（２）设犪为实数，若点犆（－２，犪）在直线犃犅上，求犪的值．
４．回答下列问题：
（１）如果两条直线有相同的斜率，但在狓轴上的截距不同，那么它们在狔轴
上的截距可能相同吗？
（２）如果两条直线在狔轴上的截距相同，但是斜率不同，那么它们在狓轴上
的截距可能相同吗？
（３）任一条直线都可以用截距式方程表示吗？
１５选择性必修第一册 数学
１．２．３ 直线的一般式方程
我们已经学习了直线方程的几种特殊形式，它们都是关于狓，狔
的二元一次方程，那么，
● 任意一条直线的方程都是关于狓，狔的二元一次方程吗？
事实上，在平面直角坐标系中，直线可以分成两类：一类是与狓
轴不垂直的直线，另一类是与狓轴垂直的直线．
当直线与狓轴不垂直时，直线的斜率存在，于是经过点犘（狓，
１ １
狔），斜率为犽的直线的方程为狔－狔＝犽（狓－狓），即
１ １ １
犽狓－狔＋狔－犽狓 ＝０，
１ １
此方程是关于狓，狔的二元一次方程．
当直线与狓轴垂直时，直线的斜率不存在，于是经过点犘（狓，
１ １
狔）的直线的方程为狓＝狓，即
１ １
狓＋０×狔－狓＝０，
在平面直角坐标
１
系中，动点由横坐标、
此方程也可看作是关于狓，狔的二元一次方程．
纵坐标决定，所以方
因此，平面直角坐标系中的任意一条直线的方程都可以用关于
程狓＝狓也可以看成
１ 狓，狔的二元一次方程犃狓＋犅狔＋犆＝０（犃，犅不全为０）来表示．
二元一次方程．
反过来，关于狓，狔的二元一次方程犃狓＋犅狔＋犆＝０（犃，犅不
全为０）都表示平面直角坐标系中的一条直线吗？
显然，当犅≠０时，方程犃狓＋犅狔＋犆＝０可以写成
犃 犆
狔＝－ 狓－ ，
犅 犅
犃 犆
它表示斜率为－ ，在狔轴上的截距为－ 的直线．
犅 犅
当犅＝０时，犃≠０，方程犃狓＋犅狔＋犆＝０可以写成
犆
狓＝－ ，
犃
它表示垂直于狓轴的直线．
因此，在平面直角坐标系中，任何一个关于狓，狔的二元一次方程
犃狓＋犅狔＋犆＝０（犃，犅不全为０）都表示一条直线．
１６１
直线与方程 第 章
方程（）也称为
方程
关于狓，狔的线性方程． 犃狓＋犅狔＋犆＝０（犃，犅不全为０） （）
叫作直线的一般式方程（ｅｑｕａｔｉｏｎｏｆｇｅｎｅｒａｌｆｏｒｍ）．
例５ 求直线
犾：３狓＋５狔－１５＝０
的斜率以及它在狓轴、狔轴上的截距，并作图．
解 将直线犾的方程３狓＋５狔－１５＝０写成
３
狔＝－ 狓＋３，
５
因此，直线犾的斜率为
３
犽＝－ ．
５
在方程３狓＋５狔－１５＝０中，当狓＝０时，狔＝３；当狔＝０时，
狓＝５．所以，直线犾在狔轴上的截距为３，在狓轴上的截距为５．
过两点（５，０），（０，３）作直线，就得到直线犾（图１ ２ ５）．
图１ ２ ５
例６ 设犿为实数，若直线犾的方程为
狓＋犿狔－２犿＋６＝０，
根据下列条件分别确定犿的值：
（１）直线犾在狓轴上的截距是－３；
（２）直线犾的斜率是１．
解 （１）令狔＝０，得 狓＝２犿－６．
由题意知 ２犿－６＝－３，
３
解得 犿＝ ．
２
（２）因为直线犾的斜率存在，所以犿≠０，于是直线犾的方程化为
１ ２犿－６
狔＝－ 狓＋ ．
犿 犿
１
由题意知 － ＝１，
犿
解得 犿＝－１．
１７选择性必修第一册 数学
练 习 １．分别写出下列直线的斜率以及它们在狓轴、狔轴上的截距：
１
（１）狓＋２狔＝４； （２）狔＝ （狓＋３）；
２
狓 狔
（３）狔－１＝－３（狓－２）； （４） ＋ ＝１．
２ ３
２．设直线５狓－２狔－１０＝０在狓轴上的截距为犪，在狔轴上的截距为犫，则（ ）．
Ａ．犪＝２，犫＝５ Ｂ．犪＝２，犫＝－５
Ｃ．犪＝－２，犫＝５ Ｄ．犪＝－２，犫＝－５
３．设犿为实数，若直线犾的方程为犿狓＋（犿－１）狔＋３＝０，根据下列条件分
别确定犿的值：
（１）直线犾在狔轴上的截距为６； （２）直线犾的斜率为２；
（３）直线犾垂直于狓轴； （４）直线犾经过点（１，３）．
４．设犃，犅，犆为实数，且犃，犅不同时为０．若直线犾的方程为犃狓＋犅狔＋犆＝
０，根据下列条件，分别求出犃，犅，犆应满足的条件：
（１）直线犾过原点； （２）直线犾垂直于狓轴；
（３）直线犾垂直于狔轴； （４）直线犾与两条坐标轴都相交．
５．写出下列图中各条直线的方程，并化为一般式：
（第５题）
习题１．２
感受·理解 １．分别写出下列直线的斜率以及它们在狓轴、狔轴上的截距：
（１）２狓＋狔－４＝０； （２）３狓－６狔＋１０＝０．
２．根据下列条件，分别写出直线的方程：
槡３
（１）过点（３，－２），斜率为 ；
３
（２）过点（－３，０），与狓轴垂直；
（３）斜率为－４，在狔轴上的截距为７；
（４）斜率为３，在狓轴上的截距为－２；
（５）过点（－１，８），（４，－２）；
１８１
直线与方程 第 章
（６）过点（２，０），（０，－３）．
３．写出过点犘（３，１），且分别满足下列条件的直线犾的方程：
（１）垂直于狓轴；
（２）垂直于狔轴；
（３）过原点；
（４）与直线狓＋２狔－３＝０的斜率相等．
４．分别求下列直线与两坐标轴围成的三角形的面积：
（１）狓＋狔－２＝０；
（２）２狓－３狔－６＝０；
（３）５狓＋３狔＋２＝０．
５．一根弹簧挂４ｋｇ的物体时，长２０ｃｍ．在弹性限度内，所挂物体的质量每增
加１ｋｇ，弹簧伸长１．５ｃｍ．试写出弹簧的长度犾（单位：ｃｍ）和所挂物体质量
犿（单位：ｋｇ）之间的关系．
６．一根铁棒在４０℃时长１２．５０６ｍ，在８０℃时长１２．５１２ｍ．已知铁棒的长度
犾（单位：ｍ）和温度狋（单位：℃）之间的关系可以用直线方程来表示，试求出
这个方程，并根据这个方程求出这根铁棒在１００℃时的长度．
７．已知菱形的两条对角线长分别为８和６，以菱形的中心为坐标原点，较长对
角线所在的直线为狓轴，建立直角坐标系，求出菱形各边所在直线的方程．
８．已知直线犾经过点（３，－１），且与两条坐标轴围成一个等腰直角三角形，求
直线犾的方程．
思考·运用 ９．设犽为实数，若直线犾的方程为２狓＋（犽－３）狔－２犽＋６＝０（犽≠３），根据
下列条件分别确定犽的值：
（１）直线犾的斜率为－１；
（２）直线犾在狓轴、狔轴上截距之和等于１．
１０．已知点犘（狓，狔）不在直线犾：２狓＋３狔＋４＝０上，直线犾过点犘（狓，
０ ０ ０ １ ２ ０ ０
狔），且它的斜率与直线犾的斜率相等，证明：直线犾的方程可以写成２（狓－
０ １ ２
狓）＋３（狔－狔）＝０．
０ ０
１１．已知直线犾过点犘（２，３），根据下列条件分别求直线犾的方程：
（１）犾在狓轴、狔轴上的截距之和等于０；
（２）犾与两条坐标轴在第一象限所围成的三角形的面积为１６．
探究·拓展 １２．设直线犾的方程为狔－３＝犽（狓＋２），当犽取任意实数时，这样的直线具有
什么共同的特点？
１３．已知两条直线犪狓＋犫狔＋１＝０和犪狓＋犫狔＋１＝０都过点犃（１，２），求
１ １ ２ ２
过两点犘（犪，犫），犘（犪，犫）的直线的方程．
１ １ １ ２ ２ ２
１９选择性必修第一册 数学
１．３
两条直线的平行与垂直
在平面直角坐标系中，直线的斜率刻画了直线的倾斜程度，而两
条直线平行或垂直的位置关系与它们的倾斜程度密切相关．那么，
● 怎样通过直线的斜率来判断两条直线平行或垂直的位置关
系呢？
首先我们研究两条直线平行的情形．
当直线犾，犾的斜率均存在时，设直线犾，犾的斜截式方程分别为
１ ２ １ ２
犾：狔＝犽狓＋犫，
１ １ １
犾：狔＝犽狓＋犫，
２ ２ ２
它们的倾斜角分别是α，α．
１ ２
如果直线犾∥犾（图１ ３ １（１）），那么它们的倾斜角相等，
１ ２
图１ ３ １
即 α＝α，
１ ２
所以 ｔａｎα＝ｔａｎα，
１ ２
从而 犽＝犽．
１ ２
反之，如果犽＝犽，那么
１ ２
ｔａｎα＝ｔａｎα．
１ ２
因为０≤α＜π，０≤α＜π，根据正切函数的性质可知
１ ２
α＝α，
１ ２
从而 犾∥犾．
１ ２
因此，当两条直线的斜率都存在时，如果它们互相平行，那么它
们的斜率相等；反之，如果两条直线的斜率相等，那么它们互相平行．
这里犾，犾指不
１ ２ 犾∥犾犽＝犽 （犽，犽均存在）．
重合的两条直线． １ ２ １ ２ １ ２
２０１
直线与方程 第 章
如果直线犾，犾的斜率都不存在，那么它们都与狓轴垂直，所以
１ ２
犾∥犾（图１ ３ １（２））．
１ ２
（ ）
７
例１ 证明：顺次连接犃（２，－３），犅５，－ ，犆（２，３），
２
犇（－４，４）四点所得的四边形是梯形（图１ ３ ２）．
图１ ３ ２
分析 要证明一个四边形是梯形，即要证明该四边形的一组对
边平行，另一组对边不平行．
证明 因为
７
－ －（－３）
２ １
犽 ＝ ＝－ ，
犃犅 ５－２ ６
４－３ １
犽 ＝ ＝－ ，
犆犇 －４－２ ６
所以 犽 ＝犽 ，
犃犅 犆犇
从而 犃犅∥犆犇．
（ ）
７
３－ －
２ １３
又因为 犽 ＝ ＝－ ，
犅犆 ２－５ ６
－３－４ ７
犽 ＝ ＝－ ，
犇犃 ２－（－４） ６
所以 犽 ≠犽 ，
犅犆 犇犃
从而直线犅犆与犇犃不平行．
因此，四边形犃犅犆犇是梯形．
例２ 判断下列各组直线是否平行，并说明理由：
（１）犾：狔＝２狓＋１， 犾：狔＝２狓－１；
１ ２
（２）犾：２狓－狔－７＝０， 犾：狓＋２狔－１＝０．
１ ２
解 设直线犾，犾的斜率分别为犽，犽．
１ ２ １ ２
２１选择性必修第一册 数学
（１）由直线犾，犾的方程可知
１ ２
犽＝２，犽＝２，
１ ２
所以 犽＝犽．
１ ２
又直线犾，犾在狔轴上的截距分别为１和－１，所以犾与犾不重合，
１ ２ １ ２
从而 犾∥犾．
１ ２
（２）由直线犾，犾的方程可知
１ ２
１
犽＝２，犽＝－ ，
１ ２ ２
所以犽≠犽，从而犾与犾不平行．
１ ２ １ ２
例３ 求过点犃（２，－３），且与直线
２狓＋狔－５＝０
平行的直线的方程．
解 已知直线的斜率是－２，因为所求直线与已知直线平行，所
以所求直线的斜率也是－２．
根据直线的点斜式方程，得所求直线的方程为
狔＋３＝－２（狓－２），
即
２狓＋狔－１＝０．
练 习 １．分别根据下列各点的坐标，判断各组中直线犃犅与犆犇是否平行：
（ １） 犃 （３ ， － １） ，犅 （ － １， １ ）， 犆 （－ ３ ，５ ） ，犇 （５ ， １ ）；
（２）犃（２，－４），犅（－槡３，－４），犆（０，１），犇（４，１）；
（３）犃（２，３），犅（２，－１），犆（－１，４），犇（－１，１）；
（４）犃（－１，－２），犅（２，１），犆（３，４），犇（－１，－１）．
（ ）
１ ７
２．已知点犃（－４，－２），犅（１，－１），犆（５，５），犇 － ， ，求证：四边形
３ ２
犃犅犆犇是梯形．
３．判断下列各组直线是否平行，并说明理由：
（１）犾：狔＝－狓＋１， 犾：狔＝－狓＋３；
１ ２
（２）犾：３狓－２狔－１＝０， 犾：６狓－４狔－１＝０；
１ ２
（３）犾：２狓－５狔－７＝０， 犾：５狓－２狔－１＝０；
１ ２
（４）犾：狔－２＝０， 犾：狔＋１＝０．
１ ２
４．分别求过点犃（２，３），且平行于下列直线的直线的方程：
（１）２狓＋５狔－３＝０；
（２）４狓－狔＝０；
（３）狓－５＝０；
（４）狔＋６＝０．
２２１
直线与方程 第 章
下面我们研究两条直线垂直的情形．
如图１ ３ ３，如果直线犾⊥犾（犾，犾都不与狓轴垂直），那么直
１ ２ １ ２
线犾，犾的倾斜角α，α中必定一个是锐角，另一个是钝角．不妨设α
１ ２ １ ２ ２
π
是钝角，则 α＝α＋ ，
２ １ ２
（ π ） １ １
从而 犽＝ｔａｎα＝ｔａｎα＋ ＝－ ＝－ ，
２ ２ １ ２ ｔａｎα 犽
１ １
你能用其他方法 即 犽犽＝－１．
１ ２
得到这一结果吗？
图１ ３ ３
反过来，如果 犽犽＝－１，
１ ２
那么可以证明犾⊥犾（注：留作习题１．３第８题）．
１ ２
因此，当两条直线的斜率都存在时，如果它们互相垂直，那么它
们斜率的乘积等于－１；反之，如果它们斜率的乘积等于－１，那么它
们互相垂直．
犾⊥犾犽犽＝－１ （犽，犽均存在）．
１ ２ １ ２ １ ２
思 考 如果两条直线犾，犾中的一条的斜率不存在，那么何时这两条直
１ ２
线互相垂直？
例４ （１）已 知 四 点 犃（５，３），犅（１０，６），犆（３，－４），
犇（－６，１１），求证：犃犅⊥犆犇；
（２）已知直线犾：３狓＋５狔－１０＝０，犾：１５狓－９狔＋８＝０，求证：
１ ２
犾⊥犾．
１ ２
证明 （１）由斜率公式，得
６－３ ３ １１－（－４） ５
犽 ＝ ＝ ，犽 ＝ ＝－ ，
犃犅 １０－５ ５ 犆犇 －６－３ ３
（ ）
３ ５
则 犽犽 ＝ × － ＝－１，
犃犅犆犇 ５ ３
所以 犃犅⊥犆犇．
２３选择性必修第一册 数学
３ １５ ５
（２）由犾，犾的方程可知，它们的斜率犽＝－ ，犽＝ ＝ ，
１ ２ １ ５ ２ ９ ３
（ ）
３ ５
从而 犽犽＝ － × ＝－１，
１ ２ ５ ３
所以 犾⊥犾．
１ ２
例５ 如图１ ３ ４，已知三角形的顶点为犃（２，４），犅（１，
－２），犆（－２，３），求犅犆边上的高犃犇所在直线的方程．
解 直线犅犆的斜率为
３－（－２） ５
犽 ＝ ＝－ ．
犅犆 －２－１ ３
因为犃犇⊥犅犆，
１ ３
所以 犽 ＝－ ＝ ．
犃犇 犽 ５
犅犆
根据直线的点斜式方程，得所求直线的方程为
３
狔－４＝ （狓－２），
５
即 ３狓－５狔＋１４＝０．
图１ ３ ４
例６ 在路边安装路灯，路宽２３ｍ，灯杆长２．５ｍ，且与灯柱成
１２０°角．路灯采用锥形灯罩，灯罩轴线与灯杆垂直．当灯柱高为多少
米时，灯罩轴线正好通过道路路面的中线（精确到０．０１ｍ）？
解 如图１ ３ ５，记灯柱顶端为犅，灯罩顶为犃，灯杆为犃犅，灯
罩轴线与道路中线交于点犆，灯柱的高为犺ｍ．以灯柱底端犗点为原
点，灯柱犗犅所在直线为狔轴，建立如图所示的直角坐标系．
图１ ３ ５
点犅的坐标为（０，犺），点犆的坐标为（１１．５，０）．因为 ∠犗犅犃＝
１２０°，所以直线犅犃的倾斜角为３０°，从而点犃的坐标为
（２．５ｃｏｓ３０°，犺＋２．５ｓｉｎ３０°），
即 （１．２５槡３，犺＋１．２５）．
２４１
直线与方程 第 章
因为犆犃⊥犅犃，所以
１ １
犽 ＝－ ＝－ ＝－槡３，
犆犃 犽 ｔａｎ３０°
犅犃
从而直线犆犃的方程是
狔－（犺＋１．２５）＝－槡３（狓－１．２５槡３）．
又灯罩轴线犆犃过点犆（１１．５，０），则
－（犺＋１．２５）＝－槡３（１１．５－１．２５槡３），
解得 犺≈１４．９２．
答 灯柱高约为１４．９２ｍ．
练 习 １．分别根据下列各点的坐标，判断各组中直线犃犅与犆犇是否垂直：
（１）犃（－１，－２），犅（１，２），犆（－２，１），犇（２，－１）；
（２）犃（０，２），犅（１，０），犆（３，２），犇（５，３）；
（３）犃（３，４），犅（３，－２），犆（－１，４），犇（１，４）；
（４）犃（－３，１），犅（１，５），犆（２，４），犇（０，３）．
２．以点犃（－１，１），犅（２，－１），犆（１，４）为顶点的三角形是（ ）．
Ａ．锐角三角形 Ｂ．直角三角形 Ｃ．钝角三角形
３．判断下列各组直线是否垂直，并说明理由：
１
（１）犾：狔＝－２狓＋１， 犾：狔＝ 狓＋３；
１ ２ ２
（２）犾：３狓－狔－１＝０， 犾：２狓＋６狔－１＝０；
１ ２
（３）犾：２狓－５狔－７＝０， 犾：５狓－２狔－１＝０；
１ ２
（４）犾：狔－２＝０， 犾：狓＋１＝０．
１ ２
４．分别求过点犃（２，３），且垂直于下列直线的直线的方程：
（１）狓－狔－３＝０； （２）３狓＋２狔－１＝０；
（３）狓－１＝０； （４）狔＋２＝０．
５．直线犾，犾的方程为
１ ２
犾：２狓＋３狔－２＝０，
１
犾：犿狓＋（２犿－１）狔＋１＝０．
２
设犿为实数，分别根据下列条件求犿的值：
（１）犾∥犾； （２）犾⊥犾．
１ ２ １ ２
习题１．３
感受·理解 １．判断下列各组直线是否平行，并说明理由：
１ １
（１）犾：狔＝－ 狓＋１， 犾：狔＝－ 狓＋３；
１ ２ ２ ２
２５选择性必修第一册 数学
（２）犾：３狓＋槡３狔－１＝ ０ ， 犾：槡３狓＋狔－１＝０；
１ ２
１
（３）犾：狓＋３狔＝３， 犾：狔＝－ 狓＋１；
１ ２ ３
（４）犾：狓－２＝０， 犾：５狓＋１＝０．
１ ２
２．判断下列各组直线是否垂直，并说明理由：
槡２
（１）犾：狔＝槡２狓＋１， 犾：狔＝－ 狓＋３；
１ ２ ２
（２）犾：槡３狓－狔－１＝０ ， 犾：槡３狓＋３狔－１＝０；
１ ２
（３）犾：３狓＋４狔－７＝０ ， 犾：４狓＋３狔－１＝０；
１ ２
（４）犾：３狓＋２＝０， 犾：５狓＋８＝０．
１ ２
３．分别求满足下列条件的直线的方程：
（１）过点犃（３，２），且与直线４狓＋狔－２＝０平行；
（２）过点犅（３，０），且与直线２狓＋狔－５＝０垂直；
（３）过点（５，４），且与狓轴垂直；
（４）过点犆（２，－３），且平行于过两点犕（１，２）和犖（－１，－５）的直线．
４．已知点犃（－１，３），犅（３，－２），犆（６，－１），犇（２，４），求证：四边形犃犅犆犇
为平行四边形．
５．已知三角形的三个顶点是犃（４，０），犅（６，７），犆（０，３），求边犃犅上的高所在
直线的方程．
６．设犪为实数，若直线犪狓＋２犪狔＋１＝０垂直于直线（犪－１）狓－（犪＋１）狔－
１＝０，求犪的值．
思考·运用 ７．（１）已知直线犾：犃狓＋犅狔＋犆＝０，其中犃，犅不全为０，且直线犾∥犾，求
１
证：直线犾的方程总可以写成犃狓＋犅狔＋犆＝０（犆≠犆）；
１ １ １
（２）已知直线犾：犃狓＋犅狔＋犆＝０，其中犃，犅不全为０，且直线犾⊥犾，求
２
证：直线犾的方程总可以写成犅狓－犃狔＋犆＝０．
２ ２
８．证明：如果两条直线斜率的乘积等于－１，那么这两条直线互相垂直．
９．（１）已知直线犾过点犘（狓，狔），且与直线犾：犃狓＋犅狔＋犆＝０（犘不在犾
０ ０ １ １
上）平行，其中犃，犅不全为０，求证：直线犾的方程为犃（狓－狓）＋
０
犅（狔－狔）＝０；
０
（２）已知直线犾过点犘（狓，狔），且与直线犃狓＋犅狔＋犆＝０垂直，其中犃，
０ ０
犅不全为０，求证：直线犾的方程为犅（狓－狓）－犃（狔－狔）＝０．
０ ０
探究·拓展 １０已知两条直线犾，犾的斜率分别为犽，犽（０＜犽＜犽），设犾，犾的夹角（锐
１ ２ １ ２ １ ２ １ ２
角）为θ．
犽－犽
（１）求证：ｔａｎθ＝ ２ １；
１＋犽犽
１ ２
（２）求直线２狓－狔＋１＝０与直线狓－３狔－３＝０的夹角θ．
２６１
直线与方程 第 章
１．４
两条直线的交点
我们已经知道，在平面直角坐标系中，任何一条直线都可以用方
程来表示，那么，
● 能否用直线方程来研究两条直线的交点问题？
设两条直线的方程分别是
犾：犃狓＋犅狔＋犆 ＝０，犾：犃狓＋犅狔＋犆 ＝０．
１ １ １ １ ２ ２ ２ ２
如果这两条直线相交，由于交点同时在这两条直线上，交点的坐
标一定是这两个方程的公共解；反之，如果这两个二元一次方程只有
一个公共解，那么以这个解为坐标的点必是直线犾和犾的交点．
１ ２
据此，我们有
｛
犃狓＋犅狔＋犆＝０，
方程组 １ １ １ 的解 一 组 无数组 无 解
犃狓＋犅狔＋犆＝０
２ ２ ２
直线犾，犾的公共点 一 个 无数个 零 个
１ ２
直线犾，犾的位置关系 相 交 重 合 平 行
１ ２
例１ 分别判断下列直线犾与犾是否相交．若相交，求出它们
１ ２
交点的坐标：
（１）犾：２狓－狔＝７， 犾：３狓＋２狔－７＝０；
１ ２
（２）犾：２狓－６狔＋４＝０， 犾：４狓－１２狔＋８＝０；
１ ２
（３）犾：４狓＋２狔＋４＝０， 犾：狔＝－２狓＋３．
１ ２
解 （１）因为方程组
烄２狓－狔－７＝０，
烅
烆３狓＋２狔－７＝０
的解为
烄狓＝３，
烅
烆狔＝－１，
所以直线犾和犾相交，且交点坐标为（３，－１）．
１ ２
（２）因为方程组
烄２狓－６狔＋４＝０，
烅
烆４狓－１２狔＋８＝０
有无数组解，所以直线犾和犾重合．
１ ２
２７选择性必修第一册 数学
（３）因为方程组
烄４狓＋２狔＋４＝０，
烅
烆２狓＋狔－３＝０
无解，所以犾∥犾．
１ ２
例２ 设犪为实数，直线犾：２狓＋３狔－１＝０，犾：狓＋（犪－１）狔＋
１ ２
２＝０．若犾∥犾，求犪的值．
１ ２
解法１ 因为犾∥犾，所以方程组
１ ２
烄２狓＋３狔－１＝０， ①
烅
烆狓＋（犪－１）狔＋２＝０ ②
无解．
由 ②×２－①，得 （２犪－５）狔＝－５． ③
从而③无解，即
２犪－５＝０，
５
解得 犪＝ ．
２
２
解法２ 由直线犾的方程可知，它的斜率犽＝－ ．
１ １ ３
２
因为犾∥犾，所以直线犾的斜率存在，设为犽，且犽＝－ ．
１ ２ ２ ２ ２ ３
１
又由直线犾的方程可知，它的斜率犽＝－ ，
２ ２ 犪－１
所以
１ ２
－ ＝－ ，
犪－１ ３
解得
５
犪＝ ．
２
例３ 已知直线犾经过原点，且经过如下两条直线
２狓＋３狔＋８＝０，狓－狔－１＝０
的交点，求直线犾的方程．
解 因为方程组
烄２狓＋３狔＋８＝０，
烅
烆狓－狔－１＝０
２８１
直线与方程 第 章
烄狓＝－１，
的解为
烅
烆狔＝－２，
所以两条直线２狓＋３狔＋８＝０和狓－狔－１＝０的交点坐标为
（－１，－２），从而由题意知直线犾经过点（－１，－２）．
又直线犾经过原点，所以直线犾的方程为
狔－０ 狓－０
＝ ，
－２－０ －１－０
即 ２狓－狔＝０．
思 考 已知直线
犾：２狓＋３狔＋８＝０，
１
犾：狓－狔－１＝０，
２
则方程２狓＋３狔＋８＋λ（狓－狔－１）＝０（λ为任意实数）表示的直线有
什么特点？
练 习 １．与直线２狓－狔－３＝０相交的直线的方程是（ ）．
Ａ ． ４狓 － ２ 狔 － ６ ＝０ Ｂ ． 狔 ＝ ２狓
Ｃ．狔＝２狓＋５ Ｄ．狔＝－２狓＋３
２．判断下列各组直线犾与犾是否相交．若相交，求出它们的交点．
１ ２
（１）犾：２狓＋狔－３＝０， 犾：狓＋２狔－３＝０；
１ ２
（２）犾：３狓＋４狔－１＝０， 犾：６狓＋８狔－３＝０．
１ ２
３．设犽为实数，若三条直线２狓＋３狔＋８＝０，狓－狔－１＝０和狓＋犽狔＋犽＋
１
＝０相交于一点，则犽的值为（ ）．
２
１ １
Ａ．－２ Ｂ．－ Ｃ．２ Ｄ．
２ ２
４．已知直线犾过两条直线２狓－３狔－３＝０和狓＋狔＋２＝０的交点，且与直线
３狓＋狔－１＝０平行，求直线犾的方程．
５．已知直线犾过两条直线狓－狔＋２＝０和２狓＋狔＋１＝０的交点，且与直线
狓－３狔－２＝０垂直，求直线犾的方程．
习题１．４
感受·理解 １．判断下列各组直线犾与犾是否相交．若相交，求出它们的交点．
１ ２
（１）犾：狓－４狔－１＝０， 犾：狓＋２狔－４＝０；
１ ２
（２）犾：槡３狓－狔－２槡３＝０， 犾：狓＋槡３狔＋２＝０；
１ ２
（３）犾：槡２狓－３狔－２＝０， 犾：２狓－３槡２狔＋１＝０．
１ ２
２．分别根据下列条件，求直线的方程：
（１）斜率为－２，且过两条直线３狓－狔＋４＝０和狓＋狔－４＝０的交点；
２９选择性必修第一册 数学
（２）过两条直线狓－２狔＋３＝０和狓＋２狔－９＝０的交点和原点；
（３）过两条直线狓－狔＋５＝０和３狓＋４狔－２＝０的交点，且垂直于直线
３狓－２狔＋４＝０；
（４）过两条直线２狓＋狔－８＝０和狓－２狔＋１＝０的交点，且平行于直线
４狓－３狔－７＝０．
３．设犪为实数，若三条直线犪狓＋２狔＋８＝０，４狓＋３狔＝１０和２狓－狔＝１０相
交于一点，求犪的值．
４．求两条互相垂直的直线２狓＋狔＋２＝０与犪狓＋４狔－２＝０的交点坐标．
１
５．设犽为实数，若直线狔＝犽狓＋３与直线狔＝ 狓－５的交点在直线狔＝狓上，
犽
求犽的值．
６．设犿为实数，已知两条直线犾：（３＋犿）狓＋４狔＝ ５－３犿，犾：
１ ２
２狓＋（５＋犿）狔＝８．当犿为何值时，犾与犾：
１ ２
（１）相交？ （２）平行？
思考·运用 ７．设犪为实数，若三条直线狓＋狔＋１＝０，２狓－狔＋８＝０和犪狓＋３狔－５＝
０共有三个不同的交点，求犪满足的条件．
８．设犪为实数，若三条直线狓＋狔－１＝０，２狓＋３狔－５＝０和狓－犪狔＋８＝０共
有两个不同的交点，求犪的值．
探究·拓展 ９．已知直线犾：犃狓＋犅狔＋犆 ＝０（犃，犅 不全为０）与直线犾：犃狓＋
１ １ １ １ １ １ ２ ２
犅狔＋犆＝０（犃，犅 不全为０）相交于点犘，求证：过点犘的直线可以写成
２ ２ ２ ２
犿（犃狓＋犅狔＋犆）＋狀（犃狓＋犅狔＋犆）＝０的形式．
１ １ １ ２ ２ ２
１０．直线犾和犾的方程分别是犃狓＋犅狔＋犆＝０和犃狓＋犅狔＋犆＝０，其
１ ２ １ １ １ ２ ２ ２
中犃，犅 不全为０，犃，犅 也不全为０．
１ １ ２ ２
（１）当犾∥犾时，直线方程中的系数应满足什么关系？
１ ２
（２）当犾⊥犾时，直线方程中的系数应满足什么关系？
１ ２
３０１
直线与方程 第 章
１．５
平面上的距离
在平面直角坐标系中，我们建立了点与坐标、直线与方程的对应
关系，并据此研究了点与直线、直线与直线之间的位置关系，那么，
● 怎样借助点的坐标和直线的方程，来探求点与点、点与直线以
及两平行直线之间的距离？
１．５．１ 平面上两点间的距离
● 对于平面上的两点犘（狓，狔），犘（狓，狔），如何求这两点间
１ １ １ ２ ２ ２
的距离？
我们先看一个具体的例子．
已知点犘（－１，３），犘（３，－２），下面探求犘，犘 两点间的距离
１ ２ １ ２
犘犘．
１ ２
如图１ ５ １，过点犘 向狓轴作垂线，过点犘 向狔轴作垂线，两
１ ２
条垂线交于点犙，则犙点的坐标是（－１，－２），且
犙犘 ＝狘３－（－２）狘＝５，犙犘 ＝狘３－（－１）狘＝４．
１ ２
在Ｒｔ△犘犙犘 中，
１ ２
图１ ５ １
犘犘２＝犙犘２＋犙犘２＝５２＋４２＝４１．
１ ２ １ ２
因此，犘，犘 两点之间的距离为
１ ２
犘犘 ＝槡４１．
１ ２
一般地，如果狓≠狓，狔≠狔，过点犘，犘 分别向狔轴、狓轴
１ ２ １ ２ １ ２
作垂线，两条垂线交于点犙（图１ ５ ２（１）），则点犙的坐标是（狓，
２
狔），且
１
狓 轴 上 两 点
犘（狓，０），犘（狓，０）
１ １ ２ ２
之间的距离可以表示
为犘犘＝狘狓－狓狘．
１ ２ ２ １
当点犘在点犘的左侧
１ ２
时，犘犘＝狓－狓．
１ ２ ２ １
图１ ５ ２
３１选择性必修第一册 数学
犙犘 ＝狘狓－狓狘，犙犘 ＝狘狔－狔狘．
１ ２ １ ２ ２ １
在Ｒｔ△犘犙犘 中，
１ ２
犘犘２＝犙犘２＋犙犘２
１ ２ １ ２
＝ （狓－狓） ２＋（狔－狔） ２． （）
２ １ ２ １
如果狓＝狓（图１ ５ ２（２）），那么
１ ２
犘犘 ＝狘狔－狔狘，
１ ２ ２ １
（）式也成立．
如果狔＝狔，那么
１ ２
犘犘 ＝狘狓－狓狘，
１ ２ ２ １
（）式仍成立．
由此，我们得到平面上犘（狓，狔），犘（狓，狔）两点间的距离
１ １ １ ２ ２ ２
公式
能用其他方法得
犘犘 ＝槡（狓－狓） ２＋（狔－狔） ２．
到这一结果吗？ １ ２ ２ １ ２ １
例１ （１）求犃（－１，３），犅（２，５）两点间的距离；
（２）设犪为实数，已知犃（０，１０），犅（犪，－５）两点间的距离是１７，
求犪的值．
解 （１）由两点间距离公式，得
槡
犃犅＝ ［２－（－１）］ ２＋（５－３） ２ ＝槡１３．
（２）由两点间距离公式，得
槡
（犪－０） ２＋（－５－１０）
２
＝１７，
解得 犪＝±８．
故所求实数犪的值为８或－８．
例２ 已知△犃犅犆的三个顶点为犃（－１，５），犅（－２，－１），
犆（４，７），求犅犆边上的中线犃犕的长和犃犕所在直线的方程．
解 如图１ ５ ３，设点犕的坐标为（狓，狔），过点犅，犕，犆向狓
轴作垂线，垂足分别为点犅′，犕′，犆′，则点犅′，犕′，犆′的横坐标分别
为－２，狓，４．
因为点犕是线段犅犆的中点，所以点犕′是线段犅′犆′的中点，即
犅′犕′＝犕′犆′，从而
３２１
直线与方程 第 章
图１ ５ ３
狓－（－２）＝４－狓，
（－２）＋４
所以 狓＝ ＝１．
２
（－１）＋７
同理可得 狔＝ ＝３．
２
所以点犕的坐标为（１，３）．
由两点间距离公式，得
槡
犃犕＝ ［１－（－１）］ ２＋（３－５） ２ ＝２槡２．
因此，犅犆边上的中线犃犕的长为２槡２．
由直线的两点式方程，得中线犃犕所在直线的方程为
狔－３ 狓－１
＝ ，
５－３ －１－１
即 狓＋狔－４＝０．
对于平面上的两点犘（狓，狔），犘（狓，狔），线段犘犘 的中点
１ １ １ ２ ２ ２ １ ２
是犕（狓，狔），则
０ ０
狓＋狓
烄狓＝ １ ２，
０ ２
烅
狔＋狔
狔＝ １ ２．
烆０ ２
例３ 在直角三角形犃犅犆中，点犕为斜边犅犆的中点，试建立
１
适当的直角坐标系，求证：犃犕＝ 犅犆．
２
证明 如图１ ５ ４，以Ｒｔ△犃犅犆的直角边犃犅，犃犆所在直线
为坐标轴，建立直角坐标系．设犅，犆两点的坐标分别为（犫，０），
（０，犮）．
图１ ５ ４
３３选择性必修第一册 数学
（ ）
０＋犫０＋犮
因为点犕是犅犆的中点，所以点犕的坐标为 ， ，即
２ ２
（ ）
犫 犮
， ．
２ ２
由两点间距离公式，得
犅犆＝槡（０－犫） ２＋（犮－０） ２ ＝槡犫２＋犮２ ，
（ ） （ ）
槡犫 ２ 犮 ２ １
犃犕＝ －０ ＋ －０ ＝ 槡犫２＋犮２．
２ ２ ２
１
所以 犃犕＝ 犅犆．
２
练 习 １．分别根据下列条件，求线段犃犅的长及线段犃犅中点的坐标：
（ １） 犃 （８ ， １０ ）， 犅 （－ ４ ， ４） ；
（２）犃（－槡３，槡２），犅（－槡２，槡３）．
２．（１）已知△犃犅犆的顶点为犃（３，２），犅（１，０），犆（２＋槡３，１－槡３），求犃犅边
上的中线犆犕的长；
（２）已知△犃犅犆的顶点为犃（０，１），犅（２，５），犆（－４，３），分别求三条中位
线的长．
３．已知两点犘（１，－４），犃（３，２），求点犃关于点犘的对称点犅的坐标．
４．证明：点犕（１，１）与点犖（５，－１）关于直线犾：２狓－狔－６＝０对称．
１．５．２ 点到直线的距离
● 对于平面上确定的直线犾：犃狓＋犅狔＋犆＝０（犃，犅不全为０）
和直线犾外一点犘（狓，狔），如何求点犘到直线犾的距离呢？
０ ０
我们先看一个具体的例子．
已知点犘（２，４）和直线犾：５狓＋４狔－７＝０，下面探求点犘到直线
犾的距离．
如图１ ５ ５，过点犘作犘犈⊥犾，垂足为犈，则点犘到直线犾的距
离就是线段犘犈的长．
方法１ 通过求点犈的坐标，用两点间距离公式求犘犈．
４
第一步 由犘犈⊥犾，可知犘犈所在直线的斜率为 ；
５
４
第二步 写 出犘犈所在直线的方程：狔－４＝ （狓－２），即
５
４狓－５狔＋１２＝０；
第三步 由犾和犘犈所在直线的方程联立方程组
图１ ５ ５
烄５狓＋４狔－７＝０，
烅
烆４狓－５狔＋１２＝０，
３４１
（ ） 直线与方程 第 章
１３ ８８
解得垂足犈的坐标为 － ， ；
４１ ４１
第四步 利用两点间距离公式，求出点犘到直线犾的距离
（ ） （ ）
槡
１３ ２ ８８ ２ １９槡４１
犘犈＝ － －２ ＋ －４ ＝ ．
４１ ４１ ４１
方法２ 通过构造三角形，利用面积关系求点犘到直线犾的
距离．
如图１ ５ ６，过点犘分别作狔轴、狓轴的垂线，交直线犾于点
犕，犖．我们通过计算Ｒｔ△犘犕犖的面积求犘犈．
（ ） （ ）
９ ３
第一步 求出犕－ ，４，犖２，－ ；
５ ４
第二步 计算
９ １９ ３ １９
犘犕＝ － －２ ＝ ，犘犖＝ － －４ ＝ ；
５ ５ ４ ４
还可用两点间距 第三步 由勾股定理，得
离公式求犕犖．
（ ） （ ）
槡１９２ １９２ １９
犕犖＝槡犘犕２＋犘犖２ ＝ ＋ ＝ 槡４１；
５ ４ ２０
第四步 由三角形面积公式可知
１９ １９
×
犘犕·犘犖 ５ ４ １９槡４１
犘犈＝ ＝ ＝ ．
犕犖 １９ ４１
槡４１
２０
图１ ５ ６ 图１ ５ ７
一般地，对于直线
犾：犃狓＋犅狔＋犆＝０（犃≠０，犅≠０）
和直线犾外一点犘（狓，狔），过点犘作犘犙⊥犾，垂足为犙．过点犘分别
０ ０
作狔轴、狓轴的垂线，交犾于点犕（狓，狔），犖（狓，狔）（图１ ５ ７）．
１ ０ ０ ２
３５选择性必修第一册 数学
由
犃狓＋犅狔＋犆＝０，犃狓＋犅狔＋犆＝０，
１ ０ ０ ２
－犅狔－犆 －犃狓－犆
得 狓＝ ０ ，狔＝ ０ ．
１ 犃 ２ 犅
所以
犃狓＋犅狔＋犆
犘犕＝狘狓－狓狘＝ ０ ０ ，
１ ０ 犃
犃狓＋犅狔＋犆
犘犖＝狘狔－狔狘＝ ０ ０ ．
２ ０ 犅
因为犘犙是Ｒｔ△犘犕犖斜边上的高，所以由三角形面积公式可知
当犃＝０或犅＝０ 犘犕·犘犖 犘犕·犘犖 狘犃狓＋犅狔＋犆狘
犘犙＝ ＝ ＝ ０ ０ ．
犕犖
时，此式仍然成立． 槡犘犕２＋犘犖２ 槡犃２＋犅２
由此，我们得到点犘（狓，狔）到直线
０ ０
犾：犃狓＋犅狔＋犆＝０
的距离为
狘犃狓＋犅狔＋犆狘
犱＝ ０ ０ ．
槡犃２＋犅２
思 考 你还能通过其他途径求点犘到直线犾的距离吗？
例４ 分别求点犘（－１，２）到下列直线的距离：
（１）２狓＋狔－１０＝０； （２）３狓＝２．
解 （１）根据点到直线的距离公式，得
狘２×（－１）＋２－１０狘 １０
犱＝ ＝ ＝２槡５．
槡２２＋１２ 槡５
当犃＝０或犅＝
（２）因为直线３狓＝２平行于狔轴，所以
０时，可直接利用图形
２ ５
犱＝ －（－１）＝ ．
性质求出点到直线的 ３ ３
距离．
例５ 求两条平行直线狓＋３狔－４＝０与２狓＋６狔－９＝０之间
的距离．
分析 在两条平行直线中的一条直线上任取一点，将两条平行
直线之间的距离转化为点到直线的距离．
解 在直线狓＋３狔－４＝０上取点犘（４，０），点犘（４，０）到直线
２狓＋６狔－９＝０的距离犱就是两条平行直线之间的距离．
３６１
直线与方程 第 章
因此，两条平行直线之间的距离为
狘２×４＋６×０－９狘 １ 槡１０
犱＝ ＝ ＝ ．
２０
槡２２＋６２ 槡４０
思 考 已知两条平行直线
犾：犃狓＋犅狔＋犆 ＝０，
１ １
犾：犃狓＋犅狔＋犆 ＝０（犆 ≠犆）．
２ ２ １ ２
狘犆－犆狘
你能证明直线犾和犾之间的距离为犱＝ １ ２ 吗？
１ ２
槡犃２＋犅２
例６ 建立适当的直角坐标系，证明：等腰三角形底边上任意
一点到两腰的距离之和等于一腰上的高．
证明 设△犃犅犆是等腰三角形，以底边犆犃所在直线为狓轴，过
顶点犅且垂直于犆犃的直线为狔轴，建立直角坐标系（图１ ５ ８）．
图１ ５ ８
设犃（犪，０），犅（０，犫）（犪＞０，犫＞０），则犆（－犪，０）．
狓 狔
直线犃犅的方程为 ＋ ＝１，
犪 犫
即 犫狓＋犪狔－犪犫＝０．
狓 狔
直线犅犆的方程为 ＋ ＝１，
－犪 犫
即 犫狓－犪狔＋犪犫＝０．
设底边犃犆上任意一点为犘（狓，０）（－犪≤狓≤犪），则
点犘到直线犃犅的距离为
狘犫狓－犪犫狘 犫（犪－狓）
犘犈＝ ＝ ，
槡犪２＋犫２ 槡犪２＋犫２
点犘到直线犅犆的距离为
狘犫狓＋犪犫狘 犫（犪＋狓）
犘犉＝ ＝ ，
槡犪２＋犫２ 槡犪２＋犫２
３７选择性必修第一册 数学
点犃到直线犅犆的距离为
狘犫犪＋犪犫狘 ２犪犫
犺＝ ＝ ．
槡犪２＋犫２ 槡犪２＋犫２
所以
犫（犪－狓） 犫（犪＋狓） ２犪犫
犘犈＋犘犉＝ ＋ ＝ ＝犺．
槡犪２＋犫２ 槡犪２＋犫２ 槡犪２＋犫２
因此，等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰
上的高．
练 习 １．分别根据下列条件，求点犘到直线犾的距离：
（１）犘（３，－２），犾：３狓＋４狔－２５＝０；
（２）犘（－２，１），犾：３狔＋５＝０．
２．分别求下列两条平行直线之间的距离：
（１）５狓－１２狔－２＝０与５狓－１２狔＋１５＝０；
３
（２）６狓－４狔＋５＝０与狔＝ 狓．
２
３．已知直线犾过原点，且点犕（５，０）到直线犾的距离等于３，求直线犾的方程．
４．已知△犃犅犆的三个顶点为犃（１，１），犅（３，４），犆（４，－１），求犃犅边上高
的长．
习题１．５
感受·理解 １．分别根据下列条件，求犃，犅两点之间的距离：
（１）犃（－２，０），犅（－２，－３）；
（２）犃（０，－３），犅（－３，－３）；
（３）犃（３，５），犅（－３，３）．
２．已知点犘（－１，２），求点犘分别关于原点、狓轴和狔轴的对称点的坐标．
３．已知点犃在狓轴上，点犅在狔轴上，线段犃犅的中点犕的坐标是（２，－１），求线
段犃犅的长．
４．已知犃，犅两点都在直线狔＝狓－１上，且犃，犅两点横坐标之差为槡２，求犃，犅两
点之间的距离．
５．已知两点犃（２，３），犅（－１，４），且点犘（狓，狔）到点犃，犅的距离相等，求实
数狓，狔满足的条件．
６．已知点犘（狓，狔）在直线狓＋狔－４＝０上，犗是坐标原点，求犗犘的最小值．
７．分别根据下列条件，求点犘到直线犾的距离：
（１）犘（２，１），犾：２狓＋３＝０；
（２）犘（－３，４），犾：３狓－４狔＋３０＝０．
８．已知直线犾到两条平行直线２狓－狔＋２＝０和２狓－狔＋４＝０的距离相等，
求直线犾的方程．
３８１
直线与方程 第 章
９．已知直线犾在狔轴上的截距为１０，且原点到直线犾的距离是８，求直线犾的方程．
１０．已知点犘在直线３狓＋狔－５＝０上，且点犘到直线狓－狔－１＝０的距离等
于槡２，求点犘的坐标．
１１．已知点犃（７，８），犅（１０，４），犆（２，－４），求△犃犅犆的面积．
１２．已知直线犾过点（－２，３），且原点到直线犾的距离是２，求直线犾的方程．
１３．在△犃犅犆中，犈，犉分别为犃犅，犃犆的中点，建立适当的直角坐标系，求证：
１
犈犉∥犅犆，且犈犉＝ 犅犆．
２
思考·运用 １４．过点犘（３，０）作直线犾，使它被两条相交直线２狓－狔－２＝０和狓＋狔＋３＝０
所截得的线段恰好被点犘平分，求直线犾的方程．
１５．已知光线通过点犃（－２，３），经狓轴反射，其反射光线通过点犅（５，７），求：
（１）入射光线所在直线的方程；
（２）反射光线所在直线的方程．
１６．已知点犃（２，１），直线犾：狓－狔＋１＝０，求点犃关于直线犾的对称点犅的坐标．
１７．在直线狓＋２狔＝０上求一点犘，使它到原点的距离与到直线狓＋２狔－３＝０
的距离相等．
１８．已知直线犾：狔＝３狓＋３，求：
（１）直线犾关于点犕（３，２）对称的直线的方程；
（２）直线狓－狔－２＝０关于直线犾对称的直线的方程．
１９．建立适当的直角坐标系，证明：平行四边形四边的平方和等于两条对角线的平
方和．
２０证明：点犃（犪，犫），犅（犫，犪）关于直线狔＝狓对称．
探究·拓展 ２１．求函数犳（狓）＝槡（狓＋１）２＋９＋槡（狓－６）２＋４的最小值．
２２．如图，点犘是角α的终边与单位圆的交点，点犙是角－β 的终边与单位圆的交点．
（１）求犘犙；
（２）求证：ｃｏｓ（α＋β）＝ｃｏｓαｃｏｓβ－ｓｉｎαｓｉｎβ．
（第２２题）
２３．某人上午８时从山下大本营出发登山，下午４时到达山顶．次日上午８时从
山顶沿原路返回，下午４时回到山下大本营．如果该人以同样的速度匀速上
山、下山，那么两天中他可能在同一时刻经过途中同一地点吗？如果他在上
山、下山过程中不是匀速行进的，他还可能在同一时刻经过途中同一地
点吗？
２４．（阅读题）点到直线的距离．
已知直线犾：犃狓＋犅狔＋犆＝０（犃，犅不同时为０）和直线犾外一点
３９选择性必修第一册 数学
犘（狓，狔），过点犘且与直线犾垂直的直线犾′的方程为犅（狓－狓）－犃（狔－
０ ０ ０ ０ ０
狔）＝０，直线犾与犾′的交点为犘（狓，狔），则点犘到直线犾的距离为
０ １ １ １ ０
犱＝犘犘 ＝槡（狓－狓）２＋（狔－狔）２． （）
０ １ １ ０ １ ０
因为点犘是直线犾与犾′的交点，
１
所以 犃狓＋犅狔＋犆＝０， ①
１ １
犅（狓－狓）－犃（狔－狔）＝０． ②
１ ０ １ ０
策略１：由①②联立，解出狓，狔，然后代入（）式，求出犱．
１ １
策略２：由于犱＝槡（狓－狓）２＋（狔－狔）２，
１ ０ １ ０
而①式等价于
犃（狓－狓）＋犅（狔－狔）＝－犃狓－犅狔－犆． ③
１ ０ １ ０ ０ ０
将狓－狓，狔－狔看作整体，由②③解出狓－狓，狔－狔，然后代入
１ ０ １ ０ １ ０ １ ０
（）式，求出犱．
策略３：注意到②③和犱＝槡（狓－狓）２＋（狔－狔）２ 的特点，将②式
１ ０ １ ０
的两边平方与③式的两边平方相加，得
（犃２＋犅２）［（狓－狓）２＋（狔－狔）２］＝（犃狓＋犅狔＋犆）２，
１ ０ １ ０ ０ ０
狘犃狓＋犅狔＋犆狘
故 犱＝ 槡（狓－狓）２＋（狔－狔）２＝ ０ ０ ．
１ ０ １ ０ 槡犃２＋犅２
４０１
直线与方程 第 章
问题与探究 向量方法在直线中的应用
借助平面直角坐标系，可以建立点与坐标、直线与方程之间的对
应关系，而向量也是沟通几何与代数的一种重要工具，利用向量也可
以有效地研究与直线、直线方程有关的问题．那么，如何利用向量来
研究与直线有关的问题呢？
如图，设犘（狓，狔），犙（狓，狔）是直线犾上不同的两点，直线犾上
１ １ ２ ２
→
的向量犘犙以及与它平行的非零向量都称为直线犾的方向向量．直线犾
→
的一个方向向量犘犙的坐标是 （狓－狓，狔－狔）．
２ １ ２ １
当直线犾′⊥犾时，直线犾′的方向向量称为直线犾的法向量．
对于直线犾：犃狓＋犅狔＋犆＝０（犃，犅不同时为０），则
烄犃狓＋犅狔＋犆＝０，
１ １
烅
烆犃狓＋犅狔＋犆＝０．
２ ２
从而得犃（狓－狓）＋犅（狔－狔）＝０，即向量（狓－狓，狔－狔）
２ １ ２ １ ２ １ ２ １
与向量（－犅，犃）平行，与向量（犃，犅）垂直，因此，向量（－犅，犃）是直
线犾的一个方向向量，向量（犃，犅）是直线犾的一个法向量．
问题１ 已知直线犾经过点犘（狓，狔），且它的一个法向量为
０ ０ ０
犿＝（犃，犅）（犃，犅不同时为０），求直线犾的方程．
解 设犘（狓，狔）为直线犾上的任意一点．
当点犘异于点犘 时，因为犿＝（犃，犅）是直线犾的法向量，所以
０
→ →
犿⊥犘犘，即犿·犘犘＝０，从而
０ ０
（犃，犅）·（狓－狓，狔－狔）＝０．
０ ０
因此
犃（狓－狓）＋犅（狔－狔）＝０．
０ ０
当点犘与点犘 重合时，显然有
０
犃（狓－狓）＋犅（狔－狔）＝０．
０ ０
反之，对于方程犃（狓－狓）＋犅（狔－狔）＝０的任意一组解（狓，
０ ０
狔），它满足
（犃，犅）·（狓－狓，狔－狔）＝０，
０ ０
４１选择性必修第一册 数学
→
从而（狓，狔）对应的点犘满足犿·犘犘＝０，即点犘在直线犾上．
０
因此，所求直线犾的方程为犃（狓－狓）＋犅（狔－狔）＝０．
０ ０
问题２ 已知直线犾：犃狓＋犅狔＋犆＝０（犃，犅不同时为０），
１ １ １ １ １ １
直线犾，犾不重
犾：犃狓＋犅狔＋犆＝０（犃，犅不同时为０），利用向量的方法探究两
１ ２ ２ ２ ２ ２ ２ ２
合． 直线平行的条件．
解 直线犾的一个方向向量为犪＝（－犅，犃），直线犾的一个方
１ １ １ ２
向向量为犫＝ （－犅，犃）．
２ ２
若犾∥犾，则犪∥犫，所以（－犅）犃－（－犅）犃 ＝０，
１ ２ １ ２ ２ １
即 犃犅－犃犅 ＝０．
１ ２ ２ １
反之，若犃犅－犃犅 ＝０，则（－犅）犃－（－犅）犃 ＝０，
１ ２ ２ １ １ ２ ２ １
故犪∥犫，从而犾∥犾．
１ ２
综上，
犾∥犾犃犅－犃犅 ＝０．
１ ２ １ ２ ２ １
探究 请你用向量的方法推导：
（１）直线犾：犃狓＋犅狔＋犆＝０与直线犾：犃狓＋犅狔＋犆＝
１ １ １ １ ２ ２ ２ ２
０垂直的条件；
（２）点犘（狓，狔）到直线犾：犃狓＋犅狔＋犆＝０（犃，犅不同时为０）
０ ０ ０
的距离公式．
阅 读
解析几何的产生
对于曲线性质的研究，一直是古希腊几何学的一大内容．古希腊
数学家通过对众多曲线的研究，开始对曲线的本质有了统一的认识，
他们把曲线看成由符合一定条件的所有点组成的集合，从而把曲线
称为动点的轨迹．
认识是统一了，但是在具体的研究中，又各不相同，对于各种不
同的曲线，缺少一种一般的表示方法和统一的研究手段．
１７世纪前半叶，一个崭新的数学分支———解析几何学的创立，标
志着近代数学的开端，并为数学的应用开辟了广阔的领域．在创建解
析几何学的过程中，法国数学家笛卡儿（Ｒ．Ｄｅｓｃａｒｔｅｓ，１５９６—１６５０）
和费马（Ｐ．ｄｅＦｅｒｍａｔ，１６０１—１６６５）做出了最重要的贡献，成为解析
几何学的创立者．
笛卡儿１５９６年３月３１日出生于法国，１６５０年２月１１日卒于瑞
典．１６３７年，笛卡儿发表了《几何学》，它确立了笛卡儿在数学史上的
地位．在《几何学》卷一中，笛卡儿用平面上一点到两条固定直线的距
离来确定点的位置，用坐标来描述平面上的点．
笛卡儿的解析几何有两个基本的思想：
（１）用有序数对表示点的坐标；
笛卡儿
４２１
直线与方程 第 章
（２）把互相关联的两个未知数的代数方程，看成平面上的一条
曲线．
对于坐标，笛卡儿与前人所不同的是，他不仅用坐标表示点的位
置，而且通过“点动成线”的思想，把坐标具体用到了建立曲线的方程
上；对于方程，笛卡儿则不仅把它看成未知数与已知数之间的关系
式，而且更多地把它看作两个变量之间的关系式．
这样，他就建立了点和有序实数对之间以及曲线和方程之间的
对应关系，从而把研究曲线的几何问题转化为研究方程的代数问题，
通过对方程的讨论来研究曲线的几何性质．
费马１６０１年８月出生于法国，他是一位业余数学家，被后人誉为
“业余数学之王”．费马在他的《平面和立体轨迹引论》一书中，指出了
对轨迹要给予一般的表示，就只能借助于代数．
费马所建立的一般方法，就是坐标法，即通过引进坐标把曲线用
代数方程表示出来．费马所用的坐标实际上是斜角坐标，但是没有标
明狔轴，而且他不用负数．尽管他的坐标法并不那么简便，但其本质
费马
与现代解析几何是一致的．
由此，历史上公认笛卡儿和费马为解析几何的奠基人．但是笛卡
儿和费马的解析几何和现在通用的有很大的不同．他们的书中都没
有出现过现在称为“笛卡儿坐标”的直角坐标系．笛卡儿是根据问题
特点选用他的轴系，仍然属于斜角坐标．他们的书中都没有使用“坐
标”等术语．“坐标”（ｃｏｏｒｄｉｎａｔｅｓ）一词是由德国数学家莱布尼茨
（Ｇ．Ｗ．Ｌｅｉｂｎｉｚ，１６４６—１７１６）于１６９２年首先使用的．
我们知道，曲线可以看作按照某种规律运动的点的集合或轨迹．
在平面直角坐标系中，设动点犘的坐标是（狓，狔），点犘在运动，它的
坐标狓和狔也随之相应地变化．由于点犘是按照某种规律在运动，因
此狓和狔这两个变量相互依赖和制约，也就是说，它们之间应满足一
定的关系．这种关系用代数方法表示出来，就可以得到一个含有狓，狔
两个变量的方程犉（狓，狔）＝０．这样，就建立了曲线和方程之间的对
应关系．
写 作 解析几何的形成与发展
收集解析几何的形成与发展的历史资料，撰写论文，论述解析几
何发展的过程，重要的结果，解析几何发展中的重要人物、事件及其
对人类文明的贡献．
４３选择性必修第一册 数学
本章回顾
本 章 概 览
本章主要研究了平面直角坐标系中直线的有关知识．学习本章
时，应充分体会用坐标法研究问题的一般思路和基本方法，也就是用
坐标、斜率、二元一次方程描述点和直线，建立点与坐标、直线与方程
之间的对应关系，进而用代数方法研究与直线有关的问题．
坐标法不仅是研究几何问题的重要方法，而且是一种被广泛用
于其他领域的重要数学方法．通过坐标系，把点和坐标、曲线与方程
联系起来，沟通了几何与代数之间的联系，体现了数形结合的重要数
学思想．
复习题
感受·理解 １．设犪为实数，已知直线犪狓＋３狔－５＝０经过点犃（２，１），求犪的值．
２．设犪为实数，已知过两点犃（－犪，３），犅（５，－犪）的直线的斜率为１，求犪的
值及犃，犅两点间的距离．
３．如果犃犆＜０，犅犆＞０，那么直线犃狓＋犅狔＋犆＝０不通过（ ）．
Ａ ． 第 一 象 限 Ｂ ． 第 二 象 限
Ｃ．第三象限 Ｄ．第四象限
４４１
直线与方程 第 章
４．设犿，狀为实数，若直线犿狓＋狀狔－１＝０经过第一、三、四象限，求犿，狀满
足的条件．
５．已知直线犾过点犘（－５，－４），且与两坐标轴围成的三角形的面积为５，求
直线犾的方程．
６．已知直线过点犘（５，６），它在狓轴上的截距是在狔轴上的截距的２倍，求此
直线的方程．
７．设犪为实数，若直线狓＋犪狔＝２犪＋２与直线犪狓＋狔＝犪＋１平行，求犪的值．
８．已知直线犾：狓＋３狔－７＝０，犾：狓－狔＋１＝０，求经过犾与犾的交点且
１ ２ １ ２
垂直于犾的直线的方程．
１
９．已知点犃（１，３）关于直线犾的对称点为犅（－５，１），求直线犾的方程．
１０．已知光线通过点犃（２，３），经直线狓＋狔＋１＝０反射，其反射光线通过点
犅（１，１），分别求入射光线和反射光线所在直线的方程．
１１．已知点犃与点犘（１，－１）的距离为５，且到狔轴的距离等于４，求犃点的坐标．
１２．设犪为实数，若两条平行直线２狓＋３狔－６＝０和２狓＋３狔＋犪＝０之间的距
离等于２，求犪的值．
１３．已知直线犾过点犘（１，２），点犕（２，３）和犖（４，－５）到犾的距离相等，求直线
犾的方程．
思考·运用 １４．设犽为实数，已知点犃（－４，１），犅（３，－１），且直线狔＝犽狓＋２与线段犃犅
恒有公共点，求犽的取值范围．
１５．证明：无论犽取任何实数，直线（１＋４犽）狓－（２－３犽）狔＋（２－１４犽）＝０必
经过一个定点，并求出定点的坐标．
１６．求函数犳（狓）＝槡（狓－１）２＋９－槡（狓－５）２＋４的最大值．
１７．如图，在矩形犃犅犆犇中，已知犃犅＝３犃犇，犈，犉为犃犅的两个三等分点，犃犆
与犇犉交于点犌．建立适当的直角坐标系，求证：犈犌⊥犇犉．
（第１７题）
１８．已知△犃犅犆的一条内角平分线犆犇的方程为２狓＋狔－１＝０，两个顶点为
犃（１，２），犅（－１，－１），求顶点犆的坐标．
１９．在直角坐标系狓犗狔中，已知射线犗犃：狓－狔＝０（狓≥０），犗犅：槡３狓＋３狔＝
０（狓≥０），过点犘（１，０）作直线分别交射线犗犃，犗犅于点犃，犅．
（１）当线段犃犅的中点为犘时，求直线犃犅的方程；
１
（２）当线段犃犅的中点在直线狔＝ 狓上时，求直线犃犅的方程．
２
探究·拓展 ２０．如图，由原点犗向直线犾作垂线犗犖，垂足为犖．设犗犖＝狆，犗犖与狓轴正
方向所成的角为θ（０≤θ＜２π）．
（１）求证：直线犾的方程为
４５选择性必修第一册 数学
狓ｃｏｓθ＋狔ｓｉｎθ－狆＝０；
（２）利用上面的方程推导点犘（狓，狔）到直线犃狓＋犅狔＋犆＝０的距离
０ ０
公式．
（第２０题）
２１．把函数狔＝犳（狓）在狓＝犪和狓＝犫之间的一段图象近似地看作线段，且设
犪＜犮＜犫，试用犳（犪），犳（犫）估计犳（犮）．
４６１
直线与方程 第 章
本章测试
一、填空题 １．若直线犾经过点犃（１，２），犅（３，６），则犾的斜率为 ．
２．过点（３，５）且斜率为－２的直线的方程为 ．
１
３．设犿为实数，若直线犾：狓－２狔＋犿－１＝０在狔轴上的截距为 ，则犿的值
２
为 ．
４．过点（０，１）且与直线２狓－狔＋３＝０平行的直线的方程为 ．
５．两条平行直线４狓＋３狔＋３＝０与８狓＋６狔－９＝０间的距离为 ．
６．设犽为实数，若直线犾：狔－１＝犽（狓－槡３）不经过第四象限，则犽的取值范围
为 ．
二、选择题 ７．若直线狔＝２狓＋１的斜率为犽，在狔轴上的截距为犫，则（ ）．
１
Ａ．犽＝－ ，犫＝１ Ｂ．犽＝２，犫＝１
２
１ １ １
Ｃ．犽＝－ ，犫＝ Ｄ．犽＝－２，犫＝
２ ２ ２
８．过两点 （－２，４）和（４，－１）的直线在狔轴上的截距为（ ）．
１４ １４ ７ ７
Ａ． Ｂ．－ Ｃ． Ｄ．－
５ ５ ３ ３
９．若△犃犅犆的三个顶点为犃（１，０），犅（２，１），犆（０，２），则犅犆边上的高所在
直线的方程为（ ）．
Ａ．３狓＋２狔－３＝０ Ｂ．２狓－狔－２＝０
Ｃ．２狓－狔＋１＝０ Ｄ．２狓＋狔－２＝０
１０．若直线犾与直线狔＝１交于点犘，与直线狓－狔－７＝０交于点犙，且线段犘犙
的中点是 （１，－１），则犾的斜率为（ ）．
２ ３ ３ ２
Ａ． Ｂ． Ｃ．－ Ｄ．－
３ ２ ２ ３
三、解答题 １１．求过点（－２，３）且与直线２狓＋狔＋１＝０垂直的直线犾的方程．
１２．设犿为实数，已知三条直线狓＋狔－３＝０，３狓－狔－１＝０和２狓＋３狔＋犿＝０
相交于一点，求犿的值．
１３．已知点犃（２，４），直线犾：狓－２狔＋１＝０，且点犕在直线犾上，犃犕⊥犾，求点
犕的坐标．
１４．已知直线犾与直线３狓＋４狔＝０平行，且与坐标轴围成的三角形的面积为６，
求直线犾的方程．
１５．过点（２，３）的直线犾被两平行直线犾：２狓－５狔＋９＝０与犾：２狓－５狔－７＝０
１ ２
所截得的线段犃犅的中点恰好在直线狓－４狔－１＝０上，求直线犾的方程．
４７第２章 圆 与 方 程我解决过的每一个问题都成为日后用以解决其他问题
的法则．
笛卡儿
在“直线与方程”一章中，我们借助平面直角坐标系，建立了直线
的方程，并通过方程来研究直线的性质和位置关系，初步体会了解析
几何研究问题的一般思路和数形结合的思想方法．
圆是常见的几何图形，圆也可以看成满足某种条件的点的集合．
在平面直角坐标系中，当点用坐标（狓，狔）表示后，圆便可以用一个方
程犉（狓，狔）＝０表示，进而通过对方程的研究来研究圆．
● 如何建立圆的方程？
● 如何利用圆的方程研究圆的性质？
５０２
圆与方程 第 章
２．１
圆的方程
圆是最完美的曲线，它是平面内到定点的距离等于定长的点的
集合．定点就是圆心，定长就是半径．
● 如何建立圆的方程？
以定点犗为圆心，定长狉为半径，画出一个圆（图２ １１（１）），我
们来建立它的方程．
图２ １ １
第一步 以定点犗为原点建立直角坐标系（图２ １ １（２））．
第二步 设犘（狓，狔）是圆上的任意一点．
第三步 依题意，犗犘＝狉，得
槡（狓－０） ２＋（狔－０） ２ ＝狉．
第四步 化简，得
以原点为圆心，
狓２＋狔２＝狉２．
半径为１的圆通常称
为单位圆． 反过来，设 （狓，狔）是方程狓２ ＋狔２ ＝狉２ 的一组解，即
０ ０
狓２＋狔２＝狉２ ，从而
０ ０
槡狓２＋狔２ ＝狉，
０ ０
所以点犘（狓，狔）满足犗犘 ＝狉，即点犘在圆犗上．
０ ０ ０ ０ ０
因此，所求圆的方程是
狓２＋狔２＝狉２．
一般地，设点犘（狓，狔）是以犆（犪，犫）为圆心，狉为半径的圆上的任
意一点（图２ １ ２），则犆犘＝狉．由两点间的距离公式得
槡（狓－犪） ２＋（狔－犫）
２
＝狉，
即 （狓－犪） ２＋（狔－犫） ２＝狉２． ①
反过来，若点犘 的坐标（狓，狔）是方程①的解，则
１ １ １
５１选择性必修第一册 数学
图２ １ ２
（狓－犪） ２＋（狔－犫） ２＝狉２ ，
１ １
即 槡（狓－犪） ２＋（狔－犫） ２ ＝狉．
１ １
这说明点犘（狓，狔）在以犆（犪，犫）为圆心，狉为半径的圆上．
１ １ １
方程
确定圆的标准方
（狓－犪） ２＋（狔－犫） ２＝狉２ （狉＞０）
程，只要确定方程中
叫作以点（犪，犫）为圆心，狉为半径的圆的标准方程（ｓｔａｎｄａｒｄ
的三个常数犪，犫，狉．
ｅｑｕａｔｉｏｎｏｆｃｉｒｃｌｅ）．
例１ 求圆心是犆（２，－３），且经过坐标原点的圆的方程．
解 因为圆犆经过坐标原点，所以圆犆的半径是
狉＝槡２２＋（－３） ２ ＝槡１３．
因此，所求圆的方程是
（狓－２） ２＋（狔＋３） ２＝１３．
例２ 已知隧道的截面是半径为４ｍ的半圆，车辆只能在道路中
心线一侧行驶，一辆宽为２．７ｍ，高为３ｍ的货车能不能驶入这个隧道？
解 以某一截面半圆的圆心为坐标原点，半圆的直径犃犅所在的
直线为狓轴，建立直角坐标系（图２ １ ３），那么半圆的方程为
图２ １ ３
狓２＋狔２＝１６（狔≥０）．
将狓＝２．７代入，得
５２２
圆与方程 第 章
狔＝槡１６－２．７２ ＝槡８．７１＜３，
即在离中心线２．７ｍ处，隧道的高度低于货车的高度．
因此，货车不能驶入这个隧道．
思 考 假设货车的最大宽度为犪ｍ，那么货车要驶入该隧道，限高为多少？
由圆的标准方程 （狓－犪） ２＋（狔－犫） ２＝狉２
得
狓２＋狔２－２犪狓－２犫狔＋犪２＋犫２－狉２＝０．
由此可见，圆的方程具有如下形式：
狓２＋狔２＋犇狓＋犈狔＋犉＝０， ②
其中犇，犈，犉为常数．
那么，形如②的方程是否都表示圆呢？
由方程
狓２＋狔２＋犇狓＋犈狔＋犉＝０
得
（ ） （ ）
犇２ 犈２ １
狓＋ ＋ 狔＋ ＝ （犇２＋犈２－４犉）． ③
２ ２ ４
与圆的标准方程比较，可知：
（１）当
犇２＋犈２－４犉＞０
（ ）
犇 犈 １
时，方程②表示以点 － ，－ 为圆心， 槡犇２＋犈２－４犉为半径
２ ２ ２
的圆；
（２）当
犇２＋犈２－４犉＝０
（ ）
犇 犈
时，方程②只有一解，表示一个点 － ，－ ；
２ ２
（３）当
犇２＋犈２－４犉＜０
时，方程②无实数解，不表示任何图形．
方程
确定圆的一般方
程，只要确定方程中 狓２＋狔２＋犇狓＋犈狔＋犉＝０（犇２＋犈２－４犉＞０）
的 三 个 常 数 犇，
叫作圆的一般方程（ｇｅｎｅｒａｌｅｑｕａｔｉｏｎｏｆｃｉｒｃｌｅ）．
犈，犉．
５３选择性必修第一册 数学
例３ 已知△犃犅犆的三个顶点为犃（４，３），犅（５，２），犆（１，０），
求△犃犅犆外接圆的方程．
解 设所求圆的方程为
狓２＋狔２＋犇狓＋犈狔＋犉＝０．
因为点犃，犅，犆在所求的圆上，所以
４犇＋３犈＋犉＋２５＝０，
烄
烅５犇＋２犈＋犉＋２９＝０，
烆犇＋犉＋１＝０，
犇＝－６，
烄
解得 烅犈＝－２，
烆犉＝５．
故所求圆的方程是
狓２＋狔２－６狓－２狔＋５＝０．
思 考 本题还有其他解法吗？
例４ 已知点犕（狓，狔）到两个定点犃（－３，０），犅（３，０）的距离
之比为２，求狓，狔满足的关系式，并指出满足条件的点犕所构成的
曲线．
解 依题意，点犕满足
犕犃
＝２．
犕犅
由犕犃＝槡（狓＋３） ２＋狔２ ，犕犅＝槡（狓－３） ２＋狔２ ，得
槡（狓＋３） ２＋狔２
＝２．
槡（狓－３） ２＋狔２
化简整理，得
狓２＋狔２－１０狓＋９＝０． （）
反过来，可以验证，当狓，狔满足（）式时，点犕到点犃，犅的距
离之比为２．
因此狓，狔满足的关系式为
狓２＋狔２－１０狓＋９＝０．
由狓２＋狔２－１０狓＋９＝０，得
（狓－５） ２＋狔２＝１６．
因此，满足条件的点犕所构成的曲线为以点（５，０）为圆心，４为
半径的圆．
５４２
圆与方程 第 章
满足条件的点犕所构成的曲线即为动点犕的轨迹，对应的方程
即为动点犕的轨迹方程．
思 考 犕犃
已知平面上两个定点犃，犅，动点犕满足 ＝λ（λ＞０），则点
犕犅
犕的轨迹是什么？建立适当的直角坐标系，写出点犕的轨迹方程．
例５ 某圆拱梁的示意图如图２ １ ４所示．该圆拱的跨度犃犅
是３６ｍ，拱高犗犘是６ｍ，在建造时，每隔３ｍ需要一个支柱支撑，求
支柱犃犘 的长（精确到０．０１ｍ）．
２ ２
图２ １ ４
解 以线段犃犅所在的直线为狓轴，线段犃犅的中点犗为坐标原
点，建立直角坐标系狓犗狔，那么点犃，犅，犘的坐标分别为（－１８，０），
（１８，０），（０，６）．
设圆拱所在的圆的方程是
狓２＋狔２＋犇狓＋犈狔＋犉＝０．
因为点犃，犅，犘在所求的圆上，所以
烄１８２＋１８犇＋犉＝０，
烅１８２－１８犇＋犉＝０，
烆６２＋６犈＋犉＝０，
犇＝０，
烄
解得 烅犈＝４８，
烆犉＝－３２４．
故圆拱所在的圆的方程是
狓２＋狔２＋４８狔－３２４＝０．
将点犘 的横坐标狓＝６代入上述方程，解得
２
狔＝－２４＋１２槡６≈５．３９（负值舍去）．
答 支柱犃犘 的长约为５．３９ｍ．
２ ２
５５选择性必修第一册 数学
练 习 １．分别根据下列条件，求出圆的方程：
（１）圆心在原点，半径为６；
（２）圆心为点（３，－４），半径为槡５；
（３）过点犘（６，３），圆心为犆（２，－２）；
（４）过原点，圆心为点（１，２）．
２．分别根据下列条件，求出圆的方程：
（１）圆心为犆（－１，－５），且与狔轴相切；
（２）圆心为犆（１，３），且与直线３狓－４狔－６＝０相切；
（３）半径为２，且与狓轴相切于原点；
（４）过点犕（０，１），犖（２，１），半径为槡５．
３．（１）已知点犃（－４，－５），犅（６，－１），求以线段犃犅为直径的圆的方程；
（２）求圆心在直线狔＝－狓上，且过两点犃（２，０），犅（０，－４）的圆的方程．
４．下列各方程是否表示圆？若表示圆，求其圆心的坐标和半径．
（１）狓２＋狔２－４狓＝０；
（２）狓２＋狔２－４狓－２狔＋５＝０；
（３）狓２＋狔２＋狓＋２狔＋２＝０．
５．分别判断点犃（１，１），犅（１，槡３），犆（１，２）与圆狓２＋狔２＝４的位置关系．
６．求过三点犃（４，１），犅（－６，３），犆（３，０）的圆的方程．
７．如果方程狓２＋狔２＋犇狓＋犈狔＋犉＝０（犇２＋犈２－４犉＞０）表示的曲线关于
直线狔＝狓对称，那么必有（ ）．
Ａ ． 犇 ＝ 犈 Ｂ ． 犇 ＝ 犉
Ｃ．犈＝犉 Ｄ．犇＝犈＝犉
８．设犿为实数，若方程狓２＋狔２＋４犿狓－２狔＋４犿２－犿＝０表示圆，求犿的取
值范围．
习题２．１
感受·理解 １．分别根据下列条件，求圆的方程：
（１）过点犘（－２，２），圆心为犆（３，０）；
（２）与两坐标轴都相切，且圆心在直线２狓－３狔＋５＝０上；
（３）过点犃（３，５），犅（－３，７），且圆心在狓轴上；
（４）过点犃（－４，０），犅（０，２）和原点．
２．已知圆的内接正方形相对的两个顶点分别是犃（５，６），犆（３，－４），求这个
圆的方程．
３．已知半径为５的圆过点犘（－４，３），且圆心在直线２狓－狔＋１＝０上，求这
个圆的方程．
４．已知△犃犅犆的顶点为犃（－１，５），犅（５，５），犆（６，－２），求△犃犅犆的外接
圆的方程．
５．证明：犕（２，０），犖（１０，０），犘（１１，３），犙（１０，６）四点共圆．
６．设犫为实数，若圆狓２＋狔２＋４狓＋２犫狔＋犫２＝０与狓轴相切，求犫的值．
７．求过两点犃（０，４），犅（４，６），且圆心在直线狓－２狔－２＝０上的圆的标准方程．
５６２
圆与方程 第 章
８．已知线段犃犅的长为２，动点犕到犃，犅两点的距离的平方和为１０，求点犕
的轨迹．
思考·运用 ９．设犪为实数，若点犘（１，１）在圆（狓－犪）２＋（狔＋犪）２＝４的内部，求犪的取
值范围．
１０．画出方程狓－１＝槡１－狔２ 表示的曲线．
１１．求圆狓２＋狔２＋２狓－２狔＋１＝０关于直线狓－狔＋３＝０对称的圆的方程．
１
１２．已知点犕（狓，狔）到两个定点犗（０，０），犃（３，０）的距离之比为 ，问：点犕
２
的坐标应满足什么关系？画出满足条件的点犕所构成的曲线．
１３．如图，长为２犪（犪是正常数）的线段犃犅的两个端点犃，犅分别在互相垂直的
两条直线上滑动，求线段犃犅的中点犕的轨迹．
（第１３题）
探究·拓展 １４．已知点犃（４，０），若犘是圆狓２＋狔２＝４上的一个动点，点犙（狓，狔）是线段
犃犘的中点，求点犙的轨迹方程．
１５．河道上有一座圆拱桥，在正常水位时，拱圈最高点距水面９ｍ，拱圈内水面
宽２２ｍ．一条船在水面以上部分高６．５ｍ，船顶部宽４ｍ，可以通行无阻．近
日水位暴涨了２．７ｍ，为此，必须加重船载，降低船身，才能通过桥洞．试问：
船身应该降低多少？
（第１５题）
５７选择性必修第一册 数学
２．２
直线与圆的位置关系
我们知道，在平面几何中，直线与圆有三种位置关系，即相离、相
切和相交，而圆心到直线的距离犱与圆的半径狉之间的大小关系决定
了直线与圆的位置关系．
相 离 相 切 相 交
犱＞狉 犱＝狉 犱＜狉
在平面直角坐标系中，直线与圆都可以用方程来表示，那么，
● 怎样根据方程来判断直线与圆的位置关系呢？
设直线犾和圆犆的方程分别为
犃狓＋犅狔＋犆＝０，狓２＋狔２＋犇狓＋犈狔＋犉＝０．
如果直线犾与圆犆有公共点，那么公共点的坐标一定是这两个方
程的公共解；反之，如果这两个方程有公共解，那么以公共解为坐标的
点必是直线犾与圆犆的公共点．
直线犾与圆犆的方程联立方程组
烄犃狓＋犅狔＋犆＝０，
烅
烆狓２＋狔２＋犇狓＋犈狔＋犉＝０．
我们有如下结论：
方程组无解 方程组仅有一组解 方程组有两组不同的解
直线与圆有且只有一个
直线与圆没有公共点 直线与圆有两个公共点
公共点
相离 相切 相交
例１ 求直线４狓＋３狔＝４０和圆狓２＋狔２＝１００的公共点的坐
标，并判断它们的位置关系．
５８２
圆与方程 第 章
解 直线４狓＋３狔＝４０和圆狓２＋狔２＝１００的公共点的坐标就
是方程组
烄４狓＋３狔＝４０，
烅
烆狓２＋狔２＝１００
的解．
解这个方程组，得
１４
烄狓＝ ，
烄狓＝１０， ２ ５
烅
１
烅
烆狔＝０， ４８
１ 狔＝ ．
烆２ ５
（ ）
１４ ４８
所以公共点的坐标为（１０，０）， ， ．
５ ５
因为直线４狓＋３狔＝４０和圆狓２＋狔２＝１００有两个公共点，所以
直线和圆相交．
例２ 自点犃（－１，４）作圆（狓－２） ２＋（狔－３） ２＝１的切线犾，求
切线犾的方程．
解法１ 当直线犾垂直于狓轴时，直线犾：狓＝－１与圆相离，不满
足条件．
当直线犾不垂直于狓轴时，可设直线犾的方程为
狔－４＝犽（狓＋１），
即 犽狓－狔＋（犽＋４）＝０．
如图２ ２ １，因为直线与圆相切，所以圆心（２，３）到直线犾的距
离等于圆的半径，从而
狘２犽－３＋（犽＋４）狘
＝１，
槡犽２＋１
３
解得 犽＝０或犽＝－ ．
４
当点犃的坐标为
因此，所求直线犾的方程是狔＝４或３狓＋４狔－１３＝０．
（２，２）或（１，１）时，结
果分别有什么变化？
图２ ２ １
解法２ 当直线犾垂直于狓轴时，直线犾：狓＝－１与圆相离，不满
５９选择性必修第一册 数学
足条件．
当直线犾不垂直于狓轴时，可设直线犾的方程为
狔－４＝犽（狓＋１）．
因为直线犾与圆相切，所以方程组
烄狔－４＝犽（狓＋１），
烅
烆（狓－２） ２＋（狔－３） ２＝１
仅有一组解．
由方程组消去狔，得到关于狓的一元二次方程
（１＋犽２ ）狓２＋（２犽２＋２犽－４）狓＋犽２＋２犽＋４＝０．
依题意，这个一元二次方程有两个相等的实数根，所以判别式
Δ＝ （２犽２＋２犽－４） ２－４（１＋犽２ ）（犽２＋２犽＋４）＝０，
３
解得 犽＝０或犽＝－ ．
４
因此，所求直线犾的方程是狔＝４或３狓＋４狔－１３＝０．
例３ 求直线狓－槡３狔＋２槡３＝０被圆狓２＋狔２＝４截得的弦长．
解法１ 直线狓－槡３狔＋２槡３＝０和圆狓２＋狔２＝４的公共点的
坐标就是方程组
烄狓－槡３狔＋２槡３＝０，
烅
烆狓２＋狔２＝４
的解．
解这个方程组，得
烄狓＝－槡３， 烄狓＝０，
烅 １ 烅 ２
烆狔＝１， 烆狔＝２，
１ ２
所以公共点的坐标为（－槡３，１），（０，２）．
从而知直线狓－槡３狔＋２槡３＝０被圆狓２＋狔２＝４截得的弦长为
槡
（－槡３－０） ２＋（１－２） ２ ＝２．
解法２ 如图２ ２ ２，设直线狓－槡３狔＋２槡３＝０与圆狓２＋狔２＝４
交于犃，犅两点，弦犃犅的中点为犕，则犗犕⊥犃犅（犗为坐标原点），
所以
狘０－０＋２槡３狘
犗犕＝ ＝槡３，
槡
１２＋（－槡３）
２
从而
图２ ２ ２
６０２
圆与方程 第 章
槡
犃犅＝２犃犕＝２槡犗犃２－犗犕２ ＝２ ２２－（槡３） ２ ＝２．
练 习 １分别根据下列条件，判断直线犾与圆犆的位置关系：
（ １） 犾 ：狓 ＋ 狔 － １ ＝ ０ ， 犆 ： 狓２ ＋ 狔２ ＝ ４；
（２）犾：４狓－３狔－８＝０， 犆：狓２＋（狔＋１）２＝１；
（３）犾：狓＋狔－４＝０， 犆：狓２＋狔２＋２狓＝０；
（４）犾：狔＝０， 犆：（狓－１）２＋（狔－１）２＝１．
２．设犪，犫为实数，若直线犪狓＋犫狔＝１与圆狓２＋狔２＝１相交，则点犘（犪，犫）与
圆的位置关系是（ ）．
Ａ．在圆上 Ｂ．在圆外
Ｃ．在圆内 Ｄ．不能确定
３．（１）求过点（１，槡３）且与圆狓２＋狔２＝４相切的直线的方程；
（２）求过原点且与圆（狓－１）２＋（狔－２）２＝１相切的直线的方程；
（３）求与圆狓２＋狔２＝８相切，且斜率为－１的直线的方程．
４．设犪为实数，若直线２狓＋狔＋犪＝０与圆狓２＋狔２－２狓＋４狔＝０没有公共
点，求犪的取值范围．
５．求直线狓＋２狔－３＝０被圆（狓－２）２＋（狔＋１）２＝４截得的弦长．
６．从圆（狓－１）２＋（狔－１）２＝１外一点犘（２，３）向圆引切线，求此切线的长．
７．若一个圆的圆心在直线狔＝－２狓上，且此圆与直线狔＝１－狓相切于点
（２，－１），求此圆的方程．
习题２．２
感受·理解 １．分别根据下列条件，判断直线犾与圆犆的位置关系：
（１）犾：狓＋狔＋４＝０， 犆：狓２＋狔２＝２；
（２）犾：３狓－４狔＋４＝０， 犆：（狓－２）２＋狔２＝４；
（３）犾：２狓＋狔－１＝０， 犆：狓２＋（狔－２）２＝１．
２．过点犘（－３，－４）作直线犾，当犾的斜率为何值时：
（１）直线犾将圆（狓－１）２＋（狔＋２）２＝４平分？
（２）直线犾与圆（狓－１）２＋（狔＋２）２＝４相切？
（３）直线犾与圆（狓－１）２＋（狔＋２）２＝４相交，且所截得的弦长为２？
３．已知过点犃（－１，－１）的直线犾与圆狓２＋狔２－２狓＋６狔＋６＝０相交，求直
线犾的斜率的取值范围．
４．求半径为槡１３，且与直线２狓＋３狔－１０＝０相切于点犘（２，２）的圆的方程．
５．若一个圆的圆心在狔轴上，且此圆与直线犾：４狓－３狔＋１２＝０，直线犾：３狓－
１ ２
４狔－１２＝０都相切，求此圆的方程．
６．若一个圆的圆心在直线３狓－狔＝０上，此圆与狓轴相切，且被直线狓－狔＝
０截得的弦长为２槡７，求此圆的方程．
６１选择性必修第一册 数学
思考·运用 ７．如图，圆狓２＋狔２＝８内有一点犘（－１，２），犃犅为过点犘 且倾斜角为α
０ ０
的弦．
（第７题）
（１）当α＝１３５°时，求弦犃犅的长；
（２）当弦犃犅被点犘 平分时，求直线犃犅的方程．
０
８．已知直线犾经过点犘（３，－１），且被圆狓２＋狔２－８狓－２狔＋１２＝０截得的
０
弦长为４，求犾的方程．
９．设犽为实数，证明：无论犽取何值，直线犾：犽狓－狔－４犽＋３＝０与圆犆：
狓２＋狔２－６狓－８狔＋２１＝０都有两个交点．
１０．已知圆犆的方程是狓２＋狔２＝狉２，求证：经过圆犆上一点犕（狓，狔）的切线
０ ０
方程是狓狓＋狔狔＝狉２．
０ ０
１１．设犫为实数，已知圆狓２＋狔２＝４，直线犾：狔＝狓＋犫．当犫为何值时，圆狓２＋
狔２＝４上恰有３个点到直线犾的距离都等于１？
探究·拓展 １２．对于圆犆：狓２＋狔２＝狉２，直线犾：犪狓＋犫狔＝狉２，分别根据下列条件，判断直
线犾与圆犆的位置关系：
（１）点犘（犪，犫）在圆犆上；
（２）点犘（犪，犫）在圆犆外．
６２２
圆与方程 第 章
２．３
圆与圆的位置关系
我们知道，在平面几何中，圆与圆的位置关系有：外离、外切、相
交、内切和内含．这五种位置关系可以通过下面的步骤来判断：
第一步 计算两圆的半径狉，狉；
１ ２
第二步 计算两圆的圆心距犱；
第三步 根据犱与狉，狉之间的关系，判断两圆的位置关系．
１ ２
外 离 内 含 外 切 内 切 相 交
犱＞狉＋狉 犱＜｜狉－狉｜ 犱＝狉＋狉 犱＝｜狉－狉｜ ｜狉－狉｜＜犱＜狉＋狉
１ ２ １ ２ １ ２ １ ２ １ ２ １ ２
在平面直角坐标系中，圆可以用方程来表示，那么，
● 怎样根据方程来判断圆与圆的位置关系呢？
设圆犆和圆犆的方程分别为
１ ２
狓２＋狔２＋犇狓＋犈狔＋犉 ＝０，
１ １ １
狓２＋狔２＋犇狓＋犈狔＋犉 ＝０．
２ ２ ２
如果圆犆和圆犆有公共点，那么公共点的坐标一定是这两个方
１ ２
程的公共解；反之，这两个方程有公共解，那么，以公共解为坐标的点
必是圆犆和圆犆的公共点．
１ ２
圆犆和圆犆的方程联立方程组
１ ２
烄狓２＋狔２＋犇狓＋犈狔＋犉 ＝０，
１ １ １
烅
烆狓２＋狔２＋犇狓＋犈狔＋犉 ＝０．
２ ２ ２
我们有如下结论：
方程组无解 方程组仅有一组解 方程组有两组不同的解
两个圆没有公共点 两个圆有且只有一个公共点 两个圆有两个公共点
外离 内含 外切 内切 相交
例１ 判断下列两个圆的位置关系：
（１）（狓＋２） ２＋（狔－２） ２＝１与（狓－２） ２＋（狔－５） ２＝１６；
（２）狓２＋狔２－２狓－３＝０与狓２＋狔２－４狓＋２狔＋３＝０．
解 （１）根据题意得，两个圆的半径分别为狉＝１和狉＝４，两个
１ ２
圆的圆心距
６３选择性必修第一册 数学
槡
犱＝ ［２－（－２）］ ２＋（５－２） ２ ＝５．
因为 犱＝狉＋狉，
１ ２
所以两个圆外切．
（２）方法１ 将两个圆的方程联立方程组
烄狓２＋狔２－２狓－３＝０， ①
烅
烆狓２＋狔２－４狓＋２狔＋３＝０． ②
二元一次方程③
①－②，得 狓－狔－３＝０． ③
表示的直线与两个圆 由③，得 狔＝狓－３．
之间有怎样的关系？ 代入①式，并整理，得
能说明理由吗？
狓２－４狓＋３＝０，
解得 狓＝１，狓＝３．
１ ２
从而狔＝－２，狔＝０，即方程组有两组不同的解，所以两个圆
１ ２
相交．
方法２ 将两个圆的方程都化为标准方程，得
（狓－１） ２＋狔２＝４，（狓－２） ２＋（狔＋１） ２＝２．
那么两个圆的半径分别为狉＝２和狉＝槡２，两个圆的圆心距
１ ２
槡
犱＝ （１－２） ２＋［０－（－１）］ ２ ＝槡２．
因为 狘狉－狉狘＜犱＜狉＋狉，
１ ２ １ ２
所以两个圆相交．
例２ 求过点犃（０，６）且与圆犆：狓２＋狔２＋１０狓＋１０狔＝０相切
于原点的圆的方程．
分析 如图２ ３ １，所求圆经过原点和犃（０，６），且圆心应在已
知圆的圆心与原点的连线上．根据这三个条件可确定圆的方程．
图２ ３ １
解 将圆犆的方程化为标准方程，得
（狓＋５） ２＋（狔＋５） ２＝５０，
６４２
圆与方程 第 章
则圆心为犆（－５，－５），半径为５槡２．
所以经过此圆心和原点的直线的方程为狓－狔＝０．
设所求圆的方程为
（狓－犪） ２＋（狔－犫） ２＝狉２．
由题意知，犗（０，０），犃（０，６）在所求圆上，且圆心犕（犪，犫）在直线
狓－狔＝０上，则有
烄
（０－犪） ２＋（０－犫） ２＝狉２ ，
烅（０－犪） ２＋（６－犫） ２＝狉２ ，
烆犪－犫＝０．
烄
犪＝３，
解得 犫＝３，
烅
烆狉＝３槡２．
本题还有其他解
因此，所求圆的方程是
法吗？
（狓－３） ２＋（狔－３） ２＝１８．
练 习 １．分别根据下列条件，判断两个圆的位置关系：
（１）（狓－３）２＋（狔＋２）２＝１与（狓－７）２＋（狔－１）２＝３６；
（２）狓２＋狔２－４狓＋２狔＝０与狓２＋狔２－２狓－２狔＝０．
２．设犿为实数，若圆狓２＋狔２＝犿与圆狓２＋狔２＋６狓－８狔－１１＝０相交，求犿
的取值范围．
３．两圆犆：狓２＋狔２＝１与犆：（狓＋３）２＋狔２＝４的公切线有几条？
１ ２
４．求过点犃（１，－１）且与圆犆：狓２＋狔２＝１００相切于点犅（８，６）的圆的方程．
５．已知圆犆：狓２＋狔２＝１，圆犆：狓２＋狔２－２狓－２狔＋１＝０，试求这两个圆
１ ２
的公共弦所在直线的方程．
习题２．３
感受·理解 １．分别根据下列条件，判断两个圆的位置关系：
（１）狓２＋狔２－１０狓－１０狔＝０和狓２＋狔２＋６狓＋２狔－４０＝０；
（２）狓２＋狔２－６狓＋４狔＋１２＝０和狓２＋狔２－１４狓－２狔＋１４＝０．
２．设犪为正实数，若圆（狓－犪）２＋狔２＝１与圆狓２＋狔２＝２５没有公共点，求
犪的取值范围．
３已知以犆（－４，３）为圆心的圆与圆狓２＋狔２＝１相切，求圆犆的方程．
４．若一个圆的圆心在直线狓－狔－４＝０上，且此圆经过圆狓２＋狔２＋６狓－４＝
０与圆狓２＋狔２＋６狔－２８＝０的交点，求此圆的方程．
５．若一个圆经过点犕（３，－１），且与圆狓２＋狔２＋２狓－６狔＋５＝０相切于点
犖（１，２），求此圆的方程．
６５选择性必修第一册 数学
思考·运用 ６．求圆狓２＋狔２＝９与圆狓２＋狔２－４狓＋２狔－３＝０的公共弦的长．
７．若一个圆经过点犕（２，－２）及圆狓２＋狔２－６狓＝０与圆狓２＋狔２＝４的交点，
求此圆的方程．
探究·拓展 ８．设犪，犫为实数，已知圆犘：狓２＋狔２＝９，点犙（犪，犫）在圆犘外，以线段犘犙为
直径作圆犕，与圆犘相交于犃，犅两点．
（１）试分别确定直线犙犃，犙犅与圆犘的位置关系．
（２）当犙犃＝犙犅＝４时，点犙在什么曲线上运动？
（３）当犪＝－２，犫＝－３时，求直线犃犅的方程．
６６２
圆与方程 第 章
问题与探究 圆的切线与切点弦
若犘（狓，狔）是圆犗：狓２＋狔２＝狉２ 上一点，则圆犗的过点犘的
０ ０ ０ ０
切线方程是狓狓＋狔狔＝狉２．
０ ０
事实上，因为点犘（狓，狔）在圆犗：狓２＋狔２＝狉２ 上，所以狓２＋
０ ０ ０ ０
狔２＝狉２ ，即狓·狓＋狔·狔＝狉２ ，从而点犘在直线狓狓＋狔狔＝狉２ 上．
０ ０ ０ ０ ０ ０ ０ ０
又因为圆心犗到直线狓狓＋狔狔＝狉２ 的距离
０ ０
狉２
犱＝ ＝狉，
槡狓２＋狔２
０ ０
尝试用其他方法
所以狓狓＋狔狔＝狉２ 是圆犗的过点犘的切线方程．
证明狓狓＋狔狔＝狉２是 ０ ０ ０
０ ０ 当点犘（狓，狔）在圆犗外时，方程狓狓＋狔狔＝狉２ 表示怎样的直
圆犗的过点犘 的切 ０ ０ ０ ０ ０
０ 线呢？
线方程．
如图，过犘（狓，狔）作圆犗的两条切线，切点分别为犃，犅．
０ ０ ０
设犃（狓，狔），犅（狓，狔），则直线犘犃的方程为
１ １ ２ ２ ０
狓狓＋狔狔＝狉２．
１ １
因为犘（狓，狔）在直线犘犃上，所以
０ ０ ０ ０
狓狓＋狔狔＝狉２ ，
１ ０ １ ０
故（狓，狔）满足方程
１ １
狓狓＋狔狔＝狉２ ，
０ ０
即点犃在直线狓狓＋狔狔＝狉２ 上．
０ ０
同理点犅在直线狓狓＋狔狔＝狉２ 上．
０ ０
所以狓狓＋狔狔＝狉２ 是直线犃犅的方程，即切点弦所在直线的
０ ０
方程．
探究：当点犘（狓，狔）在圆犗内（异于犗）时，方程狓狓＋狔狔＝
０ ０ ０ ０ ０
狉２ 表示怎样的直线呢？
６７选择性必修第一册 数学
阅 读
数学问题（节选）
只要一门科学分支能提出大量的问题，它就充满着生命力；而问
题缺乏则预示着这门科学独立发展的衰亡或中止．正如人类的每项
事业都追求着确定的目标一样，数学研究也需要自己的问题．正是通
过这些问题的解决，研究者锻炼其钢铁意志，发现新方法和新观点，
达到更为广阔和自由的境界．
一个数学问题应该是困难的，但却不应该是完全不可解决而致
使我们白费力气的．在通向那隐藏的真理的曲折道路上，它应该是指
希尔伯特 （Ｄ．
引我们前进的一盏明灯，并最终以成功的喜悦作为对我们的报偿．
Ｈｉｌｂｅｒｔ，１８６２—１９４３），
在解决一个数学问题时，如果我们没有获得成功，原因常常在于
德国数学家，在几何
和数学基础方面有影
我们没有认识到更一般的观点，即眼下要解决的问题不过是一连串
响深远的研究． 有关问题中的一个环节．采取这样的观点之后，不仅使我们所研究的
问题更容易得到解决，同时还会获得一种能应用于有关问题的普遍
方法．这种寻求一般方法的途径肯定是最行得通也是最可靠的，因为
手中没有明确的问题而去寻求一般方法的人，他们的工作多半是徒
劳无益的．
在讨论数学问题时，我们相信特殊化比一般化起着更为重要的
作用．可能在大多数场合，我们寻找一个问题的答案而未能成功的原
因在于这样的事实，即有一些比手头的问题更简单、更容易的问题没
有完全解决或是完全没有解决．这时，一切都有赖于找出这些比较容
易的问题，并使用尽可能完善的方法和能够推广的概念来解决它们．
这种方法是克服数学困难的最重要的杠杆之一，我认为人们是经常
使用它的，虽然也许并不自觉．
有时会碰到这样的情况：我们是在不充分的前提下或不正确的
意义上寻求问题的解答，因此不能获得成功．于是就会产生这样的任
务：证明在所给的前提和所考虑的意义下原来的问题是不可能解
决的．
说明：本文是德国数学家希尔伯特在１９００年巴黎国际数学家代表会上的
讲演的节选．在这次大会上，希尔伯特提出了２３个数学问题，对２０世纪的数学
发展产生了较大的影响．
６８２
圆与方程 第 章
本章回顾
本 章 概 览
本章再一次借助平面直角坐标系，运用坐标法，研究了圆的有关
知识．学习本章时，应该进一步体会用坐标法研究问题的一般思路和
基本方法，也就是在明确了圆的定义，即圆上的点到圆心的距离为定
值后，通过建立直角坐标系，将圆转化为方程，进而通过圆的方程等
代数方法来研究点与圆、直线与圆、圆与圆之间的位置关系．
本章以圆为载体，再一次展示了坐标法这一研究几何曲线的重
要数学方法，即通过坐标系，把圆与方程联系起来，沟通了圆与方程
之间的联系，体现了数形结合的重要数学思想．
圆的标准方程和一般方程都含有三个参变量（标准方程中为犪，
犫，狉；一般方程中为犇，犈，犉），也就是说，从解方程的角度看，要确定
一个圆的方程，需要三个独立的条件，这与不共线的三点确定一个圆
是一致的．
复习题
感受·理解 １．已知圆经过点犘（１，１）和坐标原点，且圆心在直线２狓＋３狔＋１＝０上，求圆
的方程．
２．已知圆经过三点犃（１，１２），犅（７，１０），犆（－９，２），求圆的方程．
６９选择性必修第一册 数学
３．已知直线３狓－４狔＋１２＝０与两坐标轴分别交于点犃，犅，求以线段犃犅为
直径的圆的方程．
４．求圆狓２＋狔２－４狓＋４狔＋４＝０被直线狓－狔－５＝０所截得的弦长．
５．已知一直线与圆犆：狓２＋（狔＋５）２＝３相切，且在狓轴、狔轴上的截距相等，
求此直线的方程．
６．已知圆犆的半径为１，圆心在第一象限，若圆犆与狔轴相切，与狓轴相交于
点犃，犅，且犃犅＝槡３，求圆犆的方程．
７．判断两个圆狓２＋狔２＋狓－２狔－２０＝０与狓２＋狔２＝２５的位置关系．
８．若一个圆过点犘（４，－１），且与圆犆：狓２＋狔２＋２狓－６狔＋５＝０相切于点
犕（１，２），求此圆的方程．
９．河北省赵县的赵州桥，是世界上现存最古老的石拱桥之一．赵州桥的跨度约
为３７．４ｍ，圆拱高约为７．２ｍ．试建立适当的直角坐标系，求出这个圆拱所
在的圆的方程．
１０．已知圆犗：狓２＋狔２＝１和定点犃（４，０），犘为圆犗外一点，直线犘犙与圆犗
相切于点犙．若犘犙＝２犘犃，求点犘的轨迹方程．
思考·运用 １１．已知犕（１，０）是圆犆：狓２＋狔２－４狓－２狔＝０内一点，求过点犕的最短弦所
在直线的方程．
１２．设犽为实数，若直线狔＝犽狓＋３与圆（狓－２）２＋（狔－３）２＝４相交于犕，犖
两点，且犕犖≥２槡３，求犽的取值范围．
１３．光线沿直线３狓＋４狔＋６＝０射入，经过狓轴反射后，反射光线与以点（２，８）
为圆心的圆犆相切，求圆犆的方程．
１４．已知两圆狓２＋狔２＝１０和（狓－１）２＋（狔－３）２＝２０相交于犃，犅两点，求
直线犃犅的方程．
１５．设狉为正实数，若集合犕＝｛（狓，狔）狘狓２＋狔２≤４｝，犖＝｛（狓，狔）狘（狓－
１）２＋（狔－１）２≤狉２｝．当犕∩犖＝犖时，求狉的取值范围．
１６．设犫为实数，若直线狔＝狓＋犫与曲线狓＝槡１－狔２ 恰有一个公共点，求犫的
取值范围．
探究·拓展 １７．已知圆犆：狓２＋狔２－２狓＋４狔－４＝０，是否存在斜率为１的直线犾，使以犾被
圆犆截得的弦犃犅为直径的圆过原点？若存在，求出直线犾的方程；若不存
在，说明理由．
１８．已知直线犾：狓＝－２和圆犆：（狓－３）２＋狔２＝１．若圆犕与直线犾相切，与圆
犆外切，求圆犕的圆心犕的轨迹方程．
７０２
圆与方程 第 章
本章测试
一、填空题 １圆心为点（－１，１），半径为３的圆的方程为 ．
２圆狓２＋狔２－２狓＋４狔＝０的面积为 ．
３经过两点（３，５）和（－３，７），且圆心在狓轴上的圆的方程为 ．
４圆狓２＋狔２－２狓＋２狔＋１＝０关于狓轴对称的圆的方程为 ．
５设犿为实数，若方程狓２＋狔２－２狓＋４狔＋犿＝０表示圆，则犿的取值范围为
．
６圆狓２＋狔２－２狓－２狔＋１＝０上的点到直线狓－狔＝２的距离的最大值为
．
二、选择题 ７已知圆的内接正方形的一条对角线上的两个顶点的坐标分别是（５，６），
（３，－４），则这个圆的方程为（ ）．
Ａ．狓２＋狔２＋４狓－２狔＋７＝０ Ｂ．狓２＋狔２－８狓－２狔－９＝０
Ｃ．狓２＋狔２＋８狓＋２狔－６＝０ Ｄ．狓２＋狔２－４狓＋２狔－５＝０
８过圆狓２＋狔２＝５上一点犕（１，－２）作圆的切线犾，则犾的方程为（ ）．
Ａ．狓＋２狔－３＝０ Ｂ．狓－２狔－５＝０
Ｃ．２狓－狔－５＝０ Ｄ．２狓＋狔－５＝０
９圆犗：狓２＋狔２－２狓＝０与圆犗：狓２＋狔２＋４狔＝０的位置关系为（ ）．
１ ２
Ａ．外离 Ｂ．外切 Ｃ．相交 Ｄ．内切
１０若圆（狓＋２槡３）２＋（狔－２槡７）２＝狉２ 与狓轴相切，则这个圆截狔轴所得的弦
长为（ ）．
Ａ．２槡７ Ｂ．４槡３ Ｃ．６ Ｄ．８
三、解答题 １１若圆犆过两点犃（０，４），犅（４，６），且圆心在直线狓－２狔－２＝０上，求圆犆
的标准方程．
１２设犿为实数，直线狔＝犿（狓－１）和圆犆：狓２＋狔２－狔＝０相交于犘，犙两
槡２
点，若犘犙＝ ，求犿的值．
２
１３若圆犆的圆心在直线３狓＋２狔＝０上，且圆犆与狓轴的交点分别为（－２，
０），（６，０），求圆犆的方程．
１４．已知直线犾：２狓－狔－３＝０，犾：狓－２狔＋３＝０，若圆犆的圆心在狓轴上，
１ ２
且与直线犾，犾都相切，求圆犆的方程．
１ ２
１５．设犪为实数，若直线犾与圆犆：狓２＋狔２＋２狓－４狔＋犪＝０相交于犃，犅两点，
弦犃犅的中点为犕（０，１），求犪的取值范围及直线犾的方程．
７１第３章 圆锥曲线与方程
书书书解析几何彻底改变了数学的研究方法．
Ｍ．克莱因
在必修课程的“数学建模与数学探究”中，我们知道，用一个垂直
于圆锥的轴的平面截圆锥，截面与圆锥面的交线是一个圆．改变平面
与圆锥轴的夹角，会得到不同的截面，截面与圆锥面的交线可以是椭
圆、双曲线、抛物线，因此，我们通常把椭圆、双曲线和抛物线称为圆
锥曲线．
对于某一圆锥曲线，例如椭圆，也可以看成满足某种条件的点的
集合．在平面直角坐标系中，当点用坐标（狓，狔）表示后，椭圆便可用一
个方程犉（狓，狔）＝０表示，进而通过对方程的研究来研究椭圆．
● 怎样建立圆锥曲线的方程？
● 如何通过方程来研究圆锥曲线的性质？
７４３
圆锥曲线与方程 第 章
３．１
椭 圆
太阳系中行星的运动轨迹是椭圆．用点光源照射一个放在地面
上的球，适当调整点光源的位置，球在地面上影子的外轮廓线可以是
椭圆．
在画板上取两个定点犉和犉，把一条长度为定值且大于犉犉的
１ ２ １ ２
细绳的两端固定在犉，犉两点（图３ １ １），用笔尖把细绳拉紧，并
１ ２
使笔尖在画板上移动一周，画出的图形是一个椭圆．
图３ １ １
平面内到两个定点犉，犉的距离之和等于常数（大于犉犉）
１ ２ １ ２
的点的轨迹叫作椭圆（ｅｌｌｉｐｓｅ），两个定点犉，犉叫作椭圆的焦点
１ ２
（ｆｏｃｕｓ），两个焦点间的距离叫作椭圆的焦距（ｆｏｃａｌｄｉｓｔａｎｃｅ）．
类似于直线和圆，对于椭圆的研究，我们自然关注下面的问题：
● 怎样建立椭圆的方程？
● 如何根据椭圆的方程研究椭圆的性质？
３．１．１ 椭圆的标准方程
设椭圆犆的两个焦点分别为犉，犉，它们之间的距离为２犮，椭圆
１ ２
上任意一点到犉，犉 的距离之和为２犪（２犪＞２犮）．
１ ２
● 怎样求椭圆犆的方程？
以犉，犉 所在的直线为狓轴，线段犉犉 的垂直平分线为狔轴，
１ ２ １ ２
建立直角坐标系狓犗狔（图３ １ ２），则犉，犉 的坐标分别为（－犮，
１ ２
０），（犮，０）．
７５选择性必修第一册 数学
图３ １ ２
设犘（狓，狔）为椭圆上任意一点，根据椭圆的定义知
犘犉＋犘犉 ＝２犪，
１ ２
即
槡（狓＋犮） ２＋狔２＋槡（狓－犮） ２＋狔２ ＝２犪．
将这个方程移项后两边平方，得
（狓＋犮） ２＋狔２＝４犪２－４犪槡（狓－犮） ２＋狔２＋（狓－犮） ２＋狔２ ，
整理得
犪２－犮狓＝犪槡（狓－犮） ２＋狔２．
两边再平方，得
犪４－２犪２犮狓＋犮２狓２＝犪２狓２－２犪２犮狓＋犪２犮２＋犪２狔２ ，
整理得
（犪２－犮２ ）狓２＋犪２狔２＝犪２ （犪２－犮２ ）．
因为犪２－犮２＞０，所以可设犪２－犮２＝犫２ （犫＞０），于是得
犫２狓２＋犪２狔２＝犪２犫２．
两边同除以犪２犫２ ，得
狓２ 狔２
＋ ＝１．
犪２ 犫２
由上述过程可知，椭圆上的点的坐标（狓，狔）都满足上面这个方
程．可以证明以上面这个方程的解为坐标的点（狓，狔）都在已知的椭
圆上．
这样，焦点为犉 （－犮，０），犉（犮，０）的椭圆的方程为
１ ２
狓２ 狔２
＋ ＝１（犪＞犫＞０）．
犪２ 犫２
类似地，在图３ １ ３所示的直角坐标系中，我们可以得到焦点为
犉（０，－犮），犉（０，犮）的椭圆的方程为
１ ２
狔２ 狓２
＋ ＝１（犪＞犫＞０）．
犪２ 犫２
７６３
圆锥曲线与方程 第 章
以上两种方程都叫作椭圆的标准方程（ｓｔａｎｄａｒｄｅｑｕａｔｉｏｎｏｆ
ｅｌｌｉｐｓｅ），其中犫２＝犪２－犮２．
图３ １ ３
思 考 怎样推导焦点在狔轴上的椭圆的标准方程？
例１ 已知椭圆的两个焦点分别是犉（－３，０），犉（３，０），椭
１ ２
圆上一点犘到两个焦点的距离之和为１０，求椭圆的标准方程．
解 因为椭圆的焦点在狓轴上，所以设椭圆的标准方程为
狓２ 狔２
＋ ＝１（犪＞犫＞０）．
犪２ 犫２
由已知得２犪＝１０，即犪＝５．
又因为椭圆的两个焦点为犉（－３，０），犉（３，０），所以犮＝３，
１ ２
从而
犫２＝犪２－犮２＝５２－３２＝１６．
因此，所求椭圆的标准方程为
狓２ 狔２
＋ ＝１．
２５ １６
例２ 已知椭圆的两个焦点坐标分别是（－２槡２，０），（２槡２，
０），且该椭圆经过点（２槡２，－２），求椭圆的标准方程．
解法１ 因为椭圆的焦点在狓轴上，所以设椭圆的标准方程为
狓２ 狔２
＋ ＝１（犪＞犫＞０）．
犪２ 犫２
因为椭圆的两个焦点坐标分别是（－２槡２，０），（２槡２，０），且点
（２槡２，－２）在椭圆上，所以由椭圆的定义知
槡 槡
２犪＝ （２槡２＋２槡２） ２＋（－２－０） ２＋ （２槡２－２槡２） ２＋（－２－０） ２
＝８，
７７选择性必修第一册 数学
所以犪＝４．
又因为犮＝２槡２，所以犫２＝犪２－犮２＝１６－８＝８．
因此，所求椭圆的标准方程为
狓２ 狔２
＋ ＝１．
１６ ８
解法２ 因为椭圆的焦点在狓轴上，所以设椭圆的标准方程为
狓２ 狔２
＋ ＝１（犪＞犫＞０）．
犪２ 犫２
因为椭圆的两个焦点坐标分别是（－２槡２，０），（２槡２，０），
所以犮＝２槡２，
从而 犪２－犫２＝犮２＝８． ①
又因为点（２槡２，－２）在椭圆上，
８ ４
所以 ＋ ＝１． ②
犪２ 犫２
由①②解得犪２＝１６，犫２＝８．
因此，所求椭圆的标准方程为
狓２ 狔２
＋ ＝１．
１６ ８
例３ 将圆狓２＋狔２＝４上各点的横坐标保持不变，纵坐标变为
原来的一半，求所得曲线的方程，并说明它是什么曲线．
解 设所得曲线上任一点的坐标为（狓，狔），圆狓２＋狔２＝４上的对
应点的坐标为（狓′，狔′）．
由题意可得
烄狓′＝狓，
烅
烆狔′＝２狔．
因为 狓′２＋狔′２＝４，
所以 狓２＋４狔２＝４，
狓２
即 ＋狔２＝１．
４
这就是所得曲线的方程，该曲线是一个椭圆．
狓２
例４ 求直线槡３狓－２狔－２＝０和椭圆 ＋狔２＝１的公共点的
４
坐标．
７８３
圆锥曲线与方程 第 章
狓２
解 直线槡３狓－２狔－２＝０和椭圆 ＋狔２＝１的公共点的坐标
４
就是方程组
烄槡３狓－２狔－２＝０，
烅狓２
＋狔２＝１
烆４
的解．
解这个方程组，得
烄狓＝槡３，
烄狓＝０， ２
烅
１
烅 １
烆狔＝－１， 狔＝ ．
１ 烆２ ２
（ １）
因此，所求公共点的坐标为（０，－１）， 槡３， ．
２
练 习 １．在△犃犅犆中，若犅犆的长为６，周长为１６，则顶点犃在怎样的曲线上运动？
２．下列方程中哪些是椭圆的方程？若是，指出焦点在哪条坐标轴上．
狓２ 狔２ 狔２
（１） ＋ ＝１； （２）狓２＋ ＝１；
４ ３ ２
（３）２狓２＋２狔２＝１； （４）２狓２＋３狔２＝６．
３．求适合下列条件的椭圆的标准方程：
（１）犪＝４，犫＝３，焦点在狓轴上；
（２）犫＝１，犮＝槡１５，焦点在狔轴上；
（３）犪＝１０，犮＝６．
４．求适合下列条件的椭圆的标准方程：
（１）焦点为犉（－３，０），犉（３，０），且经过点犘（０，２）；
１ ２ （ ）
５ ３
（２）焦点为犉（－２，０），犉（２，０），且经过点犘 ，－ ；
１ ２ ２ ２
（３）经过点犘（－４，０），犙（２，槡３）．
５．求下列椭圆的焦点坐标：
狓２ 狔２ 狓２ 狔２
（１） ＋ ＝１； （２） ＋ ＝１；
９ ４ ３ ９
（３）１６狓２＋７狔２＝１１２； （４）狓２＋２狔２＝１．
狓２ 狔２
６．已知椭圆 ＋ ＝１上一点犘到左焦点的距离为７，求点犘到右焦点
１００ ３６
的距离．
狓２
７．判断直线狓＋２狔－２槡２＝０与椭圆 ＋狔２＝１的公共点的个数．
４
７９选择性必修第一册 数学
习题３．１（１）
感受·理解 １．在△犃犅犆中，犅（－３，０），犆（３，０），且犃犅＋犃犆＝２犅犆．
（１）求证：点犃在一个椭圆上运动；
（２）写出这个椭圆的焦点坐标．
２．求下列椭圆的焦点坐标：
狓２ 狓２ 狔２
（１） ＋狔２＝１； （２） ＋ ＝１；
９ ３ １２
（３）狓２＋２狔２＝４； （４）１６狓２＋９狔２＝１４４．
３．求适合下列条件的椭圆的标准方程：
（１）犪＝槡６，犫＝１，焦点在狓轴上；
（２）焦点为犉（０，－３），犉（０，３），且犪＝５；
１ ２
（３）一个焦点为犉（２槡３，０），犪＝２犮；
（４）焦点在狓轴上，焦距是４，且经过点犕（３，－２槡６）．
４．求适合下列条件的椭圆的标准方程：
（ ）
狓２ ３
（１）与椭圆 ＋狔２＝１有相同的焦点，且经过点 １， ；
２ ２
（ ） （ ）
槡２ 槡３
（２）经过犃２，－ ，犅－槡２，－ 两点．
２ ２
５．已知一个贮油罐横截面的外轮廓线是一个椭圆，它的焦距为２．４ｍ，外轮廓
线上的点到两个焦点距离的和为３ｍ，求这个椭圆的标准方程．
狓２ 狔２
６．若犉，犉 是椭圆 ＋ ＝１的两个焦点，过犉作直线与椭圆交于犃，犅两
１ ２ １６ ９ １
点，试求△犃犅犉 的周长．
２
狓２ 狔２
７．已知椭圆 ＋ ＝１，直线狓－狔＋１＝０与该椭圆交于犃，犅两点，求线
６ ３
段犃犅中点的坐标和线段犃犅的长．
狓２ 狔２
８．设犿为实数，若方程 ＋ ＝１表示焦点在狔轴上的椭圆，求犿的
犿－１ ２－犿
取值范围．
狓２ 狔２
９．已知椭圆 ＋ ＝１上一点犘的横坐标是２，求：
２５ ９
（１）点犘到椭圆左焦点的距离犘犉；
１
（２）点犘到椭圆右焦点的距离犘犉．
２
思考·运用
１０．已知圆犉：（狓＋１）２＋狔２＝１，圆犉：（狓－１）２＋狔２＝９．若动圆犆与圆犉
１ ２ １
外切，且与圆犉内切，求动圆的圆心犆的轨迹方程．
２
１
１１．已知动点犘到点犉（１，０）的距离是到直线狓＝９的距离的 ，试判断点犘
３
的轨迹是什么图形．
狓２ 狔２
１２．将椭圆 ＋ ＝１上各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的２倍，求所
４ １６
８０３
圆锥曲线与方程 第 章
得曲线的方程，并说明它是什么曲线．
１３．已知点犃，犅的坐标分别为（－２，０），（２，０），直线犃犕，犅犕相交于点犕，
３
且它们的斜率之积是－ ，求点犕的轨迹方程．
４
１４．船上两根高７．５ｍ的桅杆相距１５ｍ，一条３０ｍ长的绳子两端系在桅杆的
顶上，并按如图所示的方式绷紧．假设绳子位于两根桅杆所在的平面内，求
绳子与甲板接触点犘到桅杆犃犅的距离（精确到０．０１ｍ）．
（第１４题）
探究·拓展 狓２ 狔２
１５．已知 ０＋ ０＝１（犪＞犫＞０），犮＝槡犪２－犫２．记犘（狓，狔），犉（－犮，０），
犪２ 犫２ ０ ０ １
犉（犮，０），求证：犘犉＋犘犉 ＝２犪．
２ １ ２
１６．（操作题）准备一张圆形纸片，在圆内任取不同于圆心的一点犉，将纸片折
起，使圆周过点犉（如图），然后将纸片展开，就得到一条折痕犾（为了看清楚，
可把直线犾画出来）．这样继续折下去，得到若干折痕．观察这些折痕围成的
轮廓，它是什么曲线？
（第１６题）
３．１．２ 椭圆的几何性质
在建立了椭圆的标准方程之后，就可以利用方程来研究椭圆的
几何性质．那么，
狓２ 狔２
利用方程研究曲 ● 如何利用椭圆的方程 ＋ ＝１（犪＞犫＞０）来研究椭圆的
犪２ 犫２
线的几何性质是解析
性质？
几何的基本思想．
１．范围
狓２ 狔２
由方程 ＋ ＝１可知，椭圆上任意一点的坐标（狓，狔）都满足
犪２ 犫２
８１选择性必修第一册 数学
狓２ 狔２
＝１－ ≤１，
犪２ 犫２
即狓２≤犪２ ，所以 －犪≤狓≤犪．
同理可得 －犫≤狔≤犫．
这说明椭圆位于直线狓＝±犪和狔＝±犫所围成的矩形内（图
３ １ ４）．
图３ １ ４
２．对称性
在椭圆的标准方程中，把狓换成－狓，方程并不改变，这说明当点
犘（狓，狔）在椭圆上时，它关于狔轴的对称点犘′（－狓，狔）也在椭圆上，
所以椭圆关于狔轴对称．
同理，把狔换成－狔，或同时把狓，狔分别换成－狓，－狔，方程都不
变，所以椭圆关于狓轴和原点都是对称的．因此，坐标轴是椭圆的对
称轴，原点是椭圆的对称中心．椭圆的对称中心叫作椭圆的中心．
３．顶点
在椭圆的标准方程中，令狓＝０，得狔＝±犫，这说明点犅（０，－犫），
１
犅（０，犫）是椭圆与狔轴的两个交点．同理，点犃（－犪，０），犃（犪，０）是
２ １ ２
椭圆与狓轴的两个交点．这四个点是对称轴与椭圆的交点，称为椭圆
的顶点．
线段犃犃，犅犅 分别叫作椭圆的长轴和短轴，它们的长分别等
１ ２ １ ２
于２犪和２犫，犪和犫分别叫作椭圆的长半轴长和短半轴长．
思 考 已知椭圆的长轴犃犃 和短轴犅犅，怎样确定椭圆焦点的位置？
１ ２ １ ２
４．离心率
圆的形状都是相同的，而椭圆却有些比较“扁”，有些比较“圆”．
用什么样的量来刻画椭圆的“扁”的程度呢？
探 究 （１）将细绳的两端点固定在焦点处，用铅笔笔尖拉紧绳子，在平
面上画一个椭圆，然后调整绳子的长度（分别加长、缩短），观察椭圆
的“扁”的程度的变化规律；
８２３
圆锥曲线与方程 第 章
（２）细绳的长度固定不变，将焦距分别增大和缩小，观察椭圆的
“扁”的程度的变化规律．
犮
从上面的探索过程可以发现，当 越接近于０时，椭圆越接近于
犪
犮 犮
圆；当 越接近于１时，椭圆越扁．也就是说，随着 的增大，椭圆越来
犪 犪
越扁．
由犪２＝犫２＋犮２ ，得
犫
＝
槡
１－
犮２
．当
犮
越接近于０时，
犫
越接近于
犪 犪２ 犪 犪
犮 犫
１，此时椭圆越接近于圆；当 越接近于１时， 越接近于０，此时椭圆
犪 犪
犮
越扁．也就是说，随着 的增大，椭圆越来越扁．
犪
犮
焦距与长轴长的比 叫作椭圆的离心率（ｅｃｃｅｎｔｒｉｃｉｔｙ），记为犲．显
犪
然，０＜犲＜１．
狓２ 狔２
例１ 求椭圆 ＋ ＝１的长轴长、短轴长、离心率、焦点坐标
２５ ９
和顶点坐标，并用描点法画出这个椭圆．
狓２ 狔２
分析 由椭圆的标准方程 ＋ ＝１可以知道犪＝５，犫＝３，则
２５ ９
椭圆位于四条直线狓＝±５，狔＝±３所围成的矩形内．又椭圆以两坐
标轴为对称轴，所以只要画出在第一象限内的图形就可画出整个
椭圆．
狓２ 狔２
解 根据椭圆的方程 ＋ ＝１，得
２５ ９
犪＝５，犫＝３，犮＝槡２５－９＝４，
犮 ４
所以，椭圆的长轴长２犪＝１０，短轴长２犫＝６，离心率犲＝ ＝ ，焦点
犪 ５
为犉（－４，０），犉（４，０），顶点为犃（－５，０），犃（５，０），犅（０，
１ ２ １ ２ １
－３），犅（０，３）．
２
３ ３
将方程变形为狔＝± 槡２５－狓２ ，根据狔＝ 槡２５－狓２ 算出椭圆
５ ５
在第一象限内的几个点的坐标（如下表所示）：
狓 ０ １ ２ ３ ４ ５
狔 ３ ２．９４ ２．７５ ２．４ １．８ ０
８３选择性必修第一册 数学
在 ＧＧＢ的输入
先描点画出在第一象限内的图形，再利用椭圆的对称性画出整
框中，输入“狓∧２／２５＋ 个椭圆（图３ １ ５）．
狔∧２／９＝１”，即可作出
椭圆．
图３ １ ５
例２ 我国发射的第一颗人造地球卫星的运行轨道是以地球的
中心（简称“地心”）犉 为一个焦点的椭圆．已知它的近地点犃（长轴端
２
点中离地面最近的点）距地面４３９ｋｍ，远地点犅（长轴端点中离地面
最远的点）距地面２３８４ｋｍ，犃犅是椭圆的长轴，地球的半径约为
６３７１ｋｍ，求卫星运行的轨道方程．
解 如图３ １ ６，以直线犃犅为狓轴，线段犃犅的垂直平分线为狔
轴，建立直角坐标系狓犗狔，犃犅与地球交于犆，犇两点．设椭圆方程为
狓２ 狔２
＋ ＝１（犪＞犫＞０）．
犪２ 犫２
由题意知
犃犆＝４３９，犅犇＝２３８４，犉犆＝犉犇＝６３７１．
２ ２
犪－犮＝犗犃－犗犉 ＝犉犃＝４３９＋６３７１＝６８１０，
２ ２
犪＋犮＝犗犅＋犗犉 ＝犉犅＝２３８４＋６３７１＝８７５５．
２ ２
太阳系中有的行
星运动轨迹的离心率
与０很接近，因此近似
于圆．如地球、火星、
天王星运动轨迹的离
心率分别为 ０．０１７，
图３ １ ６
０．０９３，０．０４６．水星
和冥王星相对稍扁一
解得
些，离心率分别为
犪＝７７８２．５，犮＝９７２．５，
０．２０６和０．２４９．哈雷
彗星的轨道非常扁， 从而
其离心率为０．９６７．
犫＝槡犪２－犮２ ＝槡（犪＋犮）（犪－犮）≈７７２２．
因此，卫星运行轨道的方程是
狓２ 狔２
＋ ＝１．
７７８３２ ７７２２２
８４３
圆锥曲线与方程 第 章
练 习 １．求下列椭圆的长轴长、短轴长、离心率、顶点坐标和焦点坐标：
狓２ 狔２ 狓２ 狔２
（１） ＋ ＝１； （２） ＋ ＝１；
３ ２ ３６ １００
（３）１６狓２＋２５狔２＝４００； （４）４狓２＋狔２＝１６．
２．求适合下列条件的椭圆的标准方程：
（１）中心在原点，焦点在狓轴上，长轴长、短轴长分别为８和６；
（２）中心在原点，一个焦点坐标为（０，５），短轴长为４；
（３）对称轴都在坐标轴上，长半轴长为１０，离心率是０．６；
（４）中心在原点，焦点在狓轴上，右焦点到短轴端点的距离为２，到右顶点
的距离为１．
３．下列各组椭圆中，哪一个更接近于圆？
狓２ 狔２
（１）４狓２＋９狔２＝３６与 ＋ ＝１；
２５ ２０
狓２ 狔２
（２）９狓２＋４狔２＝３６与 ＋ ＝１．
１２ １６
２
４．已知椭圆的焦距为４，离心率为 ，求椭圆的短轴长．
３
狓２ 狔２ 槡３
５．已知椭圆 ＋ ＝１（犪＞犫＞０）过点（３，－２），离心率为 ，求犪，犫的值．
犪２ 犫２ ３
６．（１）已知椭圆长轴的两个端点到左焦点的距离分别是２和４，求椭圆的离
心率；
（２）设犉是椭圆的一个焦点，犅犅 是短轴，若∠犅犉犅 ＝６０°，求椭圆的离
１ ２ １ ２
心率．
习题３．１（２）
感受·理解 １．求下列椭圆的长轴长、短轴长、离心率、顶点坐标和焦点坐标：
狓２ 狔２ 狔２
（１） ＋ ＝１； （２）狓２＋ ＝１；
８ ４ ９
（３）４狓２＋９狔２＝３６．
２．讨论下列椭圆的范围，并描点画出图形．
狓２ 狔２
（１） ＋ ＝１； （２）４狓２＋狔２＝１．
４ ３
３．如图，要把一个边长为１００ｃｍ和６４ｃｍ的矩形木板锯成椭圆形，使椭圆的
长轴长和短轴长分别为１００ｃｍ与６４ｃｍ，用简便的方法在木板上画出这个
椭圆的草图．
狓２ 狔２
４．设犽为实数，若椭圆的方程为 ＋ ＝１，求满足下列条件的犽的取
（第３题） ９－犽 犽－１
值范围：
（１）椭圆的焦点在狓轴上；
（２）椭圆的焦点在狔轴上．
５．求适合下列条件的椭圆的标准方程：
（１）焦点在狓轴上，长轴长为４，焦距为２；
８５选择性必修第一册 数学
（２）一个焦点坐标为（２，０），短轴长为２；
槡５
（３）离心率为 ，短轴长为４．
３
６．已知椭圆短轴上的两个三等分点与两个焦点构成一个正方形，求椭圆的离
心率．
７．求以正方形犃犅犆犇的两个顶点犃，犅为焦点，且过犆，犇两点的椭圆的离心率．
８．地球运行的轨道是长半轴长为１．５０×１０８ｋｍ、离心率为０．０２的椭圆，太阳
在此椭圆的一个焦点上，求地球到太阳的最远距离．
９．如图，犃，犃′，犅分别是椭圆的顶点，从椭圆上一点犘向狓轴作垂线，垂足为
焦点犉，且犃犅∥犗犘，犉犃′＝槡１０－槡５，求椭圆的方程．
１０．判断下列方程所表示的曲线是否关于狓轴、狔轴或原点对称：
狔２
（１）３狓２＋８狔２＝２０； （２）狓２－ ＝１；
（第９题） ３
（３）狓２＋２狔＝０； （４）狓２＋２狓狔＋狔＝０．
狓２ 狔２
１１．已知点犕到椭圆 ＋ ＝１的左焦点和右焦点的距离之比为２∶３，求
１６９ １４４
点犕的轨迹方程．
思考·运用 １２．设椭圆
狓２
＋
狔２
＝１（犪＞犫＞０）的两个焦点分别为犉，犉，短轴的一个
犪２ 犫２ １ ２
端点为犘．
（１）若∠犉犘犉 为直角，求椭圆的离心率；
１ ２
（２）若∠犉犘犉 为钝角，求椭圆离心率的取值范围．
１ ２
１３．已知圆柱的底面半径为４，与圆柱底面成３０°角的平面截这个圆柱得到一个
椭圆，建立适当的坐标系，求椭圆的标准方程和离心率．
１４．在推导椭圆的标准方程时，我们曾得到这样一个方程
犪２－犮狓＝犪槡（狓－犮）２＋狔２，
将其变形为
槡（狓－犮）２＋狔２
＝
犮
，
犪２
－狓
犪
犮
你能解释这个方程的几何意义吗？
探究·拓展 １５．（阅读题）猫的运动轨迹与达·芬奇椭圆仪———一架立在光滑地板上的梯子
抵墙下滑，一只猫坐在梯子的正中间不动．试求在梯子下滑过程中猫的运动
轨迹．在这一生动有趣的叙述后面，我们可见到下面的数学问题：
已知一个直角，一条长度为犱的线段的两个端点分别在这个直角的两
边上滑动，求线段中点的轨迹．
这个问题在习题２．１第１３题中已经得到解决．
如果这只猫没有坐在梯子的正中间，那么在梯子下滑过程中，它沿怎样
的一条路线运动？下面我们用解析法求猫运动的轨迹．
８６３
圆锥曲线与方程 第 章
（第１５题）
以直角的两边所在的直线分别作为狓轴和狔轴，建立直角坐标系
（图（１）），过点犕作犕犆⊥犃犗于点犆，犕犇⊥犅犗于点犇．设犅犕＝犪，
犃犕＝犫，犕（狓，狔），犃（犿，０），犅（０，狀）．根据△犅犕犇∽△犅犃犗，得
狓 犪
＝ ，
犿 犪＋犫
（犪＋犫）狓
即 犿＝ ．
犪
（犪＋犫）狔
同理 狀＝ ．
犫
因为犿２＋狀２＝（犪＋犫）２，将上面的犿，狀代入并化简，得
狓２ 狔２
＋ ＝１，
犪２ 犫２
其中狓，狔均为正数．因此，这只猫沿着一段椭圆弧运动．
上面的结果与用来作椭圆的“达·芬奇椭圆仪”（图（２））的工作原理非
常相似．制作椭圆仪的方法如下：用两根木条钉成十字架，木条中间挖一道
槽．在另一活动木条犘犅犃的犘处钻一小孔，可以容纳笔尖，犃，犅是两个螺
钉，可以放松移动以配合犃犘＝犪，犅犘＝犫的长度．当犃，犅各在一条槽内
移动时，犘处笔尖就画出一个椭圆．你能解释它的原理吗？尝试用ＧＧＢ软
件来模拟这一过程．
１６．椭圆可以视为对圆上的点向同一条直径施行伸缩变换而成．运用椭圆与圆
之间的这种关系，你能根据圆的面积公式来猜想椭圆的面积公式吗？
１７．把矩形的各边狀等分，如图连接直线，判断对应直线的交点是否在一个椭圆
上，为什么？
（第１７题）
８７选择性必修第一册 数学
３．２
双曲线
发电厂冷却塔轴截面的外轮廓线的形状是双曲线．用点光源照
射一个放在地面上的球，适当调整点光源的位置，球在地面上影子的
外轮廓线可以是双曲线的一部分．
取一条拉链，打开它的一部分，在拉开的两边上各选择一点，分
别固定在画板上的犉，犉 两点（图３ ２ １）．把笔尖放在点犘处，随
１ ２
着拉链拉开或者闭拢，笔尖画出的曲线就是双曲线的一部分．
图３ ２ １
平面内到两个定点犉，犉的距离之差的绝对值等于常数
１ ２
（小于犉犉的正数）的点的轨迹叫作双曲线（ｈｙｐｅｒｂｏｌａ），两个
１ ２
定点犉，犉叫作双曲线的焦点，两个焦点间的距离叫作双曲
１ ２
线的焦距．
在椭圆的研究中，我们借助平面直角坐标系，得到了椭圆的方
程，并利用方程研究了椭圆的性质．现在我们将运用相同的方法来研
究双曲线．那么，
● 怎样建立双曲线的方程？
● 如何根据双曲线的方程研究双曲线的性质？
３．２．１ 双曲线的标准方程
我们知道，椭圆上的点到两个定点的距离之和等于常数．当焦点
狓２ 狔２
在狓轴上时，椭圆的标准方程为 ＋ ＝１（犪＞犫＞０）．
犪２ 犫２
８８３
圆锥曲线与方程 第 章
双曲线上的点到两个定点距离之差的绝对值等于常数，那么，
● 双曲线的标准方程是什么形式呢？
设双曲线的焦距为２犮，双曲线上任意一点到焦点犉，犉 的距离
１ ２
之差的绝对值等于常数２犪（２犮＞２犪）．
以犉，犉 所在的直线为狓轴，线段犉犉 的垂直平分线为狔轴，
１ ２ １ ２
建立直角坐标系狓犗狔（图３ ２ ２），则犉，犉 的坐标分别为（－犮，
１ ２
０），（犮，０）．
图３ ２ ２
设犘（狓，狔）为双曲线上任意一点，根据双曲线的定义知
狘犘犉－犘犉狘＝２犪，
１ ２
即
狘槡（狓＋犮） ２＋狔２－槡（狓－犮） ２＋狔２狘＝２犪，
化简，得
（犮２－犪２ ）狓２－犪２狔２＝犪２ （犮２－犪２ ）．
因为犮２－犪２＞０，所以可设犮２－犪２＝犫２ （犫＞０），得
犫２狓２－犪２狔２＝犪２犫２．
两边同除以犪２犫２ ，得
狓２ 狔２
－ ＝１．
犪２ 犫２
由上述过程可知，双曲线上的点的坐标（狓，狔）都满足上面这个
方程．可以证明以上面这个方程的解为坐标的点（狓，狔）都在已知的
双曲线上．
这样，焦点为犉（－犮，０），犉（犮，０）的双曲线的方程为
１ ２
狓２ 狔２
－ ＝１（犪＞０，犫＞０）．
犪２ 犫２
类似地，焦点为犉（０，－犮），犉（０，犮）的双曲线的方程为
１ ２
狔２ 狓２
－ ＝１（犪＞０，犫＞０）．
犪２ 犫２
以上两种方程都叫作双曲线的标准方程（ｓｔａｎｄａｒｄｅｑｕａｔｉｏｎｏｆａ
８９选择性必修第一册 数学
ｈｙｐｅｒｂｏｌａ），其中犫２＝犮２－犪２．
思 考 怎样推导出焦点在狔轴上的双曲线的标准方程？
例１ 已知双曲线的两个焦点分别为犉（－５，０），犉（５，０），
１ ２
双曲线上一点犘到犉，犉 的距离的差的绝对值等于８，求双曲线的
１ ２
标准方程．
解 由题意可设双曲线的标准方程为
狓２ 狔２
－ ＝１（犪＞０，犫＞０）．
犪２ 犫２
因为 ２犪＝８，犮＝５，
所以 犪＝４，
犫２＝犮２－犪２＝５２－４２＝９．
故所求双曲线的标准方程为
狓２ 狔２
－ ＝１．
１６ ９
例２ 求适合下列条件的双曲线的标准方程：
（１）犪＝３，犫＝４，焦点在狓轴上；
（２）犪＝２槡５，经过点犃（２，－５），焦点在狔轴上．
解 （１）依题意犪＝３，犫＝４，且焦点在狓轴上，所以双曲线的标
准方程为
狓２ 狔２
－ ＝１．
９ １６
（２）因为焦点在狔轴上，所以可设双曲线的标准方程为
狔２ 狓２
－ ＝１（犪＞０，犫＞０）．
犪２ 犫２
由犪＝２槡５，且点犃（２，－５）在双曲线上，可得
烄犪＝２槡５，
烅２５ ４
－ ＝１，
烆犪２ 犫２
解得 犫２＝１６．
因此，所求双曲线的标准方程为
狔２ 狓２
－ ＝１．
２０ １６
９０３
圆锥曲线与方程 第 章
例３ 已知犃，犅两地相距８００ｍ，一炮弹在某处爆炸，在犃处
听到爆炸声的时间比在犅处迟２ｓ，设声速为３４０ｍ／ｓ．
（１）爆炸点在什么曲线上？
（２）求这条曲线的方程．
解 （１）设犕为爆炸点，由题意得
犕犃－犕犅＝３４０×２＝６８０．
因为爆炸点离犃点比离犅点距离更远，所以爆炸点在以犃，犅为
焦点且距犅较近的双曲线的一支上（图３ ２ ３）．
（２）如图３ ２ ３，以直线犃犅为狓轴，线段犃犅的垂直平分线为
狔轴，建立直角坐标系狓犗狔．设犕（狓，狔）为曲线上任一点．
图３ ２ ３
由犕犃－犕犅＝６８０，得２犪＝６８０，即犪＝３４０．
由犃犅＝８００，得２犮＝８００，即犮＝４００，
所以 犫２＝犮２－犪２＝４４４００．
因为 犕犃－犕犅＝６８０＞０，
所以 狓＞０．
因此，所求曲线的方程为
狓２ 狔２
－ ＝１（狓＞０）．
１１５６００ ４４４００
确定爆炸点或出事地点的位置，在军事上或抢险救灾时都有重
思 考
要意义．从例３看出，利用两个不同的观测点，可以确定爆炸点所在的
曲线，但不能完全确定爆炸点的位置．要有几个观测点才能确定爆炸
点的位置呢？
狓２ 狔２
例４ 已知双曲线犆： － ＝１，直线犾：狓－２狔＋２＝０，求直
４ ３
线犾与双曲线犆的公共点的坐标．
狓２ 狔２
解 直线犾：狓－２狔＋２＝０与双曲线犆： － ＝１的公共点
４ ３
的坐标就是方程组
９１选择性必修第一册 数学
烄
狓－２狔＋２＝０，
烅狓２ 狔２
－ ＝１
烆４ ３
的解．
解这个方程组，得
烄狓＝－２， 烄狓＝４，
烅
１
烅
２
烆狔＝０， 烆狔＝３．
１ ２
因此，所求公共点的坐标为 （－２，０），（４，３）．
练 习 １．在△犃犅犆中，犅犆的长为２，狘犃犅－犃犆狘＝１，试确定点犃在怎样的曲线上
运动．
２．求适合下列条件的双曲线的标准方程：
（１）犮＝５，犫＝３，焦点在狓轴上；
（２）焦点为犉（０，－６），犉（０，６），且犪＝３；
１ ２
（３）犪＝４，犫＝３．
３．求适合下列条件的双曲线的标准方程：
（１）一个焦点为犉（－３，０），且经过点（２，０）；
狓２ 狔２
（２）与双曲线 － ＝１有相同的焦点，且经过点（３槡２，２）；
１６ ４
（ ）
４槡３
（３）经过犕－ ，１ 和犖（４，－３）两点．
３
４．设犽为实数，若双曲线８犽狓２－犽狔２＝８的一个焦点坐标为（０，３），则犽的值
为（ ）．
１ １
Ａ．１ Ｂ．－１ Ｃ． 槡６５ Ｄ．－ 槡６５
３ ３
５．判断直线狔＝槡３（狓－１）与双曲线狓２－狔２＝１的公共点的个数．
狓２ 狔２
６．设犿为实数，求双曲线 － ＝１的焦距．
犿２＋１２ ４－犿２
习题３．２（１）
感受·理解 １．求适合下列条件的双曲线的标准方程：
（１）犪＝槡２，犫＝槡３，焦点在狓轴上；
（２）犫＝４，犮＝５，焦点在狔轴上；
（３）犪＝犫，一个焦点为犉（０，２槡２）；
１
（４）犪＝ ，犮＝１．
２
２．求适合下列条件的双曲线的标准方程：
（１）经过点（槡６，０），（３，２）；
９２３
圆锥曲线与方程 第 章
（ ）
４槡３
（２）焦点为（０，－５），（０，５），经过点 ，２槡３ ；
３
（３）犪＝犫，经过点（３，－１）；
（ ）
９
（４）经过（３，－４槡２）和 ，５ 两点．
４
３．已知双曲线４狓２－狔２＋６４＝０上一点犕到它的一个焦点的距离等于１，求
点犕到另一个焦点的距离．
狓２ 狔２
４．证明：椭圆 ＋ ＝１与双曲线狓２－１５狔２＝１５的焦点相同．
２５ ９
９
５．在△犃犅犆中，犅（－６，０），犆（６，０），直线犃犅，犃犆的斜率乘积为 ，求顶点
４
犃的轨迹．
６．已知双曲线过点（３，－２），且与椭圆４狓２＋９狔２＝３６有相同的焦点，求双曲
线的方程．
狓２
７．已知双曲线犆： －狔２＝１，直线犾：狓－槡３狔－１＝０，求直线犾与双曲线犆
３
的公共点的坐标．
思考·运用 ８．设犽为实数，若方程
狓２
＋
狔２
＝１表示双曲线，求犽的取值范围，并写出
２－犽犽－１
焦点坐标．
狓２ 狔２ 狓２ 狔２
９．设犪为实数，若椭圆 ＋ ＝１与双曲线 － ＝１有相同的焦点，
４ 犪２ 犪 ２
求犪的值．
狓２ 狔２
１０．已知双曲线 － ＝１的焦点为犉，犉，点犘在双曲线上，且犘犉⊥犘犉，
６４ ３６ １ ２ １ ２
求△犉犘犉 的面积．
１ ２
狔２
１１．已知双曲线狓２－ ＝１的左、右焦点分别为犉，犉，过犉作斜率为２槡６
８ １ ２ １
的弦犃犅．求：
（１）犃犅的长；
（２）△犉犃犅的周长．
２
探究·拓展 １２．已知定圆犗和犗的半径分别为１和２，犗犗＝４，动圆犕与圆犗内切，且
１ ２ １ ２ １
与圆犗外切．试建立适当的坐标系，写出动圆圆心犕的轨迹方程，并说明
２
轨迹是何种曲线．
狓２ 狔２
１３．已知 ０ － ０ ＝１（犪＞０，犫＞０），犮＝槡犪２＋犫２．记犘（狓，狔），犉（－犮，
犪２ 犫２ ０ ０ １
０），犉（犮，０）．求证：狘犘犉－犘犉狘＝２犪．
２ １ ２
１４．（操作题）在纸上画一个圆犗，在圆外任取一定点犉，将纸片折起，使圆周通
过犉，然后展开纸片，得到一条折痕犾（为了看清楚，可把直线犾画出来）．这
样继续下去，得到若干折痕．观察这些折痕围成的轮廓，它是什么曲线？
（第１４题）
９３选择性必修第一册 数学
３．２．２ 双曲线的几何性质
在建立了双曲线的标准方程之后，可以通过方程来研究双曲线
的几何性质．那么，
狓２ 狔２
● 如何利用双曲线的方程 － ＝１（犪＞０，犫＞０）来研究它
犪２ 犫２
的性质？
１．范围
狓２ 狔２
由方程 － ＝１可知，双曲线上任意一点的坐标（狓，狔）都
犪２ 犫２
狓２ 狔２
满足 ＝１＋ ≥１，
犪２ 犫２
狓２
所以 ≥１，
犪２
即 狓≥犪或狓≤－犪．
这说明双曲线位于不等式狓≥犪与狓≤－犪所表示的平面区域内
（图３ ２ ４）．
图３ ２ ４
狓２ 狔２
思 考 根据双曲线的标准方程 － ＝１，你能发现双曲线的范围还
犪２ 犫２
受到怎样的限制？
狓２ 狔２
由双曲线的标准方程 － ＝１可知
犪２ 犫２
狓２ 狔２
－ ＞０，
犪２ 犫２
（狓
狔
）（狓
狔
）
即 ＋ － ＞０，
犪 犫 犪 犫
９４３
圆锥曲线与方程 第 章
烄 狓 狔 烄 狓 狔
＋ ＞０， ＋ ＜０，
犪 犫 犪 犫
从而
烅
或
烅
狓 狔 狓 狔
－ ＞０， － ＜０．
烆犪 犫 烆犪 犫
所以双曲线还应在上面两个不等式组表示的平面区域内，也就
犫 犫
是以直线狔＝ 狓和狔＝－ 狓为边界的平面区域内（图３ ２ ５）．
犪 犪
图３ ２ ５
２．对称性
在双曲线的标准方程中，分别把狓换成－狓，或把狔换成－狔，或
同时把狓，狔分别换成－狓，－狔，方程都不变．所以双曲线分别关于狔
轴、狓轴和原点都是对称的．这时，坐标轴是双曲线的对称轴，原点是
双曲线的对称中心．双曲线的对称中心叫作双曲线的中心．
３．顶点
在双曲线的标准方程中，令狔＝０，得狓＝±犪．这说明犃（－犪，
１
０），犃（犪，０）是双曲线与狓轴的两个交点，且犃 是左支上最右边的
２ １
点，犃 是右支上最左边的点．我们把这两个点称为双曲线的顶点．
２
令狓＝０，得狔２＝－犫２ ，这个方程没有实数根，说明双曲线与狔轴
没有交点，但为了便于画图，我们把犅（０，－犫），犅（０，犫）也画在
１ ２
狔轴上．
线段犃犃 叫作双曲线的实轴，它的长等于２犪，犪叫作双曲线的
１ ２
实半轴长；线段犅犅 叫作双曲线的虚轴，它的长等于２犫，犫叫作双曲
１ ２
线的虚半轴长．
４．渐近线
犫 犫
我们已经知道，双曲线的范围在以直线狔＝ 狓和狔＝－ 狓为边
犪 犪
界的平面区域内（图３ ２ ５），那么，从狓，狔的变化趋势看，双曲线
狓２ 狔２ 犫
－ ＝１与直线狔＝± 狓具有怎样的关系？
犪２ 犫２ 犪
根据对称性，可以先研究双曲线在第一象限内的部分与直线狔＝
９５选择性必修第一册 数学
犫
狓的关系．
犪
如图３ ２ ６，设犕（狓，狔）为双曲线在第一象限内的点，过点犕
犫
作犕犖⊥狓轴，垂足为犖（狓，０）．直线犕犖交直线狔＝ 狓于点犘．当
犪
点犖向右移动时，观察犘犕长度的变化情况．
图３ ２ ６
我们发现，随着狓的增大，犘犕长度越来越接近于０．事实上，对
犫 犫
于相同的横坐标狓，直线狔＝ 狓上对应的点犘的纵坐标为 狓，所以
犪 犪
犘犕的长为
犫 犫 犫 犪２
犘犕＝ 狓－ 槡狓２－犪２ ＝ · ．
犪 犪 犪
狓＋槡狓２－犪２
当狓趋向于正无穷大时，狓＋槡狓２－犪２ 也趋向于正无穷大，
犫
·
犪２
趋向于０，即犘犕的长趋向于０．这说明，随着狓的增
犪
狓＋槡狓２－犪２
犫
大，双曲线在第一象限内的点在直线狔＝ 狓的下方且无限接近于这
犪
条直线．
犫
同理，在第三象限内，双曲线上的点在直线狔＝ 狓的上方且无
能用其他方法说 犪
明这个结论吗？ 限接近于这条直线．
犫
根据对称性，直线狔＝－ 狓也有相同的性质．
犪
犫 狓２ 狔２
我们把两条直线狔＝± 狓叫作双曲线 － ＝１的渐近线
犪 犪２ 犫２
（ａｓｙｍｐｔｏｔｅ）．
利用直线狓＝±犪和狔＝±犫所围成的矩形，先画出双曲线的两条
渐近线，就可以画出双曲线的简图（图３ ２ ６）．
狓２ 狔２
在双曲线的标准方程 － ＝１中，如果犪＝犫，那么方程可
犪２ 犫２
化为
狓２－狔２＝犪２ ，
９６３
圆锥曲线与方程 第 章
此时，双曲线的实轴长和虚轴长都等于２犪，且两条渐近线互相垂直．
实轴和虚轴等长的双曲线叫作等轴双曲线．
５．离心率
犮
椭圆的离心率犲＝ 反映了图形的“扁”的程度，那么在双曲线
犪
犮
中， 是否也与双曲线的形状有关？
犪
狓２ 狔２
从图３ ２ ６中可以看出，双曲线 － ＝１夹在两条渐近线
犪２ 犫２
犫 犫 犫
狔＝± 狓之间，这说明 的大小决定了双曲线的开口的大小． 越
犪 犪 犪
犫
大，双曲线的开口就越大； 越小，双曲线的开口就越小．
犪
由
（ ）
犮 槡 犫２
＝ １＋
犪 犪
犮 犮
可知， 越大，双曲线的开口就越大； 越小，双曲线的开口也就越
犪 犪
犮
小．因此 反映了双曲线开口的大小．
犪
犮
焦距与实轴长的比 叫作双曲线的离心率，记为犲．显然，双曲线
犪
的离心率犲＞１．
狓２ 狔２
例１ 求双曲线 － ＝１的实轴长、虚轴长、焦点坐标、顶点
４ ３
坐标、离心率及渐近线方程．
解 由题意知犪２＝４，犫２＝３，所以
犮２＝犪２＋犫２＝４＋３＝７，
解得 犪＝２，犫＝槡３，犮＝槡７．
因此，双曲线的实轴长２犪＝４，虚轴长２犫＝２槡３．
焦点坐标为（－槡７，０），（槡７，０），顶点坐标为（－２，０），（２，０）．
犮 槡７
离心率犲＝ ＝ ．
犪 ２
槡３
渐近线方程为狔＝± 狓．
２
９７选择性必修第一册 数学
例２ 已知双曲线的中心在原点，焦点在狔轴上，焦距为１６，离
４
心率为 ，求双曲线的方程．
３
犮 ４
解 根据题意知 ２犮＝１６， ＝ ，
犪 ３
解得 犪＝６，犮＝８，
从而 犫２＝犮２－犪２＝８２－６２＝２８．
因为双曲线的中心在原点，焦点在狔轴上，所以所求双曲线方程为
狔２ 狓２
－ ＝１．
３６ ２８
练 习 １．求双曲线
狓２
－
狔２
＝１的实轴长、虚轴长、焦点坐标、顶点坐标、离心率及渐
９ ７
近线方程．
２．求适合下列条件的双曲线的标准方程：
３
（１）焦点在狓轴上，犪＝４，离心率为 ；
２
４
（２）焦点的坐标为（５，０），（－５，０），渐近线方程为狔＝± 狓；
３
５
（３）虚轴长为１２，离心率为 ；
４
（４）离心率犲＝槡２，且经过点犘（４，－槡１０）．
３．若双曲线经过点（－槡３，６），且它的两条渐近线方程是狔＝±３狓，则双曲线
的方程是（ ）．
狔２ 狓２
Ａ． －狓２＝１ Ｂ． －狔２＝１
９ ９
狔２ 狓２ 狓２ 狔２
Ｃ． － ＝１ Ｄ． － ＝１
２７ ３ ２７ ３
４．已知等轴双曲线的中心在原点，它的一个焦点为犉（０，２槡２），求双曲线的
方程．
狓２ 狔２
５．设犽为实数，已知双曲线 － ＝１的离心率犲∈（１，２），求犽的取值
４ 犽
范围．
习题３．２（２）
感受·理解
１．求下列双曲线的实轴长、虚轴长、顶点坐标、焦点坐标、离心率及渐近线
方程：
（１）狓２－８狔２＝３２； （２）９狓２－狔２＝８１；
狔２ 狓２
（３）狓２－狔２＝－４； （４） － ＝１．
４９ ２５
９８３
圆锥曲线与方程 第 章
２．求适合下列条件的双曲线的标准方程：
５
（１）顶点在狓轴上，焦距为１０，离心率是 ；
４
（２）一个顶点的坐标为（０，２），一个焦点的坐标为（０，－槡５）；
３
（３）焦点在狔轴上，一条渐近线方程为狔＝ 狓，实轴长为１２；
４
３
（４）渐近线方程为狔＝± 狓，焦点坐标为（－５槡２，０）和（５槡２，０）．
４
３．求适合下列条件的双曲线的标准方程：
３
（１）实轴长为６，渐近线方程为狔＝± 狓；
２
１
（２）焦距为２０，渐近线方程为狔＝± 狓．
２
４．已知双曲线的对称轴为坐标轴，两个顶点间的距离为２，焦点到渐近线的距
离为槡２，求双曲线的标准方程．
５ 狓２ 狔２
５．已知离心率为 的双曲线与椭圆 ＋ ＝１的焦点相同，求双曲线的方程．
３ ４０ １５
狓２ 狔２
６．求以椭圆 ＋ ＝１的焦点为顶点，且以椭圆的顶点为焦点的双曲线的
８ ５
方程．
７．求经过点犃（３，－１），且对称轴是坐标轴的等轴双曲线的方程．
狓２ 狔２
８．设双曲线的方程为 － ＝１，过点（犪，０），（０，犫）的直线的倾斜角为
犪２ 犫２
１５０°，求双曲线的离心率．
思考·运用
９．求与双曲线
狓２
－
狔２
＝１有公共的渐近线，且经过点犃（－３，２槡３）的双曲线
９ １６
的方程．
１０．已知双曲线的两条渐近线的夹角为６０°，求双曲线的离心率．
１１．一种冷却塔的外形是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面（如图）．现
要求制造一个最小半径为８ｍ，下口半径为１５ｍ，下口到最小半径圆面的
距离为２４ｍ，高为２７ｍ的双曲线冷却塔，试计算上口的半径（精确到
０．０１ｍ）．
（第１１题）
狓２ 狔２
１２．设双曲线 － ＝１的半焦距为犮，直线犾过（犪，０），（０，犫）两点，原点到
犪２ 犫２
槡３
直线犾的距离为 犮，求双曲线的离心率．
４
９９选择性必修第一册 数学
探究·拓展 犪２
１３．动点犕（狓，狔）与定点犉（犮，０）的距离和它到定直线犾：狓＝ 的距离之比是
犮
犮
常数 （犮＞犪＞０），求动点犕的轨迹．
犪
１４．以已知双曲线的虚轴为实轴、实轴为虚轴的双曲线叫作原双曲线的共轭双
曲线．求证：
（１）双曲线与它的共轭双曲线有共同的渐近线；
（２）双曲线与它的共轭双曲线的焦点在同一个圆上．
１５．如图，在矩形犃犅犅′犃′中，把边犃犅分成狀等份．在边犅′犅的延长线上，以
犅犅′的狀分之一为单位长度连续取点．过边犃犅上各分点和犃′作直线，过
犅′犅延长线上的对应分点和点犃作直线，这两条直线的交点为犘，犘在什
么曲线上运动？
（第１５题）
１００３
圆锥曲线与方程 第 章
３．３
抛物线
探照灯的内壁是由抛物线的一段旋转而成的．用点光源照射一
个放在地面上的球，适当调整点光源的位置，球在地面上影子的外轮
廓线可以是抛物线的一部分．
如图３ ３ １，在画板上画一条直线犾，把一个直角三角板的一边
紧贴直线犾，把一条细绳的一端固定在三角板的顶点犃处，取细绳长
等于点犃到直角顶点犎的距离，并且把细绳的另一端固定在点犉
处．用笔尖靠着直角三角板的边犃犎，并扣紧细绳，然后上下移动三角
板，笔尖画出的曲线是抛物线的一部分．
图３ ３ １
平面内到一个定点犉和一条定直线犾（犉不在犾上）的距离相
等的点的轨迹叫作抛物线（ｐａｒａｂｏｌａ），定点犉叫作抛物线的焦点，
定直线犾叫作抛物线的准线（ｄｉｒｅｃｔｒｉｘ）．
类似于椭圆和双曲线，我们继续借助平面直角坐标系，利用解析
几何研究问题的一般方法来研究抛物线．那么，
● 怎样建立抛物线的方程？
● 如何根据抛物线的方程研究抛物线的性质？
３．３．１ 抛物线的标准方程
抛物线的焦点为犉，准线为犾，
● 怎样求抛物线的方程？
过犉作直线犉犖⊥直线犾，垂足为犖．以直线犖犉为狓轴，线段犖犉
１０１选择性必修第一册 数学
的垂直平分线为狔轴，建立如图３ ３ ２所示的直角坐标系狓犗狔．
图３ ３ ２
（ ）
狆
设焦点犉到准线犾的距离为狆，则犉 ，０ ．又设犘（狓，狔）为抛物
２
线上任意一点．过点犘作犘犎⊥犾，垂足为犎，则犘犉＝犘犎，得
（ ）
槡 狆２ 狆
狓－ ＋狔２ ＝ 狓＋ ．
２ ２
将上式两边平方并化简，得
狔２＝２狆狓．
由上述过程可知，抛物线上的点的坐标（狓，狔）都满足上面这个
方程．可以证明以上面这个方程的解为坐标的点（狓，狔）都在已知的
抛物线上．
（ ）
狆
这样，焦点为 ，０ 的抛物线的方程为
２
狔２＝２狆狓（狆＞０）．
类似地，我们可以建立如下表所示的坐标系，从而得到抛物线方
程的另外三种形式狔２＝－２狆狓，狓２＝２狆狔，狓２＝－２狆狔（狆＞０）．这四
种方程都叫作抛物线的标准方程（ｓｔａｎｄａｒｄｅｑｕａｔｉｏｎｏｆｐａｒａｂｏｌａ）．
标准方程 狔２＝２狆狓 狔２＝－２狆狓 狓２＝２狆狔 狓２＝－２狆狔
图 形
（ ） （ ） （ ） （ ）
狆 狆 狆 狆
焦点坐标 ，０ － ，０ ０， ０，－
２ ２ ２ ２
狆 狆 狆 狆
准线方程 狓＝－ 狓＝ 狔＝－ 狔＝
２ ２ ２ ２
开口方向 向 右 向 左 向 上 向 下
１０２３
圆锥曲线与方程 第 章
例１ 已知抛物线的焦点为犉（５，０），求抛物线的标准方程和
准线方程．
解 因为抛物线的焦点为犉（５，０），所以可设抛物线的标准方程为
狔２＝２狆狓（狆＞０），
狆
其中 ＝５，即狆＝１０，２狆＝２０．
２
因此，所求抛物线的标准方程是
狔２＝２０狓，
准线方程是狓＝－５．
例２ 求经过点犘（－２，－４）的抛物线的标准方程．
解 如图３ ３ ３，因为点犘在第三象限，所以满足条件的抛物
线的标准方程有两种情形
狔２＝－２狆狓（狆＞０）和狓２＝－２狆狔（狆＞０）．
１ １ ２ ２
图３ ３ ３
分别将点犘的坐标代入方程可以解得
１
狆＝４，狆＝ ．
１ ２ ２
因此，满足条件的抛物线有两条，它们的标准方程分别为
狔２＝－８狓，狓２＝－狔．
例３ 已知探照灯的轴截面是抛物线狔２＝狓（图３ ３ ４），平行
于狓轴的光线照射到抛物线上的点犘（１，－１），反射光线经过抛物线
的焦点后又照射到抛物线上的犙点．试确定点犙的坐标．
（ ）
１
解 因为抛物线狔２＝狓的焦点为犉 ，０ ，所以直线犘犉的方
４
程为
（ ）
４ １
狔＝－ 狓－ ．
３ ４
１０３选择性必修第一册 数学
图３ ３ ４
由于犙（狓，狔）是抛物线与直线犘犉的公共点，解方程组
（ ）
烄 ４ １
狔＝－ 狓－ ，
３ ４
烅
烆狔２＝狓，
得
１
烄狓＝ ，
１ １６ 烄狓＝１，
烅
或
烅
２ （舍去）．
１ 烆狔＝－１
狔＝ ２
烆１ ４
（ ）
１ １
故点犙的坐标为 ， ．
１６ ４
练 习 １．过点（１，－２）的抛物线的标准方程是（ ）．
１
Ａ．狔２＝４狓或狓２＝ 狔 Ｂ．狔２＝４狓
２
１ １
Ｃ．狔２＝４狓或狓２＝－ 狔 Ｄ．狓２＝－ 狔
２ ２
２．求适合下列条件的抛物线的标准方程：
（１）焦点为犉（６，０）； （２）焦点为犉（０，－５）；
２
（３）准线方程为狔＝ ； （４）焦点到准线的距离为５．
３
３．已知抛物线犆的焦点是直线２狓－３狔＋６＝０与坐标轴的一个交点，求抛物线
犆的标准方程．
４．已知直线犾过点（１，２）且与抛物线狔２＝４狓只有一个公共点，求直线犾的方程．
５．已知点犘在抛物线狔２＝２狓上．
（１）若点犘的横坐标为２，求点犘到抛物线焦点的距离；
（２）若点犘到抛物线焦点的距离为４，求点犘的坐标．
６．已知动点犕（狓，狔）到点犉（４，０）的距离比到直线狓＋５＝０的距离小１，试判
断点犕的轨迹是什么图形．
习题３．３（１）
感受·理解 １求适合下列条件的抛物线的标准方程：
１
（１）焦点为犉（－２，０）； （２）准线方程是狔＝ ；
３
１０４３
圆锥曲线与方程 第 章
（３）焦点到准线的距离为３； （４）经过点（－２，３）．
２．已知抛物线的顶点在原点，对称轴为坐标轴，焦点在直线狓－２狔－４＝０上，
求抛物线的方程．
３．如图，吊车梁的鱼腹部分犃犗犅是一段抛物线，宽７ｍ，高０．７ｍ，求这条抛
物线的方程．
（第３题）
４．已知抛物线的顶点、焦点分别是双曲线１６狓２－９狔２＝１４４的中心、左顶点，
求抛物线的方程．
５．已知圆犉：（狓＋３）２＋狔２＝１，直线犾：狓＝２，求与直线犾相切且与圆犉外切
的圆的圆心犕的轨迹方程．
６已知直线２狓－狔－４＝０与抛物线狔２＝４狓相交于犃，犅两点，求犃犅的长．
思考·运用 ７从抛物线狔２＝１６狓上任意一点向狓轴作垂线段，求垂线段中点的轨迹方
程，并说明它表示什么曲线．
８已知等边三角形的一个顶点位于原点，另外两个顶点在抛物线狔２＝６狓上，
求这个等边三角形的边长．
４
９．过抛物线狔２＝４狓的焦点犉作斜率为 的弦犃犅，其中点犃在第一象限，求
３
犃犉
的值．
犉犅
１０．在平面直角坐标系狓犗狔中，已知直线狔＝狓－２与抛物线狔２＝２狓相交于点
犃，犅．求证：犗犃⊥犗犅．
（ ）
狆 狆
探究·拓展 １１．已知狔２＝２狆狓（狆＞０），点犘（狓，狔），犉 ，０ ，直线犾：狓＝－ ．求证：
０ ０ ０ ０ ２ ２
点犘到直线犾的距离等于犘犉．
１２．（操作题）如图，将一张长方形纸片犃犅犆犇的一只角斜折，使点犇总是落在
对边犃犅上，然后展开纸片，得到一条折痕犾（为了看清楚，可把直线犾画出
来）．这样继续下去，得到若干折痕．观察这些折痕围成的轮廓，它是什么
曲线？
（第１２题）
１０５选择性必修第一册 数学
３．３．２ 抛物线的几何性质
● 根据抛物线的标准方程狔２＝２狆狓（狆＞０）可以得到抛物线的
哪些几何性质？
抛物线狔２＝２狆狓（狆＞０）的主要性质归纳如下：
范 围 在狔轴的右侧
对 称 性 关于狓轴对称
抛物线的对称轴
叫作抛物线的轴． 顶 点 原 点
开口方向 向 右
狆
在抛物线的标准方程狔２ ＝２狆狓（狆＞０）中，令狓＝ ，则狔＝
２
±狆．这就是说，通过抛物线的焦点且垂直于狓轴的直线与抛物线交
（ ） （ ）
狆 狆
于点犕 ，－狆和犕 ，狆．线段犕犕 叫作抛物线的通径，它的
１ ２ ２ ２ １ ２
长为２狆．这样，利用抛物线的几何性质和通径的两个端点，可以方便
地画出反映抛物线基本特征的简图（图３ ３ ５）．
图３ ３ ５
例１ 求抛物线狔２＝４狓的焦点坐标和准线方程．
狆
解 因为２狆＝４，即狆＝２， ＝１，
２
所以抛物线的焦点坐标为（１，０），准线方程为狓＝－１．
例２ 某种汽车前灯的反光曲面与轴截面的交线为抛物线的一
段，灯口直径为１９７ｍｍ，反光曲面的顶点到灯口的距离是６９ｍｍ．由
抛物线的性质可知，当灯泡安装在抛物线的焦点处时，经反光曲面反
射后的光线是平行光线．为了获得平行光线，应怎样安装灯泡（精确
到１ｍｍ）？
解 如图３ ３ ６，在车灯的一个轴截面上建立直角坐标系狓犗狔．
图３ ３ ６
１０６３
圆锥曲线与方程 第 章
设抛物线的方程为狔２＝２狆狓（狆＞０），灯泡应安装在其焦点犉处．
在狓轴上取一点犆，使犗犆＝６９．过犆作狓轴的垂线，交抛物线于
犃，犅两点，线段犃犅就是灯口的直径，即犃犅＝１９７，所以点犃的坐标
（ ）
１９７
为 ６９， ．
２
将点犃的坐标代入方程狔２＝２狆狓，解得狆≈７０．３．
所以抛物线的焦点坐标约为（３５，０）．
答 灯泡应该安装在距顶点约３５ｍｍ处．
练 习 １．求下列抛物线的焦点坐标和准线方程：
（１）狔２＝６狓； （２）狓２＝－４狔；
（３）狔２＝－３２狓； （４）狓２＝４２狔．
２．抛物线狔＝２狓２ 的焦点坐标是（ ）．
（ ） （ ）
１ １
Ａ． ，０ Ｂ． ，０
２ ８
（ ） （ ）
１ １
Ｃ．０， Ｄ．０，
２ ８
３．求适合下列条件的抛物线的标准方程：
（１）焦点为（０，－５）；
（２）准线方程为狓＝３；
（３）经过点（－３，４）；
（４）焦点在狔轴上，通径的长等于４．
４．若犘（狓，狔）是抛物线狔２＝－３２狓上一点，犉为抛物线的焦点，则犘犉＝
０ ０
（ ）．
Ａ．狓＋８ Ｂ．狓－８
０ ０
Ｃ．８－狓 Ｄ．狓＋１６
０ ０
５．如图，一个抛物线型拱桥，当水面离拱顶２ｍ时，水面宽４ｍ．若水面下降
１ｍ，求水面宽度（精确到０．０１ｍ）．
（第５题）
习题３．３（２）
感受·理解 １．求下列抛物线的焦点坐标和准线方程：
（１）狔２＝－狓； （２）狓２＝８狔；
（３）狔２＝犪狓（犪＞０）； （４）２狔２＋７狓＝０．
１０７选择性必修第一册 数学
２．求适合下列条件的抛物线的标准方程：
（１）焦点为（１，０）；
１
（２）准线方程是狔＝ ；
２
（３）对称轴为狓轴，焦点到准线的距离是４．
３．已知抛物线狔２＝４狓上一点到焦点的距离为５，求该点的坐标．
４．经过抛物线狔２＝２狆狓的焦点犉作一条直线与抛物线相交于犘，犘 两点，
１ ２
求证：以线段犘犘 为直径的圆与抛物线的准线相切．
１ ２
思考·运用 ５．设犿为实数，已知抛物线的焦点在狔轴上，点犕（犿，－３）是抛物线上的一
点，犕到焦点的距离是５，求犿的值及抛物线的标准方程、准线方程．
６．已知犕是抛物线狔２ ＝８狓上一点，犉是抛物线的焦点，犗为坐标原点．若
∠犕犉犗＝１２０°，求线段犕犉的长．
７．设过抛物线狔２＝２狆狓（狆＞０）的焦点犉的直线交抛物线于犃，犅两点，犃，
犅在抛物线准线上的射影分别为犃，犅．求证：∠犃犉犅 是直角．
１ １ １ １
８．设过抛物线狔２＝２狆狓的焦点的一条直线和抛物线有两个交点，且两个交点
的纵坐标分别为狔，狔．求证：狔狔＝－狆２．
１ ２ １ ２
探究·拓展 ９．（阅读题）在工程中，画拱宽为２犪，拱高为犺的抛物线，常用下面的画法：
（１）作矩形犃犅犆犇，使犃犅＝２犪，犇犃＝犺；
（２）分别取犆犇，犃犅的中点犗，犎，把线段犇犃，犗犇，犎犃各狀等分；
（３）如图连线得到各交点，将交点连成光滑曲线，就得到抛物线的一半；
（４）用同样的方法画出抛物线的另一半．
你能说明上述画法的正确性吗？
（第９题）
１０８３
圆锥曲线与方程 第 章
链 接 圆锥曲线的统一定义
我们知道，平面内到一个定点犉的距离和到一条定直线犾（犉不
在犾上）的距离之比等于１的动点犘的轨迹是抛物线．
当这个比值是一个不等于１的常数时，动点犘的轨迹又是什么
曲线呢？
图１和图２分别给出常数为０．８和１．５时动点犘的轨迹．
图１ 图２
容易看到，图１中的轨迹像椭圆，图２中的轨迹像双曲线．
例 已知点犘（狓，狔）到定点犉（犮，０）的距离与它到定直线
犾：狓＝
犪２
的 距离之比是常数
犮
（犪＞犮＞０），求点犘的轨迹（图３）．
犮 犪
图３
解 根据题意可得
槡（狓－犮） ２＋狔２ 犮
＝ ，
犪２ 犪
－狓
犮
化简得
（犪２－犮２ ）狓２＋犪２狔２＝犪２ （犪２－犮２ ）．
令犪２－犮２＝犫２ （犫＞０），上述方程就可化为
狓２ 狔２
＋ ＝１（犪＞犫＞０）．
犪２ 犫２
这是椭圆的标准方程．
所以点犘的轨迹是焦点为（－犮，０），（犮，０），长轴长、短轴长分别
１０９选择性必修第一册 数学
为２犪，２犫的椭圆．这个椭圆的离心率犲就是点犘到定点犉的距离和
它到定直线犾（犉不在犾上）的距离之比．
类似地，我们可以得到：当点犘到定点犉（犮，０）的距离和它到定
直线犾：狓＝
犪２
的距离之比是常数
犮
（犮＞犪＞０）时，这个点的轨迹是
犮 犪
狓２ 狔２
双曲线，方程为 － ＝１（其中犫２＝犮２－犪２ ），这个常数就是双曲线
犪２ 犫２
的离心率．
这样，圆锥曲线可以统一定义为：平面内到一个定点犉和到一条
定直线犾（犉不在犾上）的距离之比等于常数犲的点的轨迹．
当０＜犲＜１时，它是椭圆；
当犲＞１时，它是双曲线；
当犲＝１时，它是抛物线．
其中犲是圆锥曲线的离心率，定点犉是圆锥曲线的焦点，定直线
犾是圆锥曲线的准线．
根据图形的对称性可知，椭圆和双曲线都有两条准线，对于中心
在原点，焦点在狓轴上的椭圆或双曲线，与焦点犉（－犮，０），
１
犉（犮，０）对应的准线方程分别为狓＝－
犪２，狓＝ 犪２
．
２ 犮 犮
１１０３
圆锥曲线与方程 第 章
应用与建模 双曲线时差定位法
船在海上航行时，常采用“双曲线时差定位法”测定自己在海上
的位置．其主要思想是：
在沿海或岛屿上选择三个适当的地点，建立一个主导航台犉 和
１
两个副导航台犉，犉，如图１所示．船犛上的定位仪能接收从三个台
２ ３
发来的无线电信号．因为船犛到各导航台的距离不等，因此三处同时
发出的信号到达船犛上的时间就有先后，于是定位仪的读数栏里就
表示出从犉 和犉 以及从犉 和犉 发来的信号到达船犛上的时间
１ ２ １ ３
差．根据无线电波在空气中传播的速度为３×１０５ｋｍ／ｓ，就可知道船犛
离开各导航台的距离差，因而船犛在以犉，犉 为焦点的双曲线和以
１ ２
犉，犉 为焦点的另一双曲线的交点上．
１ ３
图１
下面以具体实例加以说明．
现设导航台犉 和犉 相距５００ｎｍｉｌｅ（１ｎｍｉｌｅ＝１．８５２ｋｍ），在
１ ２
船犛的定位仪上读得两台发出的无线电信号到达的时间差均为
２０００μｓ（ μｓ表示微秒，１μｓ＝１０－６ｓ），试确定船犛所在的双曲线
方程．
根据上面的分析与计算，在上图的基础上绘制一幅双曲线时差
定位图．
分析与求解 （１）建立直角坐标系（如图２所示）．已知
２犮＝犉犉 ＝５００（ｎｍｉｌｅ），犮＝２５０．又知犉犛－犉犛＝±２０００×
１ ２ １ ２
１０ －６×３×１０５＝±６００（ｋｍ）≈±３２４（ｎｍｉｌｅ），得犪＝１６２，所以犫＝
图２ 图３
１１１选择性必修第一册 数学
槡犮２－犪２ ＝槡２５０２－１６２２ ≈１９０．因此，船犛所在的双曲线方程为
狓２ 狔２
－ ＝１，在此双曲线上标注２０００μｓ的字样，表示时差为
１６２２ １９０２
２０００μｓ的双曲线．
（２）在图３中，画出以犉，犉 为焦点，时差分别为１０００μｓ，
１ ２
２０００μｓ，３０００μｓ，…的双曲线．同样画出以犉，犉 为焦点，时差分
１ ３
别为１０００μｓ，２０００μｓ，３０００μｓ，…的双曲线．就得到“双曲线时差
定位图”．
“双曲线时差定位图”实际上是海图的一种，它在海洋地图上标
有主导航台犉 和副导航台犉 之间的等时差线，每条曲线上注有时
１ ２
差，表示在这些曲线上海轮接收到从犉，犉 发出的信号的时差，其中
１ ２
线段犉犉 的垂直平分线也是一条等时差线，时差为０μｓ．在主导航
１ ２
台犉 和另一副导航台犉 之间则用另一种颜色画出以它们为焦点的
１ ３
等时差线．航海时，只需从定位仪上分别读出从犉 和犉 以及从犉
１ ２ １
和犉 发来的信号的时差，就能在图上找到船所在的两双曲线的交
３
点，便知船在海上的位置了．
对应于同一时差的双曲线有两支，因此交点可能会有四个，其中
哪一个交点是船的位置呢？
阅 读 圆锥曲线的起源
圆锥曲线的研究起源于希腊，它与三大几何作图问题中的“立方
倍积”问题有关．
“立方倍积”问题
不少古希腊学者研究过 “立方倍积”问题．梅内克缪斯
是指：求作一个正方
（Ｍｅｎａｅｃｈｍｕｓ）的解法是：取三个圆锥，其轴截面顶角分别为直角、锐
体，使其体积是已知
角和钝角．各作一平面垂直于一条母线，并与圆锥相截，称截线为“直
正方体体积的２倍．
后来被证明，这一问 角圆锥截线”“锐角圆锥截线”和“钝角圆锥截线”，即现在的抛物线、
题不能用“尺规作图” 椭圆和一支等轴双曲线．这是最早对圆锥曲线的定名．他用两条抛物
完成． 线的交点或一抛物线与一双曲线的交点解决了二倍立方问题．
梅内克缪斯的著作早已失传，他的大部分发明是推测出来的．根
据德国学者布莱慈纳德（Ｂｒｅｔｓｃｈｎｅｉｔｅｒ，１８０８—１８７８）考证，推出“直角
圆锥截线”（抛物线）的方法如下：
如图４，Ｒｔ△犃犅犆为直角圆锥轴截面，截面犇犈犉垂直于母线
犃犆，交轴截面于犇犈．在犇犈上任取一点犑，过犑作与圆锥的轴垂直的
截面犎犓犌，与面犇犈犉交于犑犓．作犇犔∥犎犌，犔犕⊥犔犇．于是得
犑犓２＝犎犑·犑犌＝犔犇·犑犌＝犑犇·犇犕．
图４
设狓＝犑犇，狔＝犑犓，狆＝犇犕，由上式得
狔２＝狆狓．
１１２３
圆锥曲线与方程 第 章
布莱慈纳德还认为，由锐角圆锥、钝角圆锥，同样地也可推得“锐
角圆锥截线”“钝角圆锥截线”．
公元前３世纪，古希腊学者欧几里得（Ｅｕｃｌｉｄ）、阿基米德
（Ａｒｃｈｉｍｅｄｅｓ）和阿波罗尼斯（Ａｐｏｌｌｏｎｉｕｓ）在前人的基础上，进一步发
展了圆锥曲线的理论．
欧几里得、阿基米德和阿波罗尼斯对圆锥曲线的贡献都很大，但
欧几里得在这方面的著作都散失了．阿基米德是第一个成功计算出
抛物线弓形面积的学者，椭圆作图所用的辅助圆也是他的发明．
阿波罗尼斯处理圆锥曲线的方法与前人不同，他不用三个圆锥，
只用一个圆锥，仅需改变截面的位置就可产生三种曲线（欧几里得、
阿基米德可能都知道），他也注意到截面垂直于轴时是一个圆．他最
先发现双曲线是有对称中心的曲线，并有两个分支．他对圆锥曲线的
叙述很接近现代方式．根据他的叙述，圆锥曲线方程应该是狔２ ＝
狆 狆
狆狓（抛物线），狔２＝狆狓－ 狓２ （椭圆），狔２＝狆狓＋ 狓２ （双曲线）（其中狆
犱 犱
为通径，犱为与之对应的直径）．因此，可以认为阿波罗尼斯时代已经
有了文字叙述的圆锥曲线方程．
１１３选择性必修第一册 数学
本章回顾
本 章 概 览
本章学习了圆锥曲线的概念，建立了圆锥曲线的方程，并通过方
程研究了圆锥曲线的基本性质，运用圆锥曲线的方程和性质解决了
一些实际问题．
圆锥曲线是一类重要的曲线，圆锥曲线的几何性质在日常生活、
社会生产及其他学科中都有着重要而广泛的应用．
运用曲线方程研究曲线的性质及相互关系，是解析几何的基本
方法，体现了数形结合的数学思想．
复 习 题
感受·理解 １．以椭圆
狓２
＋狔２＝１的对称中心为顶点，椭圆的焦点为焦点的抛物线的方程
２
是（ ）．
Ａ．狔２＝４狓 Ｂ．狔２＝－４狓或狓２＝４狔
Ｃ．狓２＝４狔 Ｄ．狔２＝４狓或狔２＝－４狓
２．若双曲线的对称轴为坐标轴，一条渐近线方程为２狓－狔＝０，则双曲线的离
心率为（ ）．
１１４３
圆锥曲线与方程 第 章
５ 槡５ 槡３ ５
Ａ．５或 Ｂ．槡５或 Ｃ．槡３或 Ｄ．５或
４ ２ ２ ３
３．已知α∈［０，π］，试讨论方程狓２ｓｉｎα＋狔２ｃｏｓα＝１所表示的曲线的类型．
狓２ 狔２
４．已知点犕到椭圆 ＋ ＝１的右焦点的距离与到直线狓＝６的距离相等，
２５ ９
求点犕的轨迹方程．
狔２ 狓２
５．在椭圆 ＋ ＝１上求一点，使它与椭圆两个焦点的连线互相垂直．
４５ ２０
狓２ 狔２ 狔２
６．设犿，犫为实数，已知椭圆 ＋ ＝１与双曲线狓２－ ＝１有相同的焦点，
１０ 犿 犫
（ ）
槡１０
且椭圆与双曲线交于点犘 ，狔，求犿，犫的值．
３
狓２ 狔２
７．求与双曲线 － ＝１有公共渐近线，且焦距为８的双曲线方程．
５ ３
８．设等轴双曲线犆的中心为犗，焦点为犉，犉，犘为犆上任意一点，求证：
１ ２
犘犗２＝犘犉·犘犉．
１ ２
９．若直线犾过抛物线狔２＝４狓的焦点，与抛物线交于犃，犅两点，且线段犃犅中
点的横坐标为２，求线段犃犅的长．
思考·运用 １０．设犽为实数，已知双曲线犆的方程为 狓２ －狔２＝１，直线犾的方程为狔＝犽狓＋
４
１．当犽为何值时，直线犾与双曲线犆：
（１）有两个公共点？
（２）仅有一个公共点？
（３）没有公共点？
１１．设抛物线狔２＝２狆狓（狆＞０）的焦点为犉，经过点犉的直线交抛物线于犃，
犅两点，点犆在抛物线的准线上，且犅犆∥狓轴，求证：直线犃犆经过原
点犗．
１２．早在一千多年之前，我国已经把溢流孔用于造桥技术，以减轻桥身重量和
水流对桥身的冲击．现设桥拱上有如图所示的４个溢流孔，桥拱和溢流孔
的轮廓线均为抛物线的一部分，且４个溢流孔的轮廓线相同．根据图上尺
寸，试分别求出这些抛物线的方程，及溢流孔与桥拱交点犃，犅，犆的位置．
（第１２题）
１３．直线狔＝犪狓＋１与双曲线３狓２－狔２＝１相交于犃，犅两点．
（１）求犃犅的长；
（２）当犪为何值时，以犃犅为直径的圆经过坐标原点？
１４．有一隧道内设双行线公路，其截面由一长方形和一抛物线构成，如图所示．
为保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上高度
之差至少要有０．５ｍ．若行车道总宽度犃犅为６ｍ，请计算车辆通过隧道时
１１５选择性必修第一册 数学
的限制高度（精确到０．１ｍ）．
（第１４题）
１５．设犪，犫是实数，若椭圆犪狓２＋犫狔２＝１与直线狓＋狔＝１交于点犃，犅，点犕
槡２
为犃犅的中点，直线犗犕（犗为原点）的斜率为 ，又犗犃⊥犗犅，求犪，犫
２
的值．
探究·拓展 １６．（写作题）离心率相同的二次曲线“形状都相同”．
我们知道，椭圆的离心率决定了它的“扁圆”程度，双曲线的离心率决定
了它的“开口”大小．那么，离心率对抛物线的形状有何影响？为什么所有抛
物线的离心率都等于１？
结论只有一个，任何抛物线的形状都相同（即相似）．
抛物线的开口明显有大有小，形状怎么会相同呢？
我们可先用放大镜原理作一个直观的说明．图（１）中的△犃犅犆在３倍
放大镜下观察，得到图（２）中的△犃犅犆，这两个三角形是相似的，即“形状
相同”．
（第１６题）
对于抛物线，我们以狔＝狓２ 为例，图（３）中画有抛物线狔＝狓２ 和狔＝
１
狓２，图（４）是将图（３）中狔＝狓２ 的图象在４倍放大镜下观察得到的形状，
４
１
它和图（３）中狔＝ 狓２ 的图象是可以重合的，故两条抛物线的形状相同．
４
上面的结论对任意给出的两条抛物线都是成立的．
下面我们进一步说明抛物线狔＝犪狓２（犪＞０）与狔＝犃狓２（犃＞０）是位
１１６３
圆锥曲线与方程 第 章
似形，原点是位似中心．
设直线犗犘的方程为狔＝犿狓（犿＞０），不难求出这条直线与两条已知
（ ） （ ）
抛物线的交点犕
犿
，
犿２
和犖
犿
，
犿２
，于是
犪 犪 犃 犃
犿 犿
犗犕＝ 槡１＋犿２，犗犖＝ 槡１＋犿２，
犪 犃
犗犕 犃
所以 ＝ ，这是一个与直线犗犘无关的常数．因此，任何两个抛物线的
犗犖 犪
形状都是相同的．
根据上述思路，请你尝试证明：离心率相同的圆锥曲线“形状都相同”．
并以此为素材，写一篇小论文．
１７（阅读题）圆锥曲线的光学性质．
椭圆形的反射面能使从一个焦点发出的信号在另一个焦点汇聚，如从
一个焦点发出的光线将汇聚到另一个焦点处（图（１））．
椭圆的这一光学性质应用非常广泛．碎石机是一种现代医疗仪器，它运
用高能冲击波击碎肾结石．经过准确的测量，将病人的结石置于一个焦点
处，而高频冲击波从另一个焦点处射出，经反射的冲击波可击碎焦点处的结
石．用此项医疗技术治疗只需３～４天的恢复时间，而传统外科手术治疗约
需２～３周的恢复时间．更值得一提的是，其治疗中的死亡率仅为０．０１％，
而传统外科手术的约为２％～３％．
抛物线也有类似的光学性质．平行于抛物线的对称轴的光线经抛物线
壁的反射，光线汇聚于焦点处，这就是“焦点”名称的来源．运用抛物线的这
一性质，人们设计了一种将水和食物加热的太阳灶．反过来，从焦点处发出
的光线，经过抛物线反射后将变成与抛物线的对称轴平行的光线射出，运用
这一性质，人们制造了探照灯．
从双曲线的一个焦点发出的光线，经过双曲线反射后，反射光线是散开
的，它们好像是从另一个焦点射出的一样（图（２）），因此，用双曲线绕实轴旋
转形成的曲面（双叶旋转双曲面）应用也很广泛．
（１） （２）
（第１７题）
为了既获得足够的亮度，又使光线尽可能地均匀柔和，专门为摄影师设
计的照明灯就往往利用双曲线的光学性质，把反射镜的表面做成双叶旋转
双曲面的形状，并让灯丝恰好位于焦点．
请查阅有关资料，了解圆锥曲线光学性质的应用．
１１７选择性必修第一册 数学
本章测试
狓２ 狔２
一、填空题 １．椭圆 ＋ ＝１的离心率为 ．
２５ １６
２．抛物线狓２＝４狔的焦点到准线的距离为 ．
狓２ 狔２
３．以双曲线 － ＝１的左焦点为焦点的抛物线的标准方程为 ．
１６ ９
狓２ 狔２
４．椭圆 ＋ ＝１上横坐标为２的点到右焦点的距离为 ．
１６ ７
狔２ 狓２
５．若经过双曲线 － ＝１的一个焦点，且垂直于实轴的直线犾与双曲线
１６ ８
交于犃，犅两点，则线段犃犅的长为 ．
６．椭圆 经 过 点 （２，－槡６）和 （２槡２，槡３），则 该 椭圆 的 标 准 方 程 为
．
狓２ 狔２
二、选择题 ７．椭圆 ＋ ＝１的焦点的坐标为（ ）．
９ ５
Ａ．（－槡１４，０），（槡１４，０） Ｂ．（－２，０），（２，０）
Ｃ．（０，－槡１４），（０，槡１４） Ｄ．（０，－２），（０，２）
狓２ 狔２
８．设双曲线犆以椭圆 ＋ ＝１长轴的两个端点为焦点，以椭圆的焦点为
２５ ９
顶点，则双曲线犆的方程为（ ）．
狓２ 狔２ 狓２ 狔２
Ａ． － ＝１ Ｂ． － ＝１
２５ ９ １６ ４
狓２ 狔２ 狓２ 狔２
Ｃ． － ＝１ Ｄ． － ＝１
１６ ９ ９ １６
９．已知双曲线经过点（－槡３，６），若它的两条渐近线方程是狔＝±３狓，则双曲
线的方程为（ ）．
狓２ 狔２
Ａ． －狔２＝１ Ｂ． －狓２＝１
９ ９
狓２ 狔２ 狔２ 狓２
Ｃ． － ＝１ Ｄ． － ＝１
２７ ３ ２７ ３
１０．若抛物线狔２＝２狓上的一点犕到坐标原点犗的距离为槡３，则点犕到该抛
物线焦点的距离为（ ）．
Ａ．３ Ｂ．２
３
Ｃ． Ｄ．１
２
三、解答题 １１．已知抛物线的准线方程为狔＝－２，求抛物线的标准方程．
３
１２．已知双曲线的实轴长为８，离心率为 ，求双曲线的标准方程．
２
１１８３
圆锥曲线与方程 第 章
１３．已知椭圆的焦点为犉（－６，０），犉（６，０），且该椭圆过点犘（５，２）．
１ ２
（１）求椭圆的标准方程；
（２）若椭圆上的点犕（狓，狔）满足犕犉 ⊥犕犉，求狔的值．
０ ０ １ ２ ０
狓２ 狔２
１４．设犿为实数，已知方程 － ＝１表示双曲线．
４－犿 ２＋犿
（１）求犿的取值范围；
（２）若犿＝２，求双曲线的焦点到渐近线的距离．
１５．已知抛物线犆：狔２＝２狆狓（狆＞０）与直线犾：狔＝狓＋犫相交于犃，犅两点，线
段犃犅中点的横坐标为５，且抛物线犆的焦点到直线犾的距离为槡２，试求狆，犫
的值．
１１９第４章 数 列数学揭示着事物的本质与内核，它以形式简单而内涵
丰富为其特征．
———狄尔曼
自然世界呈现各式各样的现象，有些现象与“数”紧密联系着：树
木生长过程中枝丫的数目，果实的个数与排列方式……
这些纷杂的现象背后有规律吗？
观察某株树木的枝丫数，第一年为１，第二年为１，第三年为２，第
四年为３，第五年为５，第六年为８，第七年为１３，第八年为２１，第九年
为３４，第十年为５５，第十一年为８９，第十二年为１４４……
将它们按年份排列起来，就是下面的一列数：
１，１，２，３，５，８，１３，２１，３４，５５，８９，１４４，…
可以发现，这列数有许多规律．例如，从第三个数开始，每一个数
都等于前两个数的和；再如，相邻两个数的比值（前一个数与后一个
数之比）越来越接近于某个确定的常数……
上面的研究过程，大致思路是：
（１）首先，用“数”刻画现象中的状态；
（２）将这些数按一定的顺序排成一列（与正整数建立对应关系）；
（３）研究这列数的规律，用这些规律刻画并认识变化的状态和
过程．
仿照这个过程，我们可以进一步去研究自然界、社会生活中的类
似现象，探索这些现象背后的规律，以解决具体的实际问题．在研究
过程中，我们
● 应该建立怎样的数学模型来刻画这类现象？
● 用这些数学模型能够解决哪些问题？
１２２４．１
数列
考察下面的问题：
某剧场有３０排座位，第一排有２０个座位，从第二排起，后一排都
比前一排多２个座位（图４ １ １），那么各排的座位数依次为
２０，２２，２４，２６，２８，…． ①
图４ １ １
人类在１７４０年发现了一颗彗星，并推算出这颗彗星每隔８３年出
现一次，那么从发现那次算起，这颗彗星出现的年份依次为
１７４０，１８２３，１９０６，１９８９，２０７２，…． ②
某种细胞，如果每个细胞每分钟分裂为２个，那么每过１分钟，
１个细胞分裂的个数依次为
１，２，４，８，１６，…． ③
“一尺之捶，日取其半，万世不竭”的意思为：一尺长的木棒，每日
“捶”同“棰”．
取其一半，永远也取不完．如果将“一尺之捶”视为１份，那么每日剩下
的部分依次为
１ １ １ １ １
， ， ， ， ，…． ④
２ ４ ８ １６ ３２
某种树木第１年长出幼枝，第２年幼枝长成粗干，第３年粗干可生
出幼枝（图４ １ ２），那么按照这个规律，各年树木的枝干数依次为
１，１，２，３，５，８，…． ⑤
图４ １ ２
１２３选择性必修第一册 数学
从１９８４年到２０１６年，我国共参加了９次夏季奥运会，各次参赛
获得的金牌总数依次为
１５，５，１６，１６，２８，３２，５１，３８，２６． ⑥
● 这些问题有什么共同的特点？
按照一定次序排列的一列数称为数列（ｓｅｑｕｅｎｃｅｏｆｎｕｍｂｅｒ），数
列中的每个数都叫作这个数列的项（ｔｅｒｍ）．项数有限的数列叫作有
穷数列，项数无限的数列叫作无穷数列．
数列的一般形式可以写成
犪，犪，犪，…，犪，…，
１ ２ ３ 狀
简记为｛犪｝，其中犪称为数列｛犪｝的第１项或首项（ｌｅａｄｉｎｇｔｅｒｍ），犪
狀 １ 狀 ２
称为第２项……犪称为第狀项．
狀
在数列｛犪｝中，对于每一个正整数狀（或狀∈ ｛１，２，…，犽｝），都
狀
有一个数犪与之对应，因此，数列可以看成以正整数集犖 （或它的有
狀
限子集｛１，２，…，犽｝）为定义域的函数犪＝犳（狀），当自变量按照从小
狀
到大的顺序依次取值时，所对应的一列函数值．反过来，对于函数狔＝
犳（狓），如果犳（犻）（犻＝１，２，３，…）有意义，那么我们可以得到一
个数列
犳（１），犳（２），犳（３），…，犳（狀），…．
例１ 已知数列的第狀项犪 为２狀－１，写出这个数列的首项、
狀
第２项和第３项．
解 首项为 犪＝２×１－１＝１；
１
第２项为 犪＝２×２－１＝３；
２
第３项为 犪＝２×３－１＝５．
３
在例１中，第狀项犪 可用一个公式２狀－１来表示．只要依次用１，
狀
２，３，…代替公式中的狀，就可以求出这个数列的各项犪，犪，犪，…
１ ２ ３
一般地，如果数列｛犪｝的第狀项与序号狀之间的关系可以用一个
狀
公式来表示，那么这个公式叫作这个数列的通项公式．例如：
数列①的通项公式为犪＝２狀＋１８，其中狀∈犖
，狀≤３０；数列
狀
③的通项公式为犪＝２狀－１ ，其中狀∈犖
；等等．
狀
数列可以由通项公式来给定，也可以通过列表或图象来表示．
例２ 已知数列｛犪｝的通项公式，写出这个数列的前５项，并作
狀
出它的图象：
狀 （－１）狀
（１）犪＝ ； （２）犪＝ ．
狀 狀＋１ 狀 ２狀
１２４４
数 列 第 章
解 我们用列表法分别给出这两个数列的前５项．
狀 １ ２ ３ ４ ５
狀 １ ２ ３ ４ ５
犪＝
狀 狀＋１ ２ ３ ４ ５ ６
（－１）狀 １ １ １ １ １
犪＝ － － －
狀 ２狀 ２ ４ ８ １６ ３２
它们的图象如图４ １ ３所示．
图４ １ ３
不难发现，在数列①中，某剧场有３０排座位，第一排有２０个座
位，从第二排起，后一排都比前一排多２个座位，也就是说，
犪＝２０，
１
犪＝犪＋２，
２ １
犪＝犪＋２，
３ ２
…
犪 ＝犪 ＋２．
３０ ２９
即有
犪＝２０，
１
犪 ＝犪＋２（狀∈犖
，狀≤２９）．
狀＋１ 狀
由上面数列的第１项，以及犪 与犪的关系，可以写出这个数列
狀＋１ 狀
的各项．
一般地，如果已知一个数列｛犪｝的第１项（或前几项），且任一项
狀
犪与它的前一项犪 （或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，
狀 狀－１
那么这个公式就叫作这个数列的递推公式．递推公式也是给定数列
的一种方法．
例如，数列⑤可以用下列递推公式给出
犪＝１，
１
犪＝１，
２
犪 ＝犪 ＋犪，其中狀∈犖
．
狀＋２ 狀＋１ 狀
１２５选择性必修第一册 数学
例３ 试分别根据下列条件，写出数列｛犪｝的前５项：
狀
（１）犪＝１，犪＝２，犪 ＝犪 ＋２犪，其中狀∈犖
；
１ ２ 狀＋２ 狀＋１ 狀
１
（２）犪＝２，犪 ＝２－ ，其中狀∈犖
．
１ 狀＋１ 犪
狀
解 （１）因为犪＝１，犪＝２，犪 ＝犪 ＋２犪，其中狀∈犖
，
１ ２ 狀＋２ 狀＋１ 狀
所以
犪＝犪＋２犪＝２＋２×１＝４，
３ ２ １
犪＝犪＋２犪＝４＋２×２＝８，
４ ３ ２
犪＝犪＋２犪＝８＋２×４＝１６．
５ ４ ３
因此，数列｛犪｝的前５项依次为１，２，４，８，１６．
狀
１
（２）因为犪＝２，犪 ＝２－ ，其中狀∈犖
，所以
１ 狀＋１ 犪
狀
１ １ ３
犪＝２－ ＝２－ ＝ ，
２ 犪 ２ ２
１
１ ２ ４
犪＝２－ ＝２－ ＝ ，
３ 犪 ３ ３
２
１ ３ ５
犪＝２－ ＝２－ ＝ ，
４ 犪 ４ ４
３
１ ４ ６
犪＝２－ ＝２－ ＝ ．
５ 犪 ５ ５
４
３ ４ ５ ６
因此，数列｛犪｝的前５项依次为２， ， ， ， ．
狀 ２ ３ ４ ５
例４ 写出数列的一个通项公式，使它的前４项分别是下列
各数：
１ １ １ １
（１） ，－ ， ，－ ；
１×２ ２×３ ３×４ ４×５
（２）０，２，０，２．
解 （１）这个数列的前４项的绝对值都是分数，分子都为１，分母
都等于序号与序号加１的积，且奇数项为正，偶数项为负，所以它的一
求数列的通项公
式，就是求犪与狀的 个通项公式是
狀
对应关系犪＝犳（狀）． （－１） 狀＋１
犪＝ ．
狀 狀 狀（狀＋１）
（２）这个数列的奇数项是０，偶数项是２，所以它的一个通项
公式是
犪＝１＋（－１） 狀．
狀
信息技术 ＥＸＣＥＬ
●
已知数列的通项公式，我们可以在Ｅｘｃｅｌ中方便地作出这个数列
的图象，进而观察它的变化趋势．
１２６４
数 列 第 章
例如，在单元格Ａ１，Ａ２内分别输入１，２，选中这两个单元格后向
下拖曳填充柄，生成序号１，２，３，…．在Ｂ１内输入“＝Ａ１／（Ａ１＋１）”，
双击Ｂ１的填充柄，就得到与序号相对应的项．
选中Ａ，Ｂ两列，插入“图表”，选择“ＸＹ散点图”，可得数列犪＝
狀
狀
的图象（图４ １ ４）．
狀＋１
图４ １ ４
ＧＧＢ
●
在ＧＧＢ中，可用“序列［］”得到数列及图象．例如，在输入框中输
狀
入“序列［（狀，狀／（狀＋１）），狀，１，２０］”就可得到数列犪＝ 的２０
狀 狀＋１
个序对（狀，犪）及图象（图４ １ ５）．
狀
图４ １ ５
练 习 １举出一些数列的例子．
２根据数列｛犪｝的通项公式，写出它的前５项：
狀
（１）犪＝１－３狀； （２）犪＝（－１）狀２狀．
狀 狀
３根据数列｛犪｝的通项公式，写出它的第６项和第１０项：
狀
（１）犪＝狀２＋狀； （２）犪＝５－２狀－１．
狀 狀
４３７是否为数列｛３狀＋１｝中的项？如果是，那么是第几项？
５写出数列的一个通项公式，使它的前４项分别是下列各数：
（１）－１，２，－３，４；
（２）２，４，６，８；
（３）１，４，９，１６；
１ １ １ １ １ １ １
（４）１－ ， － ， － ， － ．
２ ２ ３ ３ ４ ４ ５
６分别作出本节开始问题中数列①③的图象．
１２７选择性必修第一册 数学
习题４．１
感受·理解 １．分别写出下面的数列：
（１）在０到１６之间的奇数按从小到大的顺序构成的数列；
（２）在０到１６之间的质数按从小到大的顺序构成的数列．
２．根据数列｛犪｝的通项公式，写出它的前５项：
狀
１
（１）犪＝ ；
狀 狀２
（２）犪＝（－１）狀（狀２－１）；
狀
（３）犪＝狘２狀－７狘．
狀
３写出数列的一个通项公式，使它的前４项分别是下列各数：
（１）２，４，８，１６； （２）１，８，２７，６４；
１ １ １
（３）－１， ，－ ， ； （４）１，槡２，槡３，２．
２ ３ ４
４．写出一个分别满足下列条件的数列｛犪｝的通项公式：
狀
（１）从第２项起，每一项都比它的前一项大２；
（２）各项均不为０，且从第二项起，每一项都是它的前一项的３倍．
５已知数列｛狀（狀＋２）｝．
（１）写出这个数列的第８项和第２０项；
（２）３２３是不是这个数列中的项？如果是，那么是第几项？
６写出数列｛犪｝的前５项，并作出它的图象：
狀
（１）犪＝２狀＋３； （２）犪＝３；
狀 狀
１
烄１， 狀为奇数；
（３）犪＝ （２狀－１）； （４）犪＝烅
狀 ３ 狀 烆２狀－１，狀为偶数．
思考·运用 ７已知数列｛犪｝的通项公式是犪＝狀２＋３狀＋２，那么５６是这个数列中的项
狀 狀
吗？如果是，那么是第几项？
８已知数列｛犪｝的通项公式是犪＝狀２－８狀＋５．
狀 狀
（１）写出这个数列的前５项，并作出它的图象；
（２）这个数列中有没有最小的项？
探究·拓展 ９．下图中的三角形称为谢尔宾斯基（Ｓｉｅｒｐｉｎｓｋｉ）三角形．图中从左向右的四个
三角形中，着色三角形的个数依次构成数列｛犪｝的前４项，写出数列｛犪｝的
狀 狀
一个通项公式，并作出它的图象．
（第９题）
１２８４
数 列 第 章
４．２
等差数列
回顾本章４．１节开始我们遇到的数列①②，再考察下面的问题：
第２３届到第３１届奥运会举行的年份依次为
１９８４，１９８８，１９９２，１９９６，２０００，２００４，２００８，２０１２，２０１６．
某电信公司的一种计费标准是：通话时间不超过３ｍｉｎ，收话费
０．２元，以后每分钟（不足１ｍｉｎ按１ｍｉｎ计）收话费０．１元．那么通话
费按从小到大的次序依次为
０．２，０．２＋０．１，０．２＋０．１×２，０．２＋０．１×３，…．
如果１年期储蓄的月利率为１．６５‰，那么将１００００元分别存
“本利和”是指本
１个月、２个月、３个月……１２个月，所得的本利和依次为
金与利息的和，按照
单利计算本利和的公
１００００＋１６．５，１００００＋１６．５×２，…，１００００＋１６．５×１２．
式是
本利和＝本金× ● 上面这些数列有什么共同的特点？
（１＋利率×存期）．
４２１ 等差数列的概念
一般地，如果一个数列从第二项起，每一项减去它的前一项所得
在等差数列｛犪｝
的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫作等差数列（ａｒｉｔｈｍｅｔｉｃ
狀
中，始终有
ｐｒｏｇｒｅｓｓｉｏｎ），这个常数叫作等差数列的公差（ｃｏｍｍｏｎｄｉｆｆｅｒｅｎｃｅ），公
犪 －犪＝犱． 差通常用犱表示．
狀＋１ 狀
思 考
你能再举出一些等差数列的例子吗？
例１ 判断下列数列是否为等差数列：
（１）１，１，１，１，１；
（２）４，７，１０，１３，１６；
（３）－３，－２，－１，１，２，３．
解 （１）所给数列是首项为１，公差为０的等差数列．
（２）所给数列是首项为４，公差为３的等差数列．
（３）因为
（－１）－（－２）≠１－（－１），
所以这个数列不是等差数列．
１２９选择性必修第一册 数学
例２ 求出下列等差数列中的未知项：
（１）３，犪，５；
（２）３，犫，犮，－９．
解 （１）根据题意，得
犪－３＝５－犪，
解得 犪＝４．
（２）根据题意，得
烄犫－３＝犮－犫，
烅
烆犮－犫＝－９－犮，
烄犫＝－１，
解得
烅
烆犮＝－５．
例３ （１）在等差数列｛犪｝中，是否有
狀
犪 ＋犪
犪＝ 狀－１ 狀＋１（狀≥２）？
狀 ２
（２）在数列｛犪｝中，如果对于任意的正整数狀（狀≥２），都有
狀
犪 ＋犪
犪＝ 狀－１ 狀＋１，
狀 ２
那么数列｛犪｝一定是等差数列吗？
狀
解 （１）因为｛犪｝是等差数列，所以
狀
犪 －犪＝犪－犪 （狀≥２），
狀＋１ 狀 狀 狀－１
犪 ＋犪
所以 犪＝ 狀－１ 狀＋１．
狀 ２
（２）在数列｛犪｝中，如果对于任意的正整数狀（狀≥２），都有
狀
犪 ＋犪
犪＝ 狀－１ 狀＋１，
狀 ２
从而 犪 －犪＝犪－犪 （狀≥２）．
狀＋１ 狀 狀 狀－１
这表明，这个数列从第２项起，后一项减去前一项所得的差始终
相等，所以数列｛犪｝是等差数列．
狀
练 习 １．判断下列数列是否为等差数列：
１ １ １
（１）－１，－１，－１，－１，－１； （２）１， ， ， ；
２ ３ ４
（３）１，０，１，０，１，０； （４）２，４，６，８，１０，１２；
（５）７，１２，１７，２２，２７．
１３０４
数 列 第 章
２．从下面的月历表中，请你用彩笔涂出３个等差数列，满足以下要求：
（１）每个数列的项所在的框是相连接的（顶点相连或者边相连）；
（２）三个数列的公差是不同的．
日 一 二 三 四 五 六
１ ２ ３ ４ ５ ６ ７
８ ９ １０ １１ １２ １３ １４
１５ １６ １７ １８ １９ ２０ ２１
２２ ２３ ２４ ２５ ２６ ２７ ２８
２９ ３０ ３１
３．已知下列数列是等差数列，试在括号内填上适当的数：
（１）（ ），５，１０； （２）１，槡２，（ ）；
（３）３１，（ ），（ ），１０．
４．已知数列｛犪｝是等差数列．
狀
（１）如果犪＝２，犪＝６，求公差犱和犪；
１ ３ ２
（２）如果犪＝２，犪＝５，求公差犱和犪；
２ ３ １
（３）如果犪＝１，犪＝４，求公差犱和犪．
１ ２ ６
５．已知数列｛犪｝的通项公式，判断它是否为等差数列：
狀
（１）犪＝３狀＋１； （２）犪＝４－２狀；
狀 狀
（３）犪＝狀２； （４）犪＝０．
狀 狀
６．已知犪，犪，犪，…，犪，犪 ，…，犪 是公差为犱的等差数列．
１ ２ ３ 狀 狀＋１ ２狀
（１）犪，犪 ，…，犪，犪也是等差数列吗？如果是，试求出公差；
狀 狀－１ ２ １
（２）犪，犪，犪，…，犪 也是等差数列吗？如果是，试求出公差．
２ ４ ６ ２狀
４．２．２ 等差数列的通项公式
观察等差数列｛犪｝
狀
４，７，１０，１３，１６，…，
如何写出它的第１００项犪 呢？
１００
我们有 犪＝４，
１
犪＝７＝４＋３，
２
犪＝１０＝４＋３×２，
３
犪＝１３＝４＋３×３，
４
…
从而 犪 ＝４＋３×９９＝３０１．
１００
设｛犪｝是一个首项为犪，公差为犱的等差数列，你能写出它的第
狀 １
狀项犪 吗？
狀
一般地，对于等差数列｛犪｝的第狀项犪，有
狀 狀
１３１选择性必修第一册 数学
犪＝犪＋（狀－１）犱．
狀 １
这就是等差数列｛犪｝的通项公式，其中犪为首项，犱为公差．
狀 １
证明 因为｛犪｝为等差数列，所以当狀≥２时，有
狀
犪－犪＝犱，
２ １
犪－犪＝犱，
３ ２
…
犪－犪 ＝犱．
狀 狀－１
将上面狀－１个等式的两边分别相加，得
犪－犪＝ （狀－１）犱，
狀 １
所以 犪＝犪＋（狀－１）犱．
狀 １
当狀＝１时，上面的等式也成立．
例４ 在等差数列｛犪｝中，
狀
（１）已知犪＝３，公差犱＝－２，求犪；
１ ６
（２）已知犪＝１０，犪＝２８，求犪．
３ ９ 狀
解 （１）由等差数列的通项公式，得
犪＝３＋（６－１）（－２）＝－７．
６
（２）设等差数列的公差为犱，那么
烄犪＋２犱＝１０，
１
烅
烆犪＋８犱＝２８，
１
烄犪＝４，
解得 １
烅
烆犱＝３．
所以 犪＝４＋（狀－１）·３＝３狀＋１．
狀
例５ 第一届现代奥运会于１８９６年在希腊雅典举行，此后每４
年举行一次．奥运会如因故不能举行，届数照算．按此规则，问：２０５０
年举行奥运会吗？
解 由题意知，举行奥运会的年份构成的数列是一个以１８９６为
首项，４为公差的等差数列．这个数列的通项公式为
犪＝１８９６＋４（狀－１）
狀
＝１８９２＋４狀 （狀∈犖
）．
假设犪＝２０５０，则２０５０＝１８９２＋４狀，解得狀＝３９．５．
狀
所以犪＝２０５０无正整数解．
狀
答 按此规则，２０５０年不举行奥运会．
１３２４
数 列 第 章
例６ 已知等差数列｛犪｝的通项公式为犪＝２狀－１，求首项犪
狀 狀 １
和公差犱．
或犱＝犪 －犪
解 犪＝２×１－１＝１，
狀＋１ 狀 １
＝２（狀＋１）－１－（２狀
犪＝２×２－１＝３，
２
－１）＝２．
所以 犱＝犪－犪＝３－１＝２．
２ １
在例６中，等差数列的通项公式犪＝２狀－１是关于狀的一次式，
狀
从图象上看（图４ ２ １），表示这个数列的各点（狀，犪）均在直线狔＝
狀
２狓－１上．
图４ ２ １
思 考 如果一个数列｛犪｝的通项公式为犪＝犽狀＋犫，其中犽，犫都是常
狀 狀
数，那么这个数列一定是等差数列吗？
练 习 １．求下列等差数列的第狀项：
（ １） ２ ，６ ， １０ ， … ；
（２）１３，９，５，…；
１ １ ３
（３）－ ， ， ，…．
２ ２ ２
２．（１）求等差数列８，５，２，…的第２０项．
（２）等差数列－５，－９，－１３，…的第几项是－４０１？
７
（３）－２０是不是等差数列０，－ ，－７，…的项？如果是，那么是第几项？
２
如果不是，请说明理由．
３．等差数列｛犪｝的首项为犪，公差为犱，项数为狀．
狀 １
（１）已知犪＝３，犱＝２，狀＝６，求犪；
１ 狀
（２）已知犪＝１，犱＝２，犪＝１５，求狀；
１ 狀
１
（３）已知犪＝ ，狀＝５，犪＝８，求犱；
１ ２ 狀
３
（４）已知犱＝－ ，狀＝１２，犪＝－８，求犪．
２ 狀 １
１
４．已知等差数列的通项公式为犪＝１－ 狀，求它的首项和公差，并画出它的
狀 ２
图象．
１３３选择性必修第一册 数学
５．诺沃尔（Ｋｎｏｗａｌｌ）在１７４０年发现了一颗彗星，并推算出在１８２３年、１９０６
年、１９８９年……人类都可以看到这颗彗星，即彗星每隔８３年出现一次．
（１）从发现那次算起，彗星第８次出现是在哪一年？
（２）你认为这颗彗星会在２５００年出现吗？为什么？
６．某滑轮组由直径成等差数列的６个滑轮组成．已知最小和最大的滑轮的直
径分别为１５ｃｍ和２５ｃｍ，求中间四个滑轮的直径．
７．在等差数列｛犪｝中，
狀
（１）已知犪＝１９，犪＝１０，求犪和公差犱；
５ ８ １
（２）已知犪＝１０，犪 ＝４，求犪．
４ １０ １４
习题４．２（１）
感受·理解
１．判断下列数列是否为等差数列：
１ ３ ５
（１） ，１， ，２， ； （２）４，２，０，－２，－４；
２ ２ ２
（３）１，槡２，槡３，２．
２．求出下列等差数列中的未知项：
（１）犪，犫，－１０，犮，－２０； （２）狓，ｌｇ３，ｌｇ６，狔．
３．求下列等差数列的第狀项：
（１）－１，３，７，１１，…；
（２）１３，８，３，－２，…；
１ １ ５
（３） ，－ ，－１，－ ，…．
３ ３ ３
４．在等差数列｛犪｝中，
狀
（１）已知犪＝－１，公差犱＝４，求犪；
１ ８
１
（２）已知公差犱＝－ ，犪＝８，求犪；
３ ７ １
（３）已知犪＝９，公差犱＝－２，犪＝－１５，求狀．
１ 狀
５．在等差数列｛犪｝中，
狀
（１）已知犪＝３１，犪＝７６，求犪和公差犱；
３ ７ １
（２）已知犪＝４，犪＝－４，求犪；
４ ８ １２
（３）已知犪＝７，犪＝１６，求犪；
３ ６ １０
（４）已知犪＋犪＝１２，犪＝７，求犪．
１ ６ ４ ９
６．一个等差数列的第４０项等于第２０项与第３０项的和，且公差是－１０，试求
首项和第１０项．
７．一种变速自行车后齿轮组由５个齿轮组成，它们的齿数成等差数列，其中最
小和最大的齿轮的齿数分别为１２和２８，求中间三个齿轮的齿数．
３
８．已知等差数列｛犪｝的首项犪＝１６，公差犱＝－ ．
狀 １ ４
（１）此等差数列中从第几项开始是负数？
（２）当狀为何值时，｜犪｜最小？
狀
９．三个数成等差数列，它们的和是１５，它们的平方和等于８３，求这三个数．
１３４４
数 列 第 章
１０．图（１）是一个三角形，分别连接这个三角形三边的中点，将原三角形剖分成
４个三角形（图（２）），再分别连接图（２）中间的一个小三角形三边的中点，又
可将原三角形剖分成７个三角形（图（３））．依此类推，第狀个图中原三角形
被剖分为犪个三角形．
狀
（１）求数列｛犪｝的通项公式；
狀
（２）第１００个图中原三角形被剖分为多少个三角形？
（第１０题）
犪＋犫 犪＋犫
１１．如果犪，犃，犫这三个数成等差数列，那么犃＝ ．我们把犃＝ 叫作
２ ２
犪和犫的等差中项．试求下列各组数的等差中项：
（１）７＋３槡５和７－３槡５；
（２）（犿＋狀）２ 和（犿－狀）２．
１２．已知等差数列｛犪｝的首项为犪，公差为犱．
狀 １
（１）将数列｛犪｝中的每一项都乘以常数犪，所得的新数列仍是等差数列吗？
狀
如果是，那么公差是多少？
（２）由数列｛犪｝中的所有奇数项按原来的顺序组成的新数列｛犮｝是等差数
狀 狀
列吗？如果是，求出它的首项和公差．
思考·运用 １３．已知等差数列｛犪｝的公差为犱，求证：犪－犪＝（狀－犿）犱，其中狀，犿∈犖．
狀 狀 犿
１４．已知数列｛犪｝和｛犫｝是两个无穷等差数列，公差分别为犱和犱，求证：数列
狀 狀 １ ２
｛犪＋犫｝是等差数列，并求它的公差．
狀 狀
１５．已知｛犪｝是等差数列，当犿＋狀＝狆＋狇时，是否一定有犪＋犪＝犪＋犪？
狀 犿 狀 狆 狇
１６．在等差数列｛犪｝中，已知犪＝狇，犪＝狆（狆≠狇），求犪 ．
狀 狆 狇 狆＋狇
１７．如果数列｛犪｝满足：存在正整数犽，对任意的狀∈犖 ，狀＞犽，都有犪＝
狀 狀
犪 ＋犪
狀＋犽
狀－犽，那么数列｛犪｝是等差数列吗？
２ 狀
探究·拓展 １８．１９３４年，东印度（今孟加拉国）学者森德拉姆（Ｓｕｎｄａｒａｍ）发现了“正方
形筛子”：
４ ７ １０ １３ １６ …
这个“正方形筛
７ １２ １７ ２２ ２７ …
子”的奥妙在于：如果
１０ １７ ２４ ３１ ３８ …
某个自然数狀出现在
１３ ２２ ３１ ４０ ４９ …
表中，那么２狀＋１肯
１６ ２７ ３８ ４９ ６０ …
定不是质数；如果狀在
… … … … … …
表中不出现，那么
２狀＋１肯定是质数．
（１）这个“正方形筛子”的每一行有什么特点？每一列呢？
（２）“正方形筛子”中位于第１００行的第１００个数是多少？
１３５选择性必修第一册 数学
４．２．３ 等差数列的前狀项和
先考察图４ ２ ２．这是某仓库堆放的一堆钢管，最上面的一层
有４根钢管，下面的每一层都比上一层多一根，最下面的一层有９根，
怎样计算这堆钢管的总数呢？
假设在这堆钢管旁边倒放着同样一堆钢管（图４ ２ ３）．
图４ ２ ２ 图４ ２ ３
这样，每层的钢管数都等于４＋９，共有６层，从而原来一堆钢管
的总数为
６×（４＋９）
＝３９．
２
一般地，对于数列｛犪｝，把犪＋犪＋…＋犪称为数列｛犪｝的前狀
狀 １ ２ 狀 狀
项和，记作犛．
狀
如何求等差数列｛犪｝的前狀项和犛？
狀 狀
设等差数列｛犪｝的首项为犪，公差为犱，则
狀 １
犛＝犪＋犪＋…＋犪
狀 １ ２ 狀
＝犪＋（犪＋犱）＋…＋［犪＋（狀－１）犱］． ①
１ １ １
把各项的次序反过来，犛又可以写成
狀
犛＝犪＋犪 ＋…＋犪
狀 狀 狀－１ １
＝犪＋（犪－犱）＋…＋［犪－（狀－１）犱］． ②
狀 狀 狀
由①＋②，得
２犛＝ （犪＋犪）＋（犪＋犪）＋…＋（犪＋犪）
狀 １ 狀 １ 狀 １ 狀
＝狀（犪＋犪），
１ 狀
由此可得等差数列｛犪｝的前狀项和公式
狀
等差数列前狀项
狀（犪＋犪）
的和等于首末两项和 犛＝ １ 狀 ．
狀 ２
的一半的狀倍．
根据等差数列的通项公式犪＝犪＋（狀－１）犱，又可得到
狀 １
狀（狀－１）
犛＝狀犪＋ 犱．
狀 １ ２
１３６４
数 列 第 章
例１ 设犛为等差数列｛犪｝的前狀项和．
狀 狀
（１）已知犪＝３，犪 ＝１０１，求犛 ；
１ ５０ ５０
１
（２）已知犪＝３，公差犱＝ ，求犛 ．
１ ２ １０
解 （１）根据等差数列前狀项和公式，得
３＋１０１
犛 ＝ ×５０＝２６００．
５０ ２
（２）根据等差数列前狀项和公式，得
１０×９ １ １０５
犛 ＝１０×３＋ × ＝ ．
１０ ２ ２ ２
１ ３
例２ 在等差数列｛犪｝中，已知 公差犱＝ ，犪＝ ，前狀项和
狀 ２ 狀 ２
１５
犛＝－ ，求犪及狀．
狀 ２ １
解 由题意得
３
烄
犪＋
１ ２ １５
×狀＝－ ，
２ ２ ①
在等差数列的通 烅
项公式与前狀项和公
犪＋（狀－１）×
１
＝
３
． ②
烆１ ２ ２
式中，共含有犪，犱，
１
狀，犪，犛 五个量，只 １
狀 狀
由②，得 犪＝－ 狀＋２．
１ ２
要已知其中的三个
量，就可以求出其余 代入①后化简，得 狀２－７狀－３０＝０．
的两个量． 解得狀＝１０或－３（舍去），从而犪＝－３．
１
例３ 在等差数列｛犪｝中，已知第１项到第１０项的和为３１０，第
狀
１１项到第２０项的和为９１０，求第２１项到第３０项的和．
解 设等差数列的前狀项和为犛，公差为犱．由题意得
狀
烄犛 ＝３１０，
１０
烅
烆犛 －犛 ＝９１０，
２０ １０
即
１０×９
烄１０犪＋ 犱＝３１０，
１ ２
烅
２０×１９
２０犪＋ 犱－３１０＝９１０，
烆 １ ２
解得
烄犪＝４，
１
烅
烆犱＝６．
１３７选择性必修第一册 数学
所以犪 ＝４＋２０×６＝１２４，于是
２１
１０×９
犪 ＋犪 ＋…＋犪 ＝１０×１２４＋ ×６＝１５１０，
２１ ２２ ３０ ２
即第２１项到第３０项的和为１５１０．
思练 考习 １．某商店的售货员想在货架上用三角形排列方式展示一种罐头饮料，底层放置
１５个罐头，第２层放置１４个罐头，第３层放置１３个罐头……顶层放置１个
罐头，这样的摆法需要多少个罐头？
２．设等差数列｛犪｝的前狀项和为犛．
狀 狀
（１）已知犪＝７，犪 ＝－４３，求犛 ；
１ １０ １０
（２）已知犪＝１００，公差犱＝－２，求犛 ．
１ ５０
３．设等差数列｛犪｝的前狀项和为犛．
狀 狀
（１）已知犪＝１，公差犱＝２，狀＝１５，求犪和犛；
１ 狀 狀
（２）已知犪＝－１３，公差犱＝２，犪＝７，求狀和犛；
１ 狀 狀
１
（３）已知犪＝８，狀＝５，犪＝ ，求公差犱和犛；
１ 狀 ２ 狀
（４）已知犪＝２，狀＝１２，犛＝９０，求犪和公差犱．
狀 狀 １
１ １ １ ２
４．在等差数列 ， ， ， ，…中，
６ ３ ２ ３
（１）求前２０项的和；
１５５
（２）已知前狀项的和为 ，求狀的值．
２
５．设等差数列｛犪｝的前狀项和为犛．
狀 狀
（１）已知犪 ＝－１０，公差犱＝２，求犛 ；
１５ ２０
（２）已知犪＝８，犪＝２４，求犪和犛；
５ ９ 狀 狀
（３）已知犪＝８，求犛．
５ ９
６．设等差数列｛犪｝的前狀项和为犛，若犛＝１００，犛 ＝３９２，试求犛 ．
狀 狀 ８ １６ ２４
例４ 某剧场有２０排座位，后一排比前一排多２个座位，最后
一排有６０个座位，这个剧场共有多少个座位？
解 这个剧场各排的座位数组成等差数列｛犪｝，其中公差犱＝２，
狀
项数狀＝２０，且第２０项是犪 ＝６０．
２０
由等差数列的通项公式，得
６０＝犪＋（２０－１）×２，
１
所以 犪＝２２．
１
由等差数列的求和公式，得
２０×（２２＋６０）
犛 ＝ ＝８２０．
２０ ２
答 这个剧场共有８２０个座位．
１３８４
数 列 第 章
例５ 某种卷筒卫生纸绕在盘上，空盘时盘芯直径为４０ｍｍ，满
盘时直径为１２０ｍｍ（图４ ２ ４）．已知卫生纸的厚度为０．１ｍｍ，问：
满盘时卫生纸的总长度大约是多少米（精确到１ｍ）？
图４ ２ ４
解 卫生纸的厚度为０．１ｍｍ，可以把绕在盘上的卫生纸近似地
看作一组同心圆，然后分别计算各圆的周长，再求总和．
由内向外各圈的半径分别为
２０．０５，２０．１５，…，５９．９５．
各圈的半径为该
层纸的中心线至盘芯 因此，各圈的周长分别为
中心的距离．
４０．１π，４０．３π，…，１１９．９π．
因为各圈半径组成首项为２０．０５，公差为０．１的等差数列，设圈
数为狀，则
５９．９５＝２０．０５＋（狀－１）×０．１，
解得狀＝４００．
显然，各圈的周长组成一个首项为４０．１π，公差为０．２π，项数为
４００的等差数列．根据等差数列的求和公式，得
４００×（４００－１）
犛＝４００×４０．１π＋ ×０．２π
２
＝３２０００π（ｍｍ）．
３２０００π（ｍｍ）≈１００（ｍ）．
答 满盘时卫生纸的长度约为１００ｍ．
例６ 某零存整取３年期储蓄的月利率为２．７‰．
（１）如果每月存入１０００元，那么３年后本息合计为多少元（精确
到１元）？
（２）欲在３年后一次性支取本息合计５万元，每月存入多少元
（精确到１元）？
１３９选择性必修第一册 数学
解 （１）３年后的本息和为
１０００（１＋２．７‰）＋１０００（１＋２×２．７‰）＋…＋１０００（１＋３６×２．７‰）
存款是按月存的，
（ ）
３年存３６次，最后一次 ３６×３５
＝１０００３６＋３６×２．７‰＋ ×２．７‰
２
有一个月的利息．
≈３７７９８（元）．
（２）设每月存犃元，则有
犃（１＋２．７‰）＋犃（１＋２×２．７‰）＋…＋犃（１＋３６×２．７‰）
＝５００００．
利用等差数列的求和公式，得
３６×３５
犃（３６＋３６×２．７‰＋ ×２．７‰）＝５００００，
２
解得 犃≈１３２３．
答 零存整取３年期储蓄每月存入１０００元，３年后本息合计约
３７７９８元．欲在３年后一次性支取本息５万元，每月存入约１３２３元．
练 习 １．为了参加学校的长跑比赛，某同学制定了一个１２天的训练计划：第一天跑
２０００ｍ，以后每天比前一天多跑２５０ｍ．这个同学在这１２天中一共跑了多
少米？
２．求集合｛犿狘犿＝２狀－１，狀∈犖 ，且犿＜６０｝的元素个数，并求这些元素的和．
３．一个多边形的周长等于１５８ｃｍ，所有各边的长成等差数列，最大边的长等
于４４ｃｍ，公差等于３ｃｍ，求该多边形的边数．
４．已知一个凸多边形各个内角的度数组成公差为５°的等差数列，且最小角为
１２０°，则它是几边形？
５．某钢材库新到２００根相同的圆钢，要把它们堆放成正三角形垛（如图），并使
剩余的圆钢尽可能地少，那么将剩余多少根圆钢？
（第５题）
习题４．２（２）
感受·理解 １．求下列等差数列的各项的和：
（ １） １ ，５ ， ９ ，… ， ４０ １ ；
３
（２）－３，－ ，０，…，３０；
２
１４０４
数 列 第 章
（３）０．７，２．７，４．７，…，５６．７；
（４）－１０，－９．９，－９．８，…，－０．１．
２．求和：
∑
为求和符号．
∑１０
（１） （３＋０．２５犽）；
∑１０
例如 犽＝１＋
犽＝０
犽＝１
（２）
∑２０
（１－２狀）．
２＋…＋１０．
狀＝０
３．已知等差数列｛犪｝的通项公式，求它的前狀项和犛．
狀 狀
（１）犪＝２狀＋１； （２）犪＝３狀－１；
狀 狀
１１ １
（３）犪＝９－４狀； （４）犪＝ － 狀．
狀 狀 ２ ２
４．设等差数列｛犪｝的前狀项和为犛．
狀 狀
（１）已知犪＝２０，犪＝５４，犛＝９９９，求犱及狀；
１ 狀 狀
１
（２）已知犱＝ ，狀＝３７，犛＝６２９，求犪及犪；
３ 狀 １ 狀
５ １
（３）已知犪＝ ，犱＝－ ，犛＝－５，求狀及犪；
１ ６ ６ 狀 狀
（４）已知犱＝２，狀＝１５，犪＝－１０，求犪及犛．
狀 １ 狀
５．设等差数列｛犪｝的前狀项和为犛．
狀 狀
（１）已知犪＝１０，犛＝５，求犛；
６ ５ ８
（２）已知犛＝２，犛＝－６，求犛 ；
４ ９ １２
（３）已知犪＋犪＋犪＝－３，犪＋犪＋犪＝６，求犛 ；
２ ４ ６ ３ ５ ７ ２０
（４）已知犛＝６，犛＝－８，求犛．
３ ６ ９
６．设等差数列｛犪｝的前狀项和为犛．已知犱＝２，犛 ＝４００．
狀 狀 ２０
（１）求犪＋犪＋犪＋…＋犪；
１ ３ ５ １９
（２）求犪＋犪＋犪＋…＋犪．
２ ５ ８ ２０
７．设等差数列｛犪｝的前狀项和为犛．
狀 狀
（１）已知犪＋犪 ＝１，求犛 ；
４ １４ １７
（２）已知犪 ＝２０，求犛 ；
１１ ２１
（３）已知犛 ＝６６，求犪；
１１ ６
（４）已知犛＝２，犛＝６，求犛 ．
４ ８ １６
８．一个等差数列的前１２项和为３５４，前１２项中，偶数项的和与奇数项的和之
比为３２∶２７，求公差犱．
思考·运用 ９．已知等差数列｛犪｝的前狀项和犛＝５狀２＋３狀，写出这个数列的前３项，并求
狀 狀
它的通项公式．
１０．一个物体从１９６０ｍ的高空落下，如果该物体第１ｓ降落４．９０ｍ，以后每秒
比前一秒多降落９．８０ｍ，那么经过几秒钟才能落到地面？
１１．在等差数列｛犪｝中，已知犪＝－３，１１犪＝５犪，求该数列前狀项和犛 的最
狀 １ ５ ８ 狀
小值．
探究·拓展 １２．如果等差数列｛犪｝的前狀项和为犛，那么犛 ，犛 －犛 ，犛 －犛 是否成等
狀 狀 １０ ２０ １０ ３０ ２０
差数列？你能得到更一般的结论吗？
１４１选择性必修第一册 数学
１３．观察：
１
１＋２＋１
１＋２＋３＋２＋１
１＋２＋３＋４＋３＋２＋１
…
（１）第１００行是多少个数的和？和是多少？
（２）计算第狀行的值．
１４．（写作题）请查阅“杨辉三角”、《四元玉鉴》等资料，收集我国古代的数列研究
成果，撰写小论文，论述我国古代数学家对人类文明的贡献，感悟我国古代
数学的辉煌成就．
１４２４
数 列 第 章
４．３
等比数列
回顾本章４．１节开始我们遇到的数列③④，再考察下面的问题：
放射性物质以一定的速度衰变，该速度正比于当时该物质的质
犙
量．如果某个质量为犙 的放射性物质经过时间犺后衰变到质量 ０，
０ ２
那么称犺为物质的半衰期．镭的半衰期是１６２０年，如果从现有的
１０ｇ镭开始，那么每隔１６２０年，剩余量依次为
（ ） （ ）
１ １ １
１０，１０× ，１０× ２，１０× ３，…．
２ ２ ２
某轿车的售价约为３６万元，年折旧率约为１０％（就是说这辆车每
年减少它的价值的１０％），那么该车从购买当年算起，逐年的价值依
次为
３６，３６×０．９，３６×０．９２ ，３６×０．９３ ，…．
某人年初投资１００００元，如果年收益率是５％，那么按照复利，５
复利的本利和公
年内各年末的本利和依次为
式是
本利和＝本金×
１００００×１．０５，１００００×１．０５２ ，…，１００００×１．０５５．
（１＋利率）存期． ● 与等差数列相比，上面这些数列有什么共同的特点？
４．３．１ 等比数列的概念
在等比数列｛犪｝
一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比都
狀
犪 等于同一个常数，那么这个数列就叫作 等比数列 （ｇｅｏｍｅｔｒｉｃ
中，始终有 狀＋１＝狇．
犪 ｐｒｏｇｒｅｓｓｉｏｎ），这个常数叫作等比数列的公比（ｃｏｍｍｏｎｒａｔｉｏ），公比通
狀
常用字母狇表示．
思 考 你能再举出一些等比数列的例子吗？
例１ 判断下列数列是否为等比数列：
（１）１，１，１，１，１；
（２）０，１，２，４，８；
１ １ １ １
（３）１，－ ， ，－ ， ．
２ ４ ８ １６
解 （１）所给数列是首项为１，公比为１的等比数列．
（２）因为０不能作除数，所以这个数列不是等比数列．
１４３选择性必修第一册 数学
１
（３）所给数列是首项为１，公比为－ 的等比数列．
２
例２ 求出下列等比数列中的未知项：
（１）２，犪，８；
１
（２）－４，犫，犮， ．
２
犪 ８
解 （１）根据题意，得 ＝ ，
２ 犪
所以 犪＝４或犪＝－４．
（２）根据题意，得
犫 犮
烄 ＝ ，
－４ 犫
烅１
２ 犮
＝ ，
烆犮 犫
烄犫＝２，
解得
烅
烆犮＝－１，
所以 犫＝２，犮＝－１．
例３ （１）在等比数列｛犪｝中，是否有
狀
犪２＝犪 犪 （狀≥２）？
狀 狀－１ 狀＋１
（２）如果在数列｛犪｝中，对于任意的正整数狀（狀≥２），都有
狀
犪２＝犪 犪 ，
狀 狀－１ 狀＋１
那么数列｛犪｝一定是等比数列吗？
狀
解 （１）因为｛犪｝是等比数列，所以
狀
犪 犪
狀＋１ ＝ 狀，
犪 犪
狀 狀－１
即 犪２＝犪 犪 （狀≥２）
狀 狀－１ 狀＋１
成立．
（２）不一定．例如，对于数列
０，０，０，…，
总有犪２＝犪 犪 ，但这个数列不是等比数列．
狀 狀－１ 狀＋１
练 习 １．判断下列数列是否为等比数列：
（ １） １ ，２ ， １ ，２ ，１ ； （ ２） － ２ ， －２ ， － ２，－２；
１ １ １ １ １ １
（３）１，－ ， ，－ ， ； （４）２，１， ， ，０；
３ ９ ２７ ８１ ２ ４
（５）ｌｇ３，ｌｇ６，ｌｇ１２； （６）１，－１，１，－１．
１４４４
数 列 第 章
２．从下面的表中，请你用彩笔涂出３个等比数列，满足以下要求：
（１）每个数列的项所在的框是相连接的（顶点相连或者边相连）；
（２）三个数列的公比是不同的．
１ ２ ２２ ２３ ２４ ２５
２ ２２ ２３ ２４ ２５ ２６
２２ ２３ ２４ ２５ ２６ ２７
２３ ２４ ２５ ２６ ２７ ２８
２４ ２５ ２６ ２７ ２８ ２９
２５ ２６ ２７ ２８ ２９ ２１０
３．已知下列数列是等比数列，试在括号内填上适当的数：
（１）（ ），３，２７； （２）３，（ ），５；
８１
（３）１，（ ），（ ）， ．
８
４．已知数列｛犪｝是等比数列．
狀
（１）如果犪＝２，犪＝－６，求公比狇和犪；
２ ３ １
（２）如果犪＝３，犪＝６，求公比狇和犪．
１ ２ ５
５．已知数列｛犪｝的通项公式，判断它是否为等比数列．
狀
（１）犪＝３狀； （２）犪＝４×２３狀－１；
狀 狀
（３）犪＝（－３） －狀； （４）犪＝０．
狀 狀
６．若犪，犪，犪，…，犪是公比为狇的等比数列，则数列犪，犪 ，…，犪，犪
１ ２ ３ 狀 狀 狀－１ ２ １
也是等比数列吗？如果是，公比是多少？
４．３．２ 等比数列的通项公式
设｛犪｝是首项为２，公比为３的等比数列，则
狀
犪＝２×３，
２
犪＝２×３×３＝２×３２ ，
３
犪＝２×３２×３＝２×３３ ，
４
……
你能写出第狀项犪 吗？
狀
一般地，对于等比数列｛犪｝的第狀项犪，有
狀 狀
犪＝犪狇狀－１．
狀 １
这就是等比数列｛犪｝的通项公式，其中犪为首项，狇为公比．
狀 １
证明 因为｛犪｝是等比数列，所以当狀≥２时，有
狀
犪 犪 犪 犪
２ ＝狇，３ ＝狇，４ ＝狇，…， 狀 ＝狇．
犪 犪 犪 犪
１ ２ ３ 狀－１
１４５选择性必修第一册 数学
将上面狀－１个等式的左右两边分别相乘，得
犪
狀＝狇狀－１ ，
犪
１
所以 犪＝犪狇狀－１．
狀 １
当狀＝１时，上面的等式也成立．
例４ 在等比数列｛犪｝中，
狀
（１）已知犪＝３，狇＝－２，求犪；
１ ６
（２）已知犪＝２０，犪＝１６０，求犪．
３ ６ 狀
解 （１）由等比数列的通项公式，得
犪＝３×（－２） ６－１＝－９６．
６
（２）设等比数列的公比为狇，那么
烄犪狇２＝２０，
１
烅
烆犪狇５＝１６０，
１
烄狇＝２，
解得
烅
烆犪＝５．
１
所以 犪＝犪狇狀－１＝５×２狀－１．
狀 １
例５ 在２４３和３中间插入３个数，使这５个数成等比数列．
解 设插入的３个数为犪，犪，犪．由题意得
２ ３ ４
２４３，犪，犪，犪，３
２ ３ ４
成等比数列．
设公比为狇，则 ３＝２４３狇５－１ ，
１
解得 狇＝± ．
３
因此，所求３个数为８１，２７，９或－８１，２７，－９．
例６ 已知等比数列｛犪｝的通项公式为犪＝３×２狀－３ ，求首项犪
狀 狀 １
和公比狇．
３
或 狇＝ 犪 狀＋１ 解 犪＝３×２１－３＝ ，
犪 １ ４
狀
３×２狀－２ ３
＝
３×２狀－３
犪
２
＝３×２２－３＝
２
，
＝２．
３
犪 ２
所以 狇＝ ２ ＝ ＝２．
犪 ３
１
４
１４６４
数 列 第 章
在例６中，等比数列的通项公式
３
犪＝ ×２狀
狀 ８
是一个常数与指数式的乘积．从图象上看（图４ ３ １），表示这个数
３
列的各点（狀，犪）均在函数狔＝ ×２狓 的图象上．
狀 ８
图４ ３ １
思 考 如果一个数列｛犪｝的通项公式为犪＝犪狇狀 ，其中犪，狇都是不为０
狀 狀
的常数，那么这个数列一定是等比数列吗？
练 习 １．求下列等比数列的公比、第５项和第狀项：
１４ ２８ ５６
（１）２，６，１８，５４，…； （２）７， ， ， ，…；
３ ９ ２７
（３）０．３，－０．０９，０．０２７，－０．００８１，…； （４）５，５犮＋１，５２犮＋１，５３犮＋１，…．
２ ５
２．已知等比数列的公比为 ，第４项是 ，求前三项．
５ ２
３．在等比数列｛犪｝中，
狀
（１）已知犪＝－３，狇＝２，狀＝５，求犪；
１ 狀
（２）已知犪＝１，狇＝２，犪＝１６，求狀；
１ 狀
１
（３）已知犪＝ ，狀＝６，犪＝９，求狇；
１ ３ 狀
３
（４）已知狇＝－ ，狀＝４，犪＝－２７，求犪．
２ 狀 １
４．在等比数列｛犪｝中，
狀
（１）已知犪＝８，犪＝１，求犪和狇；
５ ８ １
（２）已知犪＝２，狇＝－１，求犪；
３ １５
（３）已知犪＝１２，犪＝６，求犪．
４ ８ １２
５．三个数成等比数列，它们的积等于８，它们的和等于－３，求这三个数．
６．如图，在边长为１的等边三角形犃犅犆中，连接各边中点得△犃犅犆，再连接
１ １ １
△犃犅犆的各边中点得△犃犅犆……如此继续下去，试证明数列犛 ，
１ １ １ ２ ２ ２ △犃犅犆
犛 ，犛 ，…是等比数列．
△犃犅犆 △犃犅犆
１１１ ２２２
７．在本章４．３节的关于轿车折旧的问题中，大约在购车后的第几年，该辆车的
（第６题）
价值只有原来的一半？
１４７选择性必修第一册 数学
习题４．３（１）
感受·理解 １．判断下列数列是否为等比数列：
（１）９，０．９，０．０９，０．００９；
（２）７２，７－１，７－４，７－７；
（３）２×３２，２３×３５，２５×３８，２７×３１１；
（４）３＋５２，３２＋５４，３３＋５６，３４＋５８．
２．已知｛犪｝是等比数列，在下表中填入适当的数：
狀
犪 犪 犪 犪 犪
１ ２ ３ ４ ５
－１ ３
２ ４槡２
１
９
３
３．在等比数列｛犪｝中，
狀
（ １） 已 知 犪 ＝ ２ ７， 狇 ＝ － ３， 求犪 ；
４ ７
（２）已知犪＝１８，犪＝８，求犪和狇；
２ ４ １
（３）已知犪＝４，犪＝６，求犪；
５ ７ ９
（４）已知犪－犪＝１５，犪－犪＝６，求犪．
５ １ ４ ２ ３
４．在等比数列｛犪｝中，
狀
（１）已知犪＝４，犪＝９７２，求犪；
４ ９ 狀
３２
（２）已知犪＝－６，犪＝－ ，求犪．
２ ６ ２７ 狀
５．在两个非零实数犪和犫之间插入２个数，使它们成等比数列，试用犪，犫表示
这个等比数列的公比．
６．已知公差不为０的等差数列的第２，３，６项依次构成一个等比数列，求该等
比数列的公比．
７．某地为防止水土流失，实行退耕还林．如果计划第一年（今年）退耕１０万公
顷，以后每年增加１０％，那么第７年须退耕多少公顷（精确到１公顷）？
８．已知｛犪｝是各项均为正数的等比数列，公比为狇，求证：｛槡犪｝是等比数列，
狀 狀
并求该数列的公比．
９．在等比数列｛犪｝中，如果对任意的狀∈犖 ，都有犪＞０，求证：数列｛ｌｇ犪｝
狀 狀 狀
为等差数列．
１０．在等比数列｛犪｝中，
狀
（１）犪２＝犪犪是否成立？犪２＝犪犪是否成立？
５ １ ９ ５ ３ ７
（２）犪２＝犪犪 （狀＞２）是否成立？
狀 狀－２狀＋２
（３）你能得到更一般的结论吗？
１１．若犪，犌，犫成等比数列，则称犌为犪和犫的等比中项．
（１）求４５和８０的等比中项；
（２）已知两个数犽＋９和６－犽的等比中项是２犽，求犽．
１４８４
数 列 第 章
１２．已知无穷等比数列｛犪｝的首项为犪，公比为狇．
狀 １
（１）依次取出数列｛犪｝中的所有奇数项，组成一个新数列，这个新数列是等
狀
比数列吗？如果是，求出它的首项和公比；
（２）数列｛犮犪｝（其中常数犮≠０）是等比数列吗？如果是，求出它的首项和
狀
公比．
思考·运用 １３．三个数成等比数列，它们的积等于２７，它们的平方和等于９１，求这三个数．
１４．已知等比数列｛犪｝的公比狇＝２，且犪犪犪…犪 ＝２３０，求犪犪犪…犪 的值．
狀 １ ２ ３ ３０ ３ ６ ９ ３０
１５．某地现有耕地１００００公顷，规划１０年后粮食单产比现在增加２２％，人均粮
食占有量比现在提高１０％．如果人口年增长率为１％，那么耕地平均每年至
多只能减少多少公顷（精确到１公顷）？
总产量 总产量
（注：粮食单产＝ ，人均粮食占有量＝ ）
耕地面积 总人口数
探究·拓展 １６．对任意的等差数列｛犪｝，计算犪＋犪，犪＋犪，犪＋犪，犪＋犪，…，你发现了
狀 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８
什么一般规律？能将发现的规律推广吗？在等比数列中有怎样类似的结论？
１７．如图，将一个边长为１的正三角形的每条边三等分，以中间一段为边向形外
作正三角形，并擦去中间一段，得图（２）．如此继续下去，得图（３）……试探
求第狀个图形的边长和周长．
这样形成的图形
称为分形（ｆｒａｃｔａｌ）．
（第１７题）
４．３．３ 等比数列的前狀项和
已知等比数列｛犪｝的第１项犪和公比狇，如何求出它的前狀项
狀 １
和犛？
狀
根据等比数列的通项公式，这个等比数列就是
犪，犪狇，犪狇２ ，…，犪狇狀－１ ，…，
１ １ １ １
所以它的前狀项和是
犛＝犪＋犪狇＋犪狇２＋…＋犪狇狀－１． ①
狀 １ １ １ １
① 式等号右边的每一项是它前一项的狇倍，根据这个特点，在上
式两边同乘以狇，得
狇犛 ＝犪狇＋犪狇２＋犪狇３＋…＋犪狇狀． ②
狀 １ １ １ １
①－②，得
（１－狇）犛＝犪－犪狇狀．
狀 １ １
１４９选择性必修第一册 数学
所以，当狇≠１时，
犪（１－狇狀 ）
犛＝ １ （狇≠１）．
狀 １－狇
根据等比数列的通项公式犪＝犪狇狀－１ ，又可得到
狀 １
犪－犪狇
犛＝ １ 狀 （狇≠１）．
狀 １－狇
显然，当狇＝１时，犛＝狀犪．
狀 １
例１ 在等比数列｛犪｝中，
狀
１
（１）已知犪＝－４，公比狇＝ ，求前１０项和犛 ；
１ ２ １０
（２）已知犪＝１，犪＝２４３，狇＝３，求前犽项和犛．
１ 犽 犽
解 （１）根据等比数列的前狀项和公式，得
［ ］
（ ）
１
－４１－ １０
２ １０２３
犛 ＝ ＝－ ．
１０ １ １２８
１－
２
（２）根据等比数列的前狀项和公式，得
１－２４３×３
犛＝ ＝３６４．
犽 １－３
７ ６３
例２ 设等比数列｛犪｝的前狀项和为犛，若犛＝ ，犛＝ ，
狀 狀 ３ ２ ６ ２
求犪．
狀
解 设等比数列｛犪｝的公比为狇．
狀
７ ６３
若狇＝１，则犛＝２犛，这与已知犛＝ ，犛＝ 是矛盾的，所
６ ３ ３ ２ ６ ２
以狇≠１．从而
在等比数列的通 犪（１－狇３ ） ７
犛＝ １ ＝ ，
项公式与前狀项和公式 ３ １－狇 ２
中，共含有犪
１
，狇，狀，犪
狀
，
犛＝
犪
１
（１－狇６ ）
＝
６３
．
犛五个量，只要已知其 ６ １－狇 ２
狀
中的三个量，就可以求
将上面两个等式的两边分别相除，得
出其余的两个量．
１＋狇３＝９，
１
解得狇＝２，由此可得犪＝ ．因此
１ ２
１
犪＝ ×２狀－１＝２狀－２．
狀 ２
１５０４
数 列 第 章
１ １ １ １
例３ 求数列１＋ ，２＋ ，３＋ ，…，狀＋ ，… 的前狀
２ ４ ８ ２狀
项和犛．
狀
分析 这个数列的每一项都是一个等差数列与一个等比数列的
对应项的和，因此可以分组求和．
（ ） （ ） （ ） （ ）
１ １ １ １
解 犛＝ １＋ ＋ ２＋ ＋ ３＋ ＋…＋ 狀＋
狀 ２ ４ ８ ２狀
（ ）
１ １ １ １
＝ （１＋２＋３＋…＋狀）＋ ＋ ＋ ＋…＋
２ ４ ８ ２狀
（ ）
１ １
１－
狀（狀＋１） ２ ２狀 狀（狀＋１） １
＝ ＋ ＝ ＋１－ ．
２ １ ２ ２狀
１－
２
练 习 １．某厂去年的产值记为１，若计划在今后五年内每年的产值比上年增长１０％，
则从今年起到第五年，这个厂的总产值为（ ）．
Ａ ． １ ．１４ Ｂ ． １． １５
Ｃ．１１×（１．１５－１） Ｄ．１０×（１．１６－１）
２．求下列等比数列的各项和：
１ １ １ １
（１）１，３，９，…，２１８７； （２）１，－ ， ，－ ，…，－ ．
２ ４ ８ ５１２
３．根据下列条件，求等比数列｛犪｝的前狀项和犛：
狀 狀
１
（１）犪＝３，狇＝２，狀＝６； （２）犪＝－１，狇＝－ ，狀＝５；
１ １ ３
１ １
（３）犪＝８，狇＝ ，犪＝ ； （４）犪＝０．１２，犪＝０．０００９６，狀＝４．
１ ２ 狀 ２ ２ ５
４．在等比数列｛犪｝中，
狀
１
（１）已知犪＝１６，狀＝６，犪＝ ，求狇和犛；
１ 狀 ２ 狀
（２）已知犪＝２，狀＝３，犛＝１４，求狇和犪；
１ 狀 狀
１ １８９
（３）已知狇＝ ，狀＝６，犛＝ ，求犪和犪；
２ 狀 ４ １ 狀
（４）已知犪＝１，犪＝８１，犛＝１２１，求狇和狀．
１ 狀 狀
５．求和：
∑１０
（３＋２犽）．
犽＝１
例４ 为了恢复生态，某地决定从今年开始逐步将６３７０万亩
耕地退耕还林，计划今年退耕土地面积为５１５万亩，以后每年退耕土
地面积比上一年递增１２％，那么经过６年该地区退耕还林的面积共
有多少万亩（精确到万亩）？
解 根据题意，每年退耕还林的面积比上一年增长的百分比相
同，所以从今年起，每年退耕还林的面积（单位：万亩）组成一个等比
数列｛犪｝，其中
狀
１５１选择性必修第一册 数学
犪＝５１５，狇＝１＋１２％ ＝１．１２，狀＝６，
１
则
犛＝
５１５×（１－１．１２６ ）
≈４１７９（万亩）．
６ １－１．１２
答 经过６年该地区退耕还林的面积共有约４１７９万亩．
思 考 例４中，该地区要经过多少年才能基本解决退耕还林问题？
例５ 某人今年初向银行申请贷款 ２０ 万元，月利率为
３．３７５‰，按复利计算，每月等额还贷一次，并从贷款后的次月初开始
还贷．如果１０年还清，那么每月应还贷多少元？
分析 对于分期付款，银行有如下规定：
（１）分期付款为复利计息，每期付款数相同，且在期末付款；
（２）到最后一次付款时，各期所付的款额的本利之和等于商品售
价的本利之和．
为解决上述问题，我们先考察一般情形．设某商品一次性付款的
金额为犪元，以分期付款的形式等额地分成狀次付清，每期期末所付
款是狓元，期利率为狉，则分期付款方式可表示为：
从而有
狓［（１＋狉） 狀－１＋（１＋狉） 狀－２＋（１＋狉） 狀－３＋…＋（１＋狉）＋１］
＝犪（１＋狉） 狀．
运用等比数列求和公式，化简得
犪狉（１＋狉）
狀
狓＝ ．
（１＋狉） 狀－１
这就是分期付款的数学模型．
解 设每月应还贷狓元，共付款１２×１０＝１２０次，则有
使用Ｅｘｃｅｌ中的 狓［１＋（１＋０．００３３７５）＋（１＋０．００３３７５） ２＋…
财务函数，可以方便
＋（１＋０．００３３７５）
１１９
］＝２０００００（１＋０．００３３７５）
１２０
，
地 求 出 每 期 的 付
款额．
化简得
１５２４
数 列 第 章
２０００００×０．００３３７５×（１＋０．００３３７５）
１２０
狓＝
（１＋０．００３３７５） １２０－１
≈２０２９．６６（元）．
答 每月应还贷款２０２９．６６元．
练 习 １某市近８年的生产总值第一年为１０００亿元，从第二年开始以１０％的速度增
长，那么这个城市近８年的生产总值一共是多少亿元（精确到０．０１亿元）？
２回答我国古代用诗歌形式提出的一个数列问题：
远望巍巍塔七层，红灯向下成倍增，
共灯三百八十一，试问塔顶几盏灯？
３一个球从３２ｍ的高处自由落下，每次着地后又跳回到原来高度的一半．当它
第５次着地时，共经过的路程是多少？
４顾客采用分期付款的方式购买一件５０００元的商品，在购买一个月后第一次
付款，且每月等额付款一次，在购买后的第１２个月将货款全部付清，月利率
为０．５％．按复利计算，该顾客每月应付款多少元（精确到１元）？
现 值 与 终 值
链 接
“现值”与“终值”是利息计算中的两个基本概念，掌握好这两个
概念，对于顺利解决有关金融中的数学问题以及理解各种不同的算
法都是十分有益的．
所谓“现值”是指在狀期末的金额，把它扣除利息后，折合成现时
的值．而“终值”是指狀期后的本利和．它们计算的基点分别是存期的
起点和终点．
例如，在复利计息的情况下，设本金为犃，每期利率为狉，期数为
狀，到期末的本利和为犛，则
犛＝犃（１＋狉）
狀
，
其中，犛称为狀期末的终值，犃称为狀期后终值犛的现值，即狀期后的
犛元现在的价值为
犛
犃＝ ．
（１＋狉）
狀
例 某厂为试制新产品，需增加某些设备．若购置这些设备，
需一次付款２５万元；若租赁这些设备，每年初付租金３．３万元．已知
一年期存款的年利率为２．５５％，试讨论哪种方案更好（设备的寿命为
１０年）．
解法１ （从终值来考虑）若购置设备，则２５万元１０年后的价
值为
２５（１＋２．５５％） １０≈３２．１５９（万元）．
若租赁设备，每年初付租金３．３万元，１０年后的总价值为
１５３选择性必修第一册 数学
犛＝３．３（１＋２．５５％） １０＋３．３（１＋２．５５％） ９＋…
＋３．３（１＋２．５５％）≈３８．００（万元）．
因此，购买设备较好．
解法２ （从现值来考虑）每年初付租金３．３万元的１０年现值之
和为
３．３ ３．３ ３．３
犙＝３．３＋ ＋ ＋…＋
１＋２．５５％ （１＋２．５５％）
２
（１＋２．５５％）
９
≈２９．５４（万元），
比购置设备一次付款２５万元多，故购置设备的方案较好．
信息技术 ＥＸＣＥＬ
●
Ｅｘｃｅｌ提供了丰富的财务函数，利用这些函数我们能够轻松地完
成有关投资或贷款等问题的计算．下面介绍常用的几个函数．
（１）ＰＭＴ函数，在固定利率的等额分期付款方式中，计算投资或
贷款的每期付款额．
对于例５，只需在Ｅｘｃｅｌ单元格中输入“＝ＰＭＴ（０．３３７５％，１２
１０，２０００００）”，即可得到狓≈２０２９．６６元，函数 ＰＭＴ 的含义见
图４ ３ ２．
ｔｙｐｅ的默认值为
０，表示各期结算时间
在期末．若结算时间
在期初，则其值为１．
图４ ３ ２
（２）ＦＶ函数，在固定利率的等额分期付款方式中，计算某项投资
的终值．
如在上面“链接”的例题中，可用 “＝ＦＶ（２．５５％，１０，３．３，，１）”
计算得犛≈３８．００（图４ ３ ３），ＦＶ（ｒａｔｅ，ｎｐｅｒ，ｐｍｔ，［ｐｖ］，［ｔｙｐｅ］）
中参数的含义同上．
单元格中的负值
表示支出．
图４ ３ ３
（３）ＰＶ函数，计算一系列未来付款的现值累积和．如在上面“链接”
中，可用 “＝ＰＶ（２．５５％，１０，３．３，，１）”计算得犙≈２９．５４（图４ ３ ４）．
ＰＶ（ｒａｔｅ，ｎｐｅｒ，ｐｍｔ，［ｆｖ］，［ｔｙｐｅ］）中参数的含义同上．
１５４４
数 列 第 章
图４ ３ ４
如果你在实际生活中还需要使用其他一些财务函数，可以查看
Ｅｘｃｅｌ帮助文档中的相关资料．
ＧＧＢ
●
在ＧＧＢ中，与Ｅｘｃｅｌ类似，可用“每期付款额［］”“未来值［］”“现
值［］”等函数处理财务问题．
例如，对于例５，在输入框中输入“每期付款额［０．３３７５％，１２
１０，２０００００］”，即可得到狓≈２０２９．６６元．
在“链接”的例题中，可用“未来值［２．５５％，１０，３．３，０，１］”计算
得犛≈３８．００；用“现值［２．５５％，１０，３．３，０，１］”计算得犙≈２９．５４
（图４ ３ ５）．
图４ ３ ５
习题４．３（２）
感受·理解 １．求下列等比数列的前狀项和：
（１）１，－１，１，－１，…；
１ １ １
（２）１， ， ， ，…．
２ ４ ８
２．在等比数列｛犪｝中，
狀
１
（１）已知犪＝２，狇＝－ ，求犛 ；
１ ２ １０
１
（２）已知犪＝ ，犪＝８１，求犛；
１ ２７ ８ ８
（３）已知犪＝４×３１－狀，求犛．
狀 狀
１５５选择性必修第一册 数学
３．在等比数列｛犪｝中，
狀
（１）已知犪＝－１．５，犪＝－９６，求狇和犛；
１ ７ 狀
１ ３１
（２）已知狇＝ ，犛＝－ ，求犪和犪；
２ ５ ８ １ 狀
（３）已知犪＝２，犛＝２６，求狇和犪．
１ ３ 狀
４．设｛犪｝是公比为正数的等比数列，犪＝２，犪＝犪＋４，求数列｛犪｝的前狀项
狀 １ ３ ２ 狀
和犛．
狀
５．求和：
（ ） （ ） （ ）
１ １ １
（１）２＋ ＋ ４＋ ＋…＋ ２狀＋ ；
３ ９ ３狀
（２）（犪－１）＋（犪２－２）＋…＋（犪狀－狀）．
６．某林场去年底森林木材储存量为３３０万ｍ３．若树木以每年２５％的增长率生
长，计划从今年起，每年底要砍伐的木材量为狓万ｍ３．为了实现经过２０年
木材储存量翻两番的目标，每年砍伐的木材量狓的最大值是多少（精确到
０．０１万ｍ３）？
７．如图，正三角形犃犅犆的边长为２０ｃｍ，取犅犆边的中点犈，作正三角形
犅犇犈；取犇犈边的中点犌，作正三角形犇犉犌……如此继续下去，可得到一列
三角形△犃犅犆，△犅犇犈，△犇犉犌，…，求前２０个正三角形的面积和．
（第７题）
１
８．在等比数列｛犪｝中，狇＝ ，犛 ＝１５０，求犪＋犪＋犪＋…＋犪 的值．
狀 ２ １００ ２ ４ ６ １００
思考·运用 ９．在等比数列｛犪｝中，已知犪＋犪＝６６，犪犪 ＝１２８，犛＝１２６，求狀，狇．
狀 １ 狀 ２狀－１ 狀
１０．设犛是等比数列｛犪｝的前狀项和，犛，犛，犛 成等差数列，求证：犪，犪，
狀 狀 ３ ９ ６ ２ ８
犪成等差数列．
５
１１．据测算，如果不加处理，每吨工业废弃垃圾将占地１ｍ２．环保部门每回收或
处理１ｔ废旧物资，相当于消灭４ｔ工业废弃垃圾．如果某环保部门从去年
开始回收处理废旧物资，第１年共回收处理了１０４ｔ废旧物资，且以后每年
的回收量比上一年递增２０％．
（１）第７年能回收多少吨废旧物资？（结果用科学记数法表示，保留一位
小数）
（２）前７年共节约土地多少平方米？（结果用科学记数法表示，保留一位
小数）
（ ） （ ） （ ）
探究·拓展 １２．求和： １ ＋２× １ ２ ＋３× １ ３ ＋…＋狀× １ 狀 ．
２ ２ ２ ２
１３．求和：犛＝１＋２狓＋３狓２＋…＋狀狓狀－１．
狀
１５６４
数 列 第 章
４．４
数学归纳法
我们已经用归纳法得到许多结论，例如，等差数列｛犪｝的通
狀
项公式
犪＝犪＋（狀－１）犱；
狀 １
等比数列的通项公式
犪＝犪狇狀－１．
狀 １
这些命题都与正整数有关．正整数有无限多个，我们无法对所有
的正整数逐一验证，那么，
● 对于一个与正整数有关的命题，我们怎样证明这个命题对所
有的正整数都成立呢？
有一种多米诺骨牌游戏，在一个平面上摆一排骨牌（每块骨牌都
竖起），假定这排骨牌有无数块，我们要使所有的骨牌都倒下，只要做
两件事就行了．第一，使第一块骨牌倒下；第二，保证前一块骨牌倒下
后一定能击倒下一块骨牌．
一般地，证明一个与正整数狀有关的数学命题，可按如下两个步
骤进行：
（１）证明当狀＝狀（狀∈犖
）时命题成立；
０ ０
（２）假设当狀＝犽（犽≥狀，犽∈犖
）时命题成立，证明当狀＝
０
犽＋１时命题也成立．
根据（１）（２）就可以断定命题对于从狀开始的所有正整数狀都
０
成立．
上述证明方法叫作数学归纳法（ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌｉｎｄｕｃｔｉｏｎ）．
数学归纳法是证明与正整数有关的命题的常用方法．
例１ 用数学归纳法证明：若等差数列｛犪｝中，犪为首项，犱为
狀 １
公差，则通项公式为
犪＝犪＋（狀－１）犱． ①
狀 １
证明 （１）当狀＝１时，等式左边＝犪，等式右边＝犪＋０×犱＝
１ １
犪，等式①成立．
１
（２）假设当狀＝犽时等式①成立，即
本节为选学内容．
１５７选择性必修第一册 数学
犪＝犪＋（犽－１）犱，
犽 １
那么，当狀＝犽＋１时，有
犪 ＝犪＋犱＝犪＋（犽－１）犱＋犱＝犪＋［（犽＋１）－１］犱．
犽＋１ 犽 １ １
这就是说，当狀＝犽＋１时等式①也成立．
根据（１）和（２）可知，对任何狀∈犖
，等式①都成立．
在上面的证明中，步骤（１）确认了当狀＝１时等式成立，进而再
根据步骤（２），当狀＝１＋１＝２时等式也成立．再由于当狀＝２时等
式成立，根据步骤（２），当狀＝２＋１＝３时等式也成立．这样递推下
去，就知道当狀＝４，５，６，… 时等式都成立，从而保证了命题对任
何狀∈犖
都成立．由此可见，数学归纳法的步骤（１）是命题论证的基
础，步骤（２）是判断命题的正确性能否递推下去的保证．这两个步骤
是缺一不可的．
例２ 用数学归纳法证明：当狀∈犖
时，
１＋３＋５＋…＋（２狀－１）＝狀２．
证明 （１）当狀＝１时，等式左边＝１，等式右边＝１，等式成立．
（２）假设当狀＝犽时等式成立，即
１＋３＋５＋…＋（２犽－１）＝犽２ ，
那么，当狀＝犽＋１时，有
１＋３＋５＋…＋（２犽－１）＋［２（犽＋１）－１］
＝犽２＋［２（犽＋１）－１］＝犽２＋２犽＋１＝ （犽＋１） ２．
这就是说，当狀＝犽＋１时等式也成立．
根据（１）和（２）可知，对任何狀∈犖
，等式都成立．
例３ 用数学归纳法证明：当狀∈犖
时，
狀（狀＋１）（２狀＋１）
１２＋２２＋３２＋…＋狀２＝ ．
６
１×（１＋１）×（２×１＋１）
证明 （１）当狀＝１时，１２＝１， ＝１，
６
等式成立．
（２）假设当狀＝犽时等式成立，即
犽（犽＋１）（２犽＋１）
１２＋２２＋３２＋…＋犽２＝ ，
６
１５８４
数 列 第 章
那么，当狀＝犽＋１时，有
１２＋２２＋３２＋…＋犽２＋（犽＋１）
２
＝
犽（犽＋１）（２犽＋１）
＋（犽＋１） ２＝
（犽＋１）（２犽２＋犽＋６犽＋６）
６ ６
（犽＋１）（２犽２＋７犽＋６） （犽＋１）（犽＋２）（２犽＋３）
＝ ＝
６ ６
（犽＋１）［（犽＋１）＋１］［２（犽＋１）＋１］
＝ ．
６
所以当狀＝犽＋１时，等式也成立．
根据（１）和（２）可知，对任何狀∈犖
，等式都成立．
思 考 在用数学归纳法解题时，为什么步骤（１）和步骤（２）两者缺一
不可？
练 习 分析下列各题（１～２）的证明过程，找出其中的错误：
１．设狀∈犖 ，求证：２＋４＋６＋…＋２狀＝狀２＋狀＋１．
证明：假设当狀＝犽时等式成立，即
２＋４＋６＋…＋２犽＝犽２＋犽＋１，
那么，当狀＝犽＋１时，有
２＋４＋６＋…＋２犽＋２（犽＋１）＝犽２＋犽＋１＋２（犽＋１）
＝（犽＋１）２＋（犽＋１）＋１．
因此，对于任何狀∈犖 ，等式都成立．
２．设狀∈犖 ，求证：２狀＞狀２．
证明：（１）当狀＝１时，２１＞１２，不等式显然成立．
（２）假设当狀＝犽时不等式成立，即２犽＞犽２，那么当狀＝犽＋１时，有
２犽＋１＝２×２犽＝２犽＋２犽＞犽２＋犽２≥犽２＋２犽＋１＝（犽＋１）２．
这就是说，当狀＝犽＋１时，不等式也成立．
根据（１）和（２）可知，对任何狀∈犖 ，不等式总成立．
用数学归纳法证明下列各题（３～４）：
１
３．１×２＋２×３＋３×４＋…＋狀（狀＋１）＝ 狀（狀＋１）（狀＋２）．
３
４．首项是犪，公比是狇的等比数列的通项公式是犪＝犪狇狀－１（狀∈犖 ）．
１ 狀 １
数学归纳法是一种重要的证明方法，应用十分广泛．一般说来，
与正整数有关的恒等式、不等式、数的整除性、数列的通项及前狀项
的和等问题，都可以考虑用数学归纳法证明．
１５９选择性必修第一册 数学
例４ 设狀∈犖
，犳（狀）＝５狀＋２×３狀－１＋１．
（１）当狀＝１，２，３，４时，计算犳（狀）的值．
（２）你对犳（狀）的值有何猜想？用数学归纳法证明你的猜想．
解 （１）当狀＝１时，
犳（１）＝５１＋２×３１－１＋１＝８＝８×１；
当狀＝２时，
犳（２）＝５２＋２×３２－１＋１＝３２＝８×４；
当狀＝３时，
犳（３）＝５３＋２×３３－１＋１＝１４４＝８×１８；
当狀＝４时，
犳（４）＝５４＋２×３４－１＋１＝６８０＝８×８５．
（２）猜想：当狀∈犖
时，犳（狀）＝５狀＋２×３狀－１＋１能被８整除．
① 当狀＝１时，有
犳（１）＝５１＋２×３１－１＋１＝８，
能被８整除，命题成立．
② 假设当狀＝犽时命题成立，即犳（犽）能被８整除，那么，当狀＝
犽＋１时，有
犳（犽＋１）＝５犽＋１＋２×３（犽＋１）－１＋１＝５×５犽＋６×３犽－１＋１
＝（５犽＋２×３犽－１＋１）＋４（５犽＋３犽－１ ）＝犳（犽）＋４（５犽＋３犽－１ ）．
这里，５犽 和３犽－１ 均为奇数，它们的和（５犽＋３犽－１ ）必为偶数，从而
４（５犽＋３犽－１ ）能被８整除．又依归纳假设，犳（犽）能被８整除，所以
犳（犽＋１）能被８整除．这就是说，当狀＝犽＋１时 命题也成立．
根据①和②可知，对任何狀∈犖
，命题总成立．
例５ 在平面上画狀条直线，且任何２条直线都相交，其中任何３
条直线不共点．问：这狀条直线将平面分成多少个部分？
解 记狀条直线把平面分成狉个部分，我们通过狀＝１，２，３，４，
狀
５，画出图形观察狉的情况（图４ ４ １）．
狀
图４ ４ １
１６０４
数 列 第 章
从图４ ４ １中可以看出，
狉＝２＝１＋１，
１
狉＝４＝狉＋２＝１＋１＋２，
２ １
狉＝７＝狉＋３＝１＋１＋２＋３，
３ ２
狉＝１１＝狉＋４＝１＋１＋２＋３＋４，
４ ３
狉＝１６＝狉＋５＝１＋１＋２＋３＋４＋５．
５ ４
由此猜想
狉＝１＋１＋２＋３＋４＋…＋狀．
狀
接下来用数学归纳法证明这个猜想．
（１）当狀＝１，２时，结论均成立．
（２）假设当狀＝犽时结论成立，即
狉＝１＋１＋２＋３＋４＋…＋犽．
犽
那么，当狀＝犽＋１时，第犽＋１条直线与前面的犽条直线都相交，
有犽个交点，这犽个交点将这条直线分成犽＋１段，且每一段将原有的
平面部分分成两个部分，所以
狉 ＝狉＋（犽＋１）＝１＋１＋２＋３＋４＋…＋犽＋（犽＋１），
犽＋１ 犽
结论也成立．
根据（１）和（２）可知，对任何狀∈犖
，都有
狉＝１＋１＋２＋３＋４＋…＋狀，
狀
狀（狀＋１）
即 狉＝１＋ ．
狀 ２
练 习 先通过有关活动，提出猜想，再用数学归纳法证明你的猜想：
１．求－１＋３－５＋…＋（－１）狀（２狀－１）的和．
２．狀３＋５狀（狀∈犖 ）能被哪些自然数整除？
３．求凸狀边形的对角线的条数犳（狀）．
阅 读 小孩子的“发现”
我国著名数学家华罗庚曾经这样叙述小孩子“发现”数学归纳法
的过程．他说：
小孩子识数，先学会数１个、２个、３个；过些时候，能够数到１０
了；又过些时候，会数到２０，３０，…，１００了．但后来，却决不是这样一段
一段地增长，而是飞跃前进．到了某一个时候，他领悟了，他会说：“我
什么数都会数了．”这一飞跃，竟从有限跃到了无限！怎样会的？首
先，他知道从头数；其次，他知道一个一个按次序地数，而且不愁数了
１６１选择性必修第一册 数学
华罗庚（１９１０— 一个以后，下一个不会数．也就是他领悟了下一个数的表达方式可以
１９８５），江苏金坛人，
由上一个数来决定．于是，他也就会数任何一个数了．
我国著名数学家．在
华罗庚教授高度评价了小孩的发现，他说：
解析数论、矩阵几何
设想一下，如果这个飞跃现象不出现，那么人们一辈子就只能学
学、典型群、自守函数
数数了，而且人生有限，数目无穷，就是学了一辈子，也决不会学尽
论与多元复变函数论
呢！解释这个飞跃现象的原理，就是数学归纳法．
等多方面有深入的
你能理解他的话吗？很可能你小时候也有过似曾相识的经历，
研究．
也曾发现过数学归纳法．可是，你当时并没有意识到自己发现了数
学，但是你今天应该能理解它．
习题４．４
感受·理解 用数学归纳法证明下列各题（１～７）：
１．（１－狓）（１＋狓＋狓２＋…＋狓狀－１）＝１－狓狀．
２．１３＋２３＋３３＋…＋狀３＝（１＋２＋３＋…＋狀）２．
３．３个连续自然数的立方和能被９整除．
４．设狓＞０，狀∈犖 ，且狀≥２，求证：（１＋狓）狀＞１＋狀狓．
５．平面内有狀（狀≥２）条直线，其中任何２条不平行，任何３条不过同一点，求
狀（狀－１）
证：它们交点的个数为犳（狀）＝ ．
２
思考·运用 ６．设狀∈犖 ，求证：犳（狀）＝３２狀＋２－８狀－９是６４的倍数．
１ １ １
７．设狀∈犖 ，狀＞１，求证：１＋ ＋ ＋…＋ ＞槡狀．
槡２ 槡３ 槡狀
８．已知数列｛犪｝满足犪＝１，且４犪 －犪犪 ＋２犪＝９（狀∈犖 ）．
狀 １ 狀＋１ 狀狀＋１ 狀
（１）求犪，犪，犪；
２ ３ ４
（２）由（１）猜想｛犪｝的通项公式犪；
狀 狀
（３）用数学归纳法证明（２）的结果．
探究·拓展 ９．将正整数作如下分组：（１），（２，３），（４，５，６），（７，８，９，１０），（１１，１２，
１３，１４，１５），（１６，１７，１８，１９，２０，２１），…，分别计算各组包含的正整数
的和如下，试猜测犛＋犛＋犛＋…＋犛 的结果，并用数学归纳法证明．
１ ３ ５ ２狀－１
犛＝１，
１
犛＝２＋３＝５，
２
犛＝４＋５＋６＝１５，
３
犛＝７＋８＋９＋１０＝３４，
４
犛＝１１＋１２＋１３＋１４＋１５＝６５，
５
犛＝１６＋１７＋１８＋１９＋２０＋２１＝１１１，
６
……
１６２４
数 列 第 章
问题与探究 数 列 的 转 化
若数列｛犪｝满足：犪＝１，犪＝５，对任意的狀∈犖 ，都有犪 ＝
狀 １ ２ 狀＋２
４犪 －４犪，求犪的表达式．
狀＋１ 狀 狀
解 对任意的狀∈犖
，因为
犪 ＝４犪 －４犪，
狀＋２ 狀＋１ 狀
所以，存在λ，狇∈犚，使得
犪 ＋λ犪 ＝狇（犪 ＋λ犪），
狀＋２ 狀＋１ 狀＋１ 狀
即 犪 ＝ （狇－λ）犪 ＋狇λ犪．
狀＋２ 狀＋１ 狀
烄狇－λ＝４， 烄狇＝２，
取烅 解得烅
烆狇λ＝－４， 烆λ＝－２．
所以 犪 －２犪 ＝２（犪 －２犪）．
狀＋２ 狀＋１ 狀＋１ 狀
又因为犪＝１，犪＝５，所以犪－２犪＝３≠０，
１ ２ ２ １
犪 －２犪
所以犪 －２犪≠０，从而 狀＋２ 狀＋１ ＝２，
狀＋１ 狀 犪 －２犪
狀＋１ 狀
因此，数列 ｛犪 －２犪｝是以３为首项，２为公比的等比数列．
狀＋１ 狀
于是 犪 －２犪＝３×２狀－１． （）
狀＋１ 狀
方法１ 将（）式两边同除以２狀＋１ ，得
犪 犪 ３
狀＋１－ 狀＝ ，
２狀＋１ ２狀 ４
｛ ｝
犪 犪 １ ３
所以数列 狀 成等差数列，其首项为 １＝ ，公差为 ．
２狀 ２ ２ ４
犪 １ ３ ３ １
于是 狀＝ ＋（狀－１）× ＝ 狀－ ，
２狀 ２ ４ ４ ４
即 犪＝ （３狀－１）·２狀－２．
狀
３
方法２ （）式即犪 ＝２犪＋ ×２狀．
狀＋１ 狀 ２
设犪 ＋狆（狀＋１）·２狀＋１＝２（犪＋狆狀·２狀 ），其中狆是待定常
狀＋１ 狀
数，所以
犪 ＝２犪－２狆·２狀．
狀＋１ 狀
３ ３
取－２狆＝ ，解得狆＝－ ，所以
２ ４
（ ）
３ ３
犪 － （狀＋１）·２狀＋１＝２犪－ 狀·２狀 ．
狀＋１ ４ 狀 ４
３ １ ３
因为犪＝１，所以犪－ ×１×２１＝－ ≠０，从而犪－ 狀·
１ １ ４ ２ 狀 ４
２狀≠０，
１６３选择性必修第一册 数学
３
犪 － （狀＋１）·２狀＋１
狀＋１ ４
所以 ＝２，
３
犪－ 狀·２狀
狀 ４
｛ ｝
３ １
即数列 犪－ 狀·２狀 成等比数列，其首项为－ ，公比为２．
狀 ４ ２
３ １
于是 犪－ 狀·２狀＝－ ×２狀－１ ，
狀 ４ ２
即 犪＝ （３狀－１）·２狀－２ ，狀∈犖
．
狀
请仿照上面的解法，思考：
已知数列｛犪｝满足：犪＝１，犪＝１，且对任意的狀∈犖
，都有
狀 １ ２
犪 ＝犪 ＋犪，求犪的表达式．
狀＋２ 狀＋１ 狀 狀
阅 读 斐波那契数列
先看一个有趣的问题：假设一对刚出生的小兔一个月后能长成
大兔，再过一个月便能生下一对小兔，此后每个月生一对小兔．如果
不发生死亡，那么一对刚出生的小兔一年可繁殖成多少对？
我们用“ ”表示一对大兔，用“ ”表示一对小兔，假设第一对小
◎ ○
兔的出生日是某个月初，则逐月统计得每月初的兔子对数：
第１个月
斐 波 那 契 （Ｌ．
第２个月
Ｆｉｂｏｎａｃｃｉ，约 １１７０—
第３个月
１２５０），生于意大利比
萨．在 １２０２ 年写成 第４个月
《计算之书》一书，该 第５个月
书是欧洲大陆风行好 第６个月
几个世纪的数学教科
书，也是一部影响很 记第狀个月的兔子对数为犉，则
狀
大的数学专著．全书 犉 ＝１，犉 ＝１，犉 ＝２，犉 ＝３，犉 ＝５，犉 ＝８，…．
１ ２ ３ ４ ５ ６
共１５章，其中第１２
考察数列｛犉｝的规律，不难发现，从第三项开始，每一项都是它
章提出了兔子问题． 狀
的前两项的和，即
犉 ＝犉 ＋犉（狀∈犖
）．
狀＋２ 狀＋１ 狀
这样，我们就可以依次写出一串数：
１，１，２，３，５，８，１３，２１，３４，５５，８９，１４４，２３３，…．
由此可知，一对兔子一年可繁殖成２３３（＝犉 ）对．
１３
上面的数列是由意大利人斐波那契于１２０２年从兔子繁殖问题中
提出的，为了纪念他，人们就把这种数列称为斐波那契数列．
由一对兔子繁殖问题而衍生出来的斐波那契数列是数学中的一
１６４４
数 列 第 章
个有趣问题，许多问题也都与之有关．如：
（１）树木的生长模式．某种树木第１年长出幼枝，第２年幼枝长
成粗干，第３年粗干可生出幼枝．按照这个规律，到第６年树木有多少
枝干（图１）？
图１ 图２
（２）观察蜜蜂爬过六角形蜂房所取的不同路线（图２）．假定该蜜蜂
总是向相邻的蜂房移动并且总是向右移动，那么，蜜蜂到蜂房０有一条
路，到蜂房１有两条路，到蜂房２有三条路，到蜂房３有五条路……
（３）由正方形可以构成一系列的长方形，其边长为斐波那契数列
１
的连续项．在正方形内绘出一个圆的 ，就可以近似地得到等角螺线
４
（图３）．
图３
等角螺线在自然界中也随处可见，如蜘蛛网、向日葵的种子排列形
等角螺线因它的
式（另外，向日葵花瓣依两个相反的螺旋形排列，朝一个螺旋方向生长的
性质而得名，因为在
等角螺线中，自某一 花瓣数同朝相反的螺旋方向生长的花瓣数，几乎总是斐波那契数列中两
个定点画出的每一条 个相邻的数）、水流的漩涡、蜗牛壳的螺纹以及星系内星球的分布等．
射线与等角螺线相交 斐波那契数列最值得注意的性质是：相邻两数的比交替地大于
成等角． （ ）
槡５－１
或小于黄金比 ≈０．６１８ ，并且该比值无限趋近于黄金比：
２
１ １ ２ ３ ５
＝１， ＝０．５， ≈０．６６６６７， ＝０．６， ＝０．６２５，
１ ２ ３ ５ ８
８ １３ ２１
≈０．６１５３８， ≈０．６１９０５， ≈０．６１７６５，…．
１３ ２１ ３４
在研究斐波那契数列的过程中，人们获得了许多意想不到的结
果．由此可见，数学世界是多么的有趣！
１６５选择性必修第一册 数学
本章回顾
本 章 概 览
本章我们根据实例引入了数列的概念，体会了数列作为特殊的
函数描述变量变化规律的基本思想．通过实例使同学们经历了建立
等差数列和等比数列这两个数列模型的过程，探索了它们的一些基
本数量关系———通项公式和前狀项和的公式，并运用等差数列和等
比数列解决了一些实际问题．以数列为背景，本章还介绍了数学归
纳法．
在本章学习中，要掌握等差数列与等比数列的定义、通项公式以
及前狀项和公式，会用函数的观点理解数列的概念，能通过相应的函
数及其图象直观地认识数列的性质．用数学归纳法证明与自然数有
关的命题时，要严格遵守两个步骤．
学会运用类比的方法认识等差数列和等比数列之间的区别和联
系，要善于运用等价转化的思想，将一些特殊的数列问题转化为等差
数列或等比数列的相应问题．
复 习 题
感受·理解 １．根据数列｛犪｝的通项公式犪＝ ｃｏｓ狀π ，写出它的前４项及第２狀项．
狀 狀 ２
１６６４
数 列 第 章
２．若直角三角形的三条边的长组成公差为３的等差数列，则三边的长分
别为（ ）．
Ａ ． ５ ，８ ， １１ Ｂ ． ９， １ ２， １５
Ｃ．１０，１３，１６ Ｄ．１５，１８，２１
３．设｛犪｝是等比数列，有下列四个命题：
狀
① ｛犪２｝是等比数列； ② ｛犪犪 ｝是等比数列；
｛狀｝ 狀狀＋１
１
③ 是等比数列； ④ ｛ｌｇ｜犪｜｝是等比数列．
犪 狀
狀
其中正确命题的个数是（ ）．
Ａ．１ Ｂ．２ Ｃ．３ Ｄ．４
４．写出数列的一个通项公式，使它的前４项分别是下列各数：
３ ５ ７
（１）１， ， ， ；
４ ９ １６
２ ４ ６ ８
（２） ， ， ， ；
１×３ ３×５ ５×７ ７×９
（３）１１，１０１，１００１，１０００１；
２ ４ ２ ８
（４） ，－ ， ，－ ．
３ ９ ９ ８１
５．在等差数列｛犪｝中，
狀
（１）已知犪＝１６，犛 ＝２０，求犛 ；
３ ２０ １０
（２）已知犪＋犪＝３７，求犛；
３ ７ ９
（３）已知犪＝１，犛＝犛，求犛；
１ ４ ９ 狀
（４）已知犪＝１，犱＝２，犛 －犛＝２４，求狀．
１ 狀＋２ 狀
６．已知四个数依次成等差数列，且四个数的平方和为９４，首尾两数之积比中
间两数之积少１８，求此等差数列．
７．一个直角三角形三边的长组成等差数列，求这个直角三角形三边长的比．
８．《九章算术》中的“竹九节”问题：现有一根９节的竹子，自上而下各节的容
积成等差数列，上面４节的容积共３升，下面３节的容积共４升，求第５节
的容积．
９．在等比数列｛犪｝中，
狀
１３
（１）已知狇＝３，犛＝ ，求犪和犛；
３ ３ 狀 狀
（２）已知犪＝６，６犪＋犪＝３０，求犪和犛．
２ １ ３ 狀 狀
１０．甲、乙两人同时到银行各存１万元，但两人选择的存款方式不同．甲存５
年定期储蓄，年利率为２．８８％．乙存一年定期储蓄，年利率为２．５５％，并
在每一年到期时将本息续存一年定期．若存满５年后两人同时从银行取
出存款，那么谁获利较多？
１ １ １ １
１１．（１）利用等式 ＝ － 求数列犪＝ 的前狀项和；
狀（狀＋１） 狀 狀＋１ 狀 狀（狀＋１）
１
（２）仿（１）探求数列犪＝ 的前狀项和．
狀 狀（狀＋２）
思考·运用 １２．图（１）是第七届国际数学教育大会（ＩＣＭＥ ７）的会徽图案，它是由一串直角
三角形演化而成的（如图（２）），其中犗犃 ＝犃犃 ＝犃犃 ＝…＝犃犃 ＝
１ １ ２ ２ ３ ７ ８
１，它可以形成近似的等角螺线．记犗犃，犗犃，…，犗犃 的长度所组成的数
１ ２ ８
１６７选择性必修第一册 数学
列为｛犪｝（狀∈犖 ，１≤狀≤８）．写出数列｛犪｝的通项公式．
狀 狀
（第１２题）
１３．已知等差数列｛犪｝中，前犿（犿为奇数）项的和为７７，其中偶数项之和为３３，
狀
且犪－犪 ＝１８，求通项公式．
１ 犿
１４．利用等比数列的前狀项和公式证明
犪狀＋犪狀－１犫＋犪狀－２犫２＋…＋犫狀＝
犪狀＋１－犫狀＋１，
犪－犫
其中狀∈犖 ，犪，犫是不为０的常数，且犪≠犫．
１５．设等差数列｛犪｝的前狀项和为犛，若犛＝狇，犛＝狆（狆≠狇），求犛 的值．
狀 狀 狆 狇 狆＋狇
探究·拓展 １６．（探究题）设数列｛犪｝满足：犪＝１，且对任意的狀∈犖 ，都有犪 ＝２犪＋
狀 １ 狀＋１ 狀
１，试求数列｛犪｝的通项公式．
狀
１７．一个正方形被等分成九个相等的小正方形，将中间的一个正方形挖掉
（图（１））；再将剩余的每个正方形都分成九个相等的小正方形，并将中间的
一个正方形挖掉，得图（２）……如此继续下去．
（第１７题）
（１）图（３）共挖掉了多少个正方形？
（２）设原正方形的边长为犪，则第狀个图共挖掉了多少个正方形？这些正方
形的面积和为多少？
１６８４
数 列 第 章
本章测试
一、填空题 １．在等差数列｛犪｝中，若犪＝１７，犱＝－２，则犪 的值为 ．
狀 １ １０
烄２狀＋１，狀为奇数，
２．在数列｛犪｝中，若犪＝烅 则犪＋犪的值为 ．
狀 狀 烆２狀， 狀为偶数， ４ ５
３．设狓为实数，若三个数３，狓，１２成等比数列，则狓的值为 ．
４．在等差数列｛犪｝中，若犪＝１，犪＝７，则它的前５项和犛的值为 ．
狀 １ ４ ５
犪
５．已知等差数列｛犪｝的公差犱不为０，若犪，犪，犪成等比数列，则 １ 的值为
狀 １ ３ ７ 犱
．
６．设数列｛犪｝是公比为狇的等比数列，｜狇｜＞１．若数列｛犪｝的连续四项构成集
狀 狀
合｛－２４，－５４，３６，８１｝，则狇的值为 ．
二、选择题 ７．在等差数列｛犪｝中，若犪＝６，犪 ＝０，则犪的值为（ ）．
狀 ８ １１ １
Ａ．１８ Ｂ．２０ Ｃ．２２ Ｄ．２４
８．设某厂去年的产值为１，从今年起，该厂计划每年的产值比上年增长８％，则
从今年起到第十年，该厂这十年的总产值为（ ）．
Ａ．１．０８９ Ｂ．１．０８１０
１．０８（１－１．０８１０） １－１．０８１０
Ｃ． Ｄ．
１－１．０８ １－１．０８
９．若在１和２５６中间插入３个数，使这５个数成等比数列，则公比狇为（ ）．
Ａ．±２ Ｂ．２ Ｃ．±４ Ｄ．４
１０．如果数列｛犪｝的前狀项和犛满足：犛＝狀２＋２狀，那么犪的值为（ ）．
狀 狀 狀 １０
Ａ．１８ Ｂ．１９ Ｃ．２０ Ｄ．２１
三、解答题 １１．在等差数列｛犪｝中，犪＝２３，犱＝－２．求：
狀 １
（１）犪的值；
８
（２）数列｛犪｝中正数项的个数．
狀
１
１２．在等比数列｛犪｝中，犪＝ ，犪＝４．求：
狀 １ ２ ４
（１）数列｛犪｝的通项公式；
狀
（２）数列｛犪２｝的前５项和犛．
狀 ５
１３．有４个数，其中前３个数成等差数列，后３个数成等比数列，并且第１个数
与第４个数的和是１６，第２个数与第３个数的和是１２，求这４个数．
１４．在等比数列｛犪｝中，犪＝２，犪＝１６．设狋为实数，犛 为该数列的前２狀项和，
狀 ２ ５ ２狀
犜 为数列｛犪２｝的前狀项和，且犛 ＝狋犜，求狋的值．
狀 狀 ２狀 狀
犛
１５．设犛是等差数列｛犪｝的前狀项和，犫＝ 狀．
狀 狀 狀 狀
（１）求证：数列｛犫｝是等差数列；
狀
（２）当犛＝７，犛 ＝７５时，求数列｛犫｝的前狀项和犜．
７ １５ 狀 狀
１６９第５章 导数及其应用只有微分学才能使自然科学有可能用数学来不仅仅表
明状态，而且也表明过程：运动．
恩格斯
世界充满着变化，有些变化几乎不被人们所察觉，而有些变化却
让人们发出感叹与惊呼．
某市某年４月２０日最高气温为３３．４℃，而４月１９日和４月１８
日最高气温分别为２４．４℃和１８．６℃，短短两天时间，气温陡增
１４．８℃，闷热中的人们无不感叹：“天气热得太快了！”
但是，如果我们将该市某年３月１８日最高气温３．５℃与４月１８
日最高气温１８．６℃进行比较，发现两者温差为１５．１℃，甚至超过了
１４．８℃，而人们却不会发出上述感叹．
这是什么原因呢？
原来前者变化得太快，而后者变化得缓慢．
● 用怎样的数学模型刻画变量变化的快与慢？
● 这样的数学模型有哪些应用？
１ ７２５
导数及其应用 第 章
５．１
导数的概念
在本章引言的案例中，气温“陡增”的数学意义是什么呢？
为了弄清气温变化的快慢问题，我们先来观察如图５ １ １所示
的气温曲线图（以３月１８日作为第一天）．
图５ １ １
容易看出点犅，犆之间的曲线比点犃，犅之间的曲线更加“陡
峭”．陡峭的程度反映了气温变化的快与慢．
● 如何量化曲线上某一段的“陡峭”程度呢？
５．１．１ 平均变化率
为了量化气温变化的快与慢，我们不仅要考察气温的变化Δ犜＝
犜－犜，同时还要考察对应时间的变化Δ狋＝狋－狋．联想到用斜率
犆 犅 犆 犅
来量化直线的倾斜程度，我们用比值
犜 －犜 ３３．４－１８．６
犆 犅＝
狋－狋 ３４－３２
犆 犅
来近似地量化点犅，犆之间这一段曲线的陡峭程度，并称该比值为气
温在区间［３２，３４］上的平均变化率．
气温在区间［１，３２］上的平均变化率为
１８．６－３．５ １５．１
＝ ≈０．５．
３２－１ ３１
气温在区间［３２，３４］上的平均变化率为
３３．４－１８．６ １４．８
＝ ＝７．４．
３４－３２ ２
虽然点犃，犅之间的温差与点犅，犆之间的温差几乎相同，但它
１ ７３选择性必修第一册 数学
们的平均变化率却相差很大．一般地，
函数犳（狓）在区间［狓，狓］上的平均变化率（ａｖｅｒａｇｅｒａｔｅｓｏｆ
１ ２
ｃｈａｎｇｅ）为
犳（狓）－犳（狓）
２ １ ．
狓－狓
２ １
在图５ １ １中，我们可以感受到：平均变化率是曲线陡峭程度
的“数量化”，或者说，曲线陡峭程度是平均变化率的“视觉化”．
例１ 某婴儿从出生到第１２个月的体重变化如图５ １ ２所
示，试分别计算从出生到第３个月以及第６个月到第１２个月该婴儿
体重的平均变化率．
解 从出生到第３个月，该婴儿体重的平均变化率为
６．５－３．５
＝１（ｋｇ／月），
３－０
从第６个月到第１２个月，该婴儿体重的平均变化率为
１１－８．６ ２．４
＝ ＝０．４（ｋｇ／月）．
１２－６ ６
图５ １ ２ 图５ １ ３
例２ 水经过虹吸管从容器甲流向容器乙（图５ １ ３），狋ｓ后
容器甲中水的体积犞（狋）＝５ｅ
－０．１狋
（单位：ｃｍ３ ），试计算第一个１０ｓ内
犞的平均变化率．
解 在区间［０，１０］上，体积犞的平均变化率为
犞（１０）－犞（０） １．８３９－５
≈ ＝－０．３１６１（ｃｍ３ ／ｓ），
１０－０ １０
即第一个１０ｓ内容器甲中水的体积的平均变化率为－０．３１６１ｃｍ３ ／ｓ
（负号表示容器甲中的水在减少）．
１ ７４５
导数及其应用 第 章
例３ 已知函数犳（狓）＝狓２ ，分别计算函数犳（狓）在区间［１，３］，
［１，２］，［１，１．１］，［１，１．００１］上的平均变化率．
解 函数犳（狓）在［１，３］上的平均变化率为
犳（３）－犳（１） ３２－１２
＝ ＝４，
３－１ ２
函数犳（狓）在［１，２］上的平均变化率为
犳（２）－犳（１） ２２－１２
＝ ＝３，
２－１ １
函数犳（狓）在［１，１．１］上的平均变化率为
犳（１．１）－犳（１） １．１２－１２
＝ ＝２．１，
１．１－１ ０．１
函数犳（狓）在［１，１．００１］上的平均变化率为
犳（１．００１）－犳（１） １．００１２－１２
＝ ＝２．００１．
１．００１－１ ０．００１
例４ 已知函数犳（狓）＝２狓＋１，犵（狓）＝－２狓，分别计算函数
犳（狓）及犵（狓）在区间［－３，－１］，［０，５］上的平均变化率．
解 函数犳（狓）在［－３，－１］上的平均变化率为
犳（－１）－犳（－３） ［２×（－１）＋１］－［２×（－３）＋１］
＝ ＝２，
（－１）－（－３） ２
函数犳（狓）在［０，５］上的平均变化率为
犳（５）－犳（０）
＝２；
５－０
函数犵（狓）在［－３，－１］上的平均变化率为
犵（－１）－犵（－３）
＝－２，
（－１）－（－３）
函数犵（狓）在［０，５］上的平均变化率为
犵（５）－犵（０）
＝－２．
５－０
思 考 在例４的求解中，你能发现一次函数狔＝犽狓＋犫在区间［犿，狀］上
的平均变化率有什么特点吗？
练 习 １．甲、乙两人投入相同的资金经营某商品，甲用５年时间获利１０万元，乙用５
个月时间获利２万元，如何比较和评价甲、乙两人的经营成果？
１ ７５选择性必修第一册 数学
２．环境保护部门在规定的排污达标日期前，对甲、乙两家企业进行检查，连续检
测结果如图所示（其中犠（狋），犠（狋）分别表示甲、乙两企业的排污量），试比
１ ２
较这两家企业的治污效果．
（第２题）
３．已知函数犳（狓）＝３狓＋１，求犳（狓）在区间［犪，犫］上的平均变化率：
（１）犪＝－１，犫＝２； （２）犪＝－１，犫＝１；
（３）犪＝－１，犫＝－０．９．
４．求经过函数狔＝狓２ 图象上两点犃，犅的直线的斜率：
（１）狓 ＝１，狓 ＝１．００１； （ ２） 狓 ＝１，狓 ＝０．９；
犃 犅 犃 犅
（３）狓 ＝１，狓 ＝０．９９； （４）狓 ＝１，狓 ＝０．９９９．
犃 犅 犃 犅
５．若一质点的运动方程为犛＝狋２＋３（位移单位：ｍ，时间单位：ｓ），则在时间段
［３，３＋Δ狋］上的平均速度是多少？
５．１．２ 瞬时变化率———导数
平均变化率近似地刻画了曲线在某区间上的变化趋势，那么，如
何精确地刻画曲线上某一点处的变化趋势呢？
１．曲线上一点处的切线
如果将点犘附近的曲线放大，那么就会发现，曲线在点犘附近看
上去有点像是直线（图５ １ ４）．
图５ １ ４
如果将点犘附近的曲线再放大，那么就会发现，曲线在点犘附近
看上去几乎成了直线．事实上，如果继续放大，那么曲线在点犘附近
将逼近一条确定的直线犾，该直线犾是经过点犘的所有直线中最逼近
曲线的一条直线（图５ １ ５）．
因此，在点犘附近我们可以用这条直线犾来代替曲线．也就是
１ ７６５
导数及其应用 第 章
图５ １ ５
说，在点犘附近，曲线可以看作直线（即在很小范围内以直代曲）．
既然点犘附近的曲线被看作直线犾，那么我们可以用直线犾的斜
率来刻画曲线经过点犘时上升或下降的“变化趋势”．
探 究 如图５ １ ６，直线犾，犾为经过曲线上一点犘的两条直线．
１ ２
（１）试判断哪一条直线在点犘附近更加逼近曲线；
（２）在点犘附近能作出一条比犾，犾更加逼近曲线的直线犾吗？
１ ２ ３
（３）在点犘附近能作出一条比犾，犾，犾更加逼近曲线的直
１ ２ ３
线犾吗？
４
图５ １ ６ 图５ １ ７
怎样找到经过曲线上一点犘处最逼近曲线的直线犾呢？
如图５ １ ７，设犙为曲线犆上不同于犘的一点，这时，直线犘犙
称为曲线的割线（ｓｅｃａｎｔｌｉｎｅ）．随着点犙沿曲线犆向点犘运动，割线
犘犙在点犘附近越来越逼近曲线犆．当点犙无限逼近点犘时，直线
犘犙最终就成为在点犘处最逼近曲线的直线犾，这条直线犾称为曲线
在点犘处的切线（ｔａｎｇｅｎｔｌｉｎｅ）．
利用这种割线逼近切线的方法，我们来计算曲线上一点处切线
的斜率．
１ ７７选择性必修第一册 数学
Δ狓可正也可负，
当Δ狓取负值时，点犙
位于点犘的左侧．
图５ １ ８
如图５ １ ８，设曲线犆上一点犘（狓，犳（狓）），过点犘的一条
割线交曲线犆于另一点犙（狓＋Δ狓，犳（狓＋Δ狓）），则割线犘犙的斜
率为
犳（狓＋Δ狓）－犳（狓） 犳（狓＋Δ狓）－犳（狓）
犽 ＝ ＝ ．
犘犙 （狓＋Δ狓）－狓 Δ狓
当点犙沿曲线犆向点犘运动，并无限逼近点犘时，割线犘犙逼近
点犘的切线犾，从而割线的斜率逼近切线犾的斜率，即当Δ狓无限趋近
犳（狓＋Δ狓）－犳（狓）
于０时， 无限趋近于点犘（狓，犳（狓））处的切线的
Δ狓
斜率．
例５ 已知犳（狓）＝狓２ ，求曲线狔＝犳（狓）在狓＝２处的切线斜率．
分析 为求得过点（２，４）的切线斜率，我们从经过点（２，４）的任
意一条直线（割线）入手．
解 设犘（２，４），犙（２＋Δ狓，（２＋Δ狓）
２
），则割线犘犙的斜率为
（２＋Δ狓） ２－４
犽 ＝ ＝４＋Δ狓．
犘犙 Δ狓
当Δ狓无限趋近于０时，犽 无限趋近于常数４，从而 曲线
犘犙
狔＝犳（狓）在点犘（２，４）处的切线斜率为４．
信息技术 在Ｅｘｃｅｌ中计算（图５ １ ９），可知当Δ狓越接近０时，割线犘犙
的斜率犽 就越接近常数４．
犘犙
单元格Ｂ２，Ｄ２
中的公式．
图５ １ ９
１ ７８５
导数及其应用 第 章
练 习
１．利用直尺，用割线逼近切线的方法作出下列曲线在点犘处的切线．
（第１题）
２．在下列３个图中，直线犾为曲线在点犘处的切线，分别求犾的斜率．
（第２题）
３．如图，直线犾为经过曲线上点犘和犙的割线．
（１）若犘（１，２），犙（５，７），求犾的斜率；
（２）当点犙沿曲线向点犘靠近时，犾的斜率变大还是变小？
４．（１）运用例５中割线逼近切线的方法，分别求曲线狔＝狓２ 在狓＝０，狓＝－２，
狓＝３处的切线斜率．
１
（２）用割线逼近切线的方法，求曲线狔＝ 在狓＝１处切线的斜率．
狓
２．瞬时速度与瞬时加速度
（第３题）
在物理学中，运动物体的位移与所用时间的比称为平均速度，它
反映了物体在某段时间内运动的快慢程度．那么，如何精确刻画物体
在某一时刻运动的快慢程度呢？
我们先看下面的实例．跳水运动员从１０ｍ跳台腾空到入水的过程
中，不同时刻的速度是不同的．假设狋ｓ后运动员相对于水面的高度为
犎（狋）＝－４．９狋２＋６．５狋＋１０，
试确定狋＝２ｓ时运动员的速度．
先求出运动员在２ｓ到２．１ｓ（即狋∈ ［２，２．１］）的平均速度为
犎（２．１）－犎（２）
狏＝ ＝－１３．５９（ｍ／ｓ）．
２．１－２
１ ７９选择性必修第一册 数学
同样，可以算出更短的时间内的平均速度．
由图５ １ １０可以看出，当Δ狋越接近０时，平均速度狏越接近
常数－１３．１，这一常数可作为运动员在狋＝２ｓ时的瞬时速度．
单元格Ｃ２中的
公式．
图５ １ １０
一般地，如果当Δ狋无限趋近于０时，运动物体位移犛（狋）的平均
犛（狋＋Δ狋）－犛（狋）
变化率 ０ ０ 无限趋近于一个常数，那么这个常数称为
Δ狋
物体在狋＝狋时的瞬时速度，也就是位移对于时间的瞬时变化率．
０
类似地，我们还可以求出某一时刻物体运动的瞬时加速度．
例６ 已知一辆轿车在公路上作加速直线运动，假设狋ｓ时的速
度为狏（狋）＝狋２＋３，求当狋＝狋ｓ时轿车的瞬时加速度犪．
０
解 在狋到狋＋Δ狋的时间内，轿车的平均加速度为
０ ０
Δ狏 狏（狋＋Δ狋）－狏（狋）
犪＝ ＝ ０ ０
Δ狋 Δ狋
（狋＋Δ狋） ２＋３－狋（２＋３）
＝ ０ ０ ＝２狋＋Δ狋，
Δ狋 ０
当Δ狋无限趋近于０时，犪无限趋近于２狋，即犪＝２狋．
０ ０
所以，当狋＝狋ｓ时轿车的瞬时加速度为２狋．
０ ０
一般地，如果当Δ狋无限趋近于０时，运动物体速度狏（狋）的平均变
狏（狋＋Δ狋）－狏（狋）
化率 ０ ０ 无限趋近于一个常数，那么这个常数称为物
Δ狋
体在狋＝狋时的瞬时加速度，也就是速度对于时间的瞬时变化率．
０
练 习
１．自由落体运动的位移犛与时间狋的关系为犛＝
１
犵狋２（位移单位：ｍ，时间单
２
位：ｓ，犵为常数）．
（１）计算狋分别在［３，３．１］，［３，３．０１］，［３，３．００１］各时间段内的平均速度；
（２）计算狋在［３，３＋Δ狋］内的平均速度；
（３）求狋＝３时的瞬时速度；
（４）求狋＝狋时的瞬时速度；
０
１ ８０５
导数及其应用 第 章
（５）根据（４）的结果，分别求出狋＝０，１，２时的瞬时速度．
２．一质点的运动方程为犛＝狋２＋１０（位移单位：ｍ，时间单位：ｓ），试求该质点
在狋＝３时的瞬时速度．
３．导数
前面的实际问题都涉及了函数在某一点处的瞬时变化率———
导数．
设函数狔＝犳（狓）在区间（犪，犫）上有定义，狓∈（犪，犫），若Δ狓无
０
限趋近于０时，比值
Δ狓表示自变量 Δ狔 犳（狓＋Δ狓）－犳（狓）
＝ ０ ０
Δ狓 Δ狓
狓的改变量，Δ狔表示
相应的函数的改变量．
无限趋近于一个常数犃，则称犳（狓）在狓＝狓处可导（ｄｅｒｉｖａｂｌｅ），并称
０
该常数犃为函数犳（狓）在狓＝狓处的导数（ｄｅｒｉｖａｔｉｖｅ），记作犳′（狓）．
０ ０
若用符号“→”表示“无限趋近于”，则“当Δ狓无限趋近于０时，
犳（狓＋Δ狓）－犳（狓）
０ ０ 无限趋近于常数犃”就可以表示为
Δ狓
犳（狓＋Δ狓）－犳（狓）
“当Δ狓→０时， ０ ０ →犃”．
Δ狓
通常又可表示为
犳（狓＋Δ狓）－犳（狓）
ｌｉｍ，是英文ｌｉｍｉｔ ｌｉｍ ０ ０ ＝犃，
Δ狓
Δ狓→０
的缩写，这在高等数
学的“极限知识”中将 犳（狓＋Δ狓）－犳（狓）
即 犳′（狓）＝ｌｉｍ ０ ０ ．
会介绍． ０ Δ狓
Δ狓→０
导数犳′（狓）的几何意义就是曲线狔＝犳（狓）在点犘（狓，犳（狓））
０ ０ ０
处的切线的斜率（图５ １ １１）．
图５ １ １１
例７ 已知犳（狓）＝狓２＋２．
（１）求犳（狓）在狓＝１处的导数犳′（１）；
（２）求犳（狓）在狓＝犪处的导数犳′（犪）．
解 （１）因为
１ ８１选择性必修第一册 数学
Δ狔 犳（１＋Δ狓）－犳（１）
＝
Δ狓 Δ狓
＝
（１＋Δ狓） ２＋２－（１２＋２）
＝２＋Δ狓，
Δ狓
所以，当Δ狓→０时，２＋Δ狓→２，即
Δ狔
ｌｉｍ ＝ｌｉｍ（２＋Δ狓）＝２．
Δ狓
Δ狓→０ Δ狓→０
故犳（狓）在狓＝１处的导数等于２，即犳′（１）＝２．
（２）因为
Δ狔 犳（犪＋Δ狓）－犳（犪）
＝
Δ狓 Δ狓
＝
（犪＋Δ狓） ２＋２－（犪２＋２）
＝２犪＋Δ狓，
Δ狓
所以，当Δ狓→０时，２犪＋Δ狓→２犪，即
Δ狔
ｌｉｍ ＝ｌｉｍ（２犪＋Δ狓）＝２犪．
Δ狓
Δ狓→０ Δ狓→０
故犳（狓）在狓＝犪处的导数等于２犪，即犳′（犪）＝２犪．
若犳（狓）对于区间（犪，犫）内任一点都可导，则犳（狓）在各点处的导
数也随着自变量狓的变化而变化，因而也是自变量狓的函数，该函数
称为犳（狓）的导函数（ｄｅｒｉｖｅｄｆｕｎｃｔｉｏｎ），记作犳′（狓）．
如无特别说明， 在不引起混淆时，导函数犳′（狓）也简称为犳（狓）的导数．
本章所涉及的函数都 瞬时速度是运动物体的位移犛（狋）对于时间狋的导数，即
是可导函数．
狏（狋）＝犛′（狋）；
瞬时加速度是运动物体的速度狏（狋）对于时间狋的导数，即
犪（狋）＝狏′（狋）．
犳（狓）在狓＝狓处的导数犳′（狓）就是导函数犳′（狓）在狓＝狓
０ ０ ０
处的函数值．例如，犳（狓）在狓＝２，狓＝２狓＋３处的导数分别是
０
导函数犳′（狓）在该处的函数值犳′（２），犳′（２狓＋３）．
０
练 习 １．质点的运动方程为犛＝３狋＋１（位移单位：ｍ，时间单位：ｓ），分别求该质点
在狋＝１，狋＝２时的速度．
２．求下列函数在狓＝狓处的导数：
０
（１）狔＝３狓＋１，狓＝３；
０
（２）狔＝狓２，狓＝犪；
０
１
（３）狔＝ ，狓＝２．
狓 ０
３．犳′（１）与犳（１）的含义有什么不同？犳′（１）与犳′（狓）的含义有什么不同？
１ ８２５
导数及其应用 第 章
４．求函数狔＝（２狓－１）２ 在狓＝３处的导数．
１
５．已知函数狔＝犳（狓）的图象在点犕（１，犳（１））处的切线方程是狔＝ 狓＋２，
２
求犳（１）＋犳′（１）的值．
６．已知某水库在泄洪过程中水面的高度与泄洪时间狋的函数关系是犺＝
犳（狋），请说明犳′（狋）的实际意义．
边 际 函 数
链 接
在经济学中，生产狓件产品的成本称为成本函数，记为犆（狓）；出
售狓件产品的收益称为收益函数，记为犚（狓）；犚（狓）－犆（狓）称为利润
函数，记为犘（狓）．相应地，它们的导数犆′（狓），犚′（狓）和犘′（狓）分别称
为边际成本函数、边际收益函数和边际利润函数．
经济学中涉及的
如图５ １ １２，犆（狓）在狓＝犪处的导数犆′（犪）称为生产规模为犪
函数，有时是“离散型”
时的边际成本值，该值给出了生产规模为犪时，再增加１个产品，成本
函数，我们仍将其看成
的增加量．边际值表现为两个微增量的比．
“连续型”函数．参看
《数学（必修第一册）》
“函数的实际应用”．
图５ １ １２
由图可见：
犆（犪＋１）－犆（犪）≈犆′（犪）×１＝犆′（犪）．
犆（犪＋１）－犆（犪）表示生产规模由犪增加为犪＋１时成本的相应
增加量．经济学中，边际成本犆′（犪）通常近似地看成生产规模增加１
个单位时成本的增加量．类似地，对犚′（狓）和犘′（狓）也有相应的数
学模型．
试用上述知识解决下面的问题：设成本函数犆（狓）＝０．００５狓３－
３狓，狓为每天生产的产品数．
（１）若每天生产产品数由１０００件改为１００１件，成本的绝对增
加值是多少？
（２）在狓＝１０００处的边际成本是多少？
１ ８３选择性必修第一册 数学
习题５．１
感受·理解 １．函数狔＝犳（狓）的图象如图所示，在图中作线段，分别表示犳（２），犳（２＋犺），
犳（２＋犺）－犳（２），犺．
（第１题） （第２题）
２．如图，曲线狔＝犳（狓）在点犘处的切线方程是狔＝－狓＋８，求犳（５）及犳′（５）．
３．如图，犃，犅，犆，犇，犈，犉，犌为函数狔＝犳（狓）图象上的点．在哪些点处，
曲线的切线斜率为０？在哪些点处，切线的斜率为正？在哪些点处，切线的
斜率为负？在哪一点处，切线的斜率最大？在哪一点处，切线的斜率最小？
（第３题）
（ ）
３ ９
４．曲线狔＝狓２ 在点犘 ， 处的切线斜率是多少？写出在点犘处的切
４ １６
线方程．
５．如图，求犳（犪），并估计犳′（犪）．
（第５题） （第６题）
６．根据所给函数狔＝犳（狓）的图象，估计犳′（１）．
７．求值：（１）ｌｉｍ
（３＋犺）２－３２；
犺
犺→０
槡３＋犺－槡３
（２）ｌｉｍ ．
犺
犺→０
［ ］
１
８．已知函数犳（狓）＝狓２，记犐＝ ２，２＋ ，狀∈犖 ，求犳（狓）在区间犐上的
狀 ２狀 狀
平均变化率犪，并观察当狀不断增大时犪的变化趋势．
狀 狀
１ ８４５
导数及其应用 第 章
９．（１）已知犳（狓＋犺）－犳（狓）＝２犺狓＋５犺＋犺２，用割线逼近切线的方法求犳′（狓）；
（２）已知犵（狓＋犺）－犵（狓）＝３犺狓２＋３犺２狓＋犺３，用割线逼近切线的方法求
犵′（狓）．
思考·运用 １０．已知曲线狔＝狓２ 的一条切线的斜率是－４，求切点的坐标．
６
１１．已知函数犳（狓）＝－ ．
狓
（１）函数犳（狓）在区间［１，２］，［１，１．５］，［１，１．１］上的平均变化率各是多少？
（２）函数犳（狓）在狓＝１处的瞬时变化率是多少？
１２０
１２．蜥蜴的体温与阳光照射的关系近似为犜（狋）＝ ＋１５，其中犜（狋）为蜥蜴
狋＋５
的体温（单位：℃），狋为太阳落山后的时间（单位：ｍｉｎ）．
（１）从狋＝０到狋＝１０，蜥蜴体温下降了多少？
（２）从狋＝０到狋＝１０，蜥蜴体温的平均变化率是多少？
（３）当狋＝１０时，蜥蜴体温的瞬时变化率是多少？
（４）蜥蜴体温的瞬时变化率为－１℃／ｍｉｎ时的时刻狋是多少（精确到０．０１）？
探究·拓展 １３．生产某塑料管的利润函数为犘（狀）＝－狀３＋６００狀２＋６７５００狀－１２０００００，其
中狀为工厂每月生产该塑料管的根数，利润犘（狀）的单位为元．
（１）求边际利润函数犘′（狀）；
（２）求狀的值，使犘′（狀）＝０；
（３）解释（２）中狀的值的实际意义．
１４．对于函数犳（狓），若犳′（狓）存在，求：
０
犳（狓＋（－犺））－犳（狓）
（１）ｌｉｍ ０ ０ ；
－犺
犺→０
犳（狓＋犺）－犳（狓－犺）
（２）ｌｉｍ ０ ０ ．
犺
犺→０
１ ８５选择性必修第一册 数学
５．２
导数的运算
在上一节中，我们用割线逼近切线的方法引入了导数的概念，即
函数在某一点处的瞬时变化率．那么，
● 如何求基本初等函数的导数呢？
● 导数的运算法则有哪些？
５．２．１ 基本初等函数的导数
根据导数的概念，求函数导数的过程可以用下面的流程图
（图５２ １）来表示．
给定函数狔＝犳（狓）
↓
Δ狔 犳（狓＋Δ狓）－犳（狓）
计算 ＝
Δ狓 Δ狓
↓
Δ狔
ｌｉｍ ＝犃（狓）
Δ狓
Δ狓→０
↓
犳′（狓）＝犃（狓）
图５ ２ １
（１）对于犳（狓）＝犽狓＋犫（犽，犫为常数），因为
Δ狔 犳（狓＋Δ狓）－犳（狓）
＝
Δ狓 Δ狓
犽（狓＋Δ狓）＋犫－（犽狓＋犫）
＝ ＝犽，
Δ狓
Δ狔
所以 ｌｉｍ ＝犽．
Δ狓
Δ狓→０
故 犳′（狓）＝犽．
（２）对于犳（狓）＝狓２ ，因为
Δ狔 （狓＋Δ狓） ２－狓２
＝
Δ狓 Δ狓
２狓（Δ狓）＋（Δ狓）
２
＝
Δ狓
＝２狓＋Δ狓，
１ ８６５
导数及其应用 第 章
Δ狔
所以 ｌｉｍ ＝ｌｉｍ（２狓＋Δ狓）＝２狓．
Δ狓
Δ狓→０ Δ狓→０
故 犳′（狓）＝２狓．
（３）对于犳（狓）＝狓３ ，因为
Δ狔 （狓＋Δ狓） ３－狓３
＝
Δ狓 Δ狓
３狓２ （Δ狓）＋３狓（Δ狓） ２＋（Δ狓） ３
＝
Δ狓
＝３狓２＋３狓（Δ狓）＋（Δ狓）
２
，
Δ狔
所以 ｌｉｍ ＝ｌｉｍ［３狓２＋３狓（Δ狓）＋（Δ狓） ２ ］＝３狓２．
Δ狓
Δ狓→０ Δ狓→０
故 犳′（狓）＝３狓２．
１
（４）对于犳（狓）＝ ，因为
狓
１ １
－
Δ狔 狓＋Δ狓 狓 －Δ狓
＝ ＝
Δ狓 Δ狓 Δ狓（狓＋Δ狓）狓
－１ －１
＝ ＝ ，
（狓＋Δ狓）狓 狓２＋狓（Δ狓）
Δ狔 －１ １
所以 ｌｉｍ ＝ｌｉｍ ＝－ ．
Δ狓 狓２＋狓（Δ狓） 狓２
Δ狓→０ Δ狓→０
１
故 犳′（狓）＝－ ．
狓２
（５）对于犳（狓）＝槡狓，因为
Δ狔 槡狓＋Δ狓－槡狓
＝
Δ狓 Δ狓
Δ狓
＝
Δ狓（槡狓＋Δ狓＋槡狓）
１
＝ ，
槡狓＋Δ狓＋槡狓
Δ狔 １ １ １
所以 ｌｉｍ ＝ｌｉｍ ＝ ＝ ．
Δ狓→０
Δ狓
Δ狓→０
槡狓＋Δ狓＋槡狓 槡狓＋槡狓 ２槡狓
１
故 犳′（狓）＝ ．
２槡狓
以上求导公式可以归纳如下：
１ ８７选择性必修第一册 数学
（１）（犽狓＋犫′）＝犽（犽，犫为常数）；
（２）犆′＝０（犆为常数）；
（３）（狓′）＝１；
（４）（狓２′）＝２狓；
（５）（狓３′）＝３狓２ ；
（ ）
１ １
（６） ′＝－ ；
狓 狓２
１
（７）（槡狓′）＝ ．
２槡狓
思 考
由上面的求导公式（３）～（６），你能发现什么规律？
为方便叙述，我们把函数狔＝狓
α
（α为常数），狔＝犪狓 （犪＞０，犪≠
１），狔＝ｌｏｇ狓（犪＞０，犪≠１），狔＝ｓｉｎ狓，狔＝ｃｏｓ狓等函数称为基本
犪
初等函数．
对于基本初等函数，有下面的求导公式：
（８）（狓
α
′）＝α狓
α－１
（α为常数）；
（９）（犪狓′）＝犪狓ｌｎ犪（犪＞０，且犪≠１）；
（１０）（ｅ狓′）＝ｅ狓 ；
１ １
（１１）（ｌｏｇ狓′）＝ ｌｏｇｅ＝ （犪＞０，且犪≠１）；
犪 狓 犪 狓ｌｎ犪
１
（１２）（ｌｎ狓′）＝ ；
狓
（１３）（ｓｉｎ狓′）＝ｃｏｓ狓；
（１４）（ｃｏｓ狓′）＝－ｓｉｎ狓．
练 习
１．对于函数犳（狓）来说，犳′（１），犳′（２）与犳′（狓）有什么区别与联系？
２．求下列函数的导数：
１
（１）狔＝ ； （２）狔＝ 槡３狓５； （３）狔＝４狓； （４）狔＝ｌｏｇ狓．
狓３ ３
（ ）
１ １
３．求曲线狔＝ 在点 ２， 处的切线的方程．
狓 ２
１
４．设犫为实数，若直线狔＝－狓＋犫为函数狔＝ 图象的切线，求犫的值及切点
狓
坐标．
１
５．设犫为实数，直线狔＝ 狓＋犫能作为下列函数图象的切线吗？若能，求出切
２
点坐标；若不能，简述理由．
１
（１）犳（狓）＝ ； （２）犳（狓）＝狓４； （３）犳（狓）＝ｓｉｎ狓； （４）犳（狓）＝ｅ狓．
狓
１ ８８５
导数及其应用 第 章
６．已知函数犳（狓）＝狓３，求（犳（－２）′）以及犳′（－２）．
１
７．设犫为实数，若直线狔＝ 狓＋犫是曲线狔＝ｌｎ狓（狓＞０）的一条切线，求犫
２
的值．
５．２．２ 函数的和、差、积、商的导数
已知函数犳（狓），犵（狓）的导数犳′（狓），犵′（狓），怎样求 （犳（狓）＋
犵（狓）′）呢？
例１ 求狔＝狓２＋狓的导数．
解 因为
Δ狔 ［（狓＋Δ狓） ２＋（狓＋Δ狓）］－（狓２＋狓）
＝
Δ狓 Δ狓
（狓＋Δ狓） ２－狓２ （狓＋Δ狓）－狓
＝ ＋
Δ狓 Δ狓
＝２狓＋Δ狓＋１，
Δ狔
所以ｌｉｍ ＝２狓＋１，得狔′＝２狓＋１．
Δ狓
Δ狓→０
由于 （狓２′）＝２狓，狓′＝１，则有
（狓２＋狓′）＝ （狓２′）＋狓′．
一般地，我们有函数和的求导法则：
（犳（狓）＋犵（狓）′）＝犳′（狓）＋犵′（狓），
即两个函数的和的导数，等于这两个函数的导数的和．
类似地，函数的差、积、商的求导法则是：
（犳（狓）－犵（狓）′）＝犳′（狓）－犵′（狓），
（犆犳（狓）′）＝犆犳′（狓）（犆为常数），
尝试利用定义证
明一下． （犳（狓）犵（狓）′）＝犳′（狓）犵（狓）＋犳（狓）犵′（狓），
（ ）
犳（狓）′ 犳′（狓）犵（狓）－犳（狓）犵′（狓）
＝ （犵（狓）≠０）．
犵（狓） 犵２ （狓）
有了函数的和、差、积、商的求导法则，我们就可以直接运用基本
１ ８９选择性必修第一册 数学
初等函数的求导公式求出较为复杂的函数的导数．
例２ 求下列函数的导数：
（１）犳（狓）＝狓２＋ｓｉｎ狓；
３
（２）犵（狓）＝狓３－ 狓２－６狓＋２．
２
解 （１）犳′（狓）＝（狓２＋ｓｉｎ狓′）＝（狓２′）＋（ｓｉｎ狓′）＝２狓＋ｃｏｓ狓．
（ ）
３
（２）犵′（狓）＝ 狓３－ 狓２－６狓＋２′＝３狓２－３狓－６．
２
例３ 求下列函数的导数：
（１）犺（狓）＝狓ｓｉｎ狓； （２）犳（狓）＝狓２ｅ狓 ；
狋２＋１
（３）犛（狋）＝ ； （４）犳（狓）＝ｔａｎ狓．
狋
解 （１）犺′（狓）＝（狓ｓｉｎ狓′）＝狓′ｓｉｎ狓＋狓（ｓｉｎ狓′）＝ｓｉｎ狓＋狓ｃｏｓ狓．
（２）犳′（狓）＝ （狓２ｅ狓′）＝ （狓２′）ｅ狓＋狓２ （ｅ狓′）＝２狓ｅ狓＋狓２ｅ狓．
（ ）
（３）犛′狋（）＝
狋２＋１
′＝
狋（ ２＋１′）狋－狋（２＋１狋）′
＝
２狋·狋－狋２－１
＝
狋 狋２ 狋２
狋２－１
．
狋２
（ ）
ｓｉｎ狓 （ｓｉｎ狓′）ｃｏｓ狓－ｓｉｎ狓（ｃｏｓ狓′）
（４）犳′（狓）＝（ｔａｎ狓′）＝ ′＝ ＝
ｃｏｓ狓 ｃｏｓ２狓
ｃｏｓ狓ｃｏｓ狓－ｓｉｎ狓（－ｓｉｎ狓） ｃｏｓ２狓＋ｓｉｎ２狓 １
＝ ＝ ．
ｃｏｓ２狓 ｃｏｓ２狓 ｃｏｓ２狓
思 考
例３（３）还有其他解法吗？
练 习 １．求下列函数的导数：
（１）狔＝狓２＋ｃｏｓ狓； （２）狔＝２狓－２ｌｎ狓．
２．求曲线狔＝狓２＋２狓－３在狓＝２处的切线方程．
３．用两种方法求函数狔＝（２狓－１）（狓＋３）的导数．
４．求下列函数的导数：
１
（１）犳（狓）＝狓ｅ狓； （２）犳（狓）＝ ；
狓２
狓
（３）犳（狓）＝ ； （４）犳（狓）＝狓ｌｎ狓；
２狓＋３
ｓｉｎ狓 ２狓
（５）犳（狓）＝ ； （６）犳（狓）＝ ．
狓２ ｌｎ狓
５．已知函数犳（狓）的导数是犳′（狓），求函数（犳（狓））２ 的导数．
１ ９０５
导数及其应用 第 章
５．２．３ 简单复合函数的导数
观察函数狔＝（３狓－１）
２
和狔＝ｓｉｎ２狓，不难发现，狔＝（３狓－１）
２
由狔＝狌２ 及狌＝３狓－１复合而成，狔＝ｓｉｎ２狓由狔＝ｓｉｎ狌及狌＝２狓复
合而成．像这样由基本初等函数复合而成的函数，称为复合函数．
那么，怎样求复合函数的导数呢？
先考察狔＝ （３狓－１）
２
，将狔关于狓的导数记为狔′．
狓
一方面，
狔′＝ （（３狓－１） ２′）＝ （９狓２－６狓＋１′）＝１８狓－６＝６（３狓－１）．
狓
另一方面，将狔＝（３狓－１）
２
看成由狔＝狌２ 及狌＝３狓－１复合而
成，并将狔关于狌的导数记为狔′，即狔′＝（狌２′）＝２狌．同理，将狌关于
狌 狌
狓的导数记为狌′，即狌′＝ （３狓－１′）＝３．
狓 狓
因而有
狔′＝６（３狓－１）＝２（３狓－１）×３＝２狌×３，
狓
即
狔′＝狔′·狌′．
狓 狌 狓
再考察狔＝ｓｉｎ２狓．
一方面，
狔′＝（ｓｉｎ２狓′）＝（２ｓｉｎ狓ｃｏｓ狓′）＝２（ｓｉｎ狓′）ｃｏｓ狓＋２ｓｉｎ狓（ｃｏｓ狓′）＝
狓
２ｃｏｓ２狓－２ｓｉｎ２狓＝２ｃｏｓ２狓．
另一方面，将狔＝ｓｉｎ２狓看成由狔＝ｓｉｎ狌及狌＝２狓复合而成，仿
上可得，狔′＝ （ｓｉｎ狌′）＝ｃｏｓ狌，狌′＝ （２狓′）＝２．
狌 狓
因而也有
狔′＝狔′·狌′．
狓 狌 狓
一般地，我们有：
若狔＝犳（狌），狌＝犪狓＋犫，则狔′＝狔′·狌′，即
狓 狌 狓
狔′＝狔′·犪．
狓 狌
例４ 求下列函数的导数：
（１）狔＝ （２狓－３）
３
； （２）狔＝ｌｎ（５狓＋１）．
解 （１）狔＝ （２狓－３）
３
可由狔＝狌３ 及狌＝２狓－３复合而成，
所以 狔′＝狔′×２＝ （狌３′）×２＝３狌２×２＝６狌２＝６（２狓－３） ２．
狓 狌
（２）狔＝ｌｎ（５狓＋１）可由狔＝ｌｎ狌及狌＝５狓＋１复合而成，
１ ９１选择性必修第一册 数学
１ ５
所以 狔′＝狔′×５＝ （ｌｎ狌′）×５＝ ×５＝ ．
狓 狌 狌 ５狓＋１
例５ 求下列函数的导数：
１
（１）狔＝ ； （２）狔＝ｃｏｓ（１－２狓）．
３狓－１
１ １
解 （１）狔＝ 可由狔＝ 及狌＝３狓－１复合而成，
３狓－１ 狌
（ ）
１ １ ３
所以 狔′＝狔′×３＝ ′×３＝－ ×３＝－ ．
狓 狌 狌 狌２ （３狓－１） ２
（２）狔＝ｃｏｓ（１－２狓）可由狔＝ｃｏｓ狌及狌＝１－２狓复合而成，
所以 狔′＝狔′×（－２）＝ （ｃｏｓ狌′）×（－２）＝（－ｓｉｎ狌）×（－２）＝
狓 狌
２ｓｉｎ（１－２狓）．
练 习 １．指出以下函数可以分别看作是由哪两个函数复合而成的：
１
（１）狔＝（３＋ｓｉｎ狓）４； （２）狔＝ｌｎ ；
２狓＋１
１
（３）狔＝２２狓－１； （４）狔＝ ．
１－ｃｏｓ狓
２．求下列函数的导数：
（１）狔＝（２狓＋３）２； （２）狔＝（１－３狓）３；
１
（３）狔＝ｅ２狓； （４）狔＝ｌｎ ．
狓
３．求曲线狔＝ｓｉｎ２狓在点犘（π，０）处的切线方程．
（ ）
π
４．利用ｃｏｓ狓＝ｓｉｎ －狓，（ｓｉｎ狓′）＝ｃｏｓ狓，证明（ｃｏｓ狓′）＝－ｓｉｎ狓．
２
５．求下列函数的导数：
（ ）
１ π
（１）狔＝ｌｎ ； （２）狔＝ｃｏｓ －２狓．
２狓＋１ ３
阅 读 犳（犪狓＋犫）的导数的一种解释
（１）当犪＝１时，不妨设犫＜０，设犳′（狓）＝犵（狓）．由图５ ２ ２可
知，若犳′（狓）＝犵（狓），则
（犳（狓＋犫）′）＝犵（狓＋犫）．
图５ ２ ２
１ ９２５
导数及其应用 第 章
（２）当犪＝－１，犫＝０时，设犳′（狓）＝犵（狓）．由图５ ２ ３可知，
若犳′（狓）＝犵（狓），则
（犳（－狓）′）＝－犵（－狓）．
图５ ２ ３
（３）当犪＞０，犫＝０时，设犳′（狓）＝犵（狓）．由图５ ２ ４可知，若
犳′（狓）＝犵（狓），则
（犳（犪狓）′）＝犪犵（犪狓）．
图５ ２ ４
由（１）（２）（３），你能得到什么结论？
习题５．２
感受·理解 １．求下列函数的导数：
１
（１）犳（狓）＝狓２－３狓＋１； （２）犳（狓）＝狓＋ ；
狓
（３）犳（狓）＝狓＋ｓｉｎ狓； （４）犳（狓）＝狓ｃｏｓ狓．
２．求下列函数的导数：
（１）犳（狓）＝２狓＋３狓； （２）犳（狓）＝ｌｏｇ狓＋狓２；
２
（３）犳（狓）＝
ｅ狓；
（４）犳（狓）＝狓３ｌｎ狓．
狓
３．求下列函数的导数：
（１）犳（狓）＝（２狓＋１）５； （２）犳（狓）＝ｓｉｎ２狓；
（ ）
π
（３）犳（狓）＝ｓｉｎ２狓＋ ； （４）犳（狓）＝ｌｎ（狓＋１）．
３
４．（１）求曲线狔＝ｅ狓 在狓＝０处切线的方程；
（２）过原点作曲线狔＝ｅ狓 的切线，求切点的坐标．
１ π
５．求曲线狔＝ 狓－ｃｏｓ狓在狓＝ 处切线的方程．
２ ６
１ ９３选择性必修第一册 数学
６．求曲线狔＝狓３＋３狓－８在狓＝２处切线的方程．
１＋槡狓
７．（１）已知函数犳（狓）＝ ，分别求当狓＝２，４时犳（狓）的导数值；
１－槡狓
（２）已知函数犳（狓）＝狓ｌｎ狓＋２狓２－３，分别求当狓＝１，２时犳（狓）的导
数值．
８．已知函数犳（狓）＝ｓｉｎ狓＋ｃｏｓ狓，狓∈（０，２π）．
（１）求狓，使犳′（狓）＝０；
０ ０
（２）解释（１）中狓及犳′（狓）的意义．
０ ０
９．求下列函数的导数：
（ ）
（１）犳（狓）＝
（狓－２）２；
（２）犳（狓）＝（狓２＋９）狓－
３
；
狓＋１ 狓
ｌｎ狓
（３）犳（狓）＝ ； （４）犳（狓）＝狓２ｃｏｓ狓．
狓
１０．已知犳（５）＝５，犳′（５）＝３，犵（５）＝４，犵′（５）＝１，求犺（５）及犺′（５）．
（１）犺（狓）＝３犳（狓）＋２犵（狓）； （２）犺（狓）＝犳（狓）犵（狓）＋１；
犳（狓）＋２
（３）犺（狓）＝ ．
犵（狓）
１１．血液在血管中的流速满足关系式狏（狉）＝犽（犚２－狉２），其中犽为常数，犚和狉
分别为血管的外径和内径（单位：ｃｍ）．现假定犽＝１０００，犚＝０．２ｃｍ，求
狏（０．１）及狏′（０．１），并对所得结果作出解释．
思考·运用
１２．某港口在一天２４ｈ内潮水的高度犛（单位：ｍ）随时间狋（单位：ｈ，０≤狋≤
（ ）
π ５π
２４）的变化近似满足关系式犛（狋）＝３ｓｉｎ 狋＋ ，求１８点时潮水起落的
１２ ６
速度．
１３．火车开出车站一段时间内，速度狏（单位：ｍ／ｓ）与行驶时间狋（单位：ｓ）之间
的关系是狏（狋）＝０．４狋＋０．６狋２．
（１）求火车运动的加速度犪；
（２）火车开出几秒时加速度为２．８ｍ／ｓ２ ？
１４．质点的运动方程是犛＝５ｓｉｎ狋＋２ｃｏｓ狋．
（１）求当狋＝５时的速度；
（２）求质点运动的加速度．
１５．（１）如图（１），直线犾是抛物线狔＝０．５狓２－４狓＋１０在狓＝６处的切线，求直
线犾在狔轴上的截距；
（２）如图（２），直线犾是曲线狔＝犳（狓）在狓＝４处的切线，求犳′（４）．
（第１５题）
１ ９４５
导数及其应用 第 章
探究·拓展 １６．如图，水波的半径以５０ｃｍ／ｓ的速度向外扩张，当半径为２５０ｃｍ时，圆面积
的膨胀率是多少？
（第１６题）
１７．设曲线狔＝狓２（狓≥０），直线狔＝０及狓＝狋（狋＞０）围成的封闭图形的面积
为犛（狋），求犛′（狋）．
１ ９５选择性必修第一册 数学
５．３
导数在研究函数中的应用
我们知道，导数犳′（狓）刻画了函数犳（狓）在每一点处的变化趋
势，而函数在每一点处的变化趋势可以反映函数的一些性质．
● 如何利用导数来研究函数的性质呢？
５．３．１ 单调性
如果函数犳（狓）在区间（犪，犫）上是增函数，那么对任意的狓，
１
狓∈（犪，犫），当狓＜狓 时，犳（狓）＜犳（狓），即狓－狓 与犳（狓）－
２ １ ２ １ ２ １ ２ １
犳（狓）－犳（狓） Δ狔
犳（狓）同号，从而有 １ ２ ＞０，即 ＞０．这表明，函数的
２ 狓－狓 Δ狓
１ ２
平均变化率与其单调性密切相关．进一步猜想，函数的瞬时变化率
（即导数）与其单调性也密切相关．那么，
● 导数与函数的单调性有什么联系？
我们选几个具体的函数，考察一下它们的单调性与导数之间的
关系：
犳（狓）＝ｓｉｎ狓
犳（狓）＝２狓 犳（狓）＝狓２ （ （ ））
函 数 π
（狓∈犚） （狓∈（０，＋∞）） 狓∈ ０，
２
函数的单调性 增函数 增函数 增函数
导数的正负 犳′（狓）＞０ 犳′（狓）＞０ 犳′（狓）＞０
函数的图象
观察上表，我们可以提出两个猜想：
（１）如果犳（狓）在 某 区 间 上 单 调 递 增，那 么 在 该 区 间 上
犳′（狓）＞０；
（２）如果在某区间上犳′（狓）＞０，那么犳（狓）在该区间上单调
递增．
１ ９６５
导数及其应用 第 章
思 考 试结合狔＝狓３进行思考：如果犳（狓）在某区间上单调递增，那么
在该区间上必有犳′（狓）＞０吗？
在高等数学中，可以证明猜想（２）是正确的．
一般地，我们有下面的结论：
若在某个区间 对于函数狔＝犳（狓），
内，犳′（狓）≥０，且只在 如果在某区间上犳′（狓）＞０，那么犳（狓）在该区间上单调递增，
有限个点处犳′（狓）＝ 即犳（狓）为该区间上的增函数；
０，则在这个区间内，
如果在某区间上犳′（狓）＜０，那么犳（狓）在该区间上单调递减，
函数狔＝犳（狓）单调
即犳（狓）为该区间上的减函数．
递增；
若在某个 区 间
上述结论可以用图５ ３ １来直观理解．
内，犳′（狓）≤０，且只在
有限个点处犳′（狓）＝
０，则在这个区间内，
函数狔＝犳（狓）单调
递减．
图５ ３ １
例１ 确定函数犳（狓）＝狓２－４狓＋３在哪个区间上是增函数，在
哪个区间上是减函数．
解 由题设知，犳′（狓）＝２狓－４．
令犳′（狓）＞０，解得狓＞２，因此，在区间（２，＋∞）上，犳′（狓）＞０，
犳（狓）是增函数；
令犳′（狓）＜０，解得狓＜２，因此，在区间（－∞，２）上，犳′（狓）＜０，
犳（狓）是减函数（图５ ３ ２）．
图５ ３ ２
例２ 讨论函数犳（狓）＝２狓３－６狓２＋７的单调性．
解 由题设知，犳′（狓）＝６狓２－１２狓．
令犳′（狓）＝０，解得狓＝０或狓＝２．
因此，在区间（－∞，０）上，犳′（狓）＞０，犳（狓）单调递增；在区间（０，
２）上，犳′（狓）＜０，犳（狓）单调递减；在区间（２，＋∞）上，犳′（狓）＞０，
１ ９７选择性必修第一册 数学
犳（狓）单调递增（图５ ３ ３）．
图５ ３ ３
例３ 确定函数犳（狓）＝ｓｉｎ狓（狓∈ （０，２π））的减区间．
解 犳′（狓）＝ｃｏｓ狓．
（ ）
π ３π
令犳′（狓）＜０，即ｃｏｓ狓＜０．又狓∈（０，２π），所以狓∈ ， ．
２ ２
（ ）
π ３π
故所求的减区间是 ， ．
２ ２
练 习 １．确定下列函数的单调区间：
（１）狔＝狓－狓２； （２）狔＝狓－狓３．
２．讨论下列函数犳（狓）的单调性：
犽
（１）犳（狓）＝犽狓＋犫； （２）犳（狓）＝ ；
狓
（３）犳（狓）＝犪狓２＋犫狓＋犮（犪≠０）．
３．用导数证明：
（１）犳（狓）＝ｅ狓 在区间（－∞，＋∞）上是增函数；
（２）犳（狓）＝ｅ狓－狓在区间（－∞，０）上是减函数．
４．（１）证明函数狔＝－ｌｎ狓在定义域上是减函数；
（ ）
π π
（２）证明函数狔＝ｓｉｎ狓在区间 － ， 上是增函数．
２ ２
５．３．２ 极大值与极小值
观察图５ ３ ４中的函数图象，不难发现，函数图象在点犘处从
左侧到右侧由“上升”变为“下降”（函数由单调递增变为单调递减），
这时在点犘附近，点犘的位置最高，即犳（狓）比它附近点的函数值都
１
要大．我们称犳（狓）为函数犳（狓）的一个极大值．
１
图５ ３ ４
１ ９８５
导数及其应用 第 章
一般地，若存在δ＞０，当狓∈（狓－δ，狓＋δ）时，都有犳（狓）≤
１ １
犳（狓），则称犳（狓）为函数犳（狓）的一个极大值．
１ １
类似地，图中犳（狓）为函数的一个极小值．函数的极大值、极小值
２
统称为函数的极值（ｅｘｔｒｅｍｕｍ）．
● 函数的极值与函数的导数有怎样的关系呢？
在这里，狓 左 继续观察图５ ３ ４中的函数图象，在函数取得极大值的狓的左
１ １
（右）侧是指以狓 为 侧，函数单调递增，犳′（狓）＞０；在狓的右侧，函数单调递减，犳′（狓）＜０；
１ １
右（左）端点的一个小 而在点犘处的切线平行于狓轴，即犳′（狓）＝０．表５ ３ １清楚地表明了
区间． 极大值与导数之间的关系．
表５ ３ １
狓 狓左侧 狓 狓右侧
１ １ １
犳′（狓） 犳′（狓）＞０ 犳′（狓）＝０ 犳′（狓）＜０
符号“”“”分 犳（狓） 极大值犳（狓）
１
别表示“单调递增”和
“单调递减”． 类似地，极小值与导数之间的关系，如表５ ３ ２所示．
表５ ３ ２
狓 狓左侧 狓 狓右侧
２ ２ ２
犳′（狓） 犳′（狓）＜０ 犳′（狓）＝０ 犳′（狓）＞０
犳（狓） 极小值犳（狓）
２
例４ 求犳（狓）＝狓２－狓－２的极值．
１
解 犳′（狓）＝２狓－１．令犳′（狓）＝０，解得狓＝ ．
２
列表如表５ ３ ３所示．
表５ ３ ３
１ １ １
狓 左侧 右侧
２ ２ ２
犳′（狓） － ０ ＋
（ ）
１
犳（狓） 极小值犳
２
（ ）
１ １ ９
因此，当狓＝ 时，犳（狓）有极小值犳 ＝－ ．
２ ２ ４
１ ９９选择性必修第一册 数学
１ １
例５ 求犳（狓）＝ 狓３－４狓＋ 的极值．
３ ３
解 犳′（狓）＝狓２－４．令犳′（狓）＝０，解得狓＝－２，狓＝２．
１ ２
列表如表５ ３ ４所示．
表５ ３ ４
狓 （－∞，－２） －２ （－２，２） ２ （２，＋∞）
犳′（狓） ＋ ０ － ０ ＋
极大值 极小值
犳（狓）
犳（－２） 犳（２）
１７
因此，当狓＝－２时，犳（狓）有极大值犳（－２）＝ ；当狓＝２时，
３
犳（狓）有极小值犳（２）＝－５（图５ ３ ５）．
图５ ３ ５
思 考
试联系函数狔＝狓３ 思考：当犳′（狓）＝０时，能否肯定函数犳（狓）
０
在狓处取得极值？
０
练 习
１．求下列函数的极值：
（１）狔＝狓２－７狓＋６；
１
（２）狔＝狓＋ ．
狓
２．如果函数犳（狓）有极小值犳（犪），极大值犳（犫），问：犳（犪）一定小于犳（犫）吗？试
作图说明．
３．根据下列条件，大致作出函数的图象：
（１）犳（４）＝３，犳′（４）＝０，当狓＜４时，犳′（狓）＞０；当狓＞４时，犳′（狓）＜０．
（２）犳（１）＝１，犳′（１）＝０，当狓≠１时，犳′（狓）＞０．
４．求函数狔＝狓－ｌｎ狓，狓∈（０，２）的极值．
２ ００５
导数及其应用 第 章
５．３．３ 最大值与最小值
我们知道，如果在函数定义域犐内存在狓，使得对任意的狓∈犐，
０
总有犳（狓）≤犳（狓），那么犳（狓）为函数在定义域上的最大值．最大值
０ ０
是相对函数定义域整体而言的，如果存在最大值，那么最大值唯一．
● 如何求函数的最大（小）值？
观察函数狔＝犳（狓）在区间［犪，犫］上的图象（图５ ３ ６）可知，
犳（狓），犳（狓）是极大值，而函数犳（狓）的最大值是犳（犫）．
２ ４
图５ ３ ６
类似地，犳（狓），犳（狓），犳（狓）是极小值，而函数犳（狓）的最小值
１ ３ ５
是犳（狓）．
３
因此，求犳（狓）在区间 ［犪，犫］上的最大值与最小值可以分
为两步：
第一步 求犳（狓）在区间（犪，犫）上的极值；
第二步 将第一步中求得的极值与犳（犪），犳（犫）比较，得到犳（狓）
在区间［犪，犫］上的最大值与最小值．
例６ 求犳（狓）＝狓２－４狓＋３在区间［－１，４］上的最大值与最
小值．
解 犳′（狓）＝２狓－４．
令犳′（狓）＝０，解得狓＝２．
列表如表５ ３ ５所示．
表５ ３ ５
狓 －１ （－１，２） ２ （２，４） ４
犳′（狓） － ０ ＋
犳（狓） ８ －１ ３
从上表可知，函数犳（狓）＝狓２－４狓＋３在区间［－１，４］上的最大值
是８，最小值是－１．
２ ０１选择性必修第一册 数学
１
例７ 求犳（狓）＝ 狓＋ｓｉｎ狓在区间［０，２π］上的最大值与最
２
小值．
１
解 犳′（狓）＝ ＋ｃｏｓ狓．
２
２π ４π
令犳′（狓）＝０，解得狓＝ ，狓＝ ．
１ ３ ２ ３
列表如表５ ３ ６所示．
表５ ３ ６
（ ） （ ） （ ）
２π ２π ２π ４π ４π ４π
狓 ０ ０， ， ，２π ２π
３ ３ ３ ３ ３ ３
犳′（狓） ＋ ０ － ０ ＋
π 槡３ ２π 槡３
犳（狓） ０ ＋ － π
３ ２ ３ ２
１
从上表可知，函数犳（狓）＝ 狓＋ｓｉｎ狓在区间［０，２π］上的最大值
２
是π，最小值是０．
思 考 你能根据表５ ３ ６大致作出函数犳（狓）的图象吗？
练 习 １．对于函数犳（狓），如果犳（狓）≤犮（犮为常数）对定义域中的每个自变量狓均成
立，那么犮一定是函数狔＝犳（狓）的最大值吗？如果犳（狓）≤犳（狓）对定义域
０
中的每个自变量狓均成立，那么犳（狓）一定是函数的最大值吗？
０
２．如果函数犳（狓）有最小值犳（犪），最大值犳（犫），问：犳（犪）一定小于犳（犫）吗？
３．求下列函数在所给区间上的最大值和最小值：
（１）犳（狓）＝３狓＋２，狓∈［－１，３］；
（２）犳（狓）＝狓２－３狓，狓∈［－１，３］；
［ ］
１ １
（３）犳（狓）＝狓＋ ，狓∈ ，３ ．
狓 ３
４．求函数狔＝狓－狓３，狓∈［０，２］的值域．
５．求函数狔＝狓－ｌｎ狓，狓∈（０，１］的值域．
例８ 在边长为６０ｃｍ的正方形铁皮的四角切去边长相等的小
正方形，再把它的边沿虚线折起（图５ ３ ７），做成一个无盖的方底
铁皮箱．当箱底边长为多少时，箱子容积最大？最大容积是多少？
解 设箱底边长为狓ｃｍ，则箱高为
６０－狓
犺＝ （０＜狓＜６０），
２
箱子的容积为
２ ０２５
导数及其应用 第 章
图５ ３ ７
１
犞（狓）＝狓２犺＝３０狓２－ 狓３（０＜狓＜６０）．
２
３
犞′（狓）＝６０狓－ 狓２ ，令犞′（狓）＝０，解得
２
狓＝０（舍），狓＝４０．
１ ２
当狓∈ （０，４０）时，犞′（狓）＞０；当狓∈（４０，６０）时，犞′（狓）＜０．
所以，函数犞（狓）在狓＝４０处取得极大值，这个极大值就是函数
犞（狓）的最大值，即
１
犞（４０）＝３０×４０２－ ×４０３＝１６０００．
２
答 当箱子底边长等于４０ｃｍ 时，箱子容积最大，最大值为
１６０００ｃｍ３．
例９ 某种圆柱形饮料罐的容积一定，如何确定它的高与底半
径，才能使它的用料最省？
解 如图５ ３ ８，设圆柱的高为犺，底半径为犚，则表面积
犛（犚）＝２π犚犺＋２π犚２．
图５ ３ ８
犞
又犞＝π犚２犺（定值），则犺＝ ，所以
π犚２
犞 ２犞
犛（犚）＝２π犚· ＋２π犚２＝ ＋２π犚２ （犚＞０）．
π犚２ 犚
２犞 槡３犞
犛′（犚）＝－ ＋４π犚，令犛′（犚）＝０，解得犚＝ ，从而
犚２ ２π
２ ０３选择性必修第一册 数学
犞 槡３犞
犺＝ ＝２ ＝２犚，
π犚２ ２π
即犺＝２犚．
犺 犺
当犚＜ 时，犛′（犚）＜０；当犚＞ 时，犛′（犚）＞０．
２ ２
因此，当犺＝２犚时，犛（犚）取得极小值，且是最小值．
答 当罐高与罐底的直径相等时，用料最省．
例１０ 在经济学中，生产狓单位产品的成本称为成本函数，记
为犆（狓），出售狓单位产品的收益称为收益函数，记为犚（狓），犚（狓）－
犆（狓）称为利润函数，记为犘（狓）．
（１）如果犆（狓）＝１０ －６狓３－０．００３狓２＋５狓＋１０００，那么生产多少
单位产品时，边际成本犆′（狓）最低？
（２）如果犆（狓）＝５０狓＋１００００，产品的单价狆（狓）＝１００－０．０１狓，
那么怎样定价可使利润最大？
解 （１）犆′（狓）＝３×１０ －６狓２－０．００６狓＋５，记犵（狓）＝犆′（狓）．
由 犵′（狓）＝６×１０ －６狓－０．００６＝０，
解得狓＝１０００．
结合犆′（狓）的图象（图５ ３ ９（２））可知，当狓＝１０００时，边际成
本最低．
图５ ３ ９
（２）由狆（狓）＝１００－０．０１狓，得收益函数
犚（狓）＝狓（１００－０．０１狓），
则利润函数
犘（狓）＝犚（狓）－犆（狓）
＝狓（１００－０．０１狓）－（５０狓＋１００００）
＝－０．０１狓２＋５０狓－１００００．
由犘′（狓）＝－０．０２狓＋５０＝０，解得狓＝２５００．
结合图５ ３ ９（３）可知，当狓＝２５００时，利润最大，此时
狆（２５００）＝１００－０．０１×２５００＝７５．
２ ０４５
导数及其应用 第 章
答 生产１０００个单位产品时，边际成本最低；当产品的单价为
７５时，利润最大．
一般地，为使利润函数犘（狓）＝犚（狓）－犆（狓）最大，生产规模应
确定为狓＝犪，且犘′（犪）＝０，即犚′（犪）＝犆′（犪）．
用图象来表示有下列３种形式（图５ ３ １０），这就是如何确定
生产规模的一般数学模型．
图５ ３ １０
练 习 １．把长为６０ｃｍ的铁丝围成矩形，当长、宽各为多少时矩形的面积最大？
２．把长为１００ｃｍ的铁丝分成两段，各围成一个正方形，怎样分才能使两个正方
形的面积之和最小？
３．做一个容积为２５６ｍ３ 的方底无盖水箱，它的高为多少时材料最省？
４．为了保证某隧道内的行车安全，交通部门规定，隧道内的车距犱（单位：ｍ）正
比于车速狏（单位：ｋｍ／ｈ）的平方与自身长犾（单位：ｍ）的积，且车距不得小
于半个车身长．而当车速为６０（ｋｍ／ｈ）时，车距为１．４４个车身长．当车速多
大时，隧道的车流量最大？
习题５．３
犳（狓）－犳（狓）
感受·理解 １．设犳（狓）是减函数，试确定 ０ （狓≠狓）的符号．
狓－狓 ０
０
２．确定下列函数的单调区间：
（１）狔＝－４狓＋２； （２）狔＝狓ｌｎ狓；
（３）狔＝ｓｉｎ狓＋ｃｏｓ狓； （４）狔＝狓２（狓－３）．
３．求下列函数的极值：
狓
（１）狔＝２狓２－狓４； （２）狔＝ ；
狓２＋３
（３）狔＝狓－２ｃｏｓ狓； （４）狔＝ｅ狓－ｅ狓．
４．求下列函数在所给区间上的最大值和最小值：
（１）狔＝狓２－２狓，狓∈［０，３］；
狓－１
（２）狔＝ ，狓∈［０，２］；
狓＋２
［ ］
１ π π
（３）狔＝ 狓－ｃｏｓ狓，狓∈ － ， ．
２ ２ ２
２ ０５选择性必修第一册 数学
（ ）
π π
ｃｏｓ ＋Δ狓－ｃｏｓ
４ ４
５．分别根据下列条件，确定 的符号：
Δ狓
π
（１）０＜Δ狓＜ ；
４
π
（２）－ ＜Δ狓＜０．
４
６．一杯８０℃的热茶置于客厅桌面上，热茶的温度犜（单位：℃）随着时间狋（单
位：ｍｉｎ）的增加而逐渐下降．设犜与狋的函数关系为犜＝犳（狋），若犳′（３）＝
－３，试解释其实际意义．
７．已知某养猪场的固定成本是２００００元，每年最大规模的养殖量为６００头，
且每养１头猪，成本增加１００元，养狓头猪的收益函数为犚（狓）＝４００狓－
１
狓２，记犆（狓），犘（狓）分别为养狓头猪的成本函数和利润函数．
２
（１）分别求犆（狓），犘（狓）的表达式；
（２）当狓取何值时，犘（狓）最大？
８．甲、乙两地相距狊（单位：ｋｍ），汽车从甲地以速度狏（单位：ｋｍ／ｈ）匀速行驶
到乙地．已知汽车每小时的运输成本由固定成本和可变成本组成，固定成
本为犪元，可变成本与速度狏的平方成正比，比例系数为犽．为使全程运输
成本最小，汽车应以多大速度行驶？
思考·运用 ９．当某种针剂药注入人体后，血液中药的浓度犆与时间狋的关系犆＝犆（狋）的
图象如图所示，试解释此图．
（第９题） （第１０题）
１０．已知函数狔＝犳（狓）的图象如图所示，试作出狔＝犳′（狓）的草图．
１１．出版社出版某一读物，１页上所印文字占去１５０ｃｍ２，上、下边要留１．５ｃｍ
空白，左、右两侧要留１ｃｍ空白．出版商为降低成本，应选用怎样尺寸
的纸张？
（第１１题）
１２．一列车队以速度狏（单位：ｋｍ／ｈ）行进，每辆车长５ｍ，两车之间的合适
间距为０．１８狏＋０．００６狏２（ｍ）．问：当车速狏为多少时，单位时段内通过
的汽车数量最多？
２ ０６５
导数及其应用 第 章
１３．求下列函数的值域：
１
（１）狔＝ ＋狓，狓∈［１，３］； （２）狔＝狓３－３狓２＋５，狓∈［－２，３］；
狓＋１
（３）狔＝狓＋ｓｉｎ狓，狓∈［０，２π］； （４）狔＝２狓２－ｌｎ狓．
１４．（１）求内接于半径为犚的圆且面积最大的矩形；
（２）求内接于半径为犚的球且体积最大的圆柱．
探究·拓展 １５．如图，酒杯的形状为倒立的圆锥．杯深８ｃｍ，上口宽６ｃｍ．水以２０ｃｍ３／ｓ的
流量倒入杯中，当水深４ｃｍ时，求水升高的瞬时变化率（精确到０．０１）．
（第１５题）
１６．如图，船以定速直行，航线距灯塔犔的最近距离为５００ｍ．已知灯塔对小船
现在的位置犅及小船航线与灯塔的最近点犘的张角∠犅犔犘＝８３°，且该角
正以０．８°／ｍｉｎ的比率减小，求小船的速度．
（第１６题）
１７探究一元二次方程狓２＋狓－１＝０的求解问题，这是经典的求黄金分割的方
程式．令犳（狓）＝狓２＋狓－１，对抛物线狔＝犳（狓），持续实施下面“牛顿切线
法”的步骤：
在点（１，１）处作抛物线的切线，交狓轴于点（狓，０）；
１
在点（狓，犳（狓））处作抛物线的切线，交狓轴于点（狓，０）；
１ １ ２
在点（狓，犳（狓））处作抛物线的切线，交狓轴于点（狓，０）；
２ ２ ３
……
得到一个数列｛狓｝．回答下列问题：
狀
（１）求狓的值；
１
（２）设狓 ＝犵（狓），求犵（狓）的解析式；
狀＋１ 狀 狀
（３）用“二分法”求方程的近似解，给出前四步结果．比较“牛顿切线法”和
“二分法”的求解速度．
１８（阅读题）圆锥曲线的光学性质（续）．
在圆锥曲线部分，我们曾介绍了圆锥曲线的光学性质，现以抛物线为
例，予以证明．
抛物线的光学性质如下：位于焦点犉的光源所射出的光线犉犘，经抛
物线（在实际问题中是旋转抛物线面）上的任一点犘（狓，狔）反射后，反射
０ ０
光线犘犕与抛物线的轴平行．
２ ０７选择性必修第一册 数学
（第１８题）
根据光学中的反射原理，光线的反射角等于入射角．在图中，设犘犜是
抛物线在点犘处的切线（犜为切线与狔轴的交点），犘犎⊥犘犜，则有
∠犕犘犎＝ ∠犉犘犎．要证明反射光线犘犕平行于对称轴（狔轴），只需证
∠犉犜犘＝∠犕犘犖即可．
（ ）
１
设抛物线的方程为狔＝犪狓２（犪＞０），则焦点犉的坐标为 ０， ．根据
４犪
１
抛物线的定义知犘犉＝狔＋ ．
０ ４犪
又因为狔′＝２犪狓，所以切线犘犖的斜率为２犪狓，于是切线犘犖的方程为
０
狔－狔＝２犪狓（狓－狓）．
０ ０ ０
令狓＝０，得 狔＝狔－２犪狓２＝－狔，
０ ０ ０
１
则 犉犜＝狔＋ ，
０ ４犪
所以犘犉＝犉犜，从而 ∠犉犜犘＝∠犉犘犜．
又因为 ∠犉犘犜＝∠犕犘犖，
所以 ∠犉犜犘＝∠犕犘犖．
故犘犕平行于狔轴．
这就证明了抛物线的光学性质．
２ ０８５
导数及其应用 第 章
三次样条模型
应用与建模
考察图１中的数据，怎样描出一条光滑的曲线连接这些点？
图１ 图２ 图３
方法１ 利用曲线板工具（图２），在两个数据点间合理地选择曲
线，并使其光滑地转接到下一个数据对的另一条．
方法２ 取一根非常纤细的木条（称为样条ｓｐｌｉｎｅ），在每一个数
据点钉住它（图３）．三次样条模型的基本思想同此，只是在光滑化的
方式上，在连续的数据点对间使用不同的三次多项式．
因为多项式容易求导，所以在构造经验模型追踪数据的趋势时，
常使用多项式．考虑到高次多项式在邻近数据区间的端点处摆动的
倾向，且系数对数据中小的变化太敏感，通常采用低次多项式进行光
滑化．
在连续的数据点对间使用三次多项式追踪数据的趋势，既保证
了基本关系的特征，同时又减少了摆动的倾向和数据变化的敏感性．
（１）三次样条模型
如图４，在区间［狓，狓］和［狓，狓］上，分别定义样条函数：
１ ２ ２ ３
犛（狓）＝犪＋犫狓＋犮狓２＋犱狓３，狓∈ ［狓，狓］；
１ １ １ １ １ １ ２
犛（狓）＝犪＋犫狓＋犮狓２＋犱狓３，狓∈ ［狓，狓］．
２ ２ ２ ２ ２ ２ ３
图４ 三阶样条函数
首先，每一样条通过该样条的定义区间的两个数据点：
狔＝犛（狓）＝犪＋犫狓＋犮狓２＋犱狓３， ①
１ １ １ １ １ １ １ １ １ １
狔＝犛（狓）＝犪＋犫狓＋犮狓２＋犱狓３， ②
２ １ ２ １ １ ２ １ ２ １ ２
狔＝犛（狓）＝犪＋犫狓＋犮狓２＋犱狓３， ③
２ ２ ２ ２ ２ ２ ２ ２ ２ ２
狔＝犛（狓）＝犪＋犫狓＋犮狓２＋犱狓３． ④
３ ２ ３ ２ ２ ３ ２ ３ ２ ３
其次，要求样条系统的光滑性，在内部数据点邻接的一阶导数必
２ ０９选择性必修第一册 数学
须匹配：
即犛′（狓）＝犛′（狓），
１ ２ ２ ２
犫＋２犮狓＋３犱狓２＝犫＋２犮狓＋３犱狓２． ⑤
１ １ ２ １ ２ ２ ２ ２ ２ ２
同时还要求在每一内部数据点邻接的二阶导数必须匹配：
即犛″（狓）＝犛″（狓），
１ ２ ２ ２
２犮＋６犱狓＝２犮＋６犱狓． ⑥
１ １ ２ ２ ２ ２
为了确定待定系数，仍需附加两个独立的方程．一种假设是样条
在外侧端点处的一阶导数没有变化（二阶导数为零）：
犛″（狓）＝２犮＋６犱狓＝０， ⑦
１ １ １ １ １
犛″（狓）＝２犮＋６犱狓＝０． ⑧
２ ３ ２ ２ ３
这样产生的样条称为自然样条（ｎａｔｕｒａｌｓｐｌｉｎｅ），如图５所示．
图５ 自然样条 图６ 强制样条
另一种假设是在外侧端点处的一阶导数的值是已知的，即在外
侧端点处的一阶导数要求与这些值匹配．若在外侧端点处的导数为
犳′（狓）和犳′（狓），则
１ ３
犛′（狓）＝犫＋２犮狓＋３犱狓２＝犳′（狓），
１ １ １ １ １ １ １ １
犛′（狓）＝犫＋２犮狓＋３犱狓２＝犳′（狓）．
２ ３ ２ ２ ３ ２ ３ ３
这样产生的样条称为强制样条（ｃｌａｍｐｅｄｓｐｌｉｎｅ），如图６所示．
（２）示例
试建立过犘（１，５），犘（２，８），犘（３，２５）三点的自然三次样条
１ ２ ３
模型．
解 将三点的坐标代入①～⑧，得
烄
犪＋犫＋犮＋犱＝５，
烄
犪＝２，
１ １ １ １ １
犪＋２犫＋４犮＋８犱＝８， 犫＝１０，
１ １ １ １ １
犪＋２犫＋４犮＋８犱＝８， 犮＝－１０．５，
２ ２ ２ ２ １
犪＋３犫＋９犮＋２７犱＝２５， 犱＝３．５，
烅２ ２ ２ ２ 解得烅 １
犫＋４犮＋１２犱＝犫＋４犮＋１２犱， 犪＝５８，
１ １ １ ２ ２ ２ ２
２犮＋１２犱＝２犮＋１２犱， 犫＝－７４，
１ １ ２ ２ ２
２犮＋６犱＝０， 犮＝３１．５，
１ １ ２
烆２犮＋１８犱＝０， 烆犱＝－３．５．
２ ２ ２
２ １０５
导数及其应用 第 章
因此，过犘，犘，犘三点的一个自然三次样条模型为
１ ２ ３
区 间 样 条 模 型
［１，２］ 犛（狓）＝２＋１０狓－１０．５狓２＋３．５狓３
１
［２，３］ 犛（狓）＝５８－７４狓＋３１．５狓２－３．５狓３
２
拟合图形如图７所示．
图７
样条插值是工业设计中常用的得到平滑曲线的插值方法，三次
样条模型是其中用得较为广泛的一种．
（３）尝试
自己选三个点，利用上述方法建立相应的模型．
阅 读 微积分的建立
微积分是研究函数的微分、积分以及有关概念和应用的数学分支．
微积分的产生和发展被誉为“近代技术文明产生的关键事件之
一”．微积分的建立，无论是对数学还是对其他科学以至于技术的发
展，都产生了巨大的影响，充分显示了人类的数学知识对于人的认识
发展和改造世界的能力的巨大促进作用．
积分的思想产生得很早，公元前２００多年，阿基米德（Ａｒｃｈｉｍｅｄｅｓ，
４
约公元前２８７—前２１２）就用积分的观点求得球体积公式犞＝ π狉３．他
３
用球体“薄片”的叠加与球的外切圆柱及相关圆锥“薄片”的叠加，并用
杠杆原理得到球的体积公式．公元５世纪，中国数学家祖冲之、祖暅父
子提出了“幂势既同，则积不容异”，也是积分概念的雏形．
微分观念的发生比积分大概迟了２０００年．公元１６世纪，伽利略
１
发现了自由落体的运动规律犛＝ 犵狋２ ，落体的瞬时速度近似于
２
犛（狋＋Δ狋）－犛（狋）
≈犵狋，
Δ狋
当Δ狋很小时，这个比值接近于时刻狋的瞬时速度，这是导数的启蒙．
２ １１选择性必修第一册 数学
同时，在探求曲线的切线的时候，人们发现，切线是割线的近似，
割线的斜率是
Δ狔 犳（狓＋Δ狓）－犳（狓）
＝ ，
Δ狓 Δ狓
Δ狔
当Δ狓很小时， 应该是切线斜率的近似，求曲线的切线斜率，是产
Δ狓
生导数观念的直接动因．
１７世纪，笛卡儿（Ｒ．Ｄｅｓｃａｒｔｅｓ，１５９６—１６５０）建立了坐标系，使
几何图形能够用函数来表示，从而为研究函数及其变化率提供了有
力的工具．
在１７世纪后半叶，牛顿（Ｉ．Ｎｅｗｔｏｎ，１６４２—１７２７）和莱布尼茨
（Ｇ．Ｗ．Ｌｅｉｂｎｉｚ，１６４６—１７１６）总结了诸多数学家的工作之后，分别
独立建立了微积分学．牛顿和莱布尼茨对微积分学最突出的贡献是
建立了微积分基本定理
∫
犫
犉′（狓）ｄ狓＝犉（犫）－犉（犪），
犪
它把原以为不相干的两个事物紧密联系在一起，揭示了微分与积分
的逆运算关系．所不同的是，牛顿创立的微积分有深刻的力学背景，
他更多的是从运动变化的观点考虑问题，把力学问题归结为数学问
题．而莱布尼茨主要是从几何学的角度考虑，他创建的微积分的符号
以及微积分的基本法则，对以后微积分的发展有极大的影响．
１９世纪，柯西（Ａ．Ｌ．Ｃａｕｃｈｙ，１７８９—１８５７）和魏尔斯特拉斯（Ｋ．
Ｗｅｉｅｒｓｔｒａｓｓ，１８１５—１８９７）为微积分学奠定了坚实的基础，使微积分学
成为一套完整的、严谨的理论体系．
微积分的建立充分说明，数学来源于实践，又反过来作用于实
践．数学的内容、思想、方法和语言已成为现代文化的重要组成部分．
写 作 微积分的创立与发展
收集对微积分的创立和发展起重大作用的有关资料，包括一些
重要历史人物和事件（牛顿、莱布尼茨、柯西、魏尔斯特拉斯等）．个人
或者小组合作，形成一篇有关微积分创立与发展的研究报告，论述微
积分发明的过程，重要的结果，微积分发展中的重要人物、事件及其
对人类文明的贡献，在班级中进行交流．
２ １２５
导数及其应用 第 章
本章回顾
本 章 概 览
本章首先通过实例由平均变化率、瞬时变化率引入了导数的概
念．然后对基本初等函数的导数，函数的和、差、积、商的导数，以及简
单的复合函数的导数作了初步研究和介绍，并运用导数处理了一些
简单的实际问题．
实 际 背 景
↓
导 数
↓ ↓ ↓
导 导 导
数 数 数
的 的 的
概 运 应
念 算 用
导数的引入源于“局部以直代曲”这一辩证思想，微积分的产生
被誉为近代技术文明发展过程中的关键事件之一，是人类智慧的伟
大结晶．体验和感悟微积分基本思想和方法是学习本章的要点，其认
识宏观与微观世界的科学方法对人们科学观的形成有着重大意义．
复 习 题
感受·理解 １．设球的半径以２ｃｍ／ｓ的速度膨胀．
（１）当半径为５ｃｍ时，表面积对时间的变化率是多少？
（２）当半径为８ｃｍ时，体积对时间的变化率是多少？
２．在某介质中一小球下落，狋ｓ时的高度为犺＝１．５－０．１狋２（单位：ｍ），当狋＝３
时，求球的高度、速度和加速度．
３．如图，身高为１．８ｍ的人以１．２ｍ／ｓ的速度离开路灯，路灯高４．２ｍ．
（１）求身影的长度狔（单位：ｍ）与人距路灯的距离狓（单位：ｍ）之间的关系；
（２）解释身影长的变化率与人步行速度的关系；
（３）当狓＝３时，求身影长的变化率．
（第３题）
４．分别求曲线狔＝－狓２＋２狓在点犃（１，１）及点犅（－１，－３）处的切线方程．
２ １３选择性必修第一册 数学
５．求下列函数的导数：
（１）狔＝狓５； （２）狔＝狓２＋２ｓｉｎ狓；
１
（３）狔＝ｔａｎ狓； （４）狔＝ ．
１＋ｃｏｓ狓
６求下列函数的导数：
（ ）
π
（１）狔＝ｓｉｎ３狓－ ； （２）狔＝狓ｅ２狓；
６
（３）狔＝２狓＋ｌｎ（１－５狓）； （４）狔＝ｅ－狓ｃｏｓ３狓．
７（１）求函数狔＝２狓２－狓４的极值；
（２）求函数狔＝３狓３－９狓＋５在区间［－２，２］上的最大值与最小值．
８如图，已知海岛犃到海岸公路犅犆的距离犃犅为５０ｋｍ，犅，犆间的距离为
１００ｋｍ，从犃到犆，先乘船，船速为２５ｋｍ／ｈ，再乘汽车，车速为５０ｋｍ／ｈ．
问：登陆点选在何处，所用时间最少？
（第８题）
思考·运用 ９．如图，煤场的煤堆形如圆锥，设圆锥母线与底面所成角为α．
（１）高犺与半径狉有什么关系？
（２）传输带以０．３ｍ３／ｍｉｎ送煤，当半径狉＝１．７ｍ时，求狉对时间狋的变化率．
（第９题）
（ ）
π
１０．已知两曲线犳（狓）＝ｃｏｓ狓，犵（狓）＝２ｓｉｎ３狓，狓∈ ０， ．
２
（１）用计算机（器）求两曲线的交点坐标；
（２）求两曲线在交点处的夹角（即交点处两曲线的切线的夹角）．
１１．求下列函数的导数：
（１）狔＝ｓｉｎ４３狓ｃｏｓ３４狓；
（２）狔＝２（ｅ狓＋ｅ－狓）．
２ ２
１
１２．求函数狔＝狓＋ 的单调区间．
狓
探究·拓展 １３．如图，在半径为常量狉、圆心角为变量２θ（０＜２θ＜π）的扇形犗犃犅内作一内
切圆犘，再在扇形内作一个与扇形两半径相切并与圆犘外切的小圆犙，求圆
犙半径的最大值．
（第１３题）
２ １４本章测试
犳（１＋犺）－犳（１）
一、填空题 １．已知函数犳（狓）＝狓２－狓，当犺→０时， → ．
犺
２．函数狔＝ｓｉｎ狓的图象在点（π，０）处的切线方程为 ．
３．函数狔＝ｓｉｎ狓＋２狓（狓∈［０，π］）的最大值为 ．
５
４．当函数犳（狓）＝ ＋ｌｎ狓取得最小值时，狓的值为 ．
狓
１
５．设犪为实数，若函数犳（狓）＝ 狓３－犪狓２＋１在狓＝－４处取得极大值，则犪
３
的值为 ．
（ ）
π
６．已知函数犳（狓）＝ｔａｎ狓，那么犳′ 的值为 ．
３
二、选择题 ７．函数犳（狓）＝狓２－ｓｉｎ狓在区间［０，π］上的平均变化率为（ ）．
Ａ ． １ Ｂ ． ２
Ｃ．π Ｄ．π２
１
８．函数犳（狓）＝２狓＋ －１在区间（－∞，０）上（ ）．
狓
Ａ．有最大值，无最小值 Ｂ．有最小值，无最大值
Ｃ．既有最大值，又有最小值 Ｄ．既无最大值，又无最小值
９．对于函数犳（狓）＝狓ｌｎ狓，若犳′（狓）＝２，则实数狓的值为（ ）．
０ ０
Ａ．ｅ２ Ｂ．ｅ
ｌｎ２
Ｃ． Ｄ．ｌｎ２
２
１０．设犪∈犚，若函数狔＝ｅ犪狓＋３狓（狓∈犚）有大于零的极值点，则（ ）．
Ａ．犪＞－３ Ｂ．犪＜－３
１ １
Ｃ．犪＞－ Ｄ．犪＜－
３ ３
三、解答题 １１．求下列函数的导数：
１＋狓 １
（１）狔＝ ＋ ； （２）狔＝狓ｌｎ（２狓＋１）．
１－狓 狓
１
１２．试确定函数狔＝ 狓３－狓２－３狓＋１的单调区间．
３
（ ）
π
１３．求证：当狓∈ ０， 时，狓＞ｓｉｎ狓．
２
１４．已知函数犳（狓）＝狓３－犪狓２，犪∈犚，且犳′（１）＝３．求：
（１）犪的值及曲线狔＝犳（狓）在点（１，犳（１））处的切线方程；
（２）函数犳（狓）在区间［０，２］上的最大值．
１５．已知一个圆锥的母线长为２０ｃｍ，当圆锥的体积最大时，圆锥的高为多少？
２ １５选择性必修第一册 数学
专题 数学建模与数学探究
在学习数学的过程中，形成良好的数学应用意识是非常重要的．
应用意识有两个方面的含义：一方面，有意识地利用数学的概念、原
理和方法解释现实世界中的现象，解决现实世界中的问题；另一方
面，认识到现实生活中蕴涵着大量与数量和图形有关的问题，这些问
题可以抽象成数学问题，用数学的方法予以解决．开展数学建模活动
是增强数学应用意识的有效途径．
案例分析
１．某报的理财专栏声称：“等额本金”还款法要比“等额本息”还
款法合算，理由是等额本金还贷所支付的利息少．该文举例说，如果
了解自己的父母 某人商业贷款２５万元购房，２０年还清（年利率５．０４％），那么等额本
或亲友在贷款买房或 金还款法要比等额本息还款法少还利息２０７７５．４５元．你认为上述观
购车时是否遇到过类 点是否正确？给出你的理由．
似的问题．
◆ 理解问题
向银行存款或贷款是最常见的金融活动，有关问题可以运用数
列知识来解决．同时，我们应该了解银行的有关专用术语和基本知
识，以便更好地分析和解决有关金融问题．
“等额本息”还款法是指贷款人每月按相等的金额偿还贷款本
息．第４章“数列”４．３．３节“等比数列的前狀项和”中的例５即是等额
本息还款法的例子．
“等额本金”还款法是指贷款人将本金平均分摊到每个月内，同
时付清上一交易日至本次还款日之间的利息．
银行是按复利计算贷款利息的，且结算周期是月，月利率＝年利
率／１２．在分析与计算时要注意货币的时间价值，不同时间点的货币
不能直接相加（参阅第４章“数列”链接“现值与终值”）．
◆ 简化与假设
假设银行在贷款期狀个月内的贷款利率不变，月利率为狉（年利
率／１２），贷款额为犙（元），贷款人在月初贷款后的每个月末还款．
◆ 建立模型
（１）等额本息还款法
设月初贷款额为犙（元），每月底的还款额均为犃，按还清贷款时
的时间点（第狀个月末）计算，得
犃＋犃（１＋狉）＋犃（１＋狉） ２＋…＋犃（１＋狉） 狀－１＝犙（１＋狉） 狀．
２ １６数学建模与数学探究 专题
运用等比数列求和公式，化简得
犙狉（１＋狉） 狀 犙狉
犃＝ ＝ ．
（１＋狉） 狀－１ １－（１＋狉） －狀
本例中，犙＝２５００００，狀＝２４０，狉＝５．０４％／１２＝０．００４２，代入计算
可用Ｅｘｃｅｌ中“＝
ＰＭＴ（５．０４％／１２，２４０， 得犃≈１６５５．４１８５６（元）．
２５００００）”直接计算犃． 因此，贷款人按等额本息还款法还贷，每月末应还款１６５５．４２元．
（２）等额本金还款法
按等额本金还款法还款，第犻个月末还款额犃由两部分组成．一
犻
犙
部分是本金分摊到每个月内的金额，即 ；另一部分是所剩贷款一个
狀
［ ］
犙
月的利息，即 犙－ （犻－１）狉．因此，
狀
［ ］
犙 犙
犃＝ ＋ 犙－ （犻－１）狉（犻＝１，２，…，狀）．
犻 狀 狀
本例中，第１个月末的还款额为
２５００００
犃 ＝ ＋２５００００×０．００４２≈２０９１．６７（元）；
１ ２４０
第２个月末的还款额为
（ ）
２５００００ ２５００００
犃 ＝ ＋ ２５００００－ ×０．００４２
２ ２４０ ２４０
≈２０８７．２９（元）；
……
第２４０个月末的还款额为
（ ）
２５００００ ２５００００
犃 ＝ ＋ ２５００００－ ×２３９×０．００４２
２４０ ２４０ ２４０
≈１０４６．０４（元）．
借助Ｅｘｃｅｌ，可以快捷地得到２４０个月的还款额（图１）．
◆ 比较及分析
不论是用“等额本金”还款法还是用“等额本息”还款法，每个月
末还款额的时间点均不同，如果简单地将其相加，那么就会得出“等
额本金还款法比等额本息还款法所付的利息少”这样的错误：
按等额本息还款，若将每个月末的还款额相加，则有
犛＝１６５５．４１８５６×２４０＝３９７３００．４５４４（元），
１
所付利息总额为
犐＝３９７３００．４５４４－２５００００＝１４７３００．４５４４（元）．
１
２ １７选择性必修第一册 数学
在Ｂ１内键入“＝
２５００００／２４０＋（２５００００
－２５００００／２４０（Ａ１－
１））５．０４％／１２”．
图１ 用Ｅｘｃｅｌ按等额本金还款法计算２４０个月的还款额
按等额本金还款，对图１中２４０个月的还款额求和，得
犛＝３７６５２５（元）．
２
所付利息总额为
犐＝３７６５２５－２５００００＝１２６５２５（元）．
２
于是，犐－犐＝１４７３００．４５４４－１２６５２５≈２０７７５．４５（元）．从而
１ ２
得出“等额本金还款法要比等额本息还款法少还利息２０７７５．４５元”
的错误结论．
事实上，两种还款法所付利息总额均为
２５００００（１＋５．０４％／１２） ２４０－２５００００≈４３３５８４．３３（元）．
一般地，对于等额本息还款法，有
犃（１＋狉） 狀－１＋犃（１＋狉） 狀－２＋…＋犃（１＋狉）＋犃＝犙（１＋狉）
狀
；
对于等额本金还款法，有
（ ） （ ）
犙 熿犙 犙 燄
＋犙狉（１＋狉） 狀－１＋ ＋ 犙－ 狉（１＋狉） 狀－２＋…
狀 狀 狀
（ ） 燀 （ 燅）
犙 ２犙 犙 犙
＋ ＋ ·狉（１＋狉）＋ ＋ ·狉＝犙（１＋狉） 狀．
狀 狀 狀 狀
也就是说，两种还款方式逐月还款额的终值之和（称为年金终
值）是一样的，贷款人所付出的利息相同，均为［犙（１＋狉） 狀－犙］．
◆ 评价与思考
尽管等额本金和等额本息还款方式对于贷款人所付出的利息来
２ １８数学建模与数学探究 专题
说都是一样的，但这两种还款方式有各自的特点．
等额本息还款法的特点是还款额每月相同，适宜家庭的开支计
划，特别是年轻人，可以采用等额本息法．
等额本金还款法的特点是在贷款期的前段时间还款额较高，适
合在前段时间还款能力强的贷款人，年龄大的可采用等额本金还款
法，因为随着年龄增大或退休，收入可能会减少．
思考：利用互联网搜集有关两种贷款方式的讨论或争议．如果贷
款人能够提前还贷，那么这两种还款方式一样吗？如果预期未来的
利率会降低或提高，那么应选择何种还款方式？
案例分析 ２．探究抛物线焦点弦的端点处切线的交点轨迹．
在解析几何的学习中，我们经常会遇到探求动点轨迹的问题．这
圆锥曲线的焦点 类问题可以借助动态几何软件作出动态图形，从观察中发现某些现
弦是指经过圆锥曲线
象，从现象中猜测某些性质，再对猜测的性质进行证明或反驳．
焦点的直线被圆锥曲
◆ 操作与演示
线截得的线段．
（１）在ＧＧＢ的指令栏内输入“狔∧ ２＝２狆狓”，并确认“创建滑动条：
狆”，作出抛物线狔２＝２狆狓；
（２）输入“犉＝（狆／２，０）”，作出焦点犉，用“直线”工具作出过点犉
与抛物线上一点犃的直线，交抛物线于另一点犅；
（３）选择“切线”工具，分别作出过犃和犅的抛物线的切线，两条
切线的交点为犆（图２）．
图２
◆ 观察与猜想
“跟踪”犆，拖动点犃，观察点犆的轨迹，可以发现并猜想：
（１）点犆在一条垂直于狓轴的直线上，且此直线为抛物线的
２ １９选择性必修第一册 数学
准线；
（２）点犆对焦点弦的张角为直角（即点犆在以犃犅为直径的圆上）；
（３）点犆与焦点弦犃犅的中点犇的连线犆犇平行于狓轴；
（４）犆犉 犃犅；
!
……
对于不同的狆（拖动滑动条），可以直观地观察到上述猜想都是成
立的．
◆ 探究与证明
利用动态几何软件演示观察得到的结论尚需通过数学运算或逻
辑推理进行确认．毫无疑问，动态几何软件能够直观地呈现变化中的
不变关系，有助于我们发现探究的目标，提高探究的效率．
下面我们利用两个已知结论证明上述猜想．
对于抛物线焦点弦的问题，３．３节“抛物线”习题３．３（２）第８题给
出了一个重要的结论：
设犃（狓，狔），犅（狓，狔）是抛物线狔２＝２狆狓焦点弦的两个端点，
１ １ ２ ２
则有狔狔＝－狆２．
１ ２
试用导数的几何
另外，我们有“过抛物线狔２＝２狆狓上一点（狓，狔）的切线方程为
０ ０
意义推出此结论．
狔狔＝狆（狓＋狓）”，利用这一结论，可知切线犃犆和犅犆的方程分别为
０ ０
狔狔＝狆（狓＋狓），
１ １
狔狔＝狆（狓＋狓）．
２ ２
狆 狆 狆２ 狆２
由犽犽 ＝ · ＝ ＝ ＝－１，故猜想（２）成立．
犃犆犅犆 狔 狔 狔狔 －狆２
１ ２ １ ２
联立直线犃犆和犅犆的方程，消去狔，得
狔２ 狔２
１·狔－ ２·狔
狓狔－狓狔 ２狆 ２ ２狆 １ 狔狔 －狆２ 狆
狓＝ １ ２ ２ １ ＝ ＝ １ ２ ＝ ＝－ ．
狔－狔 狔－狔 ２狆 ２狆 ２
１ ２ １ ２
将直线犃犆和犅犆的方程两边相减，得
狔２ 狔２
１－ ２
狓－狓 ２狆 ２狆 狔＋狔
狔＝狆· １ ２ ＝狆· ＝ １ ２ ＝狔．
狔－狔 狔－狔 ２ 犇
１ ２ １ ２
（ ）
狆 狆
这说明点犆－ ，狔 的轨迹就是抛物线的准线狓＝－ ，且点犆
２ 犇 ２
与焦点弦犃犅的中点犇的连线犆犇平行于狓轴，故猜想（１）（３）也成立．
思 考 尝试给出猜想（４）的证明．
２ ２０数学建模与数学探究 专题
◆ 反思与拓展
案例２实际上涉及抛物线焦点弦的一个性质．焦点弦的性质既可
以从度量关系进行考察，如焦点弦的端点坐标之间的关系，弦长，焦
点弦的端点与原点构成的三角形面积等；还可以从位置关系或点的
轨迹进行研究，如以焦点弦为直径的圆与准线的位置关系，焦点弦的
中点轨迹，焦点弦端点处的切线的交点轨迹等．
对案例２可以做如下拓展：
（１）“观察与猜想”中的结论如果成立，那么其逆命题是否也成
立？（例如，“过抛物线准线上的点作抛物线的两条切线，切点弦过抛
物线的焦点”正确吗？）
（２）如果将焦点弦改为过抛物线对称轴上一定点的弦，结论
如何？
（３）如果将焦点弦改为过任一定点的弦，结论又将如何？
（４）如果将抛物线改为椭圆或双曲线，还有类似的结论吗？
课题推荐 数学建模和数学探究活动实际上是“做数学、学数学、用数学”的
过程，体现了数学的应用价值和科学价值．通过数学建模和数学探究
活动，学会在数学学习或生产生活中发现新的问题、新的可能性，从
新的角度审视旧的问题，需要创造性的想象力．
结合本册学习内容，以下课题供同学们研究讨论．你也可以通过
相关刊物和网站查找或发现感兴趣的研究课题，参照《数学（必修第
一册）》“数学建模与数学探究”专题所介绍的“选题、开题、做题和结
题”环节，独立或与同伴合作开展数学建模和数学探究活动．
（１）某人于２０１１年４月以公积金贷款的方式向银行贷款２５万
元，２０年还清，还款方式为等额本息还款，年利率为４．５％，每月需还
１５８１．６２元．但该贷款人认为，“月利率＝年利率／１２”的计算方式是
错误的，因为用这种计算方式得出的年利率为４．５９４％，导致贷款人
２０年多还约３０００元．你认为贷款人的说法正确吗？
（２）斐波那契数列的递推关系、通项公式各是什么？怎样互相推
出？斐波那契数列有哪些性质及应用？
（３）自主选择中学生数学建模或数学探究获奖（或发表）的论文，
介绍讲解并点评．
（４）圆锥曲线焦点弦的性质及应用．
（５）利用ＧＧＢ或其他软件探究平面内到两定点的距离之积为定
值的点的轨迹．
２ ２１选择性必修第一册 数学
说 明
江苏凤凰教育出版社出版的《普通高中教科书·数学》是根据教
育部制定的《普通高中数学课程标准（２０１７年版）》编写的．
该套教科书充分体现数学课程标准的基本理念，使学生通过高
中阶段的学习，能获得适应现代生活和未来发展所必需的数学素养，
满足他们个人发展与社会进步的需求．
教科书力图使学生在丰富的、现实的、与他们经验紧密联系的背
景中感受数学、建立数学、运用数学，做到“入口浅，寓意深”．通过创
设合适的问题情境，引导学生进行操作、观察、探究和运用等活动，感
悟并获得数学知识与思想方法．在知识的发生、发展与运用过程中，
培养学生的思维能力、创新意识和应用意识，提升他们的数学学科核
心素养．
教科书按知识发展、背景问题、思想方法、核心素养四条主线，通
过问题将全书贯通．每个主题围绕中心教育目标展开，每章围绕核心
概念或原理展开．教科书充分关注数学与自然、生活、科技、文化、各
门学科的联系，让学生感受到数学与外部世界是息息相通、紧密相
连的．
教科书充分考虑学生的不同需求，为所有学生的发展提供帮助，为
学生的不同发展提供较大的选择空间．整个教科书设计为：一个核心
（基本教学要求），多个层次，多种选择．学好核心内容后，根据需要，学
生有多种选择，每一个人都能获得必备的数学素养与最优发展．
衷心感谢２００４年版《普通高中课程标准实验教科书·数学》（苏
教版）的主编单墫教授，副主编李善良、陈永高、王巧林，以及所有编
写的专家，审读、试教教师．
众多的数学家、心理学家、数学教育专家、特级教师参加了本套
教科书的编写与讨论工作．史宁中、鲍建生、谭顶良等教授对教科书
编写提出许多建议，陈光立、于明等老师参与本书的编写设计与讨
论，在此向他们表示衷心感谢！
感谢您使用本书，您在使用本书时有建议或疑问，请及时与我们联
系，电话：０２５ ８３６５８７３７，电子邮箱：ｓｊｇｚｓｘ＠１２６．ｃｏｍ，ｌｉｓｈａｎｌｉａｎｇ
２０１９＠１２６．ｃｏｍ，４６６６０６３５１＠ｑｑ．ｃｏｍ．
本书编写组
２０１９年９月
