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武威市 2023 年初中毕业、高中招生考试
数学试卷
考生注意：本试卷满分为120分，考试时间为120分钟．所有试题均在答题卡上作答，否则
无效．
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项．
1. 9的算术平方根是（ ）
A. B. C. 3 D.
2. 若 ，则 （ ）
A. 6 B. C. 1 D.
3. 计算： （ ）
A. 2 B. C. D.
4. 若直线 （ 是常数， ）经过第一、第三象限，则 的值可为（ ）
A. B. C. D. 2
5. 如图， 是等边 的边 上的高，以点 为圆心， 长为半径作弧交 的延长线于点 ，
则 （ ）
A. B. C. D.
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6. 方程 的解为（ ）
A. B. C. D.
7. 如图，将矩形 对折，使边 与 ， 与 分别重合，展开后得到四边形 ．若
， ，则四边形 的面积为（ ）
A. 2 B. 4 C. 5 D. 6
的
8. 据统计，数学家群体是一个长寿群体，某研究小组随机抽取了收录约 位数学家 《数学家传略辞
典》中部分 岁及以上的长寿数学家的年龄为样本，对数据进行整理与分析，统计图表（部分数据）如
下，下列结论错误的是（ ）
年龄范围（岁） 人数（人）
25
11
10
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A. 该小组共统计了100名数学家的年龄
B. 统计表中 的值为5
C. 长寿数学家年龄在 岁的人数最多
D. 《数学家传略辞典》中收录的数学家年龄在 岁的人数估计有110人
9. 如图1，汉代初期的《淮南万毕术》是中国古代有关物理、化学的重要文献，书中记载了我国古代学者
在科学领域做过的一些探索及成就．其中所记载的“取大镜高悬，置水盆于其下，则见四邻矣”，是古人
利用光的反射定律改变光路的方法，即“反射光线与入射光线、法线在同一平面上；反射光线和入射光线
位于法线的两侧；反射角等于人射角”．为了探清一口深井的底部情况，运用此原理，如图在井口放置一
面平面镜可改变光路，当太阳光线 与地面 所成夹角 时，要使太阳光线经反射后刚好
垂直于地面射入深井底部，则需要调整平面镜 与地面的夹角 （ ）
A. B. C. D.
10. 如图1，正方形 的边长为4， 为 边的中点．动点 从点 出发沿 匀速运动，
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运动到点 时停止．设点 的运动路程为 ，线段 的长为 ， 与 的函数图象如图2所示，则点
的坐标为（ ）
.
A B. C. D.
二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分．
11. 因式分解： ________．
12. 关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则 ________（写出一个满足条件
的值）．
的
13. 近年来，我国科技工作者践行“科技强国”使命，不断取得世界级 科技成果，如由我国研制的中国
首台作业型全海深自主遥控潜水器“海斗一号”，最大下潜深度10907米，填补了中国水下万米作业型无
人潜水器的空白；由我国自主研发的极目一号Ⅲ型浮空艇“大白鲸”，升空高度至海拔9050米，创造了浮
空艇原位大气科学观测海拔最高的世界记录．如果把海平面以上9050米记作“ 米”，那么海平面
以下10907米记作“________米”．
14. 如图， 内接于 ， 是 的直径，点 是 上一点， ，则
________ ．
15. 如图，菱形 中， ， ， ，垂足分别为 ， ，若 ，
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则 ________ ．
16. 如图1，我国是世界上最早制造使用水车的国家．1556年兰州人段续的第一架水车创制成功后，黄河
两岸人民纷纷仿制，车水灌田，水渠纵横，沃土繁丰．而今，兰州水车博览园是百里黄河风情线上的标志
性景观，是兰州“水车之都”的象征．如图2是水车舀水灌溉示意图，水车轮的辐条（圆的半径） 长
约为6米，辐条尽头装有刮板，刮板间安装有等距斜挂的长方体形状的水斗，当水流冲动水车轮刮板时，
驱使水车徐徐转动，水斗依次舀满河水在点 处离开水面，逆时针旋转 上升至轮子上方 处，斗口
开始翻转向下，将水倾入木槽，由木槽导入水渠，进而灌溉，那么水斗从 处（舀水）转动到 处（倒
水）所经过的路程是________米．（结果保留 ）
三、解答题：本大题共6小题，共32分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算
步骤．
17. 计算： ．
18. 解不等式组：
19. 化简： ．
20. 1672年，丹麦数学家莫尔在他的著作《欧几里得作图》中指出：只用圆规可以完成一切尺规作图．
1797年，意大利数学家马斯凯罗尼又独立发现此结论，并写在他的著作《圆规的几何学》中．请你利用数
学家们发现的结论，完成下面的作图题：
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如图，已知 ， 是 上一点，只用圆规将 的圆周四等分．（按如下步骤完成，保留作图痕
迹）
①以点 为圆心， 长为半径，自点 起，在 上逆时针方向顺次截取 ；
②分别以点 ，点 为圆心， 长为半径作弧，两弧交于 上方点 ；
③以点 为圆心， 长为半径作弧交 于 ， 两点．即点 ， ， ， 将 的圆周四等分．
21. 为传承红色文化，激发革命精神，增强爱国主义情感，某校组织七年级学生开展“讲好红色故事，传
承红色基因”为主题的研学之旅，策划了三条红色线路让学生选择：
A．南梁精神红色记忆之旅（华池县）；B．长征会师胜利之旅（会宁县）；C．西路军红色征程之旅（高
台县），且每人只能选择一条线路．小亮和小刚两人用抽卡片的方式确定一条自己要去的线路．他们准备
了3张不透明的卡片，正面分别写上字母 ， ， ，卡片除正面字母不同外其余均相同，将3张卡片正
面向下洗匀，小亮先从中随机抽取一张卡片，记下字母后正面向下放回，洗匀后小刚再从中随机抽取一张
卡片．
（1）求小亮从中随机抽到卡片 的概率；
（2）请用画树状图或列表的方法，求两人都抽到卡片 的概率．
22. 如图1，某人的一器官后面 处长了一个新生物，现需检测到皮肤的距离（图1）．为避免伤害器官，
可利用一种新型检测技术，检测射线可避开器官从侧面测量．某医疗小组制定方案，通过医疗仪器的测量
获得相关数据，并利用数据计算出新生物到皮肤的距离．方案如下：
课题 检测新生物到皮肤的距离
工具 医疗仪器等
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示意图
如图2，新生物在 处，先在皮肤上选择最大限度地避开器官的 处照射新
说明 生物，检测射线与皮肤 的夹角为 ；再在皮肤上选择距离 处
的 处照射新生物，检测射线与皮肤 的夹角为 ．
测量数据 ， ，
请你根据上表中的测量数据，计算新生物 处到皮肤的距离．（结果精确到 ）（参考数据：
， ， ， ， ， ）
四、解答题：本大题共5小题，共40分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算
步骤．
23. 某校八年级共有200名学生，为了解八年级学生地理学科的学习情况，从中随机抽取40名学生的八年
级上、下两个学期期末地理成绩进行整理和分析（两次测试试卷满分均为35分，难度系数相同；成绩用
表示，分成6个等级： ． ； ． ； ． ； ． ； ．
； ． ）．下面给出了部分信息：
a．八年级学生上、下两个学期期末地理成绩的统计图如下：
b．八年级学生上学期期末地理成绩在 ． 这一组的成绩是：
15，15，15，15，15，16，16，16，18，18
c．八年级学生上、下两个学期期末地理成绩的平均数、众数、中位数如下：
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众
学期 平均数 中位数
数
八年级上学
15
期
八年级下学
19
期
根据以上信息，回答下列问题：
（1）填空： ________；
（2）若 为优秀，则这200名学生八年级下学期期末地理成绩达到优秀的约有________人；
（3）你认为该校八年级学生的期末地理成绩下学期比上学期有没有提高？请说明理由．
24. 如图，一次函数 的图象与 轴交于点 ，与反比例函数 的图象交于点
．
（1）求点 的坐标；
的
（2）用 代数式表示 ；
（3）当 的面积为9时，求一次函数 的表达式．
25. 如图， 内接于 ， 是 的直径， 是 上的一点， 平分 ， ，
垂足为 ， 与 相交于点 ．
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的
（1）求证： 是 切线；
（2）当 的半径为 ， 时，求 的长．
26. 【模型建立】
（1）如图1， 和 都是等边三角形，点 关于 的对称点 在 边上．
①求证： ；
②用等式写出线段 ， ， 的数量关系，并说明理由．
【模型应用】
（2）如图2， 是直角三角形， ， ，垂足为 ，点 关于 的对称点 在
边上．用等式写出线段 ， ， 的数量关系，并说明理由．
【模型迁移】
（3）在（2）的条件下，若 ， ，求 的值．
27. 如图1，抛物线 与 轴交于点 ，与直线 交于点 ，点 在 轴上．
点 从点 出发，沿线段 方向匀速运动，运动到点 时停止．
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（1）求抛物线 的表达式；
（2）当 时，请在图1中过点 作 交抛物线于点 ，连接 ， ，判断四边形
的形状，并说明理由．
（3）如图2，点 从点 开始运动时，点 从点 同时出发，以与点 相同的速度沿 轴正方向匀速运
动，点 停止运动时点 也停止运动．连接 ， ，求 的最小值．
10
