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武威市 2023 年初中毕业、高中招生考试
数学试卷
考生注意：本试卷满分为120分，考试时间为120分钟．所有试题均在答题卡上作答，否则
无效．
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项．
1. 9的算术平方根是（ ）
A. B. C. 3 D.
【答案】C
【解析】
【分析】由 ，可得9的算术平方根．
【详解】解：9的算术平方根是3，
故选C
【点睛】本题考查的是算术平方根的含义，熟练的求解一个数的算术平方根是解本题的关键．
2. 若 ，则 （ ）
A. 6 B. C. 1 D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据等式的性质即可得出结果．
【详解】解：等式两边乘以 ，得 ，
故选：A．
【点睛】本题考查了等式的性质，熟练掌握等式的性质是本题的关键．
3. 计算： （ ）
A. 2 B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先计算单项式乘以多项式，再合并同类项即可．
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【详解】解： ，
故选：B
【点睛】此题考查了整式的四则混合运算，熟练掌握单项式乘以多项式的运算法则是解题的关键．
4. 若直线 （ 是常数， ）经过第一、第三象限，则 的值可为（ ）
A. B. C. D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】通过经过的象限判断比例系数k的取值范围，进而得出答案．
【详解】 直线 （ 是常数， ）经过第一、第三象限，
∵
，
∴
∴ 的值可为2，
故选：D．
【点睛】本题考查正比例函数的图象与性质，熟记比例系数与图象经过的象限之间的关系是解题的关键．
5. 如图， 是等边 的边 上的高，以点 为圆心， 长为半径作弧交 的延长线于点 ，
则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由等边三角形的性质求解 ，再利用等腰三角形的性质可得
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，从而可得答案．
【详解】解：∵ 是等边 的边 上的高，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故选C
【点睛】本题考查的是等边三角形的性质，等腰三角形的性质，熟记等边三角形与等腰三角形的性质是解
本题的关键．
6. 方程 的解为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】把分式方程转化为整式方程求解，然后解出的解要进行检验，看是否为增根．
【详解】去分母得 ，
解方程得 ，
检验: 是原方程的解，
故选A．
【点睛】本题考查了解分式方程的一般步骤，解题关键是熟记解分式方程的基本思想是“转化思想”，即
把分式方程转化为整式方程求解，注意分式方程需要验根．
7. 如图，将矩形 对折，使边 与 ， 与 分别重合，展开后得到四边形 ．若
， ，则四边形 的面积为（ ）
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A. 2 B. 4 C. 5 D. 6
【答案】B
【解析】
【分析】由题意可得四边形 是菱形， ， ，由菱形的面积等于对角线
乘积的一半即可得到答案．
【详解】解：∵将矩形 对折，使边 与 ， 与 分别重合，展开后得到四边形 ，
∴ ， 与 互相平分，
∴四边形 是菱形，
∵ ， ，
∴菱形 的面积为 ．
故选：B
【点睛】此题考查了矩形的折叠、菱形的判定和性质等知识，熟练掌握菱形的面积等于对角线乘积的一半
是解题的关键．
8. 据统计，数学家群体是一个长寿群体，某研究小组随机抽取了收录约 位数学家的《数学家传略辞
典》中部分 岁及以上的长寿数学家的年龄为样本，对数据进行整理与分析，统计图表（部分数据）如
下，下列结论错误的是（ ）
年龄范围（岁） 人数（人）
25
11
10
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A. 该小组共统计了100名数学家的年龄
B. 统计表中 的值为5
C. 长寿数学家年龄在 岁的人数最多
D. 《数学家传略辞典》中收录的数学家年龄在 岁的人数估计有110人
【答案】D
【解析】
【分析】利用年龄范围为 的人数为10人，对应的百分比为 ，即可判断A选项；由A选项可
知该小组共统计了100名数学家的年龄，根据 即可判断B选项；由扇形统计图可知，长
寿数学家年龄在 岁的占的百分比最大，即可判断C选项；用 乘以小组共统计了100名数学家
的年龄中在 岁的百分比，即可判断D选项．
【详解】解：A．年龄范围为 的人数为10人，对应的百分比为 ，则可得
（人），即该小组共统计了100名数学家的年龄，故选项正确，不符合题意；
B．由A选项可知该小组共统计了100名数学家的年龄，则 ，故选项正确，不符合题意；
C．由扇形统计图可知，长寿数学家年龄在 岁的占的百分比最大，即长寿数学家年龄在 岁
的人数最多，故选项正确，不符合题意；
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D．《数学家传略辞典》中收录的数学家年龄在 岁的人数估计有 人，故选项错
误，符合题意．
故选：D．
【点睛】此题考查了扇形统计图和统计表，从扇形统计图和统计表中获取正确信息，进行正确计算是解题
的关键．
9. 如图1，汉代初期的《淮南万毕术》是中国古代有关物理、化学的重要文献，书中记载了我国古代学者
在科学领域做过的一些探索及成就．其中所记载的“取大镜高悬，置水盆于其下，则见四邻矣”，是古人
利用光的反射定律改变光路的方法，即“反射光线与入射光线、法线在同一平面上；反射光线和入射光线
位于法线的两侧；反射角等于人射角”．为了探清一口深井的底部情况，运用此原理，如图在井口放置一
面平面镜可改变光路，当太阳光线 与地面 所成夹角 时，要使太阳光线经反射后刚好
垂直于地面射入深井底部，则需要调整平面镜 与地面的夹角 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【 分 析 】 如 图 ， 过 作 平 面 镜 ， 可 得 ，
， 而 ， 再 建 立 方 程
，可得 ，从而可得答案．
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【详解】解：如图，过 作 平面镜 ，
∴ ， ，
而 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故选B．
【点睛】本题考查 的是垂直的定义，角的和差运算，角平分线的含义，属于跨学科题，熟记基础概念是解
本题的关键．
10. 如图1，正方形 的边长为4， 为 边的中点．动点 从点 出发沿 匀速运动，
运动到点 时停止．设点 的运动路程为 ，线段 的长为 ， 与 的函数图象如图2所示，则点
的坐标为（ ）
A. B. C. D.
7【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
【答案】C
【解析】
【分析】证明 ， ， ，则当P与A，B重合时，
最长，此时 ，而运动路程为0或4，从而可得答案．
【详解】解：∵正方形 的边长为4， 为 边的中点，
∴ ， ， ，
当P与A，B重合时， 最长，
此时 ，
运动路程为0或4，
结合函数图象可得 ，
故选C
【点睛】本题考查的是从函数图象中获取信息，正方形的性质，勾股定理的应用，理解题意，确定函数图
象上横纵坐标的含义是解本题的关键．
二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分．
11. 因式分解： ________．
【答案】
【解析】
【分析】先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可．
【详解】解： ，
故答案为：
【点睛】本题考查的是综合提公因式与公式法分解因式，掌握因式分解的方法与步骤是解本题的关键．
12. 关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则 ________（写出一个满足条件
的值）．
【答案】 （答案不唯一，合理即可）
【解析】
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【分析】先根据关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根得到 ，解得
，根据 的取值范围，选取合适的值即可．
【详解】解：∵关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，
∴ ，
解得 ，
当 时，满足题意，
故答案为： （答案不唯一，合理即可）
【点睛】此题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握当 时，一元二次方程
有两个不相等的实数根是解题的关键．
13. 近年来，我国科技工作者践行“科技强国”使命，不断取得世界级的科技成果，如由我国研制的中国
首台作业型全海深自主遥控潜水器“海斗一号”，最大下潜深度10907米，填补了中国水下万米作业型无
人潜水器的空白；由我国自主研发的极目一号Ⅲ型浮空艇“大白鲸”，升空高度至海拔9050米，创造了浮
空艇原位大气科学观测海拔最高的世界记录．如果把海平面以上9050米记作“ 米”，那么海平面
以下10907米记作“________米”．
【答案】
【解析】
【分析】根据正负数表示相反的意义解答即可．
【详解】解：把海平面以上9050米记作“ 米”，则海平面以下10907米记作 米，
故答案为： ．
【点睛】此题考查了正负数的理解：在一个事件中，规定一个量为正，则表示相反意义的量为负，正确理
解正负数表示一对相反的意义的量是解题的关键．
9【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
14. 如图， 内接于 ， 是 的直径，点 是 上一点， ，则
________ ．
【答案】35
【解析】
【分析】由同弧所对的圆周角相等，得 再根据直径所对的圆周角为直角，得
，然后由直角三角形的性质即可得出结果．
【详解】解： 是 所对的圆周角，
是 的直径，
，
在 中， ，
故答案为: ．
【点睛】本题考查了圆周角定理，以及直角三角形的性质，利用了转化的思想，熟练掌握圆周角定理是解
本题的关键．
15. 如图，菱形 中， ， ， ，垂足分别为 ， ，若 ，
则 ________ ．
10【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
【答案】
【解析】
【分析】根据菱形的性质，含 直角三角形的性质，及三角函数即可得出结果．
【详解】解：在菱形 中， ，
，
，
，
，
在 中， ，
同理， ，
，
，
在 中，
．
故答案为： ．
11【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
【点睛】本题考查了菱形的性质，含 直角三角形的性质，及三角函数等知识，熟练掌握菱形的性质是
解题的关键．
16. 如图1，我国是世界上最早制造使用水车的国家．1556年兰州人段续的第一架水车创制成功后，黄河
两岸人民纷纷仿制，车水灌田，水渠纵横，沃土繁丰．而今，兰州水车博览园是百里黄河风情线上的标志
性景观，是兰州“水车之都”的象征．如图2是水车舀水灌溉示意图，水车轮的辐条（圆的半径） 长
约为6米，辐条尽头装有刮板，刮板间安装有等距斜挂的长方体形状的水斗，当水流冲动水车轮刮板时，
驱使水车徐徐转动，水斗依次舀满河水在点 处离开水面，逆时针旋转 上升至轮子上方 处，斗口
开始翻转向下，将水倾入木槽，由木槽导入水渠，进而灌溉，那么水斗从 处（舀水）转动到 处（倒
水）所经过的路程是________米．（结果保留 ）
【答案】
【解析】
【分析】把半径和圆心角代入弧长公式即可；
【详解】
故填： ．
【点睛】本题考查弧长公式的应用，准确记忆公式，并正确代入公式是解题的关键．
三、解答题：本大题共6小题，共32分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算
步骤．
17. 计算： ．
【答案】
【解析】
【分析】利用二次根式的混合运算法则计算即可．
12【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
【详解】解：
．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式的混合运算法则是解答本题的关键．
18. 解不等式组：
【答案】
【解析】
【分析】先分别解两个不等式，求出它们的解集，再求两个不等式解集的公共部分即可得到不等式组的解
集．
【详解】解：解不等式组： ，
解不等式①，得 ．
解不等式②，得 ．
因此，原不等式组的解集为 ．
【点睛】本题考查了一元一次不等式组的解法，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解答本题的关键．
19. 化简： ．
【答案】
【解析】
【分析】先将除法转化为乘法进行计算，再根据分式的加减计算，即可求解．
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【详解】解：原式
．
【点睛】本题考查了分式的混合运算，解题关键是熟练运用分式运算法则进行求解．
20. 1672年，丹麦数学家莫尔在他的著作《欧几里得作图》中指出：只用圆规可以完成一切尺规作图．
1797年，意大利数学家马斯凯罗尼又独立发现此结论，并写在他的著作《圆规的几何学》中．请你利用数
学家们发现的结论，完成下面的作图题：
如图，已知 ， 是 上一点，只用圆规将 的圆周四等分．（按如下步骤完成，保留作图痕
迹）
①以点 为圆心， 长为半径，自点 起，在 上逆时针方向顺次截取 ；
为
②分别以点 ，点 圆心， 长为半径作弧，两弧交于 上方点 ；
的
③以点 为圆心， 长为半径作弧交 于 ， 两点．即点 ， ， ， 将 圆周四等分．
【答案】见解析
【解析】
【分析】根据作图提示逐步完成作图即可．再根据图形基本性质进行证明即可．
【详解】解：如图，
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即点 ， ， ， 把 的圆周四等分．
理由如下：
如图，连接 ，
由作图可得： ，且 ，
∴ 为等边三角形， ，
同理可得： ，
∴ ，
∴A，O，D三点共线， 为直径，
∴ ，
设 ，而 ，
∴ ， ，
由作图可得： ，而 ，
∴ ， ，
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∴由作图可得 ，
而 ，
∴ ，
∴ ，
同理 ，
∴点 ， ， ， 把 的圆周四等分．
【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质，圆弧与圆心角之间的关系，等边三角形的判定与性质，勾股定
理与勾股定理的逆定理的应用，圆周角定理的应用，熟练掌握图形的基本性质并灵活应用于作图是解本题
的关键．
21. 为传承红色文化，激发革命精神，增强爱国主义情感，某校组织七年级学生开展“讲好红色故事，传
承红色基因”为主题的研学之旅，策划了三条红色线路让学生选择：
A．南梁精神红色记忆之旅（华池县）；B．长征会师胜利之旅（会宁县）；C．西路军红色征程之旅（高
台县），且每人只能选择一条线路．小亮和小刚两人用抽卡片的方式确定一条自己要去的线路．他们准备
了3张不透明的卡片，正面分别写上字母 ， ， ，卡片除正面字母不同外其余均相同，将3张卡片正
面向下洗匀，小亮先从中随机抽取一张卡片，记下字母后正面向下放回，洗匀后小刚再从中随机抽取一张
卡片．
（1）求小亮从中随机抽到卡片 的概率；
（2）请用画树状图或列表的方法，求两人都抽到卡片 的概率．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）本题考查了等可能时间的概率，带入公式即可求解；
（2）先用列表法或树状图法列举出所有可能的情况，再带入公式计算即可．
【小问1详解】
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（小亮抽到卡片 ） ．
【小问2详解】
列表如下：
小刚
小亮
或画树状图如下：
共有9种等可能的结果，两人都抽到卡片 的结果有1种，
所以， （两人都抽到卡片 ） ．
【点睛】本题考查列举法求概率，正确用树状图或者列表法列举出所有情况，并找到符合条件的事件数量，
正确带入公式计算是解题的关键．
22. 如图1，某人的一器官后面 处长了一个新生物，现需检测到皮肤的距离（图1）．为避免伤害器官，
可利用一种新型检测技术，检测射线可避开器官从侧面测量．某医疗小组制定方案，通过医疗仪器的测量
获得相关数据，并利用数据计算出新生物到皮肤的距离．方案如下：
课题 检测新生物到皮肤 的距离
工具 医疗仪器等
示意图
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如图2，新生物在 处，先在皮肤上选择最大限度地避开器官的 处照射新
说明 生物，检测射线与皮肤 的夹角为 ；再在皮肤上选择距离 处
的 处照射新生物，检测射线与皮肤 的夹角为 ．
测量数据 ， ，
请你根据上表中的测量数据，计算新生物 处到皮肤的距离．（结果精确到 ）（参考数据：
， ， ， ， ， ）
【答案】新生物 处到皮肤的距离约为
【解析】
【分析】过点 作 ，垂足为 ，在 ，用 与 的正切值表示出 ，在
中，用 和 的正切值表示出 ，由 ，联立求解 即可．
【详解】解：过点 作 ，垂足为 ．
由题意得， ， ，
在 中， ．
在 中， ．
∵ ，
∴ ，
∴ ．
答：新生物 处到皮肤的距离约为 ．
18【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，构造直角三角形，通过三角函数求解线段是求解本题的关
键．
四、解答题：本大题共5小题，共40分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算
步骤．
23. 某校八年级共有200名学生，为了解八年级学生地理学科的学习情况，从中随机抽取40名学生的八年
级上、下两个学期期末地理成绩进行整理和分析（两次测试试卷满分均为35分，难度系数相同；成绩用
表示，分成6个等级： ． ； ． ； ． ； ． ； ．
； ． ）．下面给出了部分信息：
a．八年级学生上、下两个学期期末地理成绩的统计图如下：
b．八年级学生上学期期末地理成绩在 ． 这一组的成绩是：
15，15，15，15，15，16，16，16，18，18
c．八年级学生上、下两个学期期末地理成绩的平均数、众数、中位数如下：
众
学期 平均数 中位数
数
八年级上学
15
期
八年级下学
19
期
根据以上信息，回答下列问题：
（1）填空： ________；
（2）若 为优秀，则这200名学生八年级下学期期末地理成绩达到优秀的约有________人；
（3）你认为该校八年级学生的期末地理成绩下学期比上学期有没有提高？请说明理由．
【答案】（1）16 （2）35
19【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
（3）八年级，理由见解析
【解析】
【分析】（1）由中位数的概念，可知40人成绩的中位数是第20、21位的成绩；
（2）根据样本估计总体即可求解；
（3）根据平均成绩或中位数即可判断．
【小问1详解】
解：由中位数的概念，可知40人成绩的中位数是第20、21位的成绩，
由统计图知A组4人，B组10人，C组10人，则中位数在C组，第20、21位的成绩分别是16，16，
则中位数是 ；
故答案为：16；
【小问2详解】
解： (人)，
这200名学生八年级下学期期末地理成绩达到优秀的约有35人，
故答案为：35；
【小问3详解】
解：因为抽取的八年级学生的期末地理成绩的平均分（或中位数）下学期的比上学期的高，所以八年级学
生下学期期末地理成绩更好．
【点睛】本题考查了条形统计图，中位数，众数等知识，熟练掌握知识点并灵活运用是解题的关键．
24. 如图，一次函数 的图象与 轴交于点 ，与反比例函数 的图象交于点
．
20【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
（1）求点 的坐标；
（2）用 的代数式表示 ；
（3）当 的面积为9时，求一次函数 的表达式．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）把点 代入 ，从而可得答案；
（2）把点 代入 ，从而可得答案；
（3）利用三角形的面积先求解 ，可得 的坐标，可得 ，代入再解决 的值即可．
【小问1详解】
解：∵点 在反比例函数 的图象上，
∴ ，
∴ ．
【小问2详解】
∵点 在一次函数 的图象上，
∴ ，
即 ．
【小问3详解】
如图，连接 ．
21【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴一次函数的表达式为： ．
【点睛】本题考查的是一次函数与反比例函数的综合应用，坐标与图形面积，熟练的利用待定系数法求解
函数解析式是解本题的关键．
25. 如图， 内接于 ， 是 的直径， 是 上的一点， 平分 ， ，
垂足为 ， 与 相交于点 ．
22【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
的
（1）求证： 是 切线；
（2）当 的半径为 ， 时，求 的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）根据同弧所对的圆周角相等，得出 ，根据 得出 ，角
平分线的定义得出 ，等量代换得出 ，进而得出 ，
即 ，即可得证；
（2）连接 ，得 ，则 ，进而证明 ，得出 ，解
，得出 ，则 ，进而根据 即可求解．
【小问1详解】
证明：∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∵ 平分 ，
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∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ．
∵ 为 的半径，
∴ 是 的切线．
【小问2详解】
连接 ，得 ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
∵ 是 的直径，
∴ ，
∴ ，
24【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了切线的判定定理，圆周角定理，全等三角形的性质与判定，解直角三角形，熟练掌握
以上知识是解题的关键．
26. 【模型建立】
（1）如图1， 和 都是等边三角形，点 关于 的对称点 在 边上．
①求证： ；
②用等式写出线段 ， ， 的数量关系，并说明理由．
【模型应用】
（2）如图2， 是直角三角形， ， ，垂足为 ，点 关于 的对称点 在
边上．用等式写出线段 ， ， 的数量关系，并说明理由．
【模型迁移】
（3）在（2）的条件下，若 ， ，求 的值．
【答案】（1）①见解析；② ，理由见解析；（2） ，理由见解析；
（3）
【解析】
【分析】（1）①证明： ，再证明 即可；②由 和 关于
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对称，可得 ．证明 ，从而可得结论；
（2）如图，过点 作 于点 ，得 ，证明 ， ．
可 得 ， 证 明 ， ， 可 得 ， 则
，可得 ，从而可得结论；
（3）由 ，可得 ，结合 ，求解 ，
，如图，过点 作 于点 ．可得 ， ，可得
，再利用余弦的定义可得答案．
【详解】（1）①证明：∵ 和 都是等边三角形，
∴ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
∴ ．
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② ．理由如下：
∵ 和 关于 对称，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∴ ．
（2） ．理由如下：
如图，过点 作 于点 ，得 ．
∵ 和 关于 对称，
∴ ， ．
∵ ，∴ ，∴ ．
∴ ．
∵ 是直角三角形， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
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∴ ，
∴ ，
∴ ．
∴ ，即 ．
（3）∵ ，
∴ ，
∵ ，∴ ，∴ ．
如图，过点 作 于点 ．
∵ ，
∴ ，
．
∴ ．
∴ ．
【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，勾股定理的应用，轴对称的性质，
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锐角三角函数的灵活应用，本题难度较高，属于中考压轴题，作出合适的辅助线是解本题的关键．
27. 如图1，抛物线 与 轴交于点 ，与直线 交于点 ，点 在 轴上．
点 从点 出发，沿线段 方向匀速运动，运动到点 时停止．
（1）求抛物线 的表达式；
（2）当 时，请在图1中过点 作 交抛物线于点 ，连接 ， ，判断四边形
的形状，并说明理由．
（3）如图2，点 从点 开始运动时，点 从点 同时出发，以与点 相同的速度沿 轴正方向匀速运
动，点 停止运动时点 也停止运动．连接 ， ，求 的最小值．
【答案】（1）
（2）四边形 是平行四边形，理由见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）用待定系数法求二次函数解析式即可；
（2）作 交抛物线于点 ，垂足为 ，连接 ， ，由点 在 上，可知 ，
，连接 ，得出 ，则 ，当 时，
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，进而得出 ，然后证明 ，即可得出结论；
（3）由题意得， ，连接 ．在 上方作 ，使得 ， ，证明
，根据 得出 的最小值为 ，利用勾股
定理求得 ，即可得解．
【小问1详解】
解：∵抛物线 过点 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
【小问2详解】
四边形 是平行四边形．
理由：如图1，作 交抛物线于点 ，垂足为 ，连接 ， ．
∵点 在 上，
∴ ， ，
连接 ，
∵ ，
∴ ，
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∵ ，
∴ ，
∴ ，
当 时， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 轴， 轴，
∴ ，
∴四边形 是平行四边形；
【小问3详解】
如图2，由题意得， ，连接 ．
在 上方作 ，使得 ， ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
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∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ （当 ， ， 三点共线时最短），
∴ 的最小值为 ，
∵ ，
∴ ，
即 的最小值为 ．
【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，待定系数法，平行四边形的性质与判定，勾股定理，全等三角
形的判定和性质等知识，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
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