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2026年中考数学常考考点专题之二次函数
一．选择题（共12小题）
1．（2025•湖北模拟）已知二次函数y＝mx2﹣2mx+n（m≠0）有最小值，点A（x ，y ）是该函数对称轴左
1 1
侧图象上的点，点B（x ，y ）是对称轴右侧图象上的点，若x +x ＜2，则下列关于y 与y 大小关系表
2 2 1 2 1 2
述正确的是（ ）
A．y ＞y B．y ＜y C．y ≥y D．y ≤y
1 2 1 2 1 2 1 2
2．（2025•淅川县二模）二次函数y＝ax2+bx的图象如图所示，则一次函数y＝x+b的图象一定不经过（
）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．（2025•汕头模拟）如图，抛物线y＝x2﹣4x+3与y轴交于点A，与x轴交于点B、E，线段CD在抛物
线的对称轴上移动（点 C 在点 D 下方），且 CD＝BE．当 AD+BC 的值最小时，点 C 的坐标是
（ ）
2 1 1
A．（2，1） B．(2， ) C．(2， ) D．(1， )
3 3 3
4．（2025•莱西市校级模拟）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴的一个交点坐标为（1，
ab
0），对称轴为直线 x＝﹣1，则过点M( ，b-2a)和 N（c﹣a，4ac﹣b2）的直线一定不经过
c
（ ）
第1页（共45页）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
5．（2025•衢州三模）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），当y＞n时，x的取值范围是m﹣4＜x＜2﹣m，
且该二次函数的图象经过点P（2，t2+5），Q（s，4t）两点，则s的值可能是（ ）
A．3 B．2 C．0 D．1
6．（2025•东营区校级一模）二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，则下列选项错误的是（ ）
A．若（﹣2，y ），（5，y ）是图象上的两点，则y ＞y
1 2 1 2
B．3a+c＝0
C．方程ax2+bx+c＝﹣2有两个不相等的实数根
D．当x≥0时，y随x的增大而减小
7．（2025•阳新县模拟）抛物线y＝ax2+bx+c的顶点为（﹣1，2），抛物线与y轴的交点位于x轴上方．
以下结论：①a＞0；②c＜0；③a﹣b+c＝2；④b2﹣4ac＞0；⑤2a﹣b＝0；⑥4a（c﹣2）＝b2，
其中正确的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
8．（2025•和平区校级模拟）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a＜0）的对称轴为直线x＝﹣
1，且经过点（0，1），与x轴的两个交点之间的距离大于4，有下列结论：
①a+b+c＞0；
②若抛物线经过点（﹣1，2），则其解析式为y＝﹣x2﹣2x+1；
第2页（共45页）③一元二次方程ax2+bx+c+2＝0没有实数根；
1
④- ＜a＜0．
3
其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．（2025•沈阳三模）在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+b与二次函数y＝ax2+bx的图象可能是
（ ）
A． B．
C． D．
10．（2025•泗洪县一模）直线 y＝ax+b与抛物线y＝ax2+bx+b在同一坐标系里的大致图象正确的是
（ ）
A． B．
C． D．
11．（2025•城关区校级模拟）著名数学家华罗庚说过：“数缺形时少直觉，形缺数时难入微．数形结合
百般好，隔离分家万事非．”寥窖数语，把图形之妙趣说的淋漓尽致．如图是二次函数 y＝ax2﹣4x+1
的图象，那么无论x为何值，函数值y恒为正的条件是（ ）
第3页（共45页）A．a＞0 B．a＜0 C．a＞4 D．0＜a＜4
12．（2025•中卫校级二模）若抛物线y＝mx2+2x﹣1与x轴有交点，则m的取值范围是（ ）
A．m≥﹣1 B．m≥﹣1且m≠0 C．m＞﹣1 D．m＞﹣1且m≠0
二．填空题（共8小题）
13．（2025•浙江模拟）用“描点法”画二次函数y＝ax2+bx+c的图象时，列表如下：
x … ﹣1 0 1 2 3 …
y … ﹣3 2 5 6 5 …
根据表格信息可知，当x＝5时，函数值y＝ ．
14．（2025•铁西区二模）关于x的二次函数y＝x2﹣2mx+m2+m﹣4（m是常数）的图象与x轴只有一个公
共点，则m的值为 ．
15．（2025•青岛模拟）如图，在平面直角坐标系中，直线 y ＝mx+n与抛物线y =ax2+bx-3相交于点
1 2
A，B．结合图象，判断下列结论：①当﹣2＜x＜3时，y ＞y ；②x＝3是方程ax2+bx﹣3＝0的一个解；
1 2
③若（﹣1，t ），（4，t ）是抛物线上的两点，则t ＜t ；④对于抛物线y =ax2+bx-3，当﹣2＜x
1 2 1 2 2
＜3时，y 的取值范围是0＜y ＜5．其中正确的结论是 ．
2 2
16．（2025•陆丰市一模）如图，一名男生将实心球从 A 处掷出，球所经过的路线是抛物线
第4页（共45页）1
y=- (x-4) 2+3的一部分，则这个男生将球掷出的水平距离OB为 m．
12
17．（2025•嘉峪关校级二模）如图，已知抛物线 y＝ax2+bx+c与直线y＝kx+m交于A（﹣3，﹣1），B
（0，2）两点，则关于x的不等式ax2+bx+c＞kx+m的解集是 ．
18．（2025•宿城区一模）已知P（x ，0），Q（x ，0）两点都在抛物线y＝x2﹣4x+1上，那么x +x ＝
1 2 1 2
．
19．（2025•兴隆台区模拟）如图，二次函数 y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于点A、B，与y轴交于点C．
过点C作CD⊥y轴，交该图象于点D．若B（8，0）、D（6，4），则△ABC的面积为 ．
20．（2025•潍坊二模）如图，二次函数y＝ax2﹣7ax+6a（a＞0）的图象交x轴于A，B两点，交y轴于点
1
C， P（P 在第一象限）恰好经过 A、B、C 三点，且 AB 的弦心距为 AB，则 a 的值为
2
⊙
．
第5页（共45页）三．解答题（共5小题）
21．（2025•珠海校级一模）如图1，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝120°，将△ABC绕点A顺时针旋转
°（0＜ ＜90）后，得到△AEF，B，E，F三点共线，连接BE，CF．
α（1）求α证：CF⊥BC；
（2）在（1）的条件下，如图2，以点C为坐标原点，以BC所在直线为x轴，以CF所在直线为y轴，
建立平面直角坐标系，已知AF=4√3，求过A，B，C三点的抛物线的解析式；
（3）在（2）的条件下，将（2）中所求抛物线沿x轴正方向平移h（h＞0）个单位长度后，与△ABF
的三条边一共有两个不同的交点，请直接写出h的取值范围．
22．（2025•苍梧县一模）许多数学问题源于生活．如图①是撑开后的户外遮阳伞，可以发现数学研究的
对象一抛物线．在如图②所示的平面直角坐标系中，伞柄在y轴上，坐标原点O为伞骨OA，OB的交
点．点C为抛物线的顶点，点A，B在抛物线上，OA，OB关于y轴对称．设点A、C，的坐标分别是
（6，2），（0，4）．
（1）求抛物线对应的函数表达式（不要求写自变量x取值范围）；
第6页（共45页）（2）如图③，分别延长AO，BO交抛物线于点E，F，求E，F两点之间的距离；
（3）如图③，以抛物线与坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为S ，将抛物线向左平移m（m＞
1
0）个单位，得到一条新抛物线，以新抛物线与坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为S ．若S ＝
2 1
2S ，求m的值．
2
23．（2025•琼中县一模）如图，抛物线y＝ax2+bx+c过点A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设点P是第一象限内的抛物线上的一个动点，
①当P为抛物线的顶点时，求证：△PBC直角三角形；
②求出△PBC的最大面积及此时点P的坐标；
24．（2025•浦东新区校级模拟）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线L ：y＝ax2﹣2ax+a﹣4（a＞0）
1
与x轴交于点A、B（点A在点B的左边），与y轴交于点C，顶点为D；抛物线L 与抛物线L 关于y
2 1
轴对称，抛物线L 与x轴交于点M、N（点M在点N的左边）．
2
（1）用配方法求抛物线L ：y＝ax2﹣2ax+a﹣4（a＞0）的顶点坐标；
1
（2）求线段AM的长；
（3）如果BN＝AN，平移抛物线L ：y＝ax2﹣2ax+a﹣4（a＞0），使所得新抛物线的顶点E在其关于
1
3
y轴对称对称抛物线L 的对称轴上，当AE= AB时，求平移后新抛物线的表达式．
2 4
25．（2025•丽江模拟）已知抛物线y＝ax2+bx+6（a≠0）交x轴于点A（6，0），B（﹣1，0），交y轴于
第7页（共45页）点C．
（1）求抛物线的解析式和顶点坐标．
（2）如图，P是抛物线上位于直线AC上方的动点，过点P作y轴的平行线，交直线AC于点E，当
PE的长度最大时，求点P的坐标．
第8页（共45页）2026年中考数学常考考点专题之二次函数
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 A D C D A D B C B D C
题号 12
答案 B
一．选择题（共12小题）
1．（2025•湖北模拟）已知二次函数y＝mx2﹣2mx+n（m≠0）有最小值，点A（x ，y ）是该函数对称轴左
1 1
侧图象上的点，点B（x ，y ）是对称轴右侧图象上的点，若x +x ＜2，则下列关于y 与y 大小关系表
2 2 1 2 1 2
述正确的是（ ）
A．y ＞y B．y ＜y C．y ≥y D．y ≤y
1 2 1 2 1 2 1 2
【考点】二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的图象．
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【专题】二次函数图象及其性质；运算能力；推理能力．
【答案】A
【分析】由二次函数解析式得出抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1，m＞0；再根据题意可得x ﹣x
1 2
＜0、x +x ﹣2＜0，然后表示出y 和y 并运用作差法比较大小即可．
1 2 1 2
2a
【解答】解：根据题意得抛物线开口向上，对称轴为直线x=- =1，
-2a
即m＞0，
∵点A（x ，y ）是该函数对称轴左侧图象上的点，点B（x ，y ）是对称轴右侧图象上的点，
1 1 2 2
∴x ＜x ，
1 2
即x ﹣x ＜0，
1 2
∵x +x ＜2，
1 2
∴x +x ﹣2＜0，
1 2
∴y - y =mx2-2mx +n-(mx2-2mx +n)=m(x -x )(x +x -2)＞0，
1 2 1 1 2 2 1 2 1 2
∴y ＞y ．
1 2
故选：A．
【点评】本题主要考查了二次函数的图象与性质，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数
第9页（共45页）的图象与性质是解此题的关键．
2．（2025•淅川县二模）二次函数y＝ax2+bx的图象如图所示，则一次函数y＝x+b的图象一定不经过（
）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【考点】二次函数的图象；二次函数的性质；一次函数的性质．
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【专题】二次函数图象及其性质；运算能力．
【答案】D
【分析】根据二次函数图象的开口方向、对称轴判断出a、b的正负情况，再由一次函数的性质解答．
【解答】解：由图象开口向下可知a＜0，b＞0，
∴一次函数y＝x+b的图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限．
故选：D．
【点评】本题考查二次函数图象和一次函数图象的性质，解答本题的关键是求出 a、b的正负情况，要
掌握它们的性质才能灵活解题，此题难度不大．
3．（2025•汕头模拟）如图，抛物线y＝x2﹣4x+3与y轴交于点A，与x轴交于点B、E，线段CD在抛物
线的对称轴上移动（点 C 在点 D 下方），且 CD＝BE．当 AD+BC 的值最小时，点 C 的坐标是
（ ）
2 1 1
A．（2，1） B．(2， ) C．(2， ) D．(1， )
3 3 3
【考点】二次函数综合题．
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【专题】代数几何综合题；几何直观；运算能力；推理能力．
【答案】C
【分析】先求出点E（3，0），求出BE＝CD＝2，将点A沿y轴向下平移2个单位，得到点F，连接
CE，CF，EF，易证得四边形CDAF是平行四边形，于是可得AD＝CF，由轴对称的性质可得BC＝
第10页（共45页）CE，于是得到AD+BC＝CF+CE≥EF，即点C是直线EF与抛物线对称轴的交点时，AD+BC的值最小，
利用待定系数法可求得直线EF的解析式，然后求得抛物线的对称轴，通过求解两条直线的交点即可
得出答案．
【解答】解：抛物线y＝x2﹣4x+3与y轴交于点A，与x轴交于点B、E，
当y＝0时，得：x2﹣4x+3＝0，
解得：x ＝1，x ＝3，
1 2
∴B（1，0），E（3，0），
∴BE＝2，
∵线段CD在抛物线的对称轴上移动（点C在点D下方），且CD＝BE，
∴CD＝2，
点A沿y轴向下平移2个单位得到点F，如图，连接CE，CF，EF，
∴AF＝2，
∴AF＝CD，
∵抛物线的对称轴∥y轴，且线段CD在抛物线的对称轴上，线段AF在y轴上，
∴CD∥AF，BC＝CE，
∴四边形CDAF是平行四边形，
∴AD＝CF，
∴AD+BC＝CF+CE≥EF，
∴当F、C、E三点共线，即点C是直线EF与抛物线对称轴的交点时，AD+BC的值最小，
抛物线y＝x2﹣4x+3与y轴交于点A，
当x＝0时，得：y＝3，
∴A（0，3），
由平移的性质可得：点F的纵坐标＝3﹣2＝1，
∴F（0，1），
设直线EF的解析式为y＝kx+b，将点E，点F的坐标代入，得：
{3k+b=0
，
b=1
第11页（共45页）{ 1
k=-
解得： 3，
b=1
1
∴直线EF的解析式为y=- x+1，
3
b -4
在抛物线y＝x2﹣4x+3中，其对称轴为直线x=- =- =2，
2a 2×1
{ 1
y=- x+1
要使AD+BC的值最小，则点C的坐标应满足 3 ，
x=2
{x=2
解得： 1，
y=
3
1
∴C(2， )，
3
故选：C．
【点评】本题属于二次函数综合题，主要考查了平移的性质，二次函数的图象与性质，平行四边形的
判定与性质，轴对称的性质，三角形三边之间的关系，求抛物线与y轴的交点坐标，求抛物线与x轴
的交点坐标，因式分解法解一元二次方程，待定系数法求一次函数解析式，解二元一次方程组，两直
线的交点与二元一次方程组的解等知识点，巧妙添加辅助线并运用数形结合思想是解题的关键．
4．（2025•莱西市校级模拟）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴的一个交点坐标为（1，
ab
0），对称轴为直线 x＝﹣1，则过点M( ，b-2a)和 N（c﹣a，4ac﹣b2）的直线一定不经过
c
（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
第12页（共45页）【考点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；抛物线与x轴的交点．
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【答案】D
【分析】由抛物线与x轴的一个交点坐标为（1，0），对称轴为直线x＝﹣1，即可求得b＝2a，c＝﹣
2
3a，从而得出M（- a，0），N（﹣4a，﹣16a2），设直线MN为y＝kx+d，（k≠0），利用待定系数
3
{k=4.8a
法求得解得 ，即可出k＝4.8a＞0，d＝3.2a2＞0，即可证得直线MN过第一、二、三象限，不
d=3.2a2
经过第四象限．
【解答】解：∵二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴的一个交点坐标为（1，0），对称轴为直
线x＝﹣1，
b
∴a+b+c＝0，- =-1，
2a
∴b＝2a，c＝﹣3a，
2
∴M（- a，0），N（﹣4a，﹣16a2），
3
设直线MN为y＝kx+d，（k≠0），
{ 2
- ak+d=0
∴ 3 ，
-4ak+d=-16a2
{k=4.8a
解得 ，
d=3.2a2
由二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象可知a＞0，
∴k＝4.8a＞0，d＝3.2a2＞0，
∴直线MN过第一、二、三象限，不经过第四象限．
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次
函数的解析式，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键．
5．（2025•衢州三模）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），当y＞n时，x的取值范围是m﹣4＜x＜2﹣m，
且该二次函数的图象经过点P（2，t2+5），Q（s，4t）两点，则s的值可能是（ ）
A．3 B．2 C．0 D．1
第13页（共45页）【考点】二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征．
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【专题】二次函数图象及其性质；运算能力；推理能力．
【答案】A
【分析】由题意可知该抛物线的对称轴和开口方向，并通过比较两点的纵坐标可知两点离对称轴的远
近关系，由此可列不等式，求出s范围，进而选出符合条件的选项．
【解答】解：如图，根据题意可知，该二次函数开口向下．
m-4+2-m
对称轴为直线x= =-1，
2
∵t2+5﹣4t＝（t﹣2）2+1＞0，
∴与点Q相比，点P更靠近对称轴，
即2﹣（﹣1）＜|s﹣（﹣1）|，整理得|s+1|＞3．
∴当s+1≥0时，有s+1＞3，
解得s＞2；
当s+1＜0时，有﹣（s+1）＞3，
解得s＜﹣4．
综上，s＞2或s＜﹣4．
故选：A．
【点评】本题主要考查二次函数的性质及二次函数图象上点的坐标的特征，有一定难度，能够判断出
两点离对称轴距离的大小是解题的关键．
第14页（共45页）6．（2025•东营区校级一模）二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，则下列选项错误的是（ ）
A．若（﹣2，y ），（5，y ）是图象上的两点，则y ＞y
1 2 1 2
B．3a+c＝0
C．方程ax2+bx+c＝﹣2有两个不相等的实数根
D．当x≥0时，y随x的增大而减小
【考点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；根的判别式．
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【专题】二次函数图象及其性质；推理能力．
【答案】D
【分析】根据二次函数的图象和性质分别对各个选项进行判断即可．
【解答】解：∵抛物线的对称轴为直线x＝1，a＜0，
∴点（﹣2，y ）关于直线x＝1的对称点为（4，y ），
1 1
∵当x＞1时，函数y随x增大而减小，4＜5，
∴y ＞y ，
1 2
故A选项不符合题意；
由图可知，当x＝﹣1时，y＜0，
∴a﹣b+c＜0，
b
∵- =1，
2a
∴b＝﹣2a，
∴a+2a+c＝0，
∴3a+c＝0，
故B选项不符合题意；
当y＝﹣2时，y＝ax2+bx+c＝﹣2，
由图象得：纵坐标为﹣2的点有2个，
第15页（共45页）∴方程ax2+bx+c＝﹣2有两个不相等的实数根，
故C选项不符合题意；
∵二次函数图象的对称轴为x＝1，a＜0，
∴当x＜1时，y随x的增大而增大，当x≥1时，y随x的增大而减小；
故D选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数的图象与性质、二次函数图象上点的坐标特征等知识；熟练掌握二次函
数的图象和性质是解题的关键．
7．（2025•阳新县模拟）抛物线y＝ax2+bx+c的顶点为（﹣1，2），抛物线与y轴的交点位于x轴上方．
以下结论：①a＞0；②c＜0；③a﹣b+c＝2；④b2﹣4ac＞0；⑤2a﹣b＝0；⑥4a（c﹣2）＝b2，
其中正确的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【考点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；抛物线与x轴的交点．
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【专题】二次函数图象及其性质；运算能力．
【答案】B
【分析】根据二次函数的解析式结合二次函数的性质，逐一分析判断，即可解题．
【解答】解：∵抛物线的顶点为（﹣1，2），
∴抛物线对称轴为直线x＝﹣1，
∴a，b异号，
不能确定a＞0，
故①错误；
∵抛物线与y轴的交点位于x轴上方．
∴c＞0，
故②错误；
∵抛物线的顶点为（﹣1，2），
∴a﹣b+c＝2，
故③正确；
∵抛物线的顶点为（﹣1，2），抛物线的开口方向不确定，
∴b2﹣4ac的取值不确定；
故④错误；
∵抛物线对称轴为直线x＝﹣1，
第16页（共45页）b
∴- =-1，
2a
∴b＝2a，
∴2a﹣b＝0；
故⑤正确；
∵抛物线的顶点为（﹣1，2），
4ac-b2
∴ =2，
4a
∴4ac﹣b2＝8a，
整理得4a（c﹣2）＝b2，
故⑥正确．
综上所述，正确的有③⑤⑥共3个；
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数的性质以及二次函数图象与系数的关系．熟练掌握该知识点是关键．
8．（2025•和平区校级模拟）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a＜0）的对称轴为直线x＝﹣
1，且经过点（0，1），与x轴的两个交点之间的距离大于4，有下列结论：
①a+b+c＞0；
②若抛物线经过点（﹣1，2），则其解析式为y＝﹣x2﹣2x+1；
③一元二次方程ax2+bx+c+2＝0没有实数根；
1
④- ＜a＜0．
3
其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【考点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；抛物线与x轴的交点；根的判
别式．
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【专题】二次函数图象及其性质；运算能力；推理能力．
【答案】C
【分析】根据题意，画出示意图，再结合所给图形及二次函数与一元二次方程之间的关系，依次对所
给结论进行判断即可．
【解答】解：设抛物线交x轴于A，B（A在右侧），对称轴交x轴于K，画出二次函数y＝ax2+bx+c的
大致图象如下，
第17页（共45页）∵抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a＜0）的对称轴为直线x＝﹣1，与x轴的两个交点之间的距
离大于4，
∴AK＞2，A表示的数大于1，
∴当x＝1时，函数值大于零，即a+b+c＞0，故①正确；
∵抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a＜0）的对称轴为直线x＝﹣1，且经过点（0，1），
若抛物线经过点（﹣1，2），
b
{- =-1
2a
则 ，
c=1
a-b+c=2
{a=-1
解得 b=-2，
c=1
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+1，故②正确；
∵抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a＜0）的对称轴为直线x＝﹣1，且经过点（0，1），
{ b
- =-1
∴ 2a ，
c=1
{b=2a
∴ ，
c=1
∴抛物线解析式表示为y＝ax2+2ax+1，
当y＝﹣2时，ax2+2ax+1＝﹣2，即ax2+2ax+3＝0，
Δ＝4a2﹣12a＝4a（a﹣3），
∵a＜0，
第18页（共45页）∴Δ＞0，
∴一元二次方程ax2+bx+c+2＝0有两个不相等的实数根，故③错误；
在y＝ax2+2ax+1中，令y＝0得0＝ax2+2ax+1，
1
设A（x ，0），B（x ，0），则x +x ＝﹣2，x •x = ，
1 2 1 2 1 2 a
∵AB＞4，
∴|x ﹣x |＞4，
1 2
∴√(x +x ) 2-4x x ＞4，
1 2 1 2
√ 4
∴ 4- ＞4，
a
4
∴4- ＞16，
a
∵a＜0，
1
∴- ＜a＜0，故④正确；
3
∴正确的有①②④，共3个；
故选：C．
【点评】本题考查二次函数图象与性质，涉及一元二次方程根的判别式，待定系数法等，解题的关键
是掌握二次函数的性质．
9．（2025•沈阳三模）在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+b与二次函数y＝ax2+bx的图象可能是
（ ）
A． B．
C． D．
【考点】二次函数的图象；一次函数的图象．
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【专题】函数的综合应用；数据分析观念．
第19页（共45页）【答案】B
【分析】根据抛物线开口方向，以及对称轴位置，一次函数朝向和与 y轴的交点位置即可判断a、b的
大小，从而作出判断，即可解题．
【解答】解：A、由抛物线可知，a＞0，b＜0，由直线可知，a＜0，b＞0，故本选项不符合题意；
B、由抛物线可知，a＞0，b＞0，由直线可知，a＞0，b＞0，故本选项符合题意；
C、由抛物线可知，a＜0，b＜0，由直线可知，a＜0，b＞0，故本选项不符合题意；
D、由抛物线可知，a＜0，b＜0，由直线可知，a＞0，b＞0，故本选项不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了一次函数的图象特征和二次函数的图象特征，熟练掌握各知识点是解题的关键．
10．（2025•泗洪县一模）直线 y＝ax+b与抛物线y＝ax2+bx+b在同一坐标系里的大致图象正确的是
（ ）
A． B．
C． D．
【考点】二次函数的图象；一次函数的图象．
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【专题】一次函数及其应用；二次函数图象及其性质；应用意识．
【答案】D
【分析】根据题意和各个选项中的函数图象，可以得到一次函数中 a和b的正负情况和二次函数图象
中a、b的正负情况，然后即可判断哪个选项中的图象符合题意，解题的关键是明确题意，利用数形结
合的思想解答．
【解答】解：A、由一次函数的图象可知a＞0，b＞0，由二次函数的性质可知，图象a＞0，b＜0，故
选项不符合题意；
B、由一次函数的图象可知a＞0，b＞0，由二次函数的性质可知，图象a＞0，b＜0，故选项不符合题
意；
C、由一次函数的图象可知a＞0，b＞0，由二次函数的性质可知，图象a＞0，b＞0，ab＞0，而抛物线
第20页（共45页）对称轴位于y轴右侧，则ab＜0，故选项不符合题意；
D、由一次函数的图象可知a＞0，b＞0，由二次函数的性质可知，图象a＞0，b＞0，对称轴位于y轴
左侧，则ab＞0，故选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查二次函数的图象、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的
思想解答．
11．（2025•城关区校级模拟）著名数学家华罗庚说过：“数缺形时少直觉，形缺数时难入微．数形结合
百般好，隔离分家万事非．”寥窖数语，把图形之妙趣说的淋漓尽致．如图是二次函数 y＝ax2﹣4x+1
的图象，那么无论x为何值，函数值y恒为正的条件是（ ）
A．a＞0 B．a＜0 C．a＞4 D．0＜a＜4
【考点】抛物线与x轴的交点．
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【专题】二次函数的应用；应用意识．
【答案】C
【分析】根据无论x为何值，函数值y恒为正，即二次函数的图象在x轴的上方，可得抛物线开口向上，
与x轴无交点，即可判断．
【解答】解：∵无论x为何值，函数值y恒为正，即二次函数y＝ax2﹣4x+1的图象在x轴的上方，
∴a＞0，b2﹣4ac＜0，
即（﹣4）2﹣4a＜0，
解得a＞4，
故选：C．
【点评】本题考查了抛物线与x轴交点问题，解题的关键是掌握其性质．
12．（2025•中卫校级二模）若抛物线y＝mx2+2x﹣1与x轴有交点，则m的取值范围是（ ）
A．m≥﹣1 B．m≥﹣1且m≠0 C．m＞﹣1 D．m＞﹣1且m≠0
【考点】二次函数图象与系数的关系；抛物线与x轴的交点．
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【专题】二次函数图象及其性质；推理能力．
【答案】B
【分析】利用判别式进行判别即可，同时注意m不为0．
第21页（共45页）【解答】解：∵抛物线y＝mx2+2x﹣1与x轴有交点，
∴Δ＝b2﹣4ac＝4﹣4m×（﹣1）≥0，
解得m≥﹣1，
又∵m≠0，
故m≥﹣1且m≠0．
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数与x轴的交点情况，根的判别式，熟练掌握以上知识点是解题关键．
二．填空题（共8小题）
13．（2025•浙江模拟）用“描点法”画二次函数y＝ax2+bx+c的图象时，列表如下：
x … ﹣1 0 1 2 3 …
y … ﹣3 2 5 6 5 …
根据表格信息可知，当x＝5时，函数值y＝ ﹣ 3 ．
【考点】二次函数的性质；二次函数的图象．
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【专题】二次函数图象及其性质；运算能力；推理能力．
【答案】﹣3．
【分析】根据表格，可知抛物线的对称轴是直线x＝2，根据抛物线的对称性，可知当x＝﹣1或x＝5
时，函数值相等，结合表格，便可以得到答案．
【解答】解：从表格可知，x＝1与x＝3时，y＝5，
∴二次函数图象的对称轴为直线x＝2，
∴当x＝5时的函数值与x＝﹣1时的函数值相等，
∴当x＝5时，函数值y＝﹣3，
故答案为：﹣3．
【点评】本题考查了二次函数的图象与性质，掌握相关知识是解题的关键．
14．（2025•铁西区二模）关于x的二次函数y＝x2﹣2mx+m2+m﹣4（m是常数）的图象与x轴只有一个公
共点，则m的值为 4 ．
【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数的性质．
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【专题】二次函数图象及其性质；运算能力．
【答案】4．
【分析】根据题意令y＝0，则x2﹣2mx+m2+m﹣4＝0，得到Δ＝（﹣2m）2﹣4（m2+m﹣4）＝0，求出
m＝4，即可得到答案．
【解答】解：由题意可得：
令y＝0，则x2﹣2mx+m2+m﹣4＝0，
第22页（共45页）∴Δ＝（﹣2m）2﹣4（m2+m﹣4）＝0，
∴4m2﹣4m2﹣4m+16＝0，
∴m＝4，
故答案为：4．
【点评】本题考查了二次函数图象与x轴的交点问题，一元二次方程次方程根的判别式，熟练掌握相
关知识点是解题的关键．
15．（2025•青岛模拟）如图，在平面直角坐标系中，直线 y ＝mx+n与抛物线y =ax2+bx-3相交于点
1 2
A，B．结合图象，判断下列结论：①当﹣2＜x＜3时，y ＞y ；②x＝3是方程ax2+bx﹣3＝0的一个解；
1 2
③若（﹣1，t ），（4，t ）是抛物线上的两点，则t ＜t ；④对于抛物线y =ax2+bx-3，当﹣2＜x
1 2 1 2 2
＜3时，y 的取值范围是0＜y ＜5．其中正确的结论是 ①②③ ．
2 2
【考点】二次函数与不等式（组）；抛物线与x轴的交点．
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【专题】二次函数图象及其性质；运算能力；推理能力．
【答案】①②③．
【分析】①根据函数的图象特征即可得出结论．
②根据二次函数与二次方程根的关系即可得出结论．
③将点（﹣2，5）、（3，0）代入y＝ax2+bx﹣3得出解析式，再求出t的值即可得出结论．
④由图象和③可得出二次函数的对称轴，再根据二次函数的增减性以及二次函数图象即得出y得取值
范围．
【解答】解：①∵直线y ＝mx+n与抛物线y ＝ax+bx﹣3相交于点A，B，
1 2
∴由图象可知：当﹣2＜x＜3时，直线y ＝mx+n在抛物线y ＝ax+bx﹣3的上方，
1 2
∴y ＞y ，
1 2
第23页（共45页）∴①正确．
②由图象可知：抛物线y ＝ax+bx﹣3有两个交点，
2
∴方程ax2+bx﹣3＝0有两个不相等的实数根．
∴x＝3是方程ax2+bx﹣3＝0的一个解，
∴②正确．
{4a-2b-3=5
③将点（﹣2，5）、（3，0）代入y＝ax2+bx﹣3得 ，
9a+3b-3=0
{ a=1
解得 ，
b=-2
∴抛物线解析式为y＝x2﹣2x﹣3，
当x＝﹣1时，t ＝0，
1
当x＝4时，t ＝5，
2
∴t ＜t ，
1 2
∴③正确．
④由③可知（﹣2，5）与点（4，5）关于对称轴x对称，
-2+4
∴对称轴x= =1，
2
将x＝1代入抛物线解析式得y＝﹣4，
∴当﹣2＜x＜1时，﹣4＜y＜5．
当﹣2＜x＜3时，﹣4≤y＜5．
∴④错误．
故答案为：①②③．
【点评】本题考查了二次函数的图象特征、二次函数与方程、不等式（组）之间的关系，利用数形结
合的思想是解决此类问题的关键．
16．（2025•陆丰市一模）如图，一名男生将实心球从 A 处掷出，球所经过的路线是抛物线
1
y=- (x-4) 2+3的一部分，则这个男生将球掷出的水平距离OB为 1 0 m．
12
【考点】二次函数的应用．
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第24页（共45页）【专题】二次函数的应用；应用意识．
【答案】10．
【分析】根据球的落地点为y＝0，解一元二次方程即可．
1
【解答】解：在y=- (x-4) 2+3中，令y＝0，
12
1
则- （x﹣4）2+3＝0，
12
解得x ＝10，x ＝﹣2（舍去），
1 2
∴B（10，0），
∴OB＝10，
∴球掷出的水平距离OB为10m，
故答案为：10．
【点评】本题主要考查了二次函数的实际应用——投球问题．解题的关键是熟练掌握二次函数的图象
和性质，二次函数与一元二次方程的关系．
17．（2025•嘉峪关校级二模）如图，已知抛物线 y＝ax2+bx+c与直线y＝kx+m交于A（﹣3，﹣1），B
（0，2）两点，则关于x的不等式ax2+bx+c＞kx+m的解集是 ﹣ 3 ＜ x ＜ 0 ．
【考点】二次函数与不等式（组）．
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【专题】二次函数图象及其性质；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据二次函数与不等式的关系解答即可．
【解答】解：由图象可知，当﹣3＜x＜0时，抛物线位于直线上方，
∴不等式ax2+bx+c＞kx+m的解集是：﹣3＜x＜0，
故答案为：﹣3＜x＜0．
【点评】本题考查了二次函数与不等式的关系，旨在考查学生的数形结合能力．确定抛物线 y＝
ax2+bx+c与直线y＝kx+m的交点坐标是解题关键．
第25页（共45页）18．（2025•宿城区一模）已知P（x ，0），Q（x ，0）两点都在抛物线y＝x2﹣4x+1上，那么x +x ＝ 4
1 2 1 2
．
【考点】二次函数图象上点的坐标特征．
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【专题】二次函数图象及其性质；运算能力．
【答案】4．
【分析】由题意知，x ，x 是方程x2﹣4x+1＝0的两个根，由根与系数的关系即可求解．
1 2
【解答】解：由条件可知x ，x 是方程x2﹣4x+1＝0的两个根，
1 2
由根与系数的关系得：x +x ＝4；
1 2
故答案为：4．
【点评】本题考查了二次函数与一元二次方程，根与系数的关系，熟练掌握原式知识点是关键．
19．（2025•兴隆台区模拟）如图，二次函数 y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于点A、B，与y轴交于点C．
过点C作CD⊥y轴，交该图象于点D．若B（8，0）、D（6，4），则△ABC的面积为 2 0 ．
【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数图象上点的坐标特征．
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【专题】二次函数图象及其性质；几何直观；运算能力；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】由抛物线的对称性及点D，B的坐标可得点A，C的坐标，进而求解．
【解答】解：∵CD∥x轴，点A，B为抛物线与x轴交点，
∴A，B关于抛物线对称轴对称，C，D关于抛物线对称轴对称，
∵D（6，4），
∴点C坐标为（0，4），
∴抛物线对称轴为直线x＝3，
由B（8，0）可得点A坐标为（﹣2，0），
1 1
∴S = AB•OC= ×10×4＝20．
△ABC 2 2
故答案为：20．
【点评】本题考查抛物线与x轴的交点，解题关键是掌握二次函数的性质．
第26页（共45页）20．（2025•潍坊二模）如图，二次函数y＝ax2﹣7ax+6a（a＞0）的图象交x轴于A，B两点，交y轴于点
1 1 1
C， P（P在第一象限）恰好经过A、B、C三点，且AB的弦心距为 AB，则a的值为 或 ．
2 2 3
⊙
【考点】二次函数图象上点的坐标特征；抛物线与x轴的交点．
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【专题】二次函数图象及其性质；运算能力．
1 1
【答案】 或 ．
2 3
【分析】先由y＝ax2﹣7ax+6a得出A（1，0），B（6，0），C（0，6a），即可得AB＝5，过P作
PD⊥AB 于 D，连接 PA，PB，PC，再根据圆的性质得 PB＝PA＝PC，再由垂径定理得
1 5 1 1 5
AD=BD= AB= ，再由AB的弦心距为 AB得PD= AB= ，进而可得点P的坐标，由勾股定
2 2 2 2 2
5
理得PA= √2，再由PC2＝PA2列等式方程，解方程即可得解．
2
【解答】解：由条件可知A（1，0），B（6，0），C（0，6a），
∴AB＝5，
如图，过P作PD⊥AB于D，连接PA，PB，PC，
由条件可知PB＝PA＝PC，
第27页（共45页）1 5
∴AD=BD= AB= ，
2 2
1
∵AB的弦心距为 AB，
2
1 5
∴PD= AB= ，
2 2
7
∴OD=OA+AD= ，
2
7 5 5
∴P( ， )，PA=√PD2+AD2= √2，
2 2 2
∵PB＝PA＝PC，
∴PC2＝PA2，
7 2 5 2 5 2
∴( -0) +( -6a) =( √2) ，
2 2 2
1 1
解得a = ，a = ，
1 2 2 3
1 1
故答案为： 或 ．
2 3
【点评】本题考查了二次函数的性质，圆的性质，垂径定理，勾股定理，熟练掌握以上知识点是关键．
三．解答题（共5小题）
21．（2025•珠海校级一模）如图1，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝120°，将△ABC绕点A顺时针旋转
°（0＜ ＜90）后，得到△AEF，B，E，F三点共线，连接BE，CF．
α（1）求α证：CF⊥BC；
（2）在（1）的条件下，如图2，以点C为坐标原点，以BC所在直线为x轴，以CF所在直线为y轴，
建立平面直角坐标系，已知AF=4√3，求过A，B，C三点的抛物线的解析式；
（3）在（2）的条件下，将（2）中所求抛物线沿x轴正方向平移h（h＞0）个单位长度后，与△ABF
的三条边一共有两个不同的交点，请直接写出h的取值范围．
【考点】二次函数综合题．
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第28页（共45页）【专题】代数几何综合题；几何直观；运算能力；推理能力．
【答案】（1）∵AB＝BC，∠ABC＝120°，
∴∠BAC＝∠BCA＝30°，
∵将△ABC绕点A顺时针旋转 °（0＜ ＜90）后，得到△AEF，
∴∠EAF＝∠BAC＝30°，∠AEFα＝∠ABCα＝120°，AE＝AB，AF＝AC，
∴∠AEB＝180°﹣∠AEF＝60°，
∴△ABE是等边三角形，
∴∠BAE＝60°，
∴∠CAE＝60°﹣30°＝30°，
∴∠CAF＝30°+30°＝60°，
∴△ACF是等边三角形，
∴∠ACF＝60°，
∴∠BCF＝60°+30°＝90°，
∴CF⊥BC；
√3 2√3
（2）y= x2- x；
6 3
（3）2√7-2＜h＜8．
【分析】（1）由等腰三角形的性质得∠BAC＝∠BCA＝30°，再利用旋转的性质证明△ABE和△ACF
是等边三角形，得∠ACF＝60°，即得∠BCF＝90°，即可求证；
（2）由等边三角形的性质得AC=AF=4√3，过点A作AH⊥x轴于H，利用勾股定理和直角三角形的
性质可得A(6，2√3)，B（4，0），再利用待定系数法解答即可求解；
（3）由等边三角形的性质得CF=AF=4√3，即得F(0，4√3)，分别求出抛物线沿x轴正方向平移
经过点F和经过点A的距离即可求解．
【解答】（1）证明：在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝120°，
∴∠BAC＝∠BCA＝30°，
∵将△ABC绕点A顺时针旋转 °（0＜ ＜90）后，得到△AEF，
∴∠EAF＝∠BAC＝30°，∠AEFα＝∠ABCα＝120°，AE＝AB，AF＝AC，
∴∠AEB＝180°﹣∠AEF＝60°，
∴△ABE是等边三角形，
∴∠BAE＝60°，
∴∠CAE＝60°﹣30°＝30°，
∴∠CAF＝30°+30°＝60°，
第29页（共45页）∴△ACF是等边三角形，
∴∠ACF＝60°，
∴∠BCF＝60°+30°＝90°，
∴CF⊥BC；
（2）解：∵△ACF是等边三角形，
∴AC=AF=4√3，
如图2，过点A作AH⊥x轴于H，则∠AHC＝90°，
∵∠BAC＝∠BCA＝30°，
1
∴AH= AC=2√3，∠ABH＝60°，
2
在直角三角形ACH中，由勾股定理得：CH=√AC2-AH2=√ (4√3) 2-(2√3) 2=6，∠BAH＝30°，
∴A(6，2√3)，AB＝2BH，
在直角三角形ABH中，由勾股定理得：BH2+AH2＝AB2，
∴BH2+(2√3) 2=(2BH) 2，
解得：BH＝2，
∴CB＝CH﹣BH＝6﹣2＝4，
∴B（4，0），
设抛物线解析式为y＝ax2+bx+c，将点A，点B，点C的坐标分别代入得：
{36a+6b+c=2√3
16a+4b+c=0 ，
c=0
第30页（共45页）√3
{ a=
6
解得： 2√3，
b=-
3
c=0
√3 2√3
∴过A，B，C三点的抛物线的解析式为y= x2- x；
6 3
（3）解：∵△ACF是等边三角形，
∴CF=AF=4√3，
∴F(0，4√3)，
√3 2√3
把y=4√3代入y= x2- x，得：
6 3
√3 2√3
4√3= x2- x，
6 3
解得：x =2-2√7，x =2+2√7，
1 2
∴抛物线沿x轴正方向平移(2√7-2)个单位长度经过点F；
∵A(6，2√3)，
√3 2√3 √3 2√3
把y=2√3代入y= x2- x，得2√3= x2- x，
6 3 6 3
解得x ＝﹣2，x ＝6，
1 2
∵x ﹣x ＝6﹣（﹣2）＝8，
2 1
∴抛物线沿x轴正方向平移8个单位长度对称轴左侧图象经过点A；
∴当2√7-2＜h＜8时，抛物线与△ABF的三条边一共有两个不同的交点．
【点评】本题属于二次函数综合题，主要考查了等腰三角形的性质，旋转的性质，等边三角形的判定
和性质，直角三角形的性质，勾股定理，二次函数的平移，待定系数法求二次函数解析式，掌握以上
知识点是解题的关键．
第31页（共45页）22．（2025•苍梧县一模）许多数学问题源于生活．如图①是撑开后的户外遮阳伞，可以发现数学研究的
对象一抛物线．在如图②所示的平面直角坐标系中，伞柄在y轴上，坐标原点O为伞骨OA，OB的交
点．点C为抛物线的顶点，点A，B在抛物线上，OA，OB关于y轴对称．设点A、C，的坐标分别是
（6，2），（0，4）．
（1）求抛物线对应的函数表达式（不要求写自变量x取值范围）；
（2）如图③，分别延长AO，BO交抛物线于点E，F，求E，F两点之间的距离；
（3）如图③，以抛物线与坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为S ，将抛物线向左平移m（m＞
1
0）个单位，得到一条新抛物线，以新抛物线与坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为S ．若S ＝
2 1
2S ，求m的值．
2
【考点】二次函数综合题．
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【专题】代数几何综合题；几何直观；运算能力；推理能力．
1
【答案】（1）y=- x2+4；
18
（2）24；
（3）6或6√3．
【分析】（1）设抛物线的解析式为y＝ax2+c，把点A，C的坐标代入，即可求解；
1
{ y= x
1 3
（2）运用待定系数法求出直线OA的解析式为y= x，解方程组 得到点E的坐标，根
3 1
y=- x2+4
18
据对称得到点F的坐标，进而可解答；
1
（3）设平移后的抛物线解析式为 y=- (x+m) 2+4，则得到此时抛物线与 y 轴的交点
18
1 1 1
D(0，- m2+4)，根据S = S ，结合两个三角形的底相同，即可得到OD= OC，进而即可解
18 2 2 1 2
答．
第32页（共45页）【解答】解：（1）设抛物线对应的函数关系式为y＝ax2+c，将点A（6，2），点C（0，4）分别代入
得：
{36a+c=2
，
c=4
{ 1
a=-
解得： 18，
c=4
1
∴抛物线对应的函数关系式为y=- x2+4；
18
（2）设直线OA的关系式为y＝kx，将点A的坐标代入得：
6k＝2，
1
解得：k= ，
3
1
∴直线OA的关系式为y= x，
3
1
{ y= x
3
联立得： ，
1
y=- x2+4
18
{x =-12 {x =6
1 2
解得： ， ，
y =-4 y =2
1 2
∴点E的坐标为（﹣12，﹣4），
根据对称性可得点F的坐标为（12，﹣4），
∴EF＝12﹣（﹣12）＝24；
1
（3）设平移后的抛物线对应的关系式为y=- (x+m) 2+4，
18
1
当x＝0时，得：y=- m2+4，
18
1
此时抛物线与y轴的交点设为D(0，- m2+4)，
18
∵平移后抛物线和x轴交点间的距离不变，且S ＝2S ，
1 2
1
∴OD= OC，
2
第33页（共45页）1 1
∴|- m2+4|= ×|4|，
18 2
解得：m＝6（负值已舍去）或m=6√3（负值已舍去），
∴m的值为6或6√3．
【点评】本题属于二次函数 综合题，主要考查二次根式的实际应用，待定系数法求抛物线解析式，抛
物线与直线的交点，函数图象的平移等知识，解题的关键是掌握以上知识点．
23．（2025•琼中县一模）如图，抛物线y＝ax2+bx+c过点A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设点P是第一象限内的抛物线上的一个动点，
①当P为抛物线的顶点时，求证：△PBC直角三角形；
②求出△PBC的最大面积及此时点P的坐标；
【考点】二次函数综合题．
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【专题】代数几何综合题；几何直观；运算能力；推理能力．
【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；
（2）①∵P为抛物线的顶点，y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴点P的坐标为（1，4），
如图1，作PH⊥y轴于点H，则PH＝CH＝1，
∴∠HCP＝45°，
在Rt△BOC中，OB＝OC＝3，
∴∠OCB＝45°，
第34页（共45页）∴∠PCB＝90°，
∴△PCB是直角三角形；
27 3 15
②△PBC的最大面积为 ，P( ， )．
8 2 4
【分析】（1）把A、B、C三点坐标代入y＝ax2+bx+c求解即可；
（2）①作PH⊥y轴于点H，易证△PCH和△BOC是等腰直角三角形，即可求出∠PCB＝90°；
②先求出直线BC的解析式，过点P作PD⊥x轴于点D，交BC于点E，设点P（x，﹣x2+2x+3），则
3 9
E（x，﹣x+3），故PE＝﹣x2+3x，S =- x2+ x，然后根据二次函数的性质求解即可．
△PBC 2 2
【解答】（1）解：抛物线y＝ax2+bx+c过点A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）．将点A、点B、
点C的坐标分别代入得：
{
a-b+c=0
9a+3b+c=0，
c=3
{a=-1
解得： b=2 ，
c=3
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）①证明：∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，P为抛物线的顶点，
∴点P的坐标为（1，4），
如图1，作PH⊥y轴于点H，则PH＝CH＝1，
∴∠HCP＝45°，
在Rt△BOC中，OB＝OC＝3，
∴∠OCB＝45°，
∴∠PCB＝90°，
∴△PCB是直角三角形；
②解：设直线BC的解析式为y＝kx+b，将点B、C分别代入得：
第35页（共45页）{3k+b=0
，
b=3
{k=-1
解得： ，
b=3
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3，
∵B（3，0），
∴OB＝3，
设点P（x，﹣x2+2x+3）（0＜x＜3），过点P作PD⊥x轴于点D，交BC于点E，如图2，
∴E（x，﹣x+3），则PE＝﹣x2+2x+3﹣（﹣x+3）＝﹣x2+3x，
1 1 1
∵S ＝S +S = PE×(x -x )+ PE×(x -x )= PE×OB，
△PBC △PEB △PEC 2 B E 2 E C 2
1 1 3 9 3 3 27
∴S = ×PE×OB= ×(-x2+3x)×3=- x2+ x=- (x- ) 2+ ，
△PBC 2 2 2 2 2 2 8
3
∵- ＜0，
2
3 27
当x= 时，△PBC的最大面积为 ，
2 8
3 9 15
将x= 代入得：﹣x2+2x+3 =- +3+3= ，
2 4 4
3 15
∴P( ， )．
2 4
【点评】本题属于二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象与性质，
面积问题，掌握二次函数的性质是解题的关键．
24．（2025•浦东新区校级模拟）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线L ：y＝ax2﹣2ax+a﹣4（a＞0）
1
与x轴交于点A、B（点A在点B的左边），与y轴交于点C，顶点为D；抛物线L 与抛物线L 关于y
2 1
轴对称，抛物线L 与x轴交于点M、N（点M在点N的左边）．
2
（1）用配方法求抛物线L ：y＝ax2﹣2ax+a﹣4（a＞0）的顶点坐标；
1
（2）求线段AM的长；
第36页（共45页）（3）如果BN＝AN，平移抛物线L ：y＝ax2﹣2ax+a﹣4（a＞0），使所得新抛物线的顶点E在其关于
1
3
y轴对称对称抛物线L 的对称轴上，当AE= AB时，求平移后新抛物线的表达式．
2 4
【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数图象与几
何变换；二次函数的三种形式．
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【专题】二次函数图象及其性质；推理能力．
【答案】（1）（1，﹣4）；
（2）2；
（3）平移后新抛物线的表达式为y＝x2+2x+4或y＝x2+2x﹣2．
【分析】（1）先对含x的项提取系数a，在括号里配方，最后整理即可得到二次函数的顶点坐标；
（2）先由抛物线L 与x轴交于点A、B，求出A、B的坐标，再由对称性得到M、M的坐标，即可算
1
出线段AM的长；
（3）先根据BN＝AN求出a的值，再根据求出顶点E，即可求出平移后新抛物线的表达式．
【解答】解：（1）y＝ax2﹣2ax+a﹣4
＝a（x2﹣2x+1）﹣4
＝a（x﹣1）2﹣4，
∴抛物线的顶点坐标为（1，﹣4）；
（2）∵L ：y=a(x-1) 2-4，
1
令y＝0，得a（x﹣1）2﹣4＝0，
2 2
解得x =1- ，x =1+ ，
1 √a 2 √a
2 2
∴A(1- ，0)，B(1+ ，0)，
√a √a
第37页（共45页）∵抛物线L ：y=ax2-2ax+a-4(a＞0)，抛物线L 与抛物线L 关于y轴对称，
1 2 1
∴抛物线L 的解析式为L ：y=a(x+1) 2-4(a＞0)，
2 2
当y＝0时，0＝a（x+1）2﹣4，
2 2
解得x =-1- ，x =-1+ ，
1 √a 2 √a
2 2
∴M(-1- ，0)，N(-1+ ，0)，
√a √a
2 2
∴AM=|1- -(-1- )|=2；
√a √a
2 2 2 2
（3）由（2）得A(1- ，0)，B(1+ ，0)，M(-1- ，0)，N(-1+ ，0)，
√a √a √a √a
4
∴AN=|2- |，BN＝2，
√a
∵AN＝BN，
4
∴|2- |=2，
√a
解得a＝1，
∴A（﹣1，0），B（3，0），
∴AB＝4，
3
∵AE= AB，
4
∴AE＝3，
∵抛物线L 的对称轴为直线x＝﹣1，
2
∴设E（﹣1，k），
∴|k|＝3，得k＝±3，
∴E（﹣1，3）或E（﹣1，﹣3），
∵a＝1，
∴y＝（x+1）2+3或y＝（x+1）2﹣3，
∴平移后新抛物线的表达式为y＝x2+2x+4或y＝x2+2x﹣2．
【点评】本题考查二次函数的图象及性质，掌握二次函数的知识是解题的关键．
25．（2025•丽江模拟）已知抛物线y＝ax2+bx+6（a≠0）交x轴于点A（6，0），B（﹣1，0），交y轴于
点C．
第38页（共45页）（1）求抛物线的解析式和顶点坐标．
（2）如图，P是抛物线上位于直线AC上方的动点，过点P作y轴的平行线，交直线AC于点E，当
PE的长度最大时，求点P的坐标．
【考点】抛物线与x轴的交点；一次函数图象上点的坐标特征；二次函数的性质；二次函数图象上点
的坐标特征；二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式．
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【专题】二次函数图象及其性质；运算能力．
5 49
【答案】（1）抛物线的解析式为y＝﹣x2+5x+6，顶点坐标为( ， )；
2 4
（2）（3，12）．
【分析】（1）将点A，B坐标代入抛物线解析式中，解方程组即可得出结论；
（2）先求出直线AC的解析式，设出点P坐标，表示出点E坐标，建立PE＝﹣（t﹣3）2+9，利用二
次函数的性质即可得出结论．
【解答】解：（1）由题意可得：
{0=36a+6b+6
，
0=a-b+6
{a=-1
∴ ，
b=5
∴y＝﹣x2+5x+6．
5 2 49
∵y=-x2+5x+6=-(x- ) + ，
2 4
5 49
∴y＝﹣x2+5x+6，顶点坐标为( ， )；
2 4
（2）令x＝0，得y＝6，
∴点C（0，6）．
设直线AC的函数解析式为y＝kx+d．
第39页（共45页）{0=6k+d
由题意可得： ，
6=d
{k=-1
∴ ，
d=6
∴直线AC的函数解析式为y＝﹣x+6．
设点P（t，﹣t2+5t+6），则点E（t，﹣t+6）（0＜t＜6），
∴PE＝﹣t2+5t+6﹣（﹣t+6）＝﹣t2+6t＝﹣（t﹣3）2+9．
∵﹣1＜0，
∴当t＝3时，PE的长度最大，
∴此时点P的坐标为（3，12）．
【点评】本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式；（2）中用参数t表示抛物线
上的点P、直线AC上点E的坐标，再用t表示出PE的长是解题关键．
第40页（共45页）考点卡片
1．根的判别式
利用一元二次方程根的判别式（△＝b2﹣4ac）判断方程的根的情况．
一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：
①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；
②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根；
③当△＜0时，方程无实数根．
上面的结论反过来也成立．
2．一次函数的图象
b
（1）一次函数的图象的画法：经过两点（0，b）、（- ，0）或（1，k+b）作直线y＝kx+b．
k
注意：①使用两点法画一次函数的图象，不一定就选择上面的两点，而要根据具体情况，所选取的点的
横、纵坐标尽量取整数，以便于描点准确．②一次函数的图象是与坐标轴不平行的一条直线（正比例函
数是过原点的直线），但直线不一定是一次函数的图象．如x＝a，y＝b分别是与y轴，x轴平行的直线，
就不是一次函数的图象．
（2）一次函数图象之间的位置关系：直线y＝kx+b，可以看做由直线y＝kx平移|b|个单位而得到．
当b＞0时，向上平移；b＜0时，向下平移．
注意：①如果两条直线平行，则其比例系数相等；反之亦然；
②将直线平移，其规律是：上加下减，左加右减；
③两条直线相交，其交点都适合这两条直线．
3．一次函数的性质
一次函数的性质：
k＞0，y随x的增大而增大，函数从左到右上升；k＜0，y随x的增大而减小，函数从左到右下降．
由于y＝kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当
b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴．
4．一次函数图象上点的坐标特征
b
一次函数y＝kx+b，（k≠0，且k，b为常数）的图象是一条直线．它与x轴的交点坐标是（- ，0）；与
k
y轴的交点坐标是（0，b）．
直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y＝kx+b．
5．二次函数的图象
第41页（共45页）（1）二次函数y＝ax2（a≠0）的图象的画法：
①列表：先取原点（0，0），然后以原点为中心对称地选取x值，求出函数值，列表．
②描点：在平面直角坐标系中描出表中的各点．
③连线：用平滑的曲线按顺序连接各点．
④在画抛物线时，取的点越密集，描出的图象就越精确，但取点多计算量就大，故一般在顶点的两侧各
取三四个点即可．连线成图象时，要按自变量从小到大（或从大到小）的顺序用平滑的曲线连接起来．
画抛物线y＝ax2（a≠0）的图象时，还可以根据它的对称性，先用描点法描出抛物线的一侧，再利用对称
性画另一侧．
（2）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象
b
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象看作由二次函数y＝ax2的图象向右或向左平移| |个单位，再向上
2a
4ac-b2
或向下平移| |个单位得到的．
4a
6．二次函数的性质
b 4ac-b2 b
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（- ， ），对称轴直线x=- ，二次函数y＝
2a 4a 2a
ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质：
b b
①当a＞0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜- 时，y随x的增大而减小；x＞- 时，
2a 2a
b 4ac-b2
y随x的增大而增大；x=- 时，y取得最小值 ，即顶点是抛物线的最低点．
2a 4a
b b
②当a＜0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜- 时，y随x的增大而增大；x＞- 时，
2a 2a
b 4ac-b2
y随x的增大而减小；x=- 时，y取得最大值 ，即顶点是抛物线的最高点．
2a 4a
b
③抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象可由抛物线y＝ax2的图象向右或向左平移|- |个单位，再向上或
2a
4ac-b2
向下平移| |个单位得到的．
4a
7．二次函数图象与系数的关系
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）
①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．
第42页（共45页）当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；|a|还可以决定开口大小，|a|越大开口就越小．
②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置．
当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左侧；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右侧．
（简称：左同右异）
③常数项c决定抛物线与y轴交点．抛物线与y轴交于（0，c）．
④抛物线与x轴交点个数．
△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；△＝b2﹣
4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
8．二次函数图象上点的坐标特征
b 4ac-b2
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象是抛物线，顶点坐标是（- ， ）．
2a 4a
b
①抛物线是关于对称轴x=- 成轴对称，所以抛物线上的点关于对称轴对称，且都满足函数函数关系
2a
式．顶点是抛物线的最高点或最低点．
②抛物线与y轴交点的纵坐标是函数解析式中的c值．
③抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，设两个交点分别是（x ，0），（x ，0），则其对称轴为x
1 2
x +x
= 1 2．
2
9．二次函数图象与几何变换
由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求
出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即
可求出解析式．
10．二次函数的最值
（1）当a＞0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而减少；在对称轴右侧，y随x的增大而增大，因为
b 4ac-b2
图象有最低点，所以函数有最小值，当x=- 时，y= ．
2a 4a
（2）当a＜0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，y随x的增大而减少，因为
b 4ac-b2
图象有最高点，所以函数有最大值，当x=- 时，y= ．
2a 4a
（3）确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶
点坐标的纵坐标；当自变量取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比较这些函数值，
第43页（共45页）从而获得最值．
11．待定系数法求二次函数解析式
（1）二次函数的解析式有三种常见形式：
①一般式：y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）； ②顶点式：y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是常数，
a≠0），其中（h，k）为顶点坐标； ③交点式：y＝a（x﹣x ）（x﹣x ）（a，b，c是常数，a≠0）；
1 2
（2）用待定系数法求二次函数的解析式．
在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代
入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解
当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可
选择设其解析式为交点式来求解．
12．二次函数的三种形式
二次函数的解析式有三种常见形式：
①一般式：y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0），该形式的优势是能直接根据解析式知道抛物线与
y轴的交点坐标是（0，c）；
②顶点式：y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标，该形式的优势是
能直接根据解析式得到抛物线的顶点坐标为（h，k）；
③交点式：y＝a（x﹣x ）（x﹣x ）（a，b，c是常数，a≠0），该形式的优势是能直接根据解析式得
1 2
到抛物线与x轴的两个交点坐标（x ，0），（x ，0）．
1 2
13．抛物线与x轴的交点
求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y＝0，即ax2+bx+c＝0，解关于x
的一元二次方程即可求得交点横坐标．
（1）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c＝0根之间的关系．
△＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数．
△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；
△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；
△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
（2）二次函数的交点式：y＝a（x﹣x ）（x﹣x ）（a，b，c是常数，a≠0），可直接得到抛物线与x轴
1 2
的交点坐标（x ，0），（x ，0）．
1 2
14．二次函数与不等式（组）
二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）与不等式的关系
①函数值y与某个数值m之间的不等关系，一般要转化成关于x的不等式，解不等式求得自变量x的取
第44页（共45页）值范围．
②利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解，
也可把两个函数解析式列成不等式求解．
15．二次函数的应用
（1）利用二次函数解决利润问题
在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题．解此类题的关键是通过题意，确定出二
次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函
数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围．
（2）几何图形中的最值问题
几何图形中的二次函数问题常见的有：几何图形中面积的最值，用料的最佳方案以及动态几何中的最值
的讨论．
（3）构建二次函数模型解决实际问题
利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实
到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问
题．
16．二次函数综合题
（1）二次函数图象与其他函数图象相结合问题
解决此类问题时，先根据给定的函数或函数图象判断出系数的符号，然后判断新的函数关系式中系数的
符号，再根据系数与图象的位置关系判断出图象特征，则符合所有特征的图象即为正确选项．
（2）二次函数与方程、几何知识的综合应用
将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起．这类试题一般难度较大．解这类问题关键是善于将函
数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的
一些隐含条件．
（3）二次函数在实际生活中的应用题
从实际问题中分析变量之间的关系，建立二次函数模型．关键在于观察、分析、创建，建立直角坐标系
下的二次函数图象，然后数形结合解决问题，需要我们注意的是自变量及函数的取值范围要使实际问题
有意义．
第45页（共45页）
