文档内容
2026年中考数学常考考点专题之四边形
一．选择题（共12小题）
1．（2025•湖北模拟）如图，将正五边形剪掉一个角（裁剪线不经过顶点），则∠1+∠2 的度数为
（ ）
A．108° B．180° C．252° D．288°
2．（2025•抚顺一模）如图， ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E是CD的中点，若BC＝8，
则OE的长为（ ） ▱
A．6 B．5 C．4 D．3
3．（2025•朔州模拟）如图，在菱形 ABCD 中，AB＝13，BD＝24，AC 与 BD 交于点 O，过点 A 作
AE⊥CD于点E，连接OE，则OE的长为（ ）
120 60
A．5 B．10 C． D．
13 13
4．（2025•莱西市校级模拟）如图，将正五边形纸片ABCDE折叠，使点B与点E重合，折痕为AM，展
开后，再将纸片折叠，使边AB落在线段AM上，点B的对应点为点B′，折痕为AF，则∠AFB′的大小
为（ ）
第1页（共59页）A．30° B．45° C．55° D．60°
5．（2025•市中区二模）如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AE平分∠BAD 交BC边
于点E，点F是AE的中点，连接OF，若AB＝OB＝1，则FO的长度为（ ）
√3 1 √3-1
A． B．√3-1 C． D．
2 2 2
6．（2025•莱西市校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD位于第一象限，点D的坐标是
（4，3），把矩形ABCD绕点O按顺时针方向旋转90°得到矩形A B C D ，再将矩形A B C D 向上平
1 1 1 1 1 1 1 1
移1个单位长度，得到矩形A B C D ，则点C 的坐标是（ ）
2 2 2 2 2
A．（3，﹣3） B．（2，﹣3） C．（2，﹣2） D．（﹣2，5）
7．（2025•中原区模拟）如图，在 ABCD中，∠C＝120°，AB＝2，AD＝2AB，点H，G分别是边DC，
BC上的动点，连接AH，HG，点▱E为AH的中点，点F为GH的中点，连接EF，则EF的最小值为（
）
第2页（共59页）√3
A．2 B．√3 C．1 D．
2
8．（2025•浙江一模）如图，在边长为6的正方形ABCD中，E是边CD的中点，F在BC边上，且∠EAF
＝45°，连接EF，则BF的长为（ ）
3
A．2 B． √2 C．3 D．2√2
2
9．（2025•锡林郭勒盟三模）如图，已知正方形ABCD，E为AB的中点，F是AD边上的一个动点，连接
EF将△AEF沿EF折叠得△HEF，延长FH交BC于M，现在有如下5个结论：①△EFM定是直角三
1
角形；②△BEM≌△HEM；③当M与C重合时，有 DF=AF；④MF平分正方形ABCD的面积；
3
⑤4FH•MH＝AB2，在以上5个结论中，正确的有（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
10．（2025•平乡县二模）某商场计划在一块长23米，宽8.8米的矩形空地中，设置两排平行四边形倾斜
式停车位若干个（按此方案规划车位，相邻车位间隔的宽度忽略不计）．如图所示，已知规划的倾斜
式停车位每个车长5米，宽3米，中间安全空间的距离不小于0.8米，则最多可以设置停车位（ ）
第3页（共59页）A．18个 B．10个 C．9个 D．8个
11．（2025•沙坪坝区模拟）如图，在正方形ABCD中，连接AC，点E在AC上，连接BE，过点E作BE
的垂线交CD于点F，交BC的延长线于点G．若AC=3√2，点F是EG的中点，则EG的长度为（
）
5√5
A．4 B．5 C．2√5 D．
2
12．（2025•攀枝花）如图，四边形ABCD各边中点分别是E、F、G、H，两条对角线AC与BD互相垂直，
则四边形EFGH一定是（ ）
A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．梯形
二．填空题（共8小题）
13．（2025•莱西市校级模拟）如图，在菱形 ABCD中，∠DAB＝60°，AD=2√5，过点D作DE⊥AB垂
足为点E，过点E作EF∥AD，交CD于点F，交AC于点G，M，N分别是DE，CG的中点，连接
MN，则MN＝ ．
第4页（共59页）14．（2025•费县一模）如图，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝4，点E在边AB上运动，以AE为直径作
圆与DE交于点F，连接BF，则线段BF的最小值为 ．
15．（2025•沛县模拟）如图，正方形ABCD中，点E、F分别在边CD，AD上，BE与CF交于点G．若
BC＝4，DE＝AF＝1，则GF的长为 ．
16．（2025•阳新县模拟）如图，正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∠ACB的角平分线分别交
AB，BD 于 M，N 两点．若 AM=√2，则∠CMB＝ ．线段 ON 的长为
．
17．（2025•南山区一模）七巧板是我们祖先的一项卓越创造，被誉为“东方魔板”．数学活动课上小东
制作了一套七巧板，拼成正方形ABCD，其中包括五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边
形．如图，其中一块等腰直角三角形（阴影图形）的直角边为 5cm，则正方形ABCD的边长为
第5页（共59页）cm．
18．（2025•罗庄区二模）如图，在菱形ABCD中，AC、BD为菱形的对角线，∠DBC＝60°，BD＝10，点
F为BC中点，则EF的长为 ．
1
19．（2025•淮安区校级一模）如图，点F是矩形ABCD内部一个动点，E为AF上一点且AE= AF，当
3
AD＝4，AB＝AF＝9时，则BE+CF的最小值为 ．
20．（2025•南宁二模）如图，已知正方形ABCD的边长为4√2，对角线AC，BD交于点O，G是BO的
中点，线段EF（点E在点F的左边）在AC上运动，连接BF，EG，若EF＝2，则BF+GE的最小值是
．
三．解答题（共5小题）
21．（2025•浙江模拟）如图，在四边形ABCD中，∠C＝90°，AB∥CD，连结BD，BA＝BD，AF⊥BD分
别交BD，CD于点E，F，PD∥BC交AF于点P．
第6页（共59页）（1）求证：△BCD≌△AEB．
（2）求证：DF•DB＝AP•AF．
22．（2025•东光县二模）如图，在四边形 ABCD中，AB＝4，BC=√11，CD＝6，AD＝3，∠A＝90°，
点P从点A出发沿折线AB﹣BC向点C运动，连接DP，将DP绕点D顺时针旋转得到DE，旋转角等
于∠ADB，作EF⊥BD于F，设点P运动的路程为x（x＞0）．
（1）BD的长为 ；按角分，△BCD的形状是 ；
（2）当点P在边AB上时．
①求证：DF＝DA；
②当点E落在DC上时，求x的值；
（3）当点P经过∠BDC的平分线时，求EF的长；
（4）已知BK是△BCD的中线，若线段EF与中线BK有交点，直接写出x的取值范围．
23．（2025•单县三模）（1）方法呈现：如图①：在△ABC中，若AB＝6，AC＝4，点D为BC边的中点，
求BC边上的中线AD的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长AD到点E使DE＝AD，再连接
BE，可证△ACD≌△EBD，从而把AB、AC，2AD集中在△ABE中，利用三角形三边的关系即可判断中
线AD的取值范围是（直接写出范围即可）．这种解决问题的方法我们称为倍长中线法；
（2）探究应用：
如图②，在△ABC中，点D是BC的中点，DE⊥DF于点D，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连
接EF，判断BE+CF与EF的大小关系并证明；
（3）问题拓展：
如图③，在四边形ABCD中，AB∥CD，AF与DC的延长线交于点F、点E是BC的中点，若AE是
∠BAF的角平分线．试探究线段AB，AF，CF之间的数量关系，并加以证明．
第7页（共59页）24．（2025•莱西市校级模拟）如图，在△ABC中，点D是BC边上一点，点E是边AC的中点，连接
DE，过点A且平行于BC的射线交DE的延长线于点F，连接AD，CF．
（1）求证：△AFE≌△CDE；
（2）若点D是BC的中点，当△ABC满足什么条件时，四边形ADCF是矩形？请说明理由．
1
25．（2025•重庆二模）如图1，在边长为4的正方形ABCD中，E为AD中点，动点Q以每秒 个单位的
4
速度，从点 E 出发，在射线 ED 上运动，同时动点 P 以每秒 1 个单位的速度，从点 B 出发，按
B→C→D的方向运动至点D停止，当动点P停止运动时动点Q也停止运动．连接AP、AC、CQ，设点
P的运动时间为t秒，△APC的面积为y ，△AQC的面积为y ．
1 2
第8页（共59页）（1）求出y ，y 关于t的函数解析式并写出自变量t的取值范围；
1 2
（2）在图2所示的平面直角坐标系中画出y ，y 的函数图象，并根据图象写出函数y 的一条性质；
1 2 1
（3）当y ＝y 时，求t的值．
1 2
第9页（共59页）2026年中考数学常考考点专题之四边形
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 D C A B D B D A C B C
题号 12
答案 A
一．选择题（共12小题）
1．（2025•湖北模拟）如图，将正五边形剪掉一个角（裁剪线不经过顶点），则∠1+∠2 的度数为
（ ）
A．108° B．180° C．252° D．288°
【考点】多边形内角与外角．
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【专题】多边形与平行四边形；推理能力．
【答案】D
【分析】由正多边形的性质可得∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝∠E＝108°，则∠A+∠B+∠C+∠D＝432°，再求
出六边形的内角和为720°，最后根据∠1+∠2等于六边形的内角和减去∠A+∠B+∠C+∠D即可解答．
(5-2)×180°
【解答】解：∵在正五边形ABCDE中，∠A=∠B=∠C=∠D=∠E= =108°，
5
∴∠A+∠B+∠C+∠D＝108°×4＝432°，
∵六边形的内角和为：（6﹣2）×180°＝720°，
∴∠1+∠2＝720°﹣（∠A+∠B+∠C+∠D）＝720°﹣432°＝288°，
故选：D．
【点评】本题主要考查了正多边形的内角、多边形的内角和公式等知识点，掌握多边形的内角和公式
是解题的关键．
第10页（共59页）2．（2025•抚顺一模）如图， ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E是CD的中点，若BC＝8，
则OE的长为（ ） ▱
A．6 B．5 C．4 D．3
【考点】平行四边形的性质；三角形中位线定理．
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【专题】三角形；多边形与平行四边形；推理能力．
【答案】C
1
【分析】由平行四边形的性质推出OB＝OD，得到OE是△DBC的中位线，推出OE= BC＝4．
2
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB＝OD，
∵E是CD中点，
∴OE是△DBC的中位线，
1 1
∴OE= BC= ×8＝4．
2 2
故选：C．
1
【点评】本题考查平行四边形的性质，三角形中位线定理，关键是由三角形中位线定理得到OE=
2
BC．
3．（2025•朔州模拟）如图，在菱形 ABCD 中，AB＝13，BD＝24，AC 与 BD 交于点 O，过点 A 作
AE⊥CD于点E，连接OE，则OE的长为（ ）
120 60
A．5 B．10 C． D．
13 13
【考点】菱形的性质；直角三角形斜边上的中线；勾股定理．
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【专题】矩形 菱形 正方形；运算能力．
【答案】A
第11页（共59页）【分析】根据菱形的性质得到BO＝12，然后利用勾股定理求出AO长，再根据直角三角形斜边上的中
线的性质解题即可．
【解答】解：由题意可得：
1
∴AO＝OC，BO=OD= BD=12，
2
∴AO=√AB2-OB2=√132-122=5，
又∵AE⊥CD，
1
∴OE= AC=OA=5，
2
故选：A．
【点评】本题考查菱形的性质，勾股定理，直角三角形斜边上的中线的性质，正确进行计算是解题关
键．
4．（2025•莱西市校级模拟）如图，将正五边形纸片ABCDE折叠，使点B与点E重合，折痕为AM，展
开后，再将纸片折叠，使边AB落在线段AM上，点B的对应点为点B′，折痕为AF，则∠AFB′的大小
为（ ）
A．30° B．45° C．55° D．60°
【考点】多边形内角与外角；翻折变换（折叠问题）；三角形内角和定理．
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【专题】多边形与平行四边形；运算能力．
【答案】B
1
【分析】根据题意求得正五边形的每一个内角为 (5-2)×180°=108°，根据折叠的性质求得
5
∠BAM，∠FAB′，∠AB′F，在△AFB′中，根据三角形内角和定理即可求解．
【解答】解：∵正五边形的内角和为（5﹣2）×180°＝540°，
∴正五边形的一个内角为540°÷5＝108°．
1 1
由条件可知∠BAM= ∠BAE= ×108°=54°，
2 2
∵将纸片折叠，使边AB落在线段AM上，点B的对应点为点B′，折痕为AF，
第12页（共59页）1 1
∴∠FAB'= ∠BAM= ×54°=27°，∠AB′F＝∠B＝108°，
2 2
在△AFB′中，∠AFB′＝180°﹣∠AB′F﹣∠FAB′＝180°﹣108°﹣27°＝45°，
故选：B．
【点评】本题考查了折叠的性质，三角形内角和定理、正多边形的内角和的应用，熟练掌握折叠的性
质是解题的关键．
5．（2025•市中区二模）如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AE平分∠BAD 交BC边
于点E，点F是AE的中点，连接OF，若AB＝OB＝1，则FO的长度为（ ）
√3 1 √3-1
A． B．√3-1 C． D．
2 2 2
【考点】矩形的性质；角平分线的性质；三角形中位线定理．
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【专题】等腰三角形与直角三角形；矩形 菱形 正方形；运算能力；推理能力．
【答案】D
【分析】证明△AOB是等边三角形，而CD＝AB＝1，则OA＝OC＝CD＝1，所以AC＝2，由勾股定理
得BC=√AC2-AB2=√3，由AE平分∠BAD交BC边于点E，得∠BAE＝∠DAE＝45°，则∠BEA＝
1 √3-1
∠BAE＝45°，所以BE＝AB＝1，则EC=√3-1，由三角形的中位线定理得FO= EC= ，于是得
2 2
到问题的答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴OA＝OB，
∵AB＝OB＝1，
∴△AOB是等边三角形，
∴OA＝OC＝1，
∴AC＝2，
∴BC=√22-12=√3，
∵AE平分∠BAD交BC边于点E，
第13页（共59页）1
∴∠BAE＝∠DAE= ∠BAD＝45°，
2
∴∠BEA＝∠BAE＝45°，
∴BE＝AB＝1，
∴EC＝BC﹣BE=√3-1，
∵点F是AE的中点，点O是AC的中点，
1 √3-1
∴FO= EC= ，
2 2
故选：D．
【点评】此题重点考查矩形的性质、等边三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定、勾股定理、
三角形的中位线定理等知识，证明△AOB是等边三角形是解题的关键．
6．（2025•莱西市校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD位于第一象限，点D的坐标是
（4，3），把矩形ABCD绕点O按顺时针方向旋转90°得到矩形A B C D ，再将矩形A B C D 向上平
1 1 1 1 1 1 1 1
移1个单位长度，得到矩形A B C D ，则点C 的坐标是（ ）
2 2 2 2 2
A．（3，﹣3） B．（2，﹣3） C．（2，﹣2） D．（﹣2，5）
【考点】矩形的性质；坐标与图形变化﹣平移；坐标与图形变化﹣旋转．
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【专题】作图题；矩形 菱形 正方形；平移、旋转与对称；几何直观．
【答案】B
【分析】根据题意，画出变换后的图形，再结合所画图形即可解决问题．
【解答】解：如图所示，
第14页（共59页）点C 的坐标为（2，﹣3）．
2
故选：B．
【点评】本题主要考查了坐标与图形变化﹣平移、矩形的性质及坐标与图形变化﹣旋转，能根据题意
画出示意图是解题的关键．
7．（2025•中原区模拟）如图，在 ABCD中，∠C＝120°，AB＝2，AD＝2AB，点H，G分别是边DC，
BC上的动点，连接AH，HG，点▱E为AH的中点，点F为GH的中点，连接EF，则EF的最小值为（
）
√3
A．2 B．√3 C．1 D．
2
【考点】平行四边形的性质；三角形中位线定理．
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【专题】多边形与平行四边形；推理能力．
【答案】D
1
【分析】连接AG，利用三角形中位线定理，可知EF= AG，求出AG的最小值即可解决问题．
2
【解答】解：如图，连接AG，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠B+∠C＝180°，
∴∠B＝180°﹣120°＝60°，
第15页（共59页）∵点E、F分别是AH、GH的中点，
∴EF是△AGH的中位线，
1
∴EF= AG，
2
当AG最小时，EF有最小值，
当AG⊥BC时，AG最小，
则∠BAG＝30°，
1
此时BG= AB＝1，AG=√3BG=√3，
2
1 √3
∴EF= AG= ，
2 2
√3
即EF的最小值是 ，
2
故选：D．
【点评】本题考查平行四边形的性质、三角形的中位线定理、含30°角的直角三角形的性质、垂线段最
短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，求出AG的最小值．
8．（2025•浙江一模）如图，在边长为6的正方形ABCD中，E是边CD的中点，F在BC边上，且∠EAF
＝45°，连接EF，则BF的长为（ ）
3
A．2 B． √2 C．3 D．2√2
2
【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质．
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【专题】矩形 菱形 正方形；推理能力．
【答案】A
【分析】把△ABF绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合，首先证明△AFE≌△AGE，进
第16页（共59页）而得到EF＝FG，问题即可解决．
【解答】证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，
∴把△ABF绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合，如图：
∴∠BAF＝∠DAG，
∵∠BAD＝90°，∠EAF＝45°，
∴∠BAF+∠DAE＝45°，
∴∠EAF＝∠EAG，
∵∠ADG＝∠ADC＝∠B＝90°，
∴∠EDG＝180°，点E、D、G共线，
在△AFE和△AGE中，
{
AG=AF
∠FAE=∠EAG，
AE=AE
∴△AFE≌△AGE（SAS），
∴EF＝EG，
即：EF＝EG＝ED+DG，
∵E为CD的中点，边长为6的正方形ABCD，
∴CD＝BC＝6，DE＝CE＝3，∠C＝90°，
∴设BF＝x，则CF＝6﹣x，EF＝3+x，
在Rt△CFE中，由勾股定理得：
EF2＝CE2+CF2，
∴（3+x）2＝32+（6﹣x）2，
解得：x＝2，
即BF＝2，
故选：A．
第17页（共59页）【点评】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定及其性质的应用，解题的关键是作辅助线，构
造全等三角形．
9．（2025•锡林郭勒盟三模）如图，已知正方形ABCD，E为AB的中点，F是AD边上的一个动点，连接
EF将△AEF沿EF折叠得△HEF，延长FH交BC于M，现在有如下5个结论：①△EFM定是直角三
1
角形；②△BEM≌△HEM；③当M与C重合时，有 DF=AF；④MF平分正方形ABCD的面积；
3
⑤4FH•MH＝AB2，在以上5个结论中，正确的有（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【考点】四边形综合题．
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【专题】图形的全等；矩形 菱形 正方形；图形的相似；推理能力．
【答案】C
【分析】由折叠的性质可得 FA＝FH，EA＝EH，∠A＝∠FHE＝90°，由“HL”可证
Rt△EMH≌Rt△EMB，可得∠MEH＝∠MEB，由平角的性质可求∠FEM＝90°，故①和②正确；通过证
EH HM
明△FHE∽△EHM，可得 = ，可得AB2＝4HF•HM，故⑤正确；如图1，设AE＝EB＝2a．则
FH EH
AF AE 1 1
AB＝BC＝AD＝CD＝4a，通过证明△AEF∽△BCE，可得 = = ，可求AF＝a，可得 DF=AF，
EB BC 2 3
故③正确；当点F与点D重合时，直线MF不平分正方形的面积，故④错误，即可求解．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A＝∠B＝90°，
∵E为AB的中点，
∴EA＝EB，
由翻折可知：FA＝FH，EA＝EH，∠A＝∠FHE＝90°，
∴∠EHM＝∠B＝90°，
第18页（共59页）∵EM＝EM，EH＝EB，
∴Rt△EMH≌Rt△EMB（HL），
∴∠MEH＝∠MEB，
∵∠FEH＝∠FEA，
1
∴∠FEM=∠FEH+∠MEH= (∠AEH+∠BEH)=90°，
2
∴△EFM是直角三角形，
故①②正确，
∵∠FEM＝90°＝∠FHE，
∴∠FEH+∠MEH＝90°＝∠FEH+∠EFH，
∴∠EFH＝∠HEM，
又∵∠FHE＝∠EHM＝90°，
∴△FHE∽△EHM，
EH HM
∴ = ，
FH EH
1
又∵EH＝EB= AB，
2
∴AB2＝4HF•HM，故⑤正确，
如图1中，当M与C重合时，
设AE＝EB＝2a．则AB＝BC＝AD＝CD＝4a，
∵∠FEM＝90°，
∴∠AEF+∠CEB＝90°＝∠AEF+∠AFE，
∴∠AFE＝∠ECB，
又∵∠A＝∠B＝90°，
∴△AEF∽△BCE，
AF AE 1
∴ = = ，
EB BC 2
第19页（共59页）∴AF＝a，
∴DF＝3a，
∴DF＝3AF，
1
∴ DF=AF，故③正确，
3
如图2中，
当点F与点D重合时，显然直线MF不平分正方形的面积，故④错误，
综上所述，正确的有：①②③⑤，
故选：C．
【点评】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定
和性质，折叠的性质等知识，利用相似三角形的性质求线段的关系是解题的关键．
10．（2025•平乡县二模）某商场计划在一块长23米，宽8.8米的矩形空地中，设置两排平行四边形倾斜
式停车位若干个（按此方案规划车位，相邻车位间隔的宽度忽略不计）．如图所示，已知规划的倾斜
式停车位每个车长5米，宽3米，中间安全空间的距离不小于0.8米，则最多可以设置停车位（ ）
A．18个 B．10个 C．9个 D．8个
【考点】矩形的性质；解直角三角形的应用；平行四边形的性质．
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【专题】解直角三角形及其应用；应用意识．
【答案】B
【分析】过点K作KH⊥GF，交FG的延长线于点H，求出BE＝3，∠HGK＝∠AEB，进一步求出
第20页（共59页）15
KG= ，从而求出一侧可设5个停车位，再乘以2即可得到结果．
4
【解答】解，如图，过点K作KH⊥GF，交FG的延长线于点H，
根据题意得AB＝4m，AE＝GF＝5m，KH＝3m，
由勾股定理得，BE=√AE2-AB2=√52-42=3m，
AB 4
在直角△ABE中，sin∠AEB= = ，
AE 5
∵AE∥GF，
∴∠AEB＝∠GFE，
∵AD∥BC，
∴∠GFE＝∠HGK，
∴∠AEB＝∠HGK，
KH 4
在直角△GHK中，sin∠HGK= = ，
KG 5
5 15
∴KG= KH= ，
4 4
15
∴(AD-BE)÷KG=(23-3)÷ ≈5.33，
4
故取整数5，
∵另一侧与其对称，
∴5×2＝10，
故选：B．
【点评】本题考查了矩形的性质、平行四边形的性质以及解直角三角形的应用，解题的关键是理解题
意．
11．（2025•沙坪坝区模拟）如图，在正方形ABCD中，连接AC，点E在AC上，连接BE，过点E作BE
的垂线交CD于点F，交BC的延长线于点G．若AC=3√2，点F是EG的中点，则EG的长度为（
第21页（共59页））
5√5
A．4 B．5 C．2√5 D．
2
【考点】正方形的性质；勾股定理．
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【专题】矩形 菱形 正方形；几何直观；运算能力；推理能力．
【答案】C
【分析】过点E作EM⊥AB于点M，EN⊥BC于点N，设EN＝a，先求出AB＝BC＝3，证明四边形
1 a
EMBN是矩形得ME＝BN，MB＝EN＝a，AB∥EM，证明CF是△GEN的中位线得CF= = ，CN＝
2 2
CG，再证明△ECN是等腰直角三角形得EN＝MB＝CN＝CG＝a，则ME＝BN＝3﹣a，GN＝2a，由勾
a
股定理得EG＝√5a，然后证明△BME和△GCF全等得ME＝CF，则3-a= ，由此解得a＝2，继而
2
可得EG的长．
【解答】解：过点E作EM⊥AB于点M，EN⊥BC于点N，如图所示：
∴∠EMB＝∠ENB＝90°，
设EN＝a，
∵四边形ABCD是正方形，对角线AC=3√2，
∴AB＝BC＝CD＝AD，∠ABC＝∠BCD＝90°，AB∥CD，∠BCA＝45°，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC=√AB2+BC2=√2AB，
√2 √2
∴AB＝BC= AC= ×3√3=3，
2 2
∵∠EMB＝∠ENB＝∠ABC＝90°，
第22页（共59页）∴四边形EMBN是矩形，
∴ME＝BN，MB＝EN＝a，AB∥EM，
∴EM∥CD，
∵点F是EG的中点，
∴CF是△GEN的中位线，
1 a
∴CF= EN= ，CN＝CG，
2 2
∵∠BCA＝45°，EN⊥BC，
∴△ECN是等腰直角三角形，
∴EN＝MB＝CN＝CG＝a，
∴ME＝BN＝BC﹣CN＝3﹣a，
∴GN＝CN+CG＝2a，
在Rt△ENG中，由勾股定理得：EG=√EN2+GN2=√a2+(2a) 2=√5a，
∵BE⊥EG，
∴∠BEG＝∠ABC＝90°，
∴∠G+∠EBG＝90°，∠MBE+∠EBG＝90°，
∴∠MBE＝∠G，
∵ME⊥AB，∠BCD＝90°，
∴∠EMB＝∠FCG＝90°，
在△BME和△GCF中，
{
∠MBE=∠G
MB=CG ，
∠EMB=∠FCG=90°
∴△BME≌△GCF（ASA），
∴ME＝CF，
1 a
又∵ME＝3﹣a，CF= EN= ，
2 2
a
∴3-a= ，
2
解得：a＝2，
∴EG=√5a=2√5．
故选：C．
第23页（共59页）【点评】此题主要考查了正方形的性质，勾股定理，熟练掌握正方形的性质，灵活运用勾股定理进行
计算是解决问题的关键，正确地添加辅助线构造矩形及全等三角形是解决问题的难点．
12．（2025•攀枝花）如图，四边形ABCD各边中点分别是E、F、G、H，两条对角线AC与BD互相垂直，
则四边形EFGH一定是（ ）
A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．梯形
【考点】中点四边形；菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定；梯形．
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【专题】线段、角、相交线与平行线；多边形与平行四边形；矩形 菱形 正方形；推理能力．
【答案】A
【分析】设AC交BD于点Q，EF交BD于点P，由E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点，
1 1
得EF∥AC，且EF= AC，GH∥AC，且GH= AC，EH∥BD，推导出EF∥GH，且EF＝GH，则四边形
2 2
EFGH是平行四边形，因为AC⊥BD，所以∠FEH＝∠FPD＝∠CQD＝90°，则四边形EFGH是矩形，
于是得到问题的答案．
【解答】解：设AC交BD于点Q，EF交BD于点P，
∵E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点，
1 1
∴EF∥AC，且EF= AC，GH∥AC，且GH= AC，EH∥BD，
2 2
∴EF∥GH，且EF＝GH，
∴四边形EFGH是平行四边形，
∵AC⊥BD，
∴∠FEH＝∠FPD＝∠CQD＝90°，
∴四边形EFGH是矩形，
故选：A．
第24页（共59页）【点评】此题重点考查中点四边形、三角形中位线定理、平行线的性质、平行四边形的判定、矩形的
判定等知识，推导出EF∥GH，且EF＝GH是解题的关键．
二．填空题（共8小题）
13．（2025•莱西市校级模拟）如图，在菱形 ABCD中，∠DAB＝60°，AD=2√5，过点D作DE⊥AB垂
足为点E，过点E作EF∥AD，交CD于点F，交AC于点G，M，N分别是DE，CG的中点，连接
√35
MN，则MN＝ ．
2
【考点】菱形的性质．
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【专题】等腰三角形与直角三角形；多边形与平行四边形；矩形 菱形 正方形；梯形；运算能力；推
理能力．
√35
【答案】 ．
2
【分析】连接MG，取DM的中点H，连接HN，DB，可证得四边形AEFD是平行四边形，四边形
1 √5
AECF是平行四边形，根据三角形的中位线性质得出MG∥CD∥AB，MG= DF= ，DM⊥GM，根据
2 2
1 1 √5 5√5
梯形中位线性质得出HN∥GM，HN= （MG+CD）= ×( +2√5)= ，NH⊥DE，进而根据勾股
2 2 2 4
定理得出结果．
【解答】解：如图，
第25页（共59页）连接MG，取DM的中点H，连接HN，DB，
∵四边形ABCD是菱形，
∴CD＝AD＝AB，CD∥AB，
∵∠DAB＝60°，
√3
∴AD＝2AE＝2BE，DE= AD=√15，
2
∵EF∥AD，
∴四边形AEFD是平行四边形，
∴DF＝AE，
∴CF＝DF＝AE＝EB=√5，
∴四边形AECF是平行四边形，
∴EG＝FG，
∵M是DE的中点，
1 √5
∴MG∥CD∥AB，MG= DF= ，
2 2
∴DM⊥GM，
1 1 √5 5√5
∴HN∥GM，HN= （MG+CD）= ×( +2√5)= ，
2 2 2 4
∴NH⊥DE，
1 √15
∵HM= DE= ，
4 4
√ 5√5 √15 √35
∴MN=√H N2+H M2= ( ) 2+( ) 2= ，
4 4 2
√35
故答案为： ．
2
【点评】本题考查了菱形的性质，平行四边形的判定和性质，三角形和梯形中位线性质，勾股定理等
知识，解决问题的关键是作辅助线，构造直角三角形．
第26页（共59页）14．（2025•费县一模）如图，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝4，点E在边AB上运动，以AE为直径作
圆与DE交于点F，连接BF，则线段BF的最小值为 √29-2 ．
【考点】矩形的性质；圆周角定理；勾股定理．
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【专题】矩形 菱形 正方形；推理能力．
【答案】√29-2．
【分析】连接AF，取AD中点O，连接OF，判断点F 在以AD为直径的圆上运动，则当O、F、B三
点共线，且F在线段BO上时，BF最小，最小值为BO﹣OF，然后在Rt△ABO中根据勾股定理求出
BO，即可求解．
【解答】解：连接AF，取AD中点O，连接OF，BO，
∵以AE为直径作圆与DE交于点F，
∴∠AFE＝90°，
∴∠AFD＝90°，
∴点F在以AD为直径的圆上运动，
∴当O、F、B三点共线，且F在线段BO上时，BF最小，最小值为BO﹣OF，
∵AB＝5，AD＝4，
1
∴OF=AO= AD=2，∠BAD＝90°，
2
∴OB=√OA2+AB2=√29，
∴BF的最小值为√29-2，
故答案为：√29-2．
【点评】本题考查了圆周角定理的推论，勾股定理等知识，掌握圆周角定理的推论，勾股定理是解题
第27页（共59页）的关键．
15．（2025•沛县模拟）如图，正方形ABCD中，点E、F分别在边CD，AD上，BE与CF交于点G．若
BC＝4，DE＝AF＝1，则GF的长为 2. 6 ．
【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质．
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【专题】推理填空题；数形结合；图形的全等；等腰三角形与直角三角形；矩形 菱形 正方形；运算
能力；推理能力．
【答案】2.6．
【分析】先由正方形的性质及BC＝4，得出∠CDF＝∠BCE＝90°，AD＝DC＝BC，再结合DE＝AF＝
1，得出CE＝DF＝3，从而可判定△CDF≌△BCE（SAS），然后证得∠BGC＝90°，由面积法及勾股定
理求得BE、CG的长，最后用CF的长的长减去CG的长即可得出答案．
【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，BC＝4，
∴∠CDF＝∠BCE＝90°，AD＝DC＝BC＝4，
又∵DE＝AF＝1，
∴CE＝DF＝3，
∴在△CDF和△BCE中，
{
CD=BC
∠CDF=∠BCE，
DF=CE
∴△CDF≌△BCE（SAS），
∴∠DCF＝∠CBE，
∵∠DCF+∠BCF＝90°，
∴∠CBE+∠BCF＝90°，
∴∠BGC＝90°，
∵在Rt△BCE中，BC＝4，CE＝3，
∴BE＝5，
∴BE•CG＝BC•CE，
第28页（共59页）BC⋅CE 4×3 12
∴CG= = = ，
BE 5 5
∵△CDF≌△BCE（SAS），
∴CF＝BE＝5，
12
∴GF＝CF﹣CG＝5- =2.6．
5
故答案为：2.6．
【点评】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质及勾股定理等知识点，熟练掌握相关性
质及定理是解题的关键．
16．（2025•阳新县模拟）如图，正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∠ACB的角平分线分别交
√2
AB，BD于M，N两点．若AM=√2，则∠CMB＝ 67.5 ° ．线段ON的长为 ．
2
【考点】正方形的性质；相似三角形的判定与性质；角平分线的定义；角平分线的性质；直角三角形
的性质；等腰直角三角形．
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【专题】矩形 菱形 正方形；推理能力．
√2
【答案】67.5°， ．
2
【分析】作MH⊥AC于H，如图，根据正方形的性质得∠MAH＝45°，则△AMH为等腰直角三角形，
再求出AH，MH，MB，CH/CO，然后证明△CON∽△CHM，再利用相似比可计算出ON．
【解答】解：作MH⊥AC于H，如图，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠MAH＝∠ACB＝45°，
∵CM是∠ACB的角平分线，
1
∴∠BCM= ∠ACB=22.5°，
2
∴CMB＝90°﹣∠BCM＝67.5°，
∴△AMH为等腰直角三角形，
第29页（共59页）√2 √2
∴AH＝MH= AM= ×√2=1，
2 2
∵CM平分∠ACB，
∴BM＝MH＝1，
∴AB=√2+1
∴AC=√2AB＝2+√2，
1 √2
∴OC= AC＝1+ ，
2 2
CH＝AC﹣AH＝2+√2-1=√2+1，
∵BD⊥AC，
∴ON∥MH，
∴△CON∽△CHM，
ON OC
∴， = ，
MH CH
√2
+1
即ON 2 ，
=
1 √2+1
√2
∴ON= ，
2
√2
故答案为：67.5°， ．
2
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的
公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行
线构造相似三角形．也考查了角平分线的性质和正方形的性质
17．（2025•南山区一模）七巧板是我们祖先的一项卓越创造，被誉为“东方魔板”．数学活动课上小东
制作了一套七巧板，拼成正方形ABCD，其中包括五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边
形．如图，其中一块等腰直角三角形（阴影图形）的直角边为 5cm，则正方形ABCD的边长为 1 0
√2 cm．
第30页（共59页）【考点】平行四边形的性质；七巧板．
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【专题】等腰三角形与直角三角形；多边形与平行四边形；推理能力．
【答案】10√2．
【分析】根据七巧板的特点和平行四边形的性质以及等腰直角三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：∵等腰直角三角形（阴影图形）的直角边为5cm，
∴等腰直角三角形（阴影图形）的斜边为5√2cm，
∴平行四边形的边长为5√2cm，
∴正方形ABCD的边长为2×5√2=10√2（cm），
故答案为：10√2．
【点评】本题考查平行四边形的性质，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用
所学知识解决问题，属于中考常考题型．
18．（2025•罗庄区二模）如图，在菱形ABCD中，AC、BD为菱形的对角线，∠DBC＝60°，BD＝10，点
F为BC中点，则EF的长为 5 ．
【考点】菱形的性质；等边三角形的判定与性质．
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【专题】等腰三角形与直角三角形；矩形 菱形 正方形；推理能力．
【答案】5．
【分析】由四边形ABCD是菱形，可得BC＝DC，AC⊥BD，∠BEC＝90°，又∠DBC＝60°，知△BDC
1
是等边三角形，BC＝BD＝10，而点F为BC中点，故EF= BC＝5．
2
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
第31页（共59页）∴BC＝DC，AC⊥BD，
∴∠BEC＝90°，
∵∠DBC＝60°，
∴△BDC是等边三角形，
∴BC＝BD＝10，
∵点F为BC中点，
1
∴EF= BC＝5，
2
故答案为：5．
【点评】本题考查菱形的性质及应用，涉及等边三角形的判定与性质，解题的关键是掌握直角三角形
斜边上的中线等于斜边的一半．
1
19．（2025•淮安区校级一模）如图，点F是矩形ABCD内部一个动点，E为AF上一点且AE= AF，当
3
AD＝4，AB＝AF＝9时，则BE+CF的最小值为 2√13 ．
【考点】矩形的性质．
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【专题】图形的全等；矩形 菱形 正方形；推理能力．
【答案】2√13．
【分析】在AB上截取 AG＝AE，先证△ABE≌△AFG（SAS），得到 BE＝GF，从而得出 BE+CF＝
GF+CF≥CG，当且仅当C、F、G三点共线时取等，再根据题干条件求解即可．
【解答】解：如图，在AB上截取AG＝AE，连接GF，CG，
在△ABE和△AFG中，
{
AE=AG
∠BAE=∠FAG，
AB=AF
∴△ABE≌△AFG（SAS），
第32页（共59页）∴BE＝GF，
∴BE+CF＝GF+CF≥CG，当且仅当C、F、G三点共线时取等，
1
∵AB＝AF＝9，且AE= AF，
3
∴AE＝AG＝3，
∴BG＝AB﹣AG＝6，
∵四边形ABCD是矩形，AD＝4，
∴∠ABC＝90°，BC＝AD＝4，
在Rt△BCG中，CG=√BC2+BG2=2√13，
即BE+CF＝GF+CF≥CG＝2√13，
∴BE+CF的最小值为2√13，
故答案为：2√13．
【点评】本题主要考查了矩形的性质、全等三角形的判定和性质、三角形三边关系等内容，构造全等
三角形，将双动点问题转化为单动点问题是解题的关键．
20．（2025•南宁二模）如图，已知正方形ABCD的边长为4√2，对角线AC，BD交于点O，G是BO的
中点，线段EF（点E在点F的左边）在AC上运动，连接BF，EG，若EF＝2，则BF+GE的最小值是
2√10 ．
【考点】平行四边形的判定与性质；正方形的性质；线段的性质：两点之间线段最短；勾股定理；三
角形中位线定理．
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【专题】一元一次不等式（组）及应用；等腰三角形与直角三角形；多边形与平行四边形；矩形 菱形
正方形；平移、旋转与对称；运算能力；推理能力．
【答案】2√10．
【分析】取BC的中点P，连接GP，FP，DF，连接DP交AC于点H，证明四边形EFPG是平行四边
形，得到GE＝PF，由正方形的性质得到 BF＝DF，得到BF+GE＝DF+PF≥DP，即F与H重合时，
BF+GE的值最小，最小值为DP的长，求出DP=√CD2+DP2=2√10，即可得到答案．
第33页（共59页）【解答】解：∵正方形ABCD，正方形ABCD的边长为4√2，
∴AD=BC=CD=4√2，∠ADC＝∠BCD＝90°，
∴AC=√AD2+CD2=8，
1
∴OA= AC＝4，BD＝AC＝8，
2
1
∴OB= BD＝4，
2
如图，取BC的中点P，连接GP，FP，DF，连接DP交AC于点H，
∵G是BO的中点，
∴GP是△BOC的中位线，
1
∴GP∥OC，GP= OC＝2，
2
∵EF＝2，
∴EF＝GP，
∴四边形EFPG是平行四边形，
∴GE＝PF，
∵AC垂直平分BD，
∴BF＝DF，
∴BF+GE＝DF+PF≥DP，即F与H重合时，BF+GE的值最小，最小值为DP的长，
1
∵CP= BC＝2√2，
2
∴DP=√CD2+DP2=2√10，
∴BF+GE的最小值为2√10．
故答案为：2√10．
【点评】本题考查正方形的性质、平行四边形的判定和性质、两点之间线段最短、三角形中位线以及
勾股定理，一元一次不等式，能够将两线段和的最小值用一条线段的长来表示是解题的关键．
第34页（共59页）三．解答题（共5小题）
21．（2025•浙江模拟）如图，在四边形ABCD中，∠C＝90°，AB∥CD，连结BD，BA＝BD，AF⊥BD分
别交BD，CD于点E，F，PD∥BC交AF于点P．
（1）求证：△BCD≌△AEB．
（2）求证：DF•DB＝AP•AF．
【考点】四边形综合题．
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【专题】代数几何综合题；几何直观；运算能力；推理能力．
【答案】（1）∵AF⊥BD，
∴∠AEB＝90°．
∵∠C＝90°，
∴∠AEB＝∠C．
∵AB∥CD，
∴∠CDB＝∠ABE．
在△BCD和△AEB中，
{
∠C=∠AEB
∠CDB=∠EBA，
BD=AB
∴△BCD≌△AEB（AAS）；
（2）如图，连结BP并延长交AD于点Q，
∵△BCD≌△AEB，
∴∠DBC＝∠BAE．
∵PD∥BC，
∴∠DBC＝∠PDE，
第35页（共59页）∴∠BAE＝∠PDE，
又∵BA＝BD，
∴∠BAD＝∠BDA，
∴∠PAD＝∠PDA，
∴PD＝PA，
在△BAP和△BDP中，
{BA=BD
PA=PD，
BP=BP
∴△BAP≌△BDP（SSS），
∴∠PBA＝∠PBD，
∴BQ⊥AD，
∴∠QAP+∠QPA＝90°＝∠EPB+∠PBE，
∴∠QAP＝∠PBE＝∠PBA，
∵AB∥CD，
∴∠PAB＝∠DFA，
∴△ADF∽△BPA，
DF AF
∴ = ，
PA BA
∴DF•AB＝AP•AF，
∵AB＝DB，
∴DF•DB＝AP•AF．
【分析】（1）利用AAS证明△BCD≌△AEB；
（2）连结BP并延长交AD于点Q，先利用SSS证明△BAP≌△BDP，再证明△ADF∽△BPA，列出比例式
DF AF
= ，适当变形成得出结论．
PA BA
【解答】证明：（1）∵AF⊥BD，
∴∠AEB＝90°．
∵∠C＝90°，
∴∠AEB＝∠C．
∵AB∥CD，
∴∠CDB＝∠ABE．
第36页（共59页）在△BCD和△AEB中，
{
∠C=∠AEB
∠CDB=∠EBA，
BD=AB
∴△BCD≌△AEB（AAS）；
（2）如图，连结BP并延长交AD于点Q，
∵△BCD≌△AEB，
∴∠DBC＝∠BAE．
∵PD∥BC，
∴∠DBC＝∠PDE，
∴∠BAE＝∠PDE，
又∵BA＝BD，
∴∠BAD＝∠BDA，
∴∠PAD＝∠PDA，
∴PD＝PA，
在△BAP和△BDP中，
{BA=BD
PA=PD，
BP=BP
∴△BAP≌△BDP（SSS），
∴∠PBA＝∠PBD，
∴BQ⊥AD，
∴∠QAP+∠QPA＝90°＝∠EPB+∠PBE，
∴∠QAP＝∠PBE＝∠PBA，
∵AB∥CD，
∴∠PAB＝∠DFA，
∴△ADF∽△BPA，
DF AF
∴ = ，
PA BA
第37页（共59页）∴DF•AB＝AP•AF，
∵AB＝DB，
∴DF•DB＝AP•AF．
【点评】本题属于四边形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质和判定，
相似三角形的判定与性质的综合应用，解题的关键是找准对应边、对应角证明三角形相似，再列出比
例式求解．
22．（2025•东光县二模）如图，在四边形 ABCD中，AB＝4，BC=√11，CD＝6，AD＝3，∠A＝90°，
点P从点A出发沿折线AB﹣BC向点C运动，连接DP，将DP绕点D顺时针旋转得到DE，旋转角等
于∠ADB，作EF⊥BD于F，设点P运动的路程为x（x＞0）．
（1）BD的长为 5 ；按角分，△BCD的形状是 直角三角形 ；
（2）当点P在边AB上时．
①求证：DF＝DA；
②当点E落在DC上时，求x的值；
（3）当点P经过∠BDC的平分线时，求EF的长；
（4）已知BK是△BCD的中线，若线段EF与中线BK有交点，直接写出x的取值范围．
【考点】四边形综合题．
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【专题】代数几何综合题；几何直观；运算能力；推理能力．
【答案】（1）5；直角三角形；
（2）①由题意，得DE＝DP，∠PDE＝∠ADB，
∴∠PDE﹣∠PDF＝∠ADB﹣∠PDF，
∴∠FDE＝∠ADP，
在△DEF和△DPA中，
{
∠PDE=∠ADB
∠DFE=∠A=90°，
DE=DP
∴△DEF≌△DPA（AAS），
∴DF＝DA；
第38页（共59页）3√11
② ；
5
4√11
（3）4+ ；
11
2√11 37
（4）x的取值范围为 ≤x≤ ．
5 8
【分析】（1）在Rt△ABD中，根据勾股定理求出BD，在△BCD中，根据勾股定理逆定理可得到
DB2+BC2＝CD2，即可得出结论；
（2）①根据题意可得DE＝DP，∠PDE＝∠ADB，进而得到∠FDE＝∠ADP，可证明△DEF≌△DPA，
根据全等三角形的性质即可证明；
EF DF
②由∠DBC＝90°，∠DFE＝90°，可得FE∥BC，推出 = ，求出EF，根据PA＝EF即可求解；
BC BD
（3）如图1，过点P作PH⊥AD，PG⊥CD，垂足分别为H，G，过点B作BN⊥PH于点N，根据角平分
线的性质证明△PBD≌△PGD（AAS），推出DG＝BD＝5，CG＝CD﹣DG＝1，设PB＝PG＝m，则
5√11 4
CG=BC-PB=√11-m，利用勾股定理求出PB=PG= ，再利用正切的性质得到BN= PN，
11 3
4 3√11 4√11
设PN＝n，则BN= n，利用勾股定理求出PN= ，BN= ，证明四边形AHNB是矩形，求
3 11 11
4√11
出HP=HN+PN=4+ ，由旋转的性质得∠ADB＝∠PDE，DP＝DE，证明△PHD≌△EFD
11
4√11
（AAS），即可推出EF=PH=4+ ；
11
（4）分为：点E在BK上时，点K在EF上时，两种情况讨论．
【解答】（1）解：在△ABD中，AB＝4，AD＝3，∠A＝90°，
由勾股定理得：BD=√AB2+AD2=√42+32=5，
∵BC=√11，CD＝6，
∴DB2+BC2＝25+11＝36＝CD2，
∴∠DBC＝90°，
∴△BCD是直角三角形，
故答案为：5；直角三角形；
（2）①证明：由题意，得DE＝DP，∠PDE＝∠ADB，
第39页（共59页）∴∠PDE﹣∠PDF＝∠ADB﹣∠PDF，
∴∠FDE＝∠ADP，
在△DEF和△DPA中，
{
∠PDE=∠ADB
∠DFE=∠A=90°，
DE=DP
∴△DEF≌△DPA（AAS），
∴DF＝DA；
②解：∵∠DBC＝90°，∠DFE＝90°，
∴FE∥BC，
若点E在DC上，则△DEF∽△DCB，
EF DF
∴ = ，
BC BD
∵BC=√11，DF＝DA＝3，DB＝5，
EF 3
∴ = ，
√11 5
3√11
解得：EF= ，
5
3√11
∴PA=EF= ，
5
3√11
∴x= ；
5
（3）解：如图1，过点P作PH⊥AD，PG⊥CD，垂足分别为H，G，过点B作BN⊥PH于点N，
∵点P在∠BDC的平分线上，PB⊥BD，PG⊥CD，
∴PB＝PG，∠PDB＝∠PDC，∠PBD＝∠PGD＝90°，
在△PBD和△PGD中，
第40页（共59页）{∠PDB=∠PDG
∠PBD=∠PGD，
PB=PG
∴△PBD≌△PGD（AAS），
∴DG＝BD＝5，
∴CG＝CD﹣DG＝1，
设PB＝PG＝m，则CG=BC-PB=√11-m，
在Rt△PGC中，由勾股定理得：PC2＝PG2+CG2，
∴(√11-m) 2=1+m2，
5√11
解得：m= ，
11
5√11
∴PB=PG= ，
11
∵∠DBC＝∠PHD＝90°，
∴∠ADB＝∠BPN，
AB BN
∴tan∠ADB＝tan∠BPN，即 = ，
AD PN
4
∴BN= PN，
3
4
设PN＝n，则BN= n，
3
在Rt△PGC中，PB2＝PN2+BN2，
25 16
∴
=n2+ n2
，
11 9
3√11
解得：n= （负值舍去），
11
3√11 4√11
∴PN= ，BN= ，
11 11
∵∠A＝∠AHP＝∠HNB＝90°，
∴四边形AHNB是矩形，
∴HN＝AB＝4，
4√11
∴HP=HN+PN=4+ ，
11
由旋转的性质得∠ADB＝∠PDE，DP＝DE，
第41页（共59页）∴∠ADB+∠BDP＝∠PDE+∠BDP，即∠ADP＝∠BDE，
∵∠DHP＝∠DFE＝90°，
∴△PHD≌△EFD（AAS），
4√11
∴EF=PH=4+ ；
11
2√11 37
（4）解：x的取值范围为 ≤x≤ ．
5 8
如图2，过点K作KH⊥BD于点H，
∵KH⊥BD，BC⊥BD，
∴KH∥BC，
∴△DKH∽△DCB，
KH DK DK 1
∴ = = = ，
BC BD CD 2
1 √11 1 5
∴KH= BC= ，BH= BD= ，
2 2 2 2
由（2）知DF＝DA＝3，
∴BF＝BD﹣DF＝5﹣3＝2；
点E在BK上时，如图2，
∵KH⊥BD，EF⊥BD，
∴∠BFE＝∠BHK＝90°，
又∵∠FBE＝∠HBK，
∴△FBE∽△HBK，
EF BF
∴ = ，
KH BH
EF 2
=
∴√11 5，
2 2
2√11
∴EF= ，
5
第42页（共59页）2√11
此时，x=PA=EF= ；
5
如图3，过点P作PM⊥AD于点M，过点B作BN⊥PM于点N．
1 5
点K在EF上时，DF=BF= BD= ，
2 2
根据题意可得：∠ADB＝∠PDE，DP＝DE，
∴∠ADB+∠BDP＝∠PDE+∠BDP，即∠MDP＝∠FDE，
∵∠DMP＝∠DFE＝90°，DP＝DE，
∴△DMP≌△DFE（AAS），
5 5 1
∴DM=DF= ，AM=AD-DM=3- = ，
2 2 2
∵∠A＝∠AMN＝∠BNM＝90°，
∴四边形ABNM是矩形，
1
∴BN=AM= ，∠ABN＝90°，即∠ABD+DBN＝90°，
2
∵∠DBC＝90°，∠PBN+∠DBN＝90°，
∴∠ABD＝∠PBN，
∵∠A＝∠BNP＝90°，
∴△NBP∽△ABD，
BP BN
∴ = ，
BD AB
1
∴BP 2，
=
5 4
5
解得：BP= ，
8
5 37
此时，x=AB+BP=4+ = ，
8 8
第43页（共59页）2√11 37
∴ ≤x≤ ．
5 8
【点评】本题属于四边形综合题，主要考查了旋转的性质，勾股定理及其逆定理、三角形全等的判定
及性质、相似三角形的判定与性质，三角函数值等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形与相似三
角形的性质．
23．（2025•单县三模）（1）方法呈现：如图①：在△ABC中，若AB＝6，AC＝4，点D为BC边的中点，
求BC边上的中线AD的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长AD到点E使DE＝AD，再连接
BE，可证△ACD≌△EBD，从而把AB、AC，2AD集中在△ABE中，利用三角形三边的关系即可判断中
线AD的取值范围是（直接写出范围即可）．这种解决问题的方法我们称为倍长中线法；
（2）探究应用：
如图②，在△ABC中，点D是BC的中点，DE⊥DF于点D，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连
接EF，判断BE+CF与EF的大小关系并证明；
（3）问题拓展：
如图③，在四边形ABCD中，AB∥CD，AF与DC的延长线交于点F、点E是BC的中点，若AE是
∠BAF的角平分线．试探究线段AB，AF，CF之间的数量关系，并加以证明．
【考点】四边形综合题．
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【专题】转化思想；构造法；几何直观；应用意识．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）由已知得出AB﹣BE＜AE＜AB+BE，即6﹣4＜AE＜6+4，AD为AE的一半，即可得出答
案；
（2）延长FD至点M，使DM＝DF，连接BM，EM，可得△BMD≌△CFD，得出BM＝CF，由线段垂
直平分线的性质得出EM＝EF，在△BME中，由三角形的三边关系得出BE+BM＞EM即可得出结论；
（3）延长AE，DF交于点G，根据平行和角平分线可证AF＝FG，也可证得△ABE≌△GCE，从而可得
AB＝CG，即可得到结论．
【解答】解：（1）1＜AD＜5．
第44页（共59页）∵AD是BC边上的中线，
∴BD＝CD，
∴△BDE≌△CDA（SAS），
∴BE＝AC＝4，
在△ABE中，AB﹣BE＜AE＜AB+BE，
∴6﹣4＜AE＜6+4，
∴2＜AE＜10，
∴1＜AD＜5．
证明：（2）延长FD至点M，使DM＝DF，连接BM、EM，如图②所示．
同（1）得：△BMD≌△CFD（SAS），
∴BM＝CF，
∵DE⊥DF，DM＝DF，
∴EM＝EF，
在△BME中，由三角形的三边关系得：
BE+BM＞EM，
∴BE+CF＞EF．
（3）如图③，延长AE，DF交于点G，
∵AB∥CD，
∴∠BAG＝∠G，
在△ABE和△GCE中，
CE＝BE，∠BAG＝∠G，∠AEB＝∠GEC，
∴△ABE≌△GEC（AAS），
∴CG＝AB，
∵AE是∠BAF的平分线，
∴∠BAG＝∠GAF，
∴∠FAG＝∠G，
第45页（共59页）∴AF＝GF，
∵FG+CF＝CG，
∴AF+CF＝AB．
【点评】本题是三角形综合题，主要考查了三角形的三边关系，全等三角形的判定与性质，角的关系
等知识点，所以本题的综合性比较强，有一定的难度，通过作辅助线证明三角形全等是解题的关键．
24．（2025•莱西市校级模拟）如图，在△ABC中，点D是BC边上一点，点E是边AC的中点，连接
DE，过点A且平行于BC的射线交DE的延长线于点F，连接AD，CF．
（1）求证：△AFE≌△CDE；
（2）若点D是BC的中点，当△ABC满足什么条件时，四边形ADCF是矩形？请说明理由．
【考点】矩形的判定；全等三角形的判定与性质．
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【专题】图形的全等；矩形 菱形 正方形；推理能力．
【答案】（1）见解析；
（2）当AB＝AC时，四边形ADCF是矩形，理由见解析．
【分析】（1）根据线段中点的定义得到AE＝CE，根据平行线的性质得到∠FAE＝∠DCE，根据全等
三角形的判定定理得到结论；
（2）根据全等三角形的性质得到AF＝CD，推出四边形ADCF是平行四边形，根据等腰三角形 到现
在得到∠ADC＝90°，推出四边形ADCF是矩形．
【解答】（1）证明：∵点E是边AC的中点，
∴AE＝CE，
∵AF∥BC，
第46页（共59页）∴∠FAE＝∠DCE，
在△AFE与△CDE中，
{∠FAE=∠DCE
AE=CE ，
∠AEF=∠CED
∴△AFE≌△CDE（ASA）；
（2）解：当AB＝AC时，四边形ADCF是矩形，
理由：∵△AFE≌△CDE，
∴AF＝CD，
∵AF∥CD，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∵点D是BC的中点，
∴BD＝CD，
∵AB＝AC，
∴AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°，
∴四边形ADCF是矩形．
【点评】本题考查了进行的判定，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，熟练掌握各
知识点是解题的关键．
1
25．（2025•重庆二模）如图1，在边长为4的正方形ABCD中，E为AD中点，动点Q以每秒 个单位的
4
速度，从点 E 出发，在射线 ED 上运动，同时动点 P 以每秒 1 个单位的速度，从点 B 出发，按
B→C→D的方向运动至点D停止，当动点P停止运动时动点Q也停止运动．连接AP、AC、CQ，设点
P的运动时间为t秒，△APC的面积为y ，△AQC的面积为y ．
1 2
第47页（共59页）（1）求出y ，y 关于t的函数解析式并写出自变量t的取值范围；
1 2
（2）在图2所示的平面直角坐标系中画出y ，y 的函数图象，并根据图象写出函数y 的一条性质；
1 2 1
（3）当y ＝y 时，求t的值．
1 2
【考点】四边形综合题．
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【专题】代数几何综合题；运算能力；推理能力；应用意识．
{-2t+8(0≤t＜4) 1
【答案】（1）y = ，y = t+4（0≤t≤8）；
1 2t-8(4＜t≤8) 2 2
（2）画出y ，y 的函数图象如图2所示，当t＝0或t＝8时，y 的最大值为8；（或当0≤t＜4时，y 随
1 2 1 1
t的增大而减小，当4＜t≤8时，y 随t的增大而增大）．
1
8
（3）t的值为 或8．
5
1
【分析】（1）由正方形的性质得AB＝BC＝CD＝AD＝4，∠B＝∠ADC＝90°，AE= AB＝2，当点P
2
1
在BC边上，即0≤t＜4时，y ＝S = ×4（4﹣t）＝﹣2t+8；当点P在CD边上，即4＜t≤8时，y ＝
1 △APC 2 1
1 1 1 1
S = ×4（t﹣4）＝2t﹣8；当0≤t≤8时，y ＝S = ×4（ t+2）= t+4；
△APC 2 2 △AQC 2 4 2
（2）先求出画出函数图象与坐标轴的交点坐标，再画出y ，y 的函数图象，观察函数图象可知，当t
1 2
＝0或t＝8时，y 的最大值为8；当0≤t＜4时，y 随t的增大而减小，当4＜t≤8时，y 随t的增大而增
1 1 1
大，写出其中的一条性质即可；
第48页（共59页）1
（3）分两种情况，一是当0≤t＜4时，由y ＝y 得﹣2t+8= t+4；二是当4＜t≤8时，由y ＝y 得2t﹣8
1 2 2 1 2
1
= t+4，解方程求出相应的t值即可．
2
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是边长为4的正方形，
∴AB＝BC＝CD＝AD＝4，∠B＝∠ADC＝90°，
∵E为AD中点，
1
∴AE＝DE= AB＝2，
2
当点P与点C重合时，则t＝4；当点P与点D重合时，则t＝8，
当点P在BC边上，即0≤t＜4时，如图1（1），
∵AB⊥PC，PC＝4﹣t，
1
∴y ＝S = ×4（4﹣t）＝﹣2t+8；
1 △APC 2
当点P在CD边上，即4＜t≤8时，如图1（2），
∵AD⊥PC，PC＝t﹣4，
1
∴y ＝S = ×4（t﹣4）＝2t﹣8；
1 △APC 2
1
∵CD⊥AQ，AQ＝AE+EQ= t+2，
4
1 1 1
∴y ＝S = ×4（ t+2）= t+4，
2 △AQC 2 4 2
∵当动点P停止运动时动点Q也停止运动，
∴在点Q的运动过程中，t的取值范围是0≤t≤8，
{-2t+8(0≤t＜4) 1
综上所述，y = ，y = t+4（0≤t≤8）．
1 2t-8(4＜t≤8) 2 2
{-2t+8(0≤t＜4)
（2）函数y = ，当t＝0时，y＝8；当t＝8时，y＝8；
1 2t-8(4＜t≤8)
若x＝4，则y＝0，
画出函数y 的图象如图2所示；
1
1
函数y = t+4，当t＝0时，y＝4；当t＝8时，y＝8，
2 2
画出函数y 的图象如图2所示，
2
第49页（共59页）由函数函数y 的图象可知，当t＝0或t＝8时，y 的最大值为8．
1 1
1
（3）当0≤t＜4时，由y ＝y 得﹣2t+8= t+4，
1 2 2
8
解得t= ；
5
1
当4＜t≤8时，由y ＝y 得2t﹣8= t+4，
1 2 2
解得t＝8，
8
综上所述，t的值为 或8．
5
注：（1）的答案不唯一，如当0≤t＜4时，y 随t的增大而减小，当4＜t≤8时，y 随t的增大而增大．
1 1
【点评】此题重点考查正方形的性质、一次函数的图象与性质、三角形的面积公式、根据实际问题的
条件求自变量的取值范围、数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，此题综合性强，难度
较大，属于考试压轴题．
第50页（共59页）考点卡片
1．线段的性质：两点之间线段最短
线段公理
两点的所有连线中，可以有无数种连法，如折线、曲线、线段等，这些所有的线中，线段最短．
简单说成：两点之间，线段最短．
2．角平分线的定义
（1）角平分线的定义
从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线．
（2）性质：若OC是∠AOB的平分线
1
则∠AOC＝∠BOC= ∠AOB或∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC．
2
（3）平分角的方法有很多，如度量法、折叠法、尺规作图法等，要注意积累，多动手实践．
3．七巧板
（1）七巧板是由下面七块板组成的，完整图案为一正方形：五块等腰直角三角形（两块小形三角形、一
块中形三角形和两块大形三角形）、一块正方形和一块平行四边形．
（2）用这七块板可以拼搭成几何图形，如三角形、平行四边形、不规则的多角形等；也可以拼成各种具
体的人物形象，或者动物或者是一些中、英文字符号．
（3）制作七巧板的方法：①首先，在纸上画一个正方形，把它分为十六个小方格．②再从左上角到右
下角画一条线．③在上面的中间连一条线到右面的中间．④再在左下角到右上角画一条线，碰到第二条
线就可以停了．⑤从刚才的那条线的尾端开始一条线，画到最下面四份之三的位置，从左边开始数，碰
到线就可停．⑥最后，把它们涂上不同的颜色并跟著黑线条剪开，你就有一副全新的七巧板了．
第51页（共59页）4．三角形内角和定理
（1）三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大
于0°且小于180°．
（2）三角形内角和定理：三角形内角和是180°．
（3）三角形内角和定理的证明
证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一个平角．在转化中借助
平行线．
（4）三角形内角和定理的应用
主要用在求三角形中角的度数．①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的关系，用代数方
法求三个角；③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角．
5．全等三角形的判定与性质
（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，
关键是选择恰当的判定条件．
（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角
形．
6．角平分线的性质
角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
注意：①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，
有时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直角平分线的性质语言：如图，
∵C在∠AOB的平分线上，CD⊥OA，CE⊥OB∴CD＝CE
7．等边三角形的判定与性质
（1）等边三角形是一个非常特殊的几何图形，它的角的特殊性给有关角的计算奠定了基础，它的边角性
质为证明线段、角相等提供了便利条件．同是等边三角形又是特殊的等腰三角形，同样具备三线合一的
性质，解题时要善于挖掘图形中的隐含条件广泛应用．
（2）等边三角形的特性如：三边相等、有三条对称轴、一边上的高可以把等边三角形分成含有 30°角的
直角三角形、连接三边中点可以把等边三角形分成四个全等的小等边三角形等．
（3）等边三角形判定最复杂，在应用时要抓住已知条件的特点，选取恰当的判定方法，一般地，若从一
第52页（共59页）般三角形出发可以通过三条边相等判定、通过三个角相等判定；若从等腰三角形出发，则想法获取一个
60°的角判定．
8．直角三角形的性质
（1）有一个角为90°的三角形，叫做直角三角形．
（2）直角三角形是一种特殊的三角形，它除了具有一般三角形的性质外，具有一些特殊的性质：
性质1：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）．
性质2：在直角三角形中，两个锐角互余．
性质3：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点）
性质4：直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积． 性质 5：在直角三角形中，如果有
一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；
在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°．
9．直角三角形斜边上的中线
（1）性质：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点）
（2）定理：一个三角形，如果一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是以这条边为斜边的直
角三角形．
该定理可以用来判定直角三角形．
10．勾股定理
（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．
（3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的变形有：a=√c2-b2，b=√c2-a2及c=√a2+b2．
（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角
边．
11．等腰直角三角形
（1）两条直角边相等的直角三角形叫做等腰直角三角形．
（2）等腰直角三角形是一种特殊的三角形，具有所有三角形的性质，还具备等腰三角形和直角三角形的
所有性质．即：两个锐角都是45°，斜边上中线、角平分线、斜边上的高，三线合一，等腰直角三角形斜
边上的高为外接圆的半径R，而高又为内切圆的直径（因为等腰直角三角形的两个小角均为45°，高又垂
直于斜边，所以两个小三角形均为等腰直角三角形，则两腰相等）；
（3）若设等腰直角三角形内切圆的半径r＝1，则外接圆的半径R=√2+1，所以r：R＝1：√2+1．
第53页（共59页）12．三角形中位线定理
（1）三角形中位线定理：
三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
（2）几何语言：
如图，∵点D、E分别是AB、AC的中点
1
∴DE∥BC，DE= BC．
2
13．多边形内角与外角
（1）多边形内角和定理：（n﹣2）•180° （n≥3且n为整数）
此公式推导的基本方法是从n边形的一个顶点出发引出（n﹣3）条对角线，将n边形分割为（n﹣2）个三
角形，这（n﹣2）个三角形的所有内角之和正好是n边形的内角和．除此方法之和还有其他几种方法，
但这些方法的基本思想是一样的．即将多边形转化为三角形，这也是研究多边形问题常用的方法．
（2）多边形的外角和等于360°．
①多边形的外角和指每个顶点处取一个外角，则 n边形取n个外角，无论边数是几，其外角和永远为
360°．
②借助内角和和邻补角概念共同推出以下结论：外角和＝180°n﹣（n﹣2）•180°＝360°．
14．平行四边形的性质
（1）平行四边形的概念：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．
（2）平行四边形的性质：
①边：平行四边形的对边相等．
②角：平行四边形的对角相等．
③对角线：平行四边形的对角线互相平分．
（3）平行线间的距离处处相等．
（4）平行四边形的面积：
①平行四边形的面积等于它的底和这个底上的高的积．
②同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等．
15．平行四边形的判定与性质
平行四边形的判定与性质的作用
平行四边形对应边相等，对应角相等，对角线互相平分及它的判定，是我们证明直线的平行、线段相等
第54页（共59页）角相等的重要方法，若要证明两直线平行和两线段相等、两角相等，可考虑将要证的直线、线段、角、
分别置于一个四边形的对边或对角的位置上，通过证明四边形是平行四边形达到上述目的．
运用定义，也可以判定某个图形是平行四边形，这是常用的方法，不要忘记平行四边形的定义，有时用
定义判定比用其他判定定理还简单．
凡是可以用平行四边形知识证明的问题，不要再回到用三角形全等证明，应直接运用平行四边形的性质
和判定去解决问题．
16．菱形的性质
（1）菱形的性质
①菱形具有平行四边形的一切性质；
②菱形的四条边都相等；
③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；
④菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线．
（2）菱形的面积计算
①利用平行四边形的面积公式．
1
②菱形面积= ab．（a、b是两条对角线的长度）
2
17．菱形的判定
①菱形定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形（平行四边形+一组邻边相等＝菱形）；
②四条边都相等的四边形是菱形．
几何语言：∵AB＝BC＝CD＝DA∴四边形ABCD是菱形；
③对角线互相垂直的平行四边形是菱形（或“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”）．
几何语言：∵AC⊥BD，四边形ABCD是平行四边形∴平行四边形ABCD是菱形
18．矩形的性质
（1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形．
（2）矩形的性质
①平行四边形的性质矩形都具有；
②角：矩形的四个角都是直角；
③边：邻边垂直；
第55页（共59页）④对角线：矩形的对角线相等；
⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；
对称中心是两条对角线的交点．
（3）由矩形的性质，可以得到直角三角形的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
19．矩形的判定
（1）矩形的判定：
①矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形；
②有三个角是直角的四边形是矩形；
③对角线相等的平行四边形是矩形（或“对角线互相平分且相等的四边形是矩形”）
（2）①证明一个四边形是矩形，若题设条件与这个四边形的对角线有关，通常证这个四边形的对角线相
等．
②题设中出现多个直角或垂直时，常采用“三个角是直角的四边形是矩形”来判定矩形．
20．正方形的性质
（1）正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．
（2）正方形的性质
①正方形的四条边都相等，四个角都是直角；
②正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；
③正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．
④两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对
称轴．
21．正方形的判定
正方形的判定方法：
①先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组邻边相等；
②先判定四边形是菱形，再判定这个菱形有一个角为直角．
③还可以先判定四边形是平行四边形，再用1或2进行判定．
22．梯形
（1）梯形的定义：一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫做梯形．
梯形中平行的两边叫梯形的底，其中较短的底叫上底，不平行的两边叫梯形的腰，两底的距离叫梯形的
高．
（2）等腰梯形：两腰相等的梯形叫做等腰梯形．
（3）直角梯形：有一个角是直角的梯形叫做直角梯形．
第56页（共59页）23．中点四边形
瓦里尼翁平行四边形（Varignon parallelogram）是四边形的一个特殊内接四边形．顺次连结四边形各边
中点而成的四边形是平行四边形，称为瓦里尼翁平行四边形．它的面积是原四边形面积的一半，这个平
行四边形是瓦里尼翁（P．Varignon）发现的．
24．四边形综合题
涉及到的知识点比较多，主要考查平行四边形、菱形、矩形、正方形，经常与二次函数和圆一起出现，
综合性比较强．
25．圆周角定理
（1）圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．
注意：圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上．②角的两条边都与圆相交，二者缺一不可．
（2）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
（3）在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能技巧一定要掌
握．
（4）注意：①圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形．利用等腰三角形的顶点和底角
的关系进行转化．②圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”﹣﹣﹣圆心角转化．③定理成立的条件是
“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当
成同一条弧所对的圆周角和圆心角．
26．翻折变换（折叠问题）
1、翻折变换（折叠问题）实质上就是轴对称变换．
2、折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对
应边和对应角相等．
3、在解决实际问题时，对于折叠较为复杂的问题可以实际操作图形的折叠，这样便于找到图形间的关系．
首先清楚折叠和轴对称能够提供给我们隐含的并且可利用的条件．解题时，我们常常设要求的线段长为
x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾
股定理列出方程求出答案．我们运用方程解决时，应认真审题，设出正确的未知数．
27．坐标与图形变化-平移
第57页（共59页）（1）平移变换与坐标变化
①向右平移a个单位，坐标P（x，y） P（x+a，y）
①向左平移a个单位，坐标P（x，y）⇒P（x﹣a，y）
①向上平移b个单位，坐标P（x，y）⇒P（x，y+b）
①向下平移b个单位，坐标P（x，y）⇒P（x，y﹣b）
（2）在平面直角坐标系内，把一个图形各个⇒点的横坐标都加上（或减去）一个整数a，相应的新图形就
是把原图形向右（或向左）平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加（或减去）一个整数a，相
应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移a个单位长度．（即：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，
上移加，下移减．）
28．坐标与图形变化-旋转
（1）关于原点对称的点的坐标
P（x，y） P（﹣x，﹣y）
（2）旋转图形⇒的坐标
图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特
殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°．
29．相似三角形的判定与性质
（1）相似三角形是相似多边形的特殊情形，它沿袭相似多边形的定义，从对应边的比相等和对应角相等
两方面下定义；反过来，两个三角形相似也有对应角相等，对应边的比相等．
（2）三角形相似的判定一直是中考考查的热点之一，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有
的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行
线构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合；或作辅助线构造相似三角形，判定三角形
相似的方法有时可单独使用，有时需要综合运用，无论是单独使用还是综合运用，都要具备应有的条件
方可．
30．解直角三角形的应用
（1）通过解直角三角形能解决实际问题中的很多有关测量问．
如：测不易直接测量的物体的高度、测河宽等，关键在于构造出直角三角形，通过测量角的度数和测量
边的长度，计算出所要求的物体的高度或长度．
（2）解直角三角形的一般过程是：
①将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题）．
②根据题目已知特点选用适当锐角三角函数或边角关系去解直角三角形，得到数学问题的答案，再转化
得到实际问题的答案．
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