文档内容
2026年中考数学常考考点专题之投影与视图
一．选择题（共12小题）
1．（2025•琼中县一模）如图是由5个相同的小正方体组成的几何体，它的主视图是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2025•琅琊区三模）一个几何体的三视图如图所示，那么这个几何体是（ ）
A． B． C． D．
3．（2025•海南模拟）如图是由5个大小相同的小正方体摆成的立体图形，它的主视图是（ ）
A．
第1页（共36页）B．
C．
D．
4．（2025•聊城三模）古代中国诸多技艺均领先世界．榫卯结构就是其中之一，榫卯是在两个木构件上所
采用的一种凹凸结合的连接方式．凸出部分叫榫（或榫头），凹进部分叫卯（或榫眼、榫槽），榫和
卯咬合，起到连接作用，如图是某个部件“榫”的实物图，它的俯视图是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2025•潮南区校级一模）如图，它是由5个完全相同的小正方体搭建的几何体，俯视图是（ ）
第2页（共36页）A． B． C． D．
6．（2025•平舆县三模）某几何体的俯视图如图所示，则该几何体可能为（ ）
A． B．
C． D．
7．（2025•安庆三模）一个长方体挖去一个几何体后的三视图如图所示，则挖去的几何体为（ ）
A．圆柱 B．圆锥 C．球体 D．三棱锥
8．（2025•五河县三模）如图所示的组合几何体的三视图是（ ）
第3页（共36页）A．
B．
C．
D．
9．（2025•贵池区校级三模）如图，下面是由六个同样大小的正方体搭建的几何体，那么它的左视图为（
）
第4页（共36页）A． B．
C． D．
10．（2025•绵竹市模拟）如图是某几何体的三视图，该几何体是（ ）
A． B．
C． D．
11．（2025•蜀山区模拟）“月壤砖”是未来可能用于月球盖房子的建筑材料，采用一种真空烧结的方式，
对模拟月壤进行烧结成型，由我国科学家自主研制．它采用的是榫卯结构的连接方式．如图所示是其
中一种“月壤砖”，该“月壤砖”卯结构的左视图是（ ）
A． B．
第5页（共36页）C． D．
12．（2025•安庆模拟）如图是一个长方体切去一部分后得到的几何体，切点 A，B是原长方体棱的中点，
其主视图为（ ）
A． B．
C． D．
二．填空题（共8小题）
13．（2025•康县一模）由若干个完全相同的小立方块搭成的几何体的主视图和左视图如图所示，则搭成
该几何体所用的小立方块的个数最多是 ．
14．（2024•镜湖区校级三模）某款扫地机器人的俯视图是一个等宽曲边三角形 ABC（分别以正△ABC的
三个顶点A，B，C为圆心，AB长为半径画弧得到的图形）．若已知 AB＝6，则曲边^AB的长为
．
15．（2024•芦淞区模拟）我国古代数学名著《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为
“堑堵”．堑堵的实物图与左视图如图所示，根据图中的数据可得该“堑堵”的高h为 ．
第6页（共36页）16．（2024•银川一模）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 ．
17．（2024•西吉县一模）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的侧面积为 ．
18．（2024•南昌一模）日晷仪也称日晷，是我国古代较为普遍使用的计时仪器，内圈被分为十二个全等
的图形，分别标示着“十二地支”（子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥），如图所
示．通过测量得到晷面内圈的半径OA为18cm．若晷针投影的长度不变，且都在晷面的内圈上，则晷
针投影在晷面上从“巳”时开始到“申”时结束（从 OA旋转到OB）划过的图形面积（图中阴影部
分）是 cm2．
第7页（共36页）19．（2023•金溪县模拟）已知某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为等边三角形，则该几何体的左
视图的面积为 ．
20．（2023•官渡区二模）六边形象征六合、六顺之意，比如首饰盒、古建筑的窗户，古井口、佛塔等等．
化学上一些分子结构、物理学上的螺母，也采用六边形．从工程角度来看，正六边形是最稳定和对称
的．如图，正六边形 ABCDEF 内接于 O，若正六边形的边长为 6，则劣弧 CE 的长为
（结果保留 ）． ⊙
π
三．解答题（共5小题）
21．（2023•萧县一模）如图是一个几何体的三视图，其中俯视图为正三角形．
（1）这个几何体的名称为 ；
（2）求该几何体的左视图中a的值．
22．（2025•二道区校级四模）如图为某区域的俯视图，正方形代表建筑，空白部分代表道路，小明从 A
路口出发，完全随机的在“北”（图中的上）、“南”（图中的下）、“西”（图中的左）、“东”
第8页（共36页）（图中的右）四个方向中选择一个并移动，到达其他路口后，在不折返的前提下，在其他三个方向中
完全随机的选择一个并移动．求小明从A路口出发后（不算A路口）经过的第二个路口为C路口的概
率．
23．（2025•连城县模拟）综合与实践
问题情境 学校准备在一面高2m、宽4m的墙上建一扇拱形门，这面墙的
主视图为矩形ABCD，如图1．老师让同学们帮忙设计，要求
既美观大方，又尽可能地容易通过．
方案设计 A小组设计的是半圆形拱门，如图2，以AB为直径的半圆O与
矩形ABCD三边都相切．
B小组设计的是抛物线形拱门，如图3，抛物线的顶点P在墙
的上沿CD的中点处，且抛物线过点A和点B．
提出问题 A，B两小组设计的拱门哪个“通过性”更好呢？
分析问题 老师建议同学们分别计算它们的“内接正方形”（正方形的两个顶点在线段AB上，两个顶
点在半圆或抛物线上）面积的大小，通过比较两种设计方案的“内接正方形”的面积，判
断它们的“通过性”．
解决问题 请你先分别画出两种方案的“内接正方形”的示意图，然后分别计算它们的面积，并利用
计算结果说明哪个方案的拱门“通过性”更好．（√2≈1.414）
24．（2025•永寿县校级模拟）春夏之交，正适合去山野间漫游，蓝天白云下，青山绿水间，择一处草地，
支一顶帐篷，邀亲朋好友，闻清风，话家常，好不惬意．一款帐篷的支架简单，携带方便，适合一般
的休闲旅行使用，它的形状可近似看作抛物线，该款帐篷在搭建时，张开的宽度和顶部高度会影响容
纳的椅子数量，如图①是该款帐篷搭建完成的平面示意图，其张开的宽度 AB＝2m，顶部高度MN＝
1.2m，现以点A为坐标原点，AB所在直线为x轴，过点A且平行于MN的直线为y轴建立平面直角坐
标系．
（1）求该帐篷支架对应的抛物线的表达式；
（2）如图②为一把椅子摆入该帐篷后的简易视图，椅子高度EC＝0.9m，宽度CD＝0.3m，若在该帐
第9页（共36页）篷内沿AB方向摆放一排此款椅子，则最多可摆放多少把椅子？
25．（2025•南京模拟）【综合与实践】南京文化纪念品的包装优化
南京作为历史文化名城，有众多特色文化纪念品．某纪念品生产厂家在20周年厂庆前，为其经典的
“南京云锦”主题纪念品设计了长方体包装盒．但在实际生产与使用中发现，装入纪念品后包装盒边
角空余空间较多，造成了包装材料的浪费，于是决定开展节省材料的探究活动．
任务1 平面图形的探究
南京的传统建筑中常常能看到矩形的窗户等元素．对于面积固定的矩形，我们来探究其周长的变化规
律．已知秦淮河畔某古建筑修复时用到的一种矩形装饰砖面积为 36平方分米，通过列举不同长和宽的
情况，得到以下表格：
长（分米） 36 18 12 9 6
宽（分米） 1 2 3 4 5
周长（分米） 74 40 30 26 24
根据表格，可猜测：矩形的面积一定时， 时周长最小．
为了证明上述猜测，小宁同学假设矩形面积为n2（n＞0），设两邻边长分别为n﹣s和n+t（s，t均为
st
非负数），则（n﹣s）（n+t）＝n2，经化简可得t-s= ，请表示出周长并补全后续的证明过程．
n
任务2 立体图形的包装改进
厂家之前设计的长方体包装盒尺寸为：长10厘米、宽8厘米、高6厘米，该包装盒用于包装以南京明
城墙为原型的小型纪念品．现打算在保持底面积不变的前提下，将包装盒形状改为底面半径为 4厘米
的圆柱体，高保持不变，从节省材料（即表面积最小）的角度来看，你觉得这样的改进合理吗？请判
断并说明理由．（取3.14，结果精确到0.1平方厘米）
第10页（共36页）2026年中考数学常考考点专题之投影与视图
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 A C C C A D B A C C B
题号 12
答案 D
一．选择题（共12小题）
1．（2025•琼中县一模）如图是由5个相同的小正方体组成的几何体，它的主视图是（ ）
A． B．
C． D．
【考点】简单组合体的三视图．
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【专题】投影与视图；空间观念．
【答案】A
【分析】从正面看，从左往右3列正方形的个数依次为2，1，1，且第一层左侧有1个正方形，第二层
有3个正方形，由此即可得出该几何体的主视图．
【解答】解：几何体的主视图是 ．
故选：A．
【点评】本题考查了简单组何体的三视图，掌握几何体的空间结构是关键．
2．（2025•琅琊区三模）一个几何体的三视图如图所示，那么这个几何体是（ ）
第11页（共36页）A． B． C． D．
【考点】由三视图判断几何体．
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【专题】投影与视图．
【答案】C
【分析】由正视图和左视图可确定此几何体为柱体，锥体还是球体，再由俯视图可得具体形状．
【解答】解：由正视图和左视图可确定此几何体为柱体，由俯视图是三角形可得此几何体为三棱柱．
故选：C．
【点评】本题由物体的三种视图推出原来几何体的形状，考查了学生的思考能力和对几何体三种视图
的空间想象能力和综合能力．
3．（2025•海南模拟）如图是由5个大小相同的小正方体摆成的立体图形，它的主视图是（ ）
A．
B．
C．
第12页（共36页）D．
【考点】简单组合体的三视图．
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【专题】投影与视图；空间观念．
【答案】C
【分析】根据主视图是从正面看到的图形分析即可．
【解答】解：该立体图形的主视图是上下两层，上层 1个正方形，下层3个正方形，上层正方形在最
右边．
故选：C．
【点评】本题考查了几何体的三视图，掌握几何体的空间结构是关键．
4．（2025•聊城三模）古代中国诸多技艺均领先世界．榫卯结构就是其中之一，榫卯是在两个木构件上所
采用的一种凹凸结合的连接方式．凸出部分叫榫（或榫头），凹进部分叫卯（或榫眼、榫槽），榫和
卯咬合，起到连接作用，如图是某个部件“榫”的实物图，它的俯视图是（ ）
A． B．
C． D．
【考点】简单组合体的三视图．
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【专题】投影与视图；几何直观．
【答案】C
【分析】根据俯视图的意义，判断解答即可．
【解答】解：部件“榫”的实物图的俯视图是：
第13页（共36页）．
故选：C．
【点评】本题考查了三视图的意义，熟练掌握俯视图的意义是解题的关键．
5．（2025•潮南区校级一模）如图，它是由5个完全相同的小正方体搭建的几何体，俯视图是（ ）
A． B． C． D．
【考点】简单组合体的三视图．
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【专题】投影与视图；空间观念．
【答案】A
【分析】根据俯视图是从上面看到的图形，判定即可．
【解答】解：根据题意可知，几何体的俯视图为： ．
故选：A．
【点评】此题主要考查了简答几何体的三视图，掌握主视图，左视图，俯视图分别是从物体的正面，
左面，上面看得到的图形是关键．
6．（2025•平舆县三模）某几何体的俯视图如图所示，则该几何体可能为（ ）
第14页（共36页）A． B．
C． D．
【考点】由三视图判断几何体．
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【专题】投影与视图；空间观念．
【答案】D
【分析】由于俯视图是从物体的上面看得到的视图，所以先得出四个选项中各几何体的俯视图再与题
目图形进行比较即可．
【解答】解：A、俯视图是一个圆，不符合题意；
B、俯视图是一个圆，且有圆心，不符合题意；
C、俯视图是一个圆，故不符合题意；
D、俯视图是一个圆，且圆内有一个虚线圆，符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了由三视图判断几何体，掌握几何体的空间结构是关键．
7．（2025•安庆三模）一个长方体挖去一个几何体后的三视图如图所示，则挖去的几何体为（ ）
A．圆柱 B．圆锥 C．球体 D．三棱锥
【考点】由三视图判断几何体．
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【专题】投影与视图；运算能力．
【答案】B
【分析】根据三视图可得被挖去的几何体为圆锥，即可求解．
【解答】解：根据主视图是带有圆心的圆，左视图和俯视图都是三角形形，则被挖去的几何体为圆锥．
第15页（共36页）故选：B．
【点评】本题考查了由三视图判断几何体的知识，熟练掌握三视图的意义是解题的关键．
8．（2025•五河县三模）如图所示的组合几何体的三视图是（ ）
A．
B．
C．
D．
【考点】简单组合体的三视图．
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【专题】投影与视图；空间观念．
【答案】A
【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形；注意看到的用
实线表示，看不到的用虚线表示．
第16页（共36页）【解答】解：组合几何体的三视图为： ．
故选：A．
【点评】本题考查了简单组合体的三视图，掌握几何体的空间结构是关键．
9．（2025•贵池区校级三模）如图，下面是由六个同样大小的正方体搭建的几何体，那么它的左视图为（
）
A． B．
C． D．
【考点】简单组合体的三视图．
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【专题】平移、旋转与对称；空间观念．
【答案】C
【分析】根据从左边看到的平面图形进行解答即可．
【解答】解：左视图为： ．
故选：C．
【点评】此题考查了简单组合体的三视图，掌握几何体的空间结构是关键．
10．（2025•绵竹市模拟）如图是某几何体的三视图，该几何体是（ ）
第17页（共36页）A． B．
C． D．
【考点】由三视图判断几何体．
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【专题】投影与视图；几何直观．
【答案】C
【分析】本题考查了平移的定义，注意：平移是整体沿着某一方向移动．
【解答】解：主视图和左视图都是等腰三角形，那么此几何体为锥体，由俯视图为圆，可得此几何体
是圆锥．
故选：C．
【点评】本题考查了由三视图判断几何体，主视图和左视图的大致轮廓为三角形的几何体为锥体．
11．（2025•蜀山区模拟）“月壤砖”是未来可能用于月球盖房子的建筑材料，采用一种真空烧结的方式，
对模拟月壤进行烧结成型，由我国科学家自主研制．它采用的是榫卯结构的连接方式．如图所示是其
中一种“月壤砖”，该“月壤砖”卯结构的左视图是（ ）
A． B．
第18页（共36页）C． D．
【考点】简单组合体的三视图．
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【专题】投影与视图；空间观念．
【答案】B
【分析】根据左视图是从左边看得到的图形解答即可．
【解答】解：从左边看，是一个矩形，矩形中间有一条横向的虚线．
故选：B．
【点评】本题考查了简单组合体的三视图，左视图是从左边看得到的图形．
12．（2025•安庆模拟）如图是一个长方体切去一部分后得到的几何体，切点 A，B是原长方体棱的中点，
其主视图为（ ）
A． B．
C． D．
【考点】简单组合体的三视图；截一个几何体．
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【专题】投影与视图；运算能力．
【答案】D
【分析】注意，存在看不见的用虚线表示．从正面看，确定主视图即可．
【解答】解：存在看不见的用虚线表示．从正面看，确定主视图如下：几何体的主视图为：
故选：D．
【点评】本题考查三视图．熟练掌握三视图的确定方法是解题的关键．
二．填空题（共8小题）
第19页（共36页）13．（2025•康县一模）由若干个完全相同的小立方块搭成的几何体的主视图和左视图如图所示，则搭成
该几何体所用的小立方块的个数最多是 7 ．
【考点】由三视图判断几何体．
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【专题】投影与视图；几何直观．
【答案】7．
【分析】根据所给出的图形可知这个几何体共有2层，3列，先看第一层正方体可能的最多个数，再
看第二层正方体的可能的最多个数，相加即可．
【解答】解：根据主视图和左视图可得：
这个几何体有2层，3列，最底层最多有3×2＝6个正方体，第二层有1个正方体．
故答案为：7．
【点评】此题考查了有三视图判断几何体，关键是根据主视图和左视图确定组合几何体的层数及列数．
14．（2024•镜湖区校级三模）某款扫地机器人的俯视图是一个等宽曲边三角形 ABC（分别以正△ABC的
三个顶点A，B，C为圆心，AB长为半径画弧得到的图形）．若已知AB＝6，则曲边^AB的长为 2
． π
【考点】由三视图判断几何体；弧长的计算；简单几何体的三视图．
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【专题】与圆有关的计算；运算能力．
【答案】2 ．
【分析】根π据弧长公式计算即可．
60π×6
【解答】解：曲边^AB的长为： = 2 ．
180
π
故答案为：2 ．
【点评】本题π考查了等边三角形的性质和弧长公式，注意：①等边三角形的三条边都相等，等边三角
nπr
形的每个角都等于60°，②一条弧所对的圆心角是n°，半径为r，那么这条弧的长度是 ．
180
15．（2024•芦淞区模拟）我国古代数学名著《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为
第20页（共36页）“堑堵”．堑堵的实物图与左视图如图所示，根据图中的数据可得该“堑堵”的高h为 4 ．
【考点】由三视图判断几何体；勾股定理的应用．
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【专题】投影与视图；空间观念．
【答案】4．
【分析】根据“堑堵”的左视图是直角三角形，再根据30°角所对的直角边等于斜边的一半可得答案．
【解答】解：∵该“堑堵”的左视图是直角三角形，
1
∴该“堑堵”的高h= ×8=4．
2
故答案为：4．
【点评】本题考查了简单组合体的三视图，注意主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和
上面看，所得到的图形．
16．（2024•银川一模）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 3√2 ．
【考点】由三视图判断几何体．
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【专题】投影与视图；几何直观；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】判断几何体的形状，利用三视图的数据求解几何体的体积即可．
【解答】解：根据三视图可知几何体是一个高为3，底面为底边长为2，高为√2的三角形的三棱柱，
1
∴几何体的体积是 ×2×√2×3＝3√2．
2
故答案为：3√2．
第21页（共36页）【点评】本题考查由三视图判断几何体，求解几何体的体积，判断几何体的形状是解题的关键，是基
础题．
17．（2024•西吉县一模）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的侧面积为 1 2 ．
π
【考点】由三视图判断几何体；几何体的表面积．
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【专题】投影与视图；几何直观；运算能力．
【答案】12 ．
【分析】由π几何体的主视图和左视图都是等腰三角形，俯视图是圆，可以判断这个几何体是圆锥，再
利用圆锥侧面积公式求出即可．
【解答】解：由三视图得这个几何体为圆锥，圆锥的母线长为6，底面圆的直径为4，
1
所以这个几何体的侧面积= × ×4×6＝12 ．
2
π π
故答案为：12 ．
【点评】本题π考查了由三视图判断几何体，圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧
长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．也考查了三视图．
18．（2024•南昌一模）日晷仪也称日晷，是我国古代较为普遍使用的计时仪器，内圈被分为十二个全等
的图形，分别标示着“十二地支”（子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥），如图所
示．通过测量得到晷面内圈的半径OA为18cm．若晷针投影的长度不变，且都在晷面的内圈上，则晷
针投影在晷面上从“巳”时开始到“申”时结束（从 OA旋转到OB）划过的图形面积（图中阴影部
分）是 10 8 cm2．
π
第22页（共36页）【考点】平行投影；全等图形．
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【专题】与圆有关的计算；运算能力；推理能力．
【答案】108 ．
【分析】首先π根据题意得到∠AOB的度数，然后利用扇形的面积公式即可求解．
360°
【解答】解：依题意所求图形的面积是一个扇形，扇形的圆心角∠AOB= ×4＝120°，半径OA为
12
18cm，
120π×182
∴划过的图形面积（图中阴影部分）= =108 ．
360
π
故答案为：108 ．
【点评】此题主π要考查了扇形面积的计算，解题的关键是读懂题意找出数量关系．
19．（2023•金溪县模拟）已知某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为等边三角形，则该几何体的左
视图的面积为 3√3 cm 2 ．
【考点】由三视图判断几何体；简单组合体的三视图．
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【专题】投影与视图．
【答案】见试题解答内容
【分析】由三视图想象几何体的形状，首先，应分别根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、
上面和左侧面的形状，然后综合起来考虑整体形状．
【解答】解：该几何体是一个三棱柱，底面等边三角形边长为2cm，底面三角形的高为√3cm，三棱柱
的高为3cm，所以，其左视图为长方形，长为3cm，宽为√3cm，面积为3×√3=3√3（cm2），
故答案为3√3cm2．
【点评】本题考查了三视图，三视图是中考经常考查的知识内容，难度不大，但要求对三视图画法规
则要熟练掌握，对常见几何体的三视图要熟悉．
第23页（共36页）20．（2023•官渡区二模）六边形象征六合、六顺之意，比如首饰盒、古建筑的窗户，古井口、佛塔等等．
化学上一些分子结构、物理学上的螺母，也采用六边形．从工程角度来看，正六边形是最稳定和对称
的．如图，正六边形ABCDEF内接于 O，若正六边形的边长为6，则劣弧CE的长为 4 （结果
保留 ）． ⊙ π
π
【考点】简单组合体的三视图；正多边形和圆；弧长的计算．
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【专题】正多边形与圆；与圆有关的计算；运算能力．
【答案】4 ．
【分析】根π据圆内接正六边形的性质求出劣弧CE所对应的圆心角度数以及半径，由弧长公式进行计
算即可．
【解答】解：如图，连接OC、OD、OE，
∵正六边形ABCDEF内接于 O，
360° ⊙
∴∠COD＝∠DOE= =60°，
6
∴△OCD是正三角形，
∴OC＝OD＝CD＝6，
120π×6
∴劣弧CE的长为： =4 ，
180
π
故答案为：4 ．
π
【点评】本题考查正多边形和圆，弧长的计算，掌握圆内接正六边形的性质以及弧长的计算公式是正
确解答的前提．
三．解答题（共5小题）
第24页（共36页）21．（2023•萧县一模）如图是一个几何体的三视图，其中俯视图为正三角形．
（1）这个几何体的名称为 正三棱柱 ；
（2）求该几何体的左视图中a的值．
【考点】由三视图判断几何体．
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【专题】投影与视图；空间观念；运算能力．
【答案】（1）正三棱柱；
（2）3√3．
【分析】（1）根据正三棱柱的特征即可求解；
（2）根据三视图的定义以及正三角形的性质进行计算即可．
【解答】解：（1）这个几何体的名称为正三棱柱．
故答案为：正三棱柱；
（2）如图，由图形中所标识的数据可知，
在俯视图中，AB＝6，△ABC是正三角形，过点C作CM⊥AB于M，
1
∴AM＝BM= AB＝3，
2
∴CM=√3AM＝3√3，
故左视图中的a的值为3√3．
【点评】本题考查了由三视图判断几何体，简单几何体的三视图，理解视图的定义，掌握简单几何体
三视图的形状以及正三角形的性质是解决问题的前提．
22．（2025•二道区校级四模）如图为某区域的俯视图，正方形代表建筑，空白部分代表道路，小明从 A
路口出发，完全随机的在“北”（图中的上）、“南”（图中的下）、“西”（图中的左）、“东”
（图中的右）四个方向中选择一个并移动，到达其他路口后，在不折返的前提下，在其他三个方向中
完全随机的选择一个并移动．求小明从A路口出发后（不算A路口）经过的第二个路口为C路口的概
率．
第25页（共36页）【考点】由三视图判断几何体；列表法与树状图法．
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【专题】计算题；几何直观．
1
【答案】 ．
5
【分析】通过分析小明从 A 路口出发的所有可能路径，找出经过的第二个路口为 C 路口的情况，再
根据概率的定义计算概率．
【解答】解：小明从 A 路口出发，有 4 个方向可以选择，即北、南、西、东．分别分析第一次移动
到不同方向后第二次移动到 C 路口的情况，
若第一次向北移动：到达新路口后，此时在不折返的前提下，有3个方向可以选择，其中有一种情况
可以到达C路口．
若第一次向南移动：到达新路口后，在不折返的前提下，有2个方向可以选择，但没有情况可以到达
C路口．
若第一次向西移动：到达新路口后，在不折返的前提下，有2个方向可以选择，但没有情况可以到达
C路口．
若第一次向东移动：到达新路口后，在不折返的前提下，有 3 个方向可以选择，其中有一种情况可以
到达C路口．
从 A 路口出发第一次有 4 种选择，每种选择后第二次又有 3 种选择，所以总路径数为 3+2+2+3＝
10 种．而经过 C 路口的路径有2种情况，
2 1
故经过第二个路口为C的概率为 = ．
10 5
【点评】本题结合路线问题，考查概率基础知识，正确找出符合条件的路线是解题的关键．
23．（2025•连城县模拟）综合与实践
问题情境 学校准备在一面高2m、宽4m的墙上建一扇拱形门，这面墙的
主视图为矩形ABCD，如图1．老师让同学们帮忙设计，要求
既美观大方，又尽可能地容易通过．
第26页（共36页）方案设计 A小组设计的是半圆形拱门，如图2，以AB为直径的半圆O与
矩形ABCD三边都相切．
B小组设计的是抛物线形拱门，如图3，抛物线的顶点P在墙
的上沿CD的中点处，且抛物线过点A和点B．
提出问题 A，B两小组设计的拱门哪个“通过性”更好呢？
分析问题 老师建议同学们分别计算它们的“内接正方形”（正方形的两个顶点在线段AB上，两个顶
点在半圆或抛物线上）面积的大小，通过比较两种设计方案的“内接正方形”的面积，判
断它们的“通过性”．
解决问题 请你先分别画出两种方案的“内接正方形”的示意图，然后分别计算它们的面积，并利用
计算结果说明哪个方案的拱门“通过性”更好．（√2≈1.414）
【考点】由三视图判断几何体；二次函数的应用；切线的性质；简单几何体的三视图．
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【专题】二次函数图象及其性质；二次函数的应用；矩形 菱形 正方形；解直角三角形及其应用；运
算能力；推理能力．
【答案】图2中正方形的“通过性”较大．
【分析】根据正方形的性质以及勾股定理求出图 2中正方形的边长，在图3中建立直角坐标系，求出
抛物线的关系式，再根据抛物线的对称性、正方形的性质以及二次函数图象上点的坐标特征求出正方
形的边长，比较图2、图3中正方形的边长的大小即可．
1 1
【解答】解：如图2，由对称性可知，OM＝ON= PM，OA＝OB= AB＝2，
2 2
设OM＝x m，则PM＝2x m，
在Rt△POM中，由勾股定理得，
OM2+PM2＝OP2，
即x2+（2x）2＝22，
2√5
解得x= （取正值），
5
4√5
∴正方形的边长为MN＝2OM= ≈1.8（m），
5
如图3，建立如图所示坐标系，则点A（﹣2，0），点B（2，0），顶点P（0，2），
设抛物线的关系式为y＝ax2+bx+c，由题意得，
第27页（共36页）{4a+2b+c=0
4a-2b+c=0，
c=2
1
{ a=-
2
解得 ，
b=0
c=2
1
∴抛物线的关系式为y=- x2+2，
2
1
设ON＝k，则QN=- k2+2＝2k，
2
解得k=2√2-2（取正值），
∴正方形的边长为4√2-4≈1.7（m），
∴图2中正方形的“通过性”较大．
【点评】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，正方形的性质以及简单几何体的三视图，掌握二次
函数图象上点的坐标特征，正方形的性质以及简单几何体的三视图的画法是正确解答的关键．
24．（2025•永寿县校级模拟）春夏之交，正适合去山野间漫游，蓝天白云下，青山绿水间，择一处草地，
支一顶帐篷，邀亲朋好友，闻清风，话家常，好不惬意．一款帐篷的支架简单，携带方便，适合一般
的休闲旅行使用，它的形状可近似看作抛物线，该款帐篷在搭建时，张开的宽度和顶部高度会影响容
纳的椅子数量，如图①是该款帐篷搭建完成的平面示意图，其张开的宽度 AB＝2m，顶部高度MN＝
1.2m，现以点A为坐标原点，AB所在直线为x轴，过点A且平行于MN的直线为y轴建立平面直角坐
标系．
（1）求该帐篷支架对应的抛物线的表达式；
第28页（共36页）（2）如图②为一把椅子摆入该帐篷后的简易视图，椅子高度EC＝0.9m，宽度CD＝0.3m，若在该帐
篷内沿AB方向摆放一排此款椅子，则最多可摆放多少把椅子？
【考点】由三视图判断几何体；二次函数的应用．
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【专题】二次函数的应用；运算能力．
【答案】（1）y＝﹣1.2x2+2.4x；
（2）3．
【分析】（1）根据题意得出点A（0，0），点B（2，0），顶点M（1，1.2），再利用待定系数法求
出抛物线的关系式即可；
（2）求出当y＝0.9时对应的两个x的值，再根据两个x之间的距离以及椅子的宽度和高度进行计算即
可．
【解答】解：（1）由题意可知，点A（0，0），点B（2，0），顶点M（1，1.2），
设抛物线的表达式为y＝ax2+bx+c，则，
{
c=0
4a+2b+c=0，
a+b+c=1.2
{a=-1.2
解得 b=2.4 ，
c=0
∴该帐篷支架对应的抛物线的表达式y＝﹣1.2x2+2.4x；
（2）由题意得，
当y＝0.9时，即﹣1.2x2+2.4x＝0.9，
解得x＝0.5或x＝1.5，
又∵CD＝0.3m，1.5﹣0.5＝1m，而1÷0.3＝3……0.1，
∴在该帐篷内沿AB方向摆放一排此款椅子最多可摆放3把椅子．
【点评】本题考查二次函数的应用，掌握待定系数法求二次函数的关系式是正确解答的关键．
25．（2025•南京模拟）【综合与实践】南京文化纪念品的包装优化
南京作为历史文化名城，有众多特色文化纪念品．某纪念品生产厂家在20周年厂庆前，为其经典的
第29页（共36页）“南京云锦”主题纪念品设计了长方体包装盒．但在实际生产与使用中发现，装入纪念品后包装盒边
角空余空间较多，造成了包装材料的浪费，于是决定开展节省材料的探究活动．
任务1 平面图形的探究
南京的传统建筑中常常能看到矩形的窗户等元素．对于面积固定的矩形，我们来探究其周长的变化规
律．已知秦淮河畔某古建筑修复时用到的一种矩形装饰砖面积为 36平方分米，通过列举不同长和宽的
情况，得到以下表格：
长（分米） 36 18 12 9 6
宽（分米） 1 2 3 4 5
周长（分米） 74 40 30 26 24
根据表格，可猜测：矩形的面积一定时， 长和宽相等 时周长最小．
为了证明上述猜测，小宁同学假设矩形面积为n2（n＞0），设两邻边长分别为n﹣s和n+t（s，t均为
st
非负数），则（n﹣s）（n+t）＝n2，经化简可得t-s= ，请表示出周长并补全后续的证明过程．
n
任务2 立体图形的包装改进
厂家之前设计的长方体包装盒尺寸为：长10厘米、宽8厘米、高6厘米，该包装盒用于包装以南京明
城墙为原型的小型纪念品．现打算在保持底面积不变的前提下，将包装盒形状改为底面半径为 4厘米
的圆柱体，高保持不变，从节省材料（即表面积最小）的角度来看，你觉得这样的改进合理吗？请判
断并说明理由．（取3.14，结果精确到0.1平方厘米）
【考点】简单组合体的三视图；近似数和有效数字；多项式乘多项式；几何体的表面积；三角形三边
关系；圆柱的计算．
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【专题】整式；与圆有关的计算；投影与视图；运算能力．
2st
【答案】任务1：长和宽相等；4n+ ，证明见解析；
n
任务2：这样的改进合理，理由见解析．
2st
【分析】任务1：根据矩形周长计算公式可得矩形的周长为4n+2(t-s)=4n+ ，则当s＝t＝0时，
n
矩形的周长有最小值，即矩形的面积一定时，矩形的长和宽相等时周长最小；
任务2：分别计算长方体和圆柱的表面积，比较即可得到结论．
【解答】解：任务1：由条件可知矩形的周长为2（n﹣s+n+t）＝4n+2（t﹣s），
st
∵t-s= ，
n
第30页（共36页）2st
∴矩形的周长为4n+ ，
n
∵n为定值，
∴当st有最小值时，矩形的周长有最小值，
∴当s＝t＝0时，矩形的周长有最小值，
∴矩形的面积一定时，矩形的长和宽相等时周长最小；
（2）合理，理由如下：
长方体的表面积为2×（10×8+10×6+8×6）＝376平方厘米，
圆柱的表面积为2×3.14×4×4+2×3.14×4×6＝251.2平方厘米，
∴这样的改进合理．
【点评】本题主要考查了多项式乘法在几何图形中的应用，圆柱和长方体的表面积计算，正确理解题
意是解题的关键．
第31页（共36页）考点卡片
1．近似数和有效数字
（1）有效数字：从一个数的左边第一个不是0的数字起到末位数字止，所有的数字都是这个数的有效数
字．
（2）近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示．一般有，精确到哪一位，保留几个有效数字等说
法．
（3）规律方法总结：
“精确到第几位”和“有几个有效数字”是精确度的两种常用的表示形式，它们实际意义是不一样的，
前者可以体现出误差值绝对数的大小，而后者往往可以比较几个近似数中哪个相对更精确一些．
2．多项式乘多项式
（1）多项式与多项式相乘的法则：
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加．
（2）运用法则时应注意以下两点：
①相乘时，按一定的顺序进行，必须做到不重不漏；②多项式与多项式相乘，仍得多项式，在合并同类
项之前，积的项数应等于原多项式的项数之积．
3．二次函数的应用
（1）利用二次函数解决利润问题
在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题．解此类题的关键是通过题意，确定出二
次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函
数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围．
（2）几何图形中的最值问题
几何图形中的二次函数问题常见的有：几何图形中面积的最值，用料的最佳方案以及动态几何中的最值
的讨论．
（3）构建二次函数模型解决实际问题
利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实
到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问
题．
4．几何体的表面积
（1）几何体的表面积＝侧面积+底面积（上、下底的面积和）
（2）常见的几种几何体的表面积的计算公式
第32页（共36页）①圆柱体表面积：2 R2+2 Rh （R为圆柱体上下底圆半径，h为圆柱体高）
π
nππ(r2+h2
)
②圆锥体表面积： r2+ （r为圆锥体底面圆半径，h为其高，n为圆锥侧面展开图中扇形的圆
360
π
心角）
③长方体表面积：2（ab+ah+bh） （a为长方体的长，b为长方体的宽，h为长方体的高）
④正方体表面积：6a2（a为正方体棱长）
5．截一个几何体
（1）截面：用一个平面去截一个几何体，截出的面叫做截面．
（2）截面的形状随截法的不同而改变，一般为多边形或圆，也可能是不规则图形，一般的截面与几何体
的几个面相交就得到几条交线，截面就是几边形，因此，若一个几何体有几个面，则截面最多为几边形．
6．三角形三边关系
（1）三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边．
（2）在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短
的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．
（3）三角形的两边差小于第三边．
（4）在涉及三角形的边长或周长的计算时，注意最后要用三边关系去检验，这是一个隐藏的定时炸弹，
容易忽略．
7．全等图形
（1）全等形的概念
能够完全重合的两个图形叫做全等形．
（2）全等三角形
能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形．
（3）三角形全等的符号
“全等”用符号“≌”表示．注意：在记两个三角形全等时，通常把对应顶点写在对应位置上．
（4）对应顶点、对应边、对应角
把两个全等三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点；重合的边叫做对应边；重合的角叫做对应角．
8．勾股定理的应用
（1）在不规则的几何图形中，通常添加辅助线得到直角三角形．
（2）在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中
抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．
（3）常见的类型：①勾股定理在几何中的应用：利用勾股定理求几何图形的面积和有关线段的长度．
②由勾股定理演变的结论：分别以一个直角三角形的三边为边长向外作正多边形，以斜边为边长的多边
第33页（共36页）形的面积等于以直角边为边长的多边形的面积和．
③勾股定理在实际问题中的应用：运用勾股定理的数学模型解决现实世界的实际问题．
④勾股定理在数轴上表示无理数的应用：利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正整数的直角
三角形的斜边．
9．切线的性质
（1）切线的性质
①圆的切线垂直于经过切点的半径．
②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．
③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．
（2）切线的性质可总结如下：
如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个，那么它一定满足第三个条件，这三个条件是：①直线过
圆心；②直线过切点；③直线与圆的切线垂直．
（3）切线性质的运用
运用切线的性质进行计算或证明时，常常作的辅助线是连接圆心和切点，通过构造直角三角形或相似三
角形解决问题．
10．正多边形和圆
（1）正多边形与圆的关系
把一个圆分成n（n是大于2的自然数）等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边
形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆．
（2）正多边形的有关概念
①中心：正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心．
②正多边形的半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径．
③中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角．
④边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．
11．弧长的计算
（1）圆周长公式：C＝2 R
nπRπ
（2）弧长公式：l= （弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R）
180
①在弧长的计算公式中，n是表示1°的圆心角的倍数，n和180都不要带单位．
②若圆心角的单位不全是度，则需要先化为度后再计算弧长．
③题设未标明精确度的，可以将弧长用 表示．
④正确区分弧、弧的度数、弧长三个概念π ，度数相等的弧，弧长不一定相等，弧长相等的弧不一定是等
第34页（共36页）弧，只有在同圆或等圆中，才有等弧的概念，才是三者的统一．
12．圆柱的计算
（1）圆柱的母线（高）等于展开后所得矩形的宽，圆柱的底面周长等于矩形的长．
（2）圆柱的侧面积＝底面圆的周长×高
（3）圆柱的表面积＝上下底面面积+侧面积
（4）圆柱的体积＝底面积×高．
13．简单几何体的三视图
（1）画物体的主视图的口诀为：主、俯：长对正；主、左：高平齐；俯、左：宽相等．
（2）常见的几何体的三视图：
圆柱的三视图：
14．简单组合体的三视图
（1）画简单组合体的三视图要循序渐进，通过仔细观察和想象，再画它的三视图．
（2）视图中每一个闭合的线框都表示物体上的一个平面，而相连的两个闭合线框常不在一个平面上．
（3）画物体的三视图的口诀为：
主、俯：长对正；
主、左：高平齐；
俯、左：宽相等．
15．由三视图判断几何体
（1）由三视图想象几何体的形状，首先，应分别根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面
第35页（共36页）和左侧面的形状，然后综合起来考虑整体形状．
（2）由物体的三视图想象几何体的形状是有一定难度的，可以从以下途径进行分析：
①根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状，以及几何体的长、宽、高；
②从实线和虚线想象几何体看得见部分和看不见部分的轮廓线；
③熟记一些简单的几何体的三视图对复杂几何体的想象会有帮助；
④利用由三视图画几何体与有几何体画三视图的互逆过程，反复练习，不断总结方法．
16．平行投影
（1）物体在光线的照射下，会在地面或墙壁上留下它的影子，这就是投影现象．一般地，用光线照射物
体，在某个平面（底面，墙壁等）上得到的影子叫做物体的投影，照射光线叫做投影线，投影所在的平
面叫做投影面．
（2）平行投影：由平行光线形成的投影是平行投影，如物体在太阳光的照射下形成的影子就是平行投影．
（3）平行投影中物体与投影面平行时的投影是全等的．
（4）判断投影是平行投影的方法是看光线是否是平行的．如果光线是平行的，所得到的投影就是平行投
影．
（5）正投影：在平行投影中，投影线垂直于投影面产生的投影叫做正投影．
17．列表法与树状图法
（1）当试验中存在两个元素且出现的所有可能的结果较多时，我们常用列表的方式，列出所有可能的结
果，再求出概率．
（2）列表的目的在于不重不漏地列举出所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目
m，求出概率．
（3）列举法（树形图法）求概率的关键在于列举出所有可能的结果，列表法是一种，但当一个事件涉及
三个或更多元素时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图．
（4）树形图列举法一般是选择一个元素再和其他元素分别组合，依次列出，象树的枝丫形式，最末端的
枝丫个数就是总的可能的结果n．
（5）当有两个元素时，可用树形图列举，也可以列表列举．
第36页（共36页）
