文档内容
班级： 座号： 姓名：
（在此卷上答题无效）
厦门一中 2023 级高一入学考试
数学试卷
本试卷共4页，满分150分
注意事项：
1.答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的班级、座号、姓名.考生要认真
核对答题卡上粘贴的条形码的“考号、姓名”与考生本人考号、姓名是否 一致.
2.回答选择题时，选出答案后用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮
擦干净后再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本卷上无效.
3.考试结束，考生只须将答题卡交回.
一、单项选择题：本大题10小题，每小题5分，共50分.每小题只有一个正确答案.
1. PM2.5是指大气中直径小于或等于0.0000025m的颗粒物，含有大量有毒、有害物质，也称可入肺颗粒
物.将0.0000025用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由科学记数法的概念表示出0.0000025即可.
【详解】 .
故选：D.
2. 已知 ，则下列关系一定正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.【答案】C
【解析】
【分析】取特值可判断ABD；作差法可判断C.
【详解】对于A，取 ， ，故A错误；
对于B，取 ，所以 ， ，故B错误；
对于C， ，故C正确；
对于D， ， ，故D错误.
故选：C.
3. 一辆汽车开往距出发地420km的目的地，若这辆汽车比原计划每小时多行10km，则提前1小时到达目
的地．设这辆汽车原计划的速度是 ，根据题意所列方程是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】设这辆汽车原计划的速度是 ，再表示出实际速度，利用时间列方程．
【详解】设这辆汽车原计划的速度是 ，则实际速度为 ，根据题意所列方程是
．
故选：A．
4. 今年是我国现行宪法公布施行40周年.为贯彻党的二十大精神，强化宪法意识，弘扬宪法精神，推动宪
法实施，某学校开展法律知识竞赛活动，全校一共100名学生参与其中，得分情况如下表.则分数的中位数
和众数分别是（ ）
分数（分） 60 70 80 90 100
人数 8 22 20 30 20A. 80，90 B. 90，100
C. 85，90 D. 90，90
【答案】C
【解析】
【分析】本题根据中位数和众数的概念进行解答即可.
【详解】把这些数据从小到大排列，最中间的两个数是第 两个数，
所以全班 名同学的成绩的中位数是 ，
出现了 次，出现次数最多，则众数为 .
所以分数的中位数和众数分别是 .
故选：C.
5. 如图，将矩形纸片 沿 折叠后，点 分别落在点 的位置， 的延长线交
于点 ，若 ，则 等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由题可得 ，进而可得 ，即得.
【详解】∵ ，
∴ ，∴ ，
由 ，可得 ，
∴ .
故选：A．
6. 如图，大矩形分割成五个小矩形，④号、⑤号均为正方形，其中⑤号正方形边长为1.若②号矩形的长与
宽的差为2，则知道哪个小矩形的周长，就一定能算出这个大矩形的面积（ ）
①
④
⑤
②
③
A. ①或③ B. ②或③ C. ①或④ D. 以上选项都可以
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意设②号小矩形的宽为 ，④号正方形的边长为 ，然后可表示出其他小矩形的长和宽，
即可得出答案.
【详解】设②号小矩形的宽为 ，④号正方形的边长为 ，则②号小矩形的长为 ，
因为⑤号正方形边长为1，所以①号小矩形的宽为 ，长为 ，
③号小矩形的宽为 ，长为 ，大矩形的长为 ，宽为 ，
所以①号小矩形的周长为 ，
③号小矩形的周长为 ，
大矩形的面积为 ，
所以要算出这个大矩形的面积只需要知道 的值即可，
所以知道①或③小矩形的周长，就一定能算出这个大矩形的面积.
故选：A.
7. 如图，平面直角坐标系中.直线 分别交x轴、y轴于点B、A，以AB为一边向右作等边 ，以AO为边向左作等边 ，连接DC交直线l于点E.则点E的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由题意求出C和D点坐标，求出直线CD的解析式，再与直线AB解析式联立方程组即可求出交
点E的坐标．
【详解】解：令直线 中 ，得到 ，故 ，
令直线 中 ，得到 ，故 ，
由勾股定理可知： ，
因为 ，且 ，
所以 ， ，
过C点作CH⊥x轴于H点，过D点作DF⊥x轴于F，如下图所示：
因为 为等边三角形，
所以 ，所以 ，所以 ，
所以 ，所以 ，
同理，因为 为等边三角形，
所以 ， ，所以 ，
所以 ，所以 ，
设直线CD的解析式为 ，代入 和 ，
得到： ，解得 ，
∴CD的解析式为： ，
与直线 联立方程组，
解得 ，故E点坐标为 ，
故选：A．
8. 构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要应用，例如在计算tan15°时，可构造如图的
Rt△ACB，∠C=90°.∠ABC=30°，延长CB使BD=AB，连接AD，得∠D=15°，所以 类
比这种方法，若已知锐角α的正弦值为 锐角β的余弦值为 则α+β=（ ）A. 22.5° B. C. 36° D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题根据题干提供数形结合方法，通过构造几何图形可得 为等腰直角三角形，从而求
得 的值为45°.
【详解】构造如图所示的三角形，
在 中， ，设 ，延长 至 使 ，
根据三角形外角的性质可知 ，设 ，
在 中，根据勾股定理得 , ，所以
，
故构造图形符合题意，
又 ，即 ，
在 中，根据勾股定理得 ，
所以 ，所以 ，所以 是等腰直角三角形，所以 .
故选：D.
9. 21982145917308330487013369的13次方根可以是（ ）
A. 99 B. 89 C. 87 D. 79
【答案】B
【解析】
【分析】由 ， 和 ，对其进行展开可判断ABD；由 的
个位数为 可判断C.
【详解】对于A， ，对其进行展开，
可知只有 才会影响到 的十位数和个位数，
，故A错误；
对于B， ，对其进行展开，
可知只有 才会影响到 的十位数和个位数，
，故B可能正确；
对于C，因为 的个位数为 ，故C错误；
对于D， ，对其进行展开，
可知只有 才会影响到 的十位数和个位数，
，故D错误；
故选：B.
10. 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，CD⊥AB于点D.点P从点A出发，沿A→D→C的路径
运动，运动到点C停止，过点P作PE⊥AC于点E，作PF⊥BC于点F.设点P运动的路程为x，四边形
CEPF的面积为y，则能反映y与x之间函数关系的图象是（ ）A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题利用等面积法及勾股定理求出 ，当 时，证明 ，结合三角
函数知识表示出 ，列出y与x的关系式，当 时，根据相似，结合三角函数知识表示出
，列出y与x的关系式，根据关系式判断图像即可.
【详解】因为 ，所以 ，
所以 ，
在 中， ，所以 .
①当 时，如图所示，因为 ，且 ，所以 ，
在 中， ，由三角函数知识可知，
， ，所以 ，
所以四边形CEPF的面积为 ，其图像为开口向下
的抛物线，对称轴为直线 ；
②当 时，如图所示，
易求 ，同理可得 ，
在 中，由三角函数知识可知， ，
所以 ，
所以四边形CEPF的面积为 ，
其图像为开口向上的抛物线，对称轴为直线 .故选：B.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.
11. 已知 ，且 ，则 ______
【答案】 或 .
【解析】
【分析】对已知式进行因式分解，即可得出答案.
【详解】因为 ，所以 ，
所以 或 ，所以 或 .
故答案为： 或 .
12. 如果不等式组 的解集是 ，那么 的取值范围是______.
【答案】
【解析】
【分析】先根据不等式组的解集初步判断 的取值范围，再检查端点值是否符合题意，即可求解．
【详解】原不等式组可化为 ，因为解集是 ， ，
当 时，则有 ，此时解集为 ，不符合题意，
.
故答案为：
13. 设a为整数，且方程 有两个正数根，且一根比1大，一根比1小，则a=______.
【答案】1
【解析】
【分析】根据韦达定理列出不等式，再结合a为整数，可求出a的值，再验证即可得出结果.【详解】因为 有两个正数根，所以 ，解得 ，
又因为a为整数，所以 或 ，
当 时， ，解得 ，所以 符合题意，
当a=2时， ，解得 ，所以a=2不符合题意.
综上得， .
故答案为：1.
14. 在折纸手工中，我们时常需要对一张方形纸的某条边进行若干等分，若被要求折成两份，则很容易做
到：但对于其他等分，例如五等分，则可以使用藤本近似折法进行操作，具体步骤如下：
（1）如图（1），在纸张大致 的位置折出痕迹，用E表示与五等分位置的误差；
（2）如图（2），将折痕右边的部分对折；
（3）如图（3），将第（2）步折出的折痕右侧的部分对折；
（4）如图（4），将第（3）步折出的折痕左侧的部分对折；
（5）如图（5），将第（4）步折出的折痕左侧的部分对折.
最后的折痕将更加接近真实的五等分点位置，上述步骤具有可循环操作的特点，再次操作将会使得折痕更
加精确.现已知小明有一条长度为70厘米的纸带，想要类比上述近似方法确定纸带上最左侧的七等分点，
他在第一步折叠时，选取的折叠位置距离左边12厘米.若要使得最终确定的位置与实际位置误差小于0.5毫
米，则最少需要进行______次折叠.（注：近似操作中每个步骤算作一次折叠）.【答案】7
【解析】
【分析】类比方法确定七等分的步骤，并明确每次对折都将误差变为原来的一半，即可利用等比数列通项
公式结合误差要求建立不等式求解.
【详解】类比五等分点的方法，七等分可以使用藤本近似折法进行操作，具体步骤如下：
（1）在纸带大致 的位置（左起）折出痕迹，用E表示与七等分位置的误差；
（2）将折痕右边的部分对折，则可得到纸带大致 的位置（左起）；
（3）将第（2）步折出的折痕左侧的部分对折，则可得到纸带大致 的位置（左起）；（4）将第（3）步折出的折痕左侧的部分对折，则可得到纸带大致 的位置（左起），
最后的折痕将更加接近真实的七等分点位置. 再次循环操作上述步骤中第 步，将会使得折痕更加精
确.
设纸带总长为 ，由题意选取的折叠位置距离左边12厘米，折痕在实际位置右侧，
第1次折痕后，设折痕左边长度为 ，
此时折痕即确定的最左侧七等分点，与实际位置误差为 ；
第2次折痕后，折痕左边长度为 ，即 ；
第3次折痕后，折痕左边长度为 ，即 ；
第4次折痕后，折痕左边长度为 ，即 ，
此时折痕即确定的最左侧七等分点，与实际位置误差为 ；
故步骤 每操作一遍误差变为原来的 ，
由题意可知 ， ，
由 ，且 ，的
故要使得最终确定 位置与实际位置误差小于0.5毫米，最少需要进行 次折叠.
故答案为： 7.
15. 如图，直线y＝ 3x+3与x轴交于点B，与y轴交于点A，以线段AB为边，在第一象限内作正方形
ABCD，点C落在双曲线y＝ (k≠0)上，将正方形ABCD沿x轴负方向平移a个单位长度，使点D恰好落
在双曲线y＝ (k≠0)上的点D 处，则a＝_____．
1
【答案】2
【解析】
【分析】由题意求出点 的坐标，过C作CE⊥x轴，交x轴于点E，过A作AF∥x轴，过D作DF垂直
于AF于F，然后利用三角形全等可求出点 的坐标，求出反比例函数的析式，再求出点D 的坐标，从
1
而可求出a的值
【详解】解：对于直线y＝﹣3x+3，
令x＝0，得到y＝3；令y＝0，得到x＝1，即A（0，3），B（1，0），
过C作CE⊥x轴，交x轴于点E，过A作AF∥x轴，过D作DF垂直于AF于F，如图所示，∵四边形ABCD为正方形，
∴AB＝BC，∠ABC＝90°，
∴∠OAB+∠ABO＝90°，∠ABO+∠EBC＝90°，
∴∠OAB＝∠EBC，
在△AOB和△BEC中，
，
∴△AOB≌△BEC（AAS），
∴BE＝AO＝3，CE＝OB＝1，
∴C（4，1），
把C坐标代入反比例解析式得：k＝4，即 ，
同理得到△DFA≌△BOA，
∴DF＝BO＝1，AF＝AO＝3，
∴D（3，4），
把y＝4代入反比例解析式得：x＝1，即D（1，4），
1
则将正方形ABCD沿x轴负方向平移2个单位长度，使点D恰好落在双曲线y＝ (k≠0)上的点D 处，即a
1
＝2，
故答案为：2．
16. 已知 中，点 ， ， .则 的面积为________.【答案】10
【解析】
【分析】由两点式的直线BC的方程，再根据点点到直线的距离求出BC边上的高d，再根据两点之间的距
离公式求出BC，根据三角形的面积公式计算即可.
【详解】解：由两点式的直线BC的方程为 ＝ ，即为x+2y﹣8＝0，
由点A到直线的距离公式得BC边上的高d＝ ＝ ，
BC两点之间的距离为 ＝4 ，
∴△ABC的面积为 ×4 × ＝10，
故答案为：10.
【点睛】本题考查了直线方程的求法点到直线的距离公式，两点之间的距离公式，三角形的面积公式，属
于基础题.
三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，把解答
过程填写在答题卡的相应位置.
17. （1）计算： ；
（2）先化简再求值： 其中
【答案】（1） ；（2）
【解析】
【分析】（1）由指数幂的运算性质化简即可得出答案；
（2）先化简原式，再将数值代入即可得出答案.
【详解】（1）
.（2）
因为 ，所以原式 .
18. 已知关于 的一元二次方程： 有两个实数根 .
（1）求 的取值范围；
（2）若 满足 ，求 的值.
【答案】（1）
（2） 或 .
【解析】
【分析】（1）直接利用根的判别式计算求解即可；
（2）根据根与系数的关系得出 ， ，分 和 两种情况计算求解即可．
【小问1详解】
关于 的一元二次方程 有两个实数根，
所以 ，即
解得 ．
故 的求值范围为 ．
【小问2详解】
根据根与系数的关系： ， ，因为 满足 ，
①当 时， ，把 代入，得
，解得 ， ，
， ．
②当 时， ， ，
解得： ， ， ，所以 ．
故 的值为 或 .
19. 教育部在《大中小学劳动教育指导纲要（试行）》中明确要求：初中生每周课外生活和家庭生活中，
劳动时间不少于 小时．某走读制初级中学为了解学生劳动时间的情况，对学生进行了随机抽样调查，并
将调查结果制成不完整的统计图表，如图：
平均每周劳动时间的频数统计表
劳动时间/小时 频数
请根据图表信息，回答下列问题．
（1）参加此次调查的总人数是_______人，频数统计表中 _______；（2）在扇形统计图中， 组所在扇形的圆心角度数是_______；
（3）该校准备开展以“劳动美”为主题的教育活动，要从报名的 男 女中随机挑选 人在活动中分享劳动
心得，请用树状图或列表法求恰好抽到一名男生和一名女生的概率．
【答案】（1） ，
（2）
（3）树状图见解析，
【解析】
【分析】（1）根据 组中，平均每周劳动时间 的频数与占比，即可计算总人数；然后可计算 的值；
（2）在扇形统计图中，由（1）可计算 组占比，根据圆的周角为 ，即可计算答案；
（3）列出树状图，找到总的样本点个数，以及恰好抽到一名男生和一名女生包含的样本点的个数，根据
古典概型概率计算公式，计算得答案.
【小问1详解】
由题意，平均每周劳动时间 的频数为 ，占比 ，所以总人数为 ，频数统计表中
；
【小问2详解】
在扇形统计图中， 组占比为 ，所以 组所在扇形的圆心角度数是 ；
【小问3详解】
画树状图如下：
共有 种等可能 的结果，其中恰好抽到一名男生和一名女生的结果有 种，
∴恰好抽到一名男生和一名女生的概率为 ．20. 如图，斜坡AB长130米，坡度 现计划在斜坡中点D处挖去部分坡体修建一个
平行于水平线CA的平台DE和一条新的斜坡BE.
（1）若修建的斜坡BE的坡角为 求平台DE的长；（结果保留根号）
（2）斜坡AB正前方一座建筑物QM上悬挂了一幅巨型广告MN，小明在D点测得广告顶部M的仰角为
他沿坡面DA走到坡脚A处，然后向大楼方向继续行走10米来到P处，测得广告底部N的仰角为
此时小明距大楼底端Q处30米.已知B、C、A、M、Q在同一平面内，C、A、P、Q在同一条直线上，
求广告MN的长度.（参考数据:sin
3）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据平行线的性质可知 ，然后利用特殊角的三角函数值可求出
的长度，最后利用 求解即可；
（2）过点 作 、 ，先通过 求出 的长度，在 中，求出
的长度，最后利用 求解.
【小问1详解】
过 作 ，垂足为 ，因为 ，所以 ，因为 为AB中点 所以 为 中点，
在 ， ,
设 ， ，则 ,
所以 即 ， ，
所以 ， ，
因为在 中， ，
所以 ，
所以 ，
所以平台DE的长为（ ）米 .
【小问2详解】
过 作 、 ，垂足分别为 、 ，
所以四边形 为矩形，所以 ，
因为 ， ，所以 ，
因为 为AB中点，所以 为 中点即 ，
所以 ，
因为在 中， ，在 中， ，
所以 .
所以广告 的长度约为 米.
21. 如图，AB是⊙O的直径，点C是圆上的一点， 于点D，AD交⊙O于点F，连接AC，若AC
平分∠DAB，过点F作FG⊥AB于点G，交AC于点H，延长AB，DC交于点E.
（1）求证： 是⊙O的切线；
（2）求证： ；
（3）若 求 的值.
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）连接 ，根据 平分 ，则 ，根据 ，得
，根据平行线的判定和性质，即可；
（2）由（1）得， ，根据 ， ，相似三角
形的判定和性质，即可；
（3）根据 ，则 ，设 的半径为 ，则 ，根据勾股定理求出 ；根据 ， ，根据勾股定理求出 ，再根据 ，在根据勾股定理
求出 ，根据 ，即可．
【小问1详解】
连接 ，因为 平分 ，所以 ，
为
因 ，所以 ，所以 ，
所以 ，因为 ，所以 ，
所以 是 的切线．
【小问2详解】
由（1）得， ，因为 ， ，
所以 ，所以 ，
因为 ，所以 ，所以 ，
所以 ．
【小问3详解】
因为 ，所以 ，
设 的半径为 ，所以 ，
所以 ，因 ，
所以 ， ，因 ，所以 ，因 ，
所以 ，因为 ，
所以 ．
22. 在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线 与x轴交于点A，B，与y轴交于点
C，点A的坐标为（2，0），点 在抛物线上.
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图①，点P在y轴上，且点P在点C的下方，若 ，求点P的坐标；
（3）如图②，E为线段CD上的动点，射线OE与线段AD交于点M，与抛物线交于点N，米 的最大
值.
【答案】（1）
（2）
（3）【解析】
【分析】（1）根据已知条件代入计算即可求出系数 a和c，即可得抛物线的解析式；（2）过点P作
，过点D作 ，进一步证明 ，从而得到 ，求出
即可求出 ，从而得出 P 点的坐标；（3）过点 N 作 轴，交直线 AD 于点 H，则
，进一步得出 ，从而 ，再用待定系数法求出直线AD的
方程，设 得 N点的坐标为 ，从而得出 ，再利用
二次函数性质分析最值即可.
【小问1详解】
因为 ， 在抛物线上，所以 ，解得 ，
所以抛物线的表达式为 .
【小问2详解】
如图所示，过点P作 于点E，过点D作 于点F，
所以 ，
因为C为抛物线 与y轴的交点，所以 ，又 ，所以 ， 所以 ， ，
在 中由勾股定理得， ，
因为 ， ，所以 ，
所以 ，所以 ，所以 ，
因为 ， ，
所以 ，所以 ，
所以 ， ， ，
所以 ，
所以 ，所以点P的坐标为 .
【小问3详解】
过点N作 轴，交直线AD于点H，则 ，
又因 为，所以 ，所以 ，
由点A的坐标为(2,0)，由点D的坐标为 ，可求得直线AD的表达式为 ，当 时， ，
所以直线AD与y轴交点的坐标为 ，所以 ，
设 ，所以N点 的坐标为 ，其中 ，
所以 ，
所以 ，
因为 ，所以当 时， 取最大值，最大值为 .
【点睛】关键点点睛：（1）把点代入抛物线方程即可求得参数；（2）关键是作辅助线，即过点P作
于点E，过点D作 于点F，然后证明 ，再用勾股定理的运用求线段
PC 的长度；（3）关键是过点 N 作 轴得 ，从而 ，
，再用待定系数法求出直线 AD的方程，设 得 N ，从而
，再利用二次函数的性质分析最值即
