文档内容
数学试卷
注意事项：
1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写
清楚.
2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干
净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效.
3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟.
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的）
1.已知集合 ， ，则 中的元素个数为（ ）
A.3 B.4 C.5 D.6
2.已知复数 ，则 在复平面内对应的点位于（ ）
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
3.已知平面向量 ， 均为单位向量，且它们的夹角为 ，则 （ ）
A.7 B.3 C. D.1
4.自1972年慕尼黑奥运会将射箭运动重新列入奥运会项目以来，这项运动逐渐受到越来越多年轻人的喜爱.已
知甲、乙两位射箭运动员射中10环的概率均为 ，且甲、乙两人射箭的结果互不影响，若两人各射箭一次，
则甲、乙两人中至少有一人射中10环的概率为（ ）
A. B. C. D.
5.秦九韶（1208年~1268年），字道古，祖籍鲁郡（今河南省范县），出生于普州（今四川安岳县）.南宋著
名数学家，与李冶、杨辉、朱世杰并称宋元数学四大家.1247年秦九韶完成了著作《数书九章》，其中的大衍
求一术（一次同余方程组问题的解法，也就是现在所称的中国剩余定理）、三斜求积术和秦九韶算法（高次
方程正根的数值求法）是有世界意义的重要贡献.设 的三个内角 ， ， 所对的边分别为 ， ，
，面积为 ，秦九韶提出的“三斜求积术”公式为 ，若
学科网（北京）股份有限公司， ，则由“三斜求积术”公式可得 的面积为（ ）
A. B. C. D.1
6.中国古代建筑具有悠久的历史传统和光辉的成就，这些古建筑除了历史背景方面的研究价值外，还有着几
何结构的研究意义.例如古建筑屋顶的结构形式就分为：圆锥形、三角锥形、四角锥形、八角锥形等，已知某
古建筑的屋顶可近似看作一个圆锥，其母线长 ，底面的半径为 ，则该屋顶的体积约为（ ）
A. B. C. D.
7.已知等比数列 中所有项均为正数， ，若 ，则 的最
小值为（ ）
A. B. C. D.
8.已知直线 过双曲线 的左焦点 ，且与双曲线的左支交于 ， 两点，并满
足 ，点 与点 关于原点对称，若 ，则双曲线 的离心率 （ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多个
选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分）
9.已知定义在 上的奇函数 的图象关于直线 对称，当 时， ，则（
）
A. B.
C. D.
10.已知圆 上的两个动点 ， 始终满足 ，直线 与 轴交于点 （
， ， 三点不共线），则（ ）
A.直线 与圆 恒有交点 B.
学科网（北京）股份有限公司C. 的面积的最大值为 D. 被圆 截得的弦长最小值为
11.已知正方体 的棱长为1，点 ， 分别为线段 ， 的中点，点 满足
，点 为棱 （包含端点）上的动点，则下列说法正确的是（ ）
A.平面 截正方体得到的截面多边形是矩形
B.二面角 的大小为
C.存在 ，使得平面 平面
D.若 平面 ，则直线 与平面 所成角的正弦值的取值范围为
12.已知函数 的图象与直线 有三个交点，记三个交点的横坐标分别为 ，
， ，且 ，则下列说法正确的是（ ）
A.存在实数 ，使得
B.
C.
D. 为定值
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 的二项展开式中， 项的系数为______.
14.“圆锥容球”是指圆锥形容器里放了一个球，且球与圆锥的侧面及底面均相切（即圆锥的内切球）.已知某
圆锥形容器的母线与底面所成的角为 ，底面半径为2，则该圆锥内切球的表面积为______.（容器壁的厚
度忽略不计）
学科网（北京）股份有限公司15.《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为“鳖臑”，已知“鳖臑” 中，
平面 ， ， ， ，则“鳖臑” 外接球体积的最小值为______.
16.已知平面向量 ， ， ， 满足： ， ， ， ，设向
量 （ ， 为实数），则 的取值范围为______.
四、解答题（共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.（本小题满分10分）
已知函数 的最小正周期为 .
（1）求 的值，并写出 的对称轴方程；
（2）在 中，角 ， ， 的对边分别是 ， ， ，且满足 ，求函数
的取值范围.
18.（本小题满分12分）
已知数列 为等差数列， ，且 .
（1）求 ；
（2）记 为数列 的前 项和，求 .
19.（本小题满分12分）
某校高三年级嘟嘟老师准备利用高中数学知识对甲、乙、丙三名学生在即将到来的全省适应性考试成绩进行
预测，为此，他收集了三位同学近三个月的数学月考、周测成绩（满分150分），若考试成绩超过100分则
称为“破百”.
甲：74，85，81，90，103，89，92，97，109，95；
乙：95，92，97，99，89，103，105，108，101，113；
丙：92，102，97，105，89，94，92，97.
假设用频率估计概率，且甲、乙、丙三名同学的考试成绩相互独立.
（1）分别估计甲、乙、丙三名同学“破百”的概率；
（2）设这甲、乙、丙三名同学在这次决赛上“破百”的人数为 ，求 的分布列和数学期望 .
学科网（北京）股份有限公司20.（本小题满分12分）
如图，在三棱柱 中， ， ， 为 的中点，平面 平面
.
（1）证明： 平面 ；
（2）若 ，二面角 的余弦值为 ，求平面 与平面 夹角的余弦
值.
21.（本小题满分12分）
已知椭圆 的左焦点为 ，上顶点为 ，离心率为 ，且 .
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）若过 且斜率为 的直线 与椭圆 交于 ， 两点，椭圆 的左、右顶点分别为 ， ，
证明：直线 与 的交点在定直线上.
22.（本小题满分12分）
已知函数 ， .
（1）若 ，求函数 的值域；
（2）是否存在正整数 ，使得 恒成立？若存在，求出正整数 的取值集合；若不
存在，请说明理由.
学科网（北京）股份有限公司贵阳第一中学2024届高考适应性月考卷（五）
数学参考答案
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C D D D B A A C
【解析】
1. ， ，共5个元素，故选C.
2.因为 ，则在复平面内对应的点 位于第四象限，故选D.
3. ，所以 ，故选D.
4.记“甲射中10环”为事件 ，“乙射中10环”为事件 ， ，甲、乙两人中至少有一人
射中10环的概率为： ，故选D.
5.由 得 ， ，由题意得 ，故
，故选B.
6.如图所示为该圆锥轴截面，由题知该圆锥的底面半径为 ，高为 ，所以该屋顶的体积约为
，故选A.
7.设 的公比为 ，则 ，
因为 ，所以 ，解得 或 （舍去），
，
学科网（北京）股份有限公司故 ，即 ，
，
当且仅当 ，即 ， 时，等号成立，
故 的最小值等于 ，故选A.
8.设双曲线的右焦点为 ，连接 ， ， ，
又因为 ，所以四边形 为矩形，
设 ，则 ，由双曲线的定义可得： ， ，
又因为 为直角三角形，所以 ，
即 ，解得 ，所以 ， ，
又因为 为直角三角形， ，所以 ，
即： ，所以 ，即 ，故选C.
二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，
全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分）
题号 9 10 11 12
答案 BD ABD ACD BCD
【解析】
9.已知函数 为 上的奇函数，则 ，
即 ，解得 ，B正确；A错误；
又因为 ，即 ，从而周期为8，
， ， .
学科网（北京）股份有限公司因为当 时， ，所以 ，
从而 ， ， ，
所以 ，D正确；C错误，故选BD.
10.直线 与 轴交于点 ，
，且 在圆 内部，所以 与 恒有公共点，A正确；
因为点 在圆 内部， 为钝角，故 ，B正确；
到 的最大距离，即到圆心的距离为1， ，故C错误；
被 截得的弦的长度的最小时，圆心到直线的距离最大，
且此距离为 到圆心的距离为1，故弦长为 ，故D正确，故选ABD.
11.由正方体可建立如图所示的空间直角坐标系，
则 ， ， ， ， ， ， ，
设 ，其中 ，
对于A：连接 ， ， ，则 ，
由正方体的性质可得点 是侧面 的中心，点 是正方体的中心，
所以连接 并延长交侧面 于点 ，则点 是侧面 的中心，且 .
设平面 交 于点 ，交 于点 ，交 于点 ，连接 ， ，
学科网（北京）股份有限公司因为平面 平面 ，所以 ， .
因为 ， 平面 ，所以 平面 ，
又 平面 ，所以 ，所以 ，
易知 ，所以 ，所以平面 截正方体得到的截面多边形 是矩形，故A正确；
对于B： ， ， ，
设平面 的法向量为 ，则 ，即 ，
取 ，则 ， ，故 .
设平面 的法向量为 ，则 ，即 ，
取 ，则 ， ，故 ，故 ，
而二面角 为锐二面角，故其余弦值为 ，不为 ，
故二面角 的平面角不是 ，故B错误.
对于C：因为点 是正方体的中心，所以 ， ， 三点共线，所以平面 即为平面 ，
因为 ， ， ， ， 平面 ，
所以 平面 ，又 平面 ，所以平面 平面 ，
即平面 平面 ，当 时，点 与点 重合，
平面 即为平面 ，由此可知平面 平面 ，
即平面 平面 ，故 正确；
对于D：设直线 与平面 所成的角为 .
学科网（北京）股份有限公司因为 平面 ，故 为平面 的法向量，
而 ，故 ，
而 ， ，故D正确，故选ACD.
12.由方程 ，可得 .
令 ，则有 ，即 .
令函数 ，则 ，
令 ，解得 ，令 ，解得 ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 ，作出图象如图所示，
要使关于 的方程 有三个不相等的实数解 ， ， ，且 ，
结合图象可得关于 的方程 一定有两个实根 ， ，
且 ， 或 ， ，
令 ，若 ， ，
学科网（北京）股份有限公司则 故 .
若 ， ，则 无解，综上 ，故C正确；
由图结合单调性可知 ，故B正确；
若 ，则 ，又 ，故A不正确；
，故D正确，故选
BCD.
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
题号 13 14 15 16
答案 960
【解析】
13. 的二项展开式的通项公式为 ，
令 ，得 ，所以 项的系数为 .
14.作圆锥的轴截面图，如图，
由图，母线 与底面所成的角为 ， 为等边三角形，
又 ，所以 ，
学科网（北京）股份有限公司所以在正 中， ，
设内切球球心为 ，则 在 上，且 ，
在 中， ，所以 ，解得 ，
所以外接球表面积 .
15.根据题意三棱锥 可以补成分别以 ， ， 为长、宽、高的长方体，如图，
其中 为长方体的对角线，则三棱锥 的外接球球心即为 的中点，
要使三棱锥 的外接球的体积最小，则 最小.
设 ，则 ， ， ，
所以当 时， ，则有三棱锥 的外接球的球半径最小为 ，
所以 .
16.如图所示建立坐标系，以 为坐标原点，边长为2的正方形 的 ， 所在直线为 轴、 轴，
设 ， ， 为线段 上一点，则 ，
又 ， 以 为圆心， 为半径画圆，点 为圆上一点，
学科网（北京）股份有限公司设 ， ， ， ，
所以 ， ，所以 ，所以 ，
它表示斜率为 ，纵截距为 的直线，当圆心为点 时， 与 相切且点 在 轴的下方时，
，此时 ，取得最小值；
当圆心为点 时， 经过圆心时， ，此时 ，取得最大值，
的取值范围为 .
四、解答题（共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.（本小题满分10分）
解：（1）
.
， ，故 ，
令 ， ，解得 ， ，
故对称轴方程为： ， .
（2）由 得 ，
.
， ， ， ，
， ， ，
学科网（北京）股份有限公司， .
18.（本小题满分12分）
解：（1）因为数列 为等差数列，
所以 ， ， 为该数列第 、 、 项，并设公差为 ，
因为 ，且 ，所以 ，解得： ，
所以 的通项公式为： ，
即 ，所以 .
（2）由（1）可得： ，所以 ，
所以 ，即 ，
所以 ，
整理得： ，
所以数列 的前 项和为： .
19.（本小题满分12分）
解：（1）甲同学“破百”的概率为 ，
乙同学“破百”的概率为 ，
学科网（北京）股份有限公司丙同学“破百”的概率为 .
（2） 的可能取值为0，1，2，3，则：
，
，
，
，
所以 的分布列为
0 1 2 3
所以，期望 .
20.（本小题满分12分）
（1）证明：如图，连接 与 相交于点 ，连接 ，
三棱柱 中，侧面 是平行四边形，
则 为 的中点，又 为 的中点，有 ，
平面 ， 平面 ，
所以 平面 .
（2）解：平面 平面 ，平面 平面 ，
学科网（北京）股份有限公司底面 为正三角形， 为 的中点，则 ，
平面 ，则 平面 ，
， 平面 ， ， ，
则二面角 的平面角为 ，有余弦值为 ，
中，由余弦定理 ，
即 ，解得 ，
过 作直线 的垂线，垂足为 ，
则 ，故 在 的延长线上，
，
， ， ，四边形 为矩形，则 ，
以 为原点， ， ， 分别为 轴， 轴， 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则 ， ， ， ，
， ， ，
设平面 的一个法向量为 ，则有 ，
令 ，则 ， ，即 .
， ，
学科网（北京）股份有限公司设平面 的一个法向量为 ，则有 ，
令 ，则 ， ，即 ，
平面 与平面 夹角的余弦值为 .
21.（本小题满分12分）
（1）解：依题意可得： .
又 ， ，故 ， ，
所以椭圆 的标准方程为 .
（2）证明：由（1）得 ，所以直线 的方程为 ，
由 可得 ，
设 ， ，显然 ，
所以 ， ，
故 .
由（1）可得 ， ，则直线 的方程为 ，
直线 的方程为 .
设直线 与 的交点坐标为 ，则 ，
故
学科网（北京）股份有限公司，
解得 ，故直线 与 的交点在直线 上.
22.（本小题满分12分）
解：（1）由题设 ，
则 ，
若 ，则 ， ，可得 ， 递增；
若 ，则 ， ，可得 ， 递减.
又 ， ， ，
综上， 的值域为 .
（2）由 ， ，则 ，
令 ， ，则 ，
且 ，
当 ， （舍）；
当 ，则 ，故 ，
令 ，则
，
又 ，对于 ，有 ，即 递增，
学科网（北京）股份有限公司所以 ，故 恒成立，
所以 ，即 在 上递增，
又 ，则 ，所以 在 上递增，
又 ，即 ， ，符合题意；
当 ，令 ，则 ， ，
所以 （舍）；
综上，正整数 的取值集合为 .
学科网（北京）股份有限公司
