文档内容
2024 年陕西省初中学业水平考试
数 学 试 卷
注意事项：
1．本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题），全卷共8页，总分120分，
考试时间120分钟
2．领到试卷和答题卡后，请用0.5毫米黑色墨水签字笔，分别在试卷和答题卡上填写姓名和
准考证号，同时用2B铅笔在答题卡上填涂对应的试卷类型信息点（A或B）
3．请在答题卡上各题的指定区域内作答，否则作答无效
4．作图时，先用铅笔作图，再用规定签字笔描黑
5．考试结束，本试卷和答题卡一并交回
第一部分（选择题 共24分）
一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分，每小题只有一个选项是符合题意的）
1. 的倒数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由互为倒数的两数之积为1，即可求解．
【详解】解：∵ ，
∴ 的倒数是 .
故选C
2. 如图，将半圆绕直径所在的虚线旋转一周，得到的立体图形是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了点、线、面、体问题．根据旋转体的特征判断即可．
【详解】解：将一个半圆绕它的直径所在的直线旋转一周得到的几何体是球，
故选：C．
3. 如图， ， ， ，则 的度数为（ ）A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．先根据“两直线平行，同旁内
角互补”，得到 ，再根据“两直线平行，内错角相等”，即可得到答案．
【详解】 ，
，
，
，
，
．
故选B．
4. 不等式 的解集是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查解一元一次不等式．通过去括号，移项，合并同类项，未知数系数化为1，即可求
解．
【详解】解： ，
去括号得： ，
移项合并得： ，
解得： ，
故选：D．
5. 如图，在 中， ， 是 边上的高，E是 的中点，连接 ，则图中的直角
三角形有（ ）
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查直角三角形的概念．根据直角三角形的概念可以直接判断．
【详解】解：由图得 ， ， ， 为直角三角形，
共有4个直角三角形．故选：C．
6. 一个正比例函数的图象经过点 和点 ，若点A与点B关于原点对称，则这个正比例函
数的表达式为 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查正比例函数的图象，坐标与中心对称，根据关于原点对称的两个点的横纵坐标均互为相
反数，求出 的坐标，进而利用待定系数法求出函数表达式即可．
【详解】解：∵点A与点B关于原点对称，
∴ ，
∴ ， ，
设正比例函数的解析式为： ，把 代入，得： ，
∴ ；
故选A．
7. 如图，正方形 的顶点 G在正方形 的边 上， 与 交于点 H，若 ，
，则 的长为（ ）
A. 2 B. 3 C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质．证明 ，利用相似三角
形的性质列式计算即可求解．
【详解】解：∵正方形 ， ，
∴ ，
∵正方形 ， ，
∴ ，
∴ ，
由题意得 ，
∴ ，∴ ，即 ，
解得 ，
故选：B．
8. 已知一个二次函数 的自变量x与函数y的几组对应值如下表，
x … 0 3 5 …
y … 0 …
则下列关于这个二次函数的结论正确的是（ ）
A. 图象 开口向上 B. 当 时，y的值随x的值增大而增大
C. 图象经过第二、三、四象限 D. 图象的对称轴是直线
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质．先利用待定系数法求得二次函数解
析式，再根据二次函数的性质逐一判断即可．
【详解】解：由题意得 ，解得 ，
∴二次函数的解析式为 ，
∵ ，
∴图象的开口向下，故选项A不符合题意；
图象的对称轴是直线 ，故选项D符合题意；
当 时，y的值随x的值增大而增大，当 时，y的值随x的值增大而减小，故选项B不符合题
意；
∵顶点坐标为 且经过原点，图象的开口向下，
∴图象经过第一、三、四象限，故选项C不符合题意；
故选：D．
第二部分（非选择题 共96分）
二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）
9. 分解因式： =_______________．
【答案】a（a﹣b）．
【解析】
【详解】解： =a（a﹣b）．
故答案为a（a﹣b）．
【点睛】本题考查因式分解-提公因式法．
10. 小华探究“幻方”时，提出了一个问题：如图，将 0， ， ，1，2这五个数分别填在五个小正方形内，使横向三个数之和与纵向三个数之和相等，则填入中间位置的小正方形内的数可以是________．
（写出一个符合题意的数即可）
【答案】0
【解析】
【分析】本题考查有理数的运算，根据横向三个数之和与纵向三个数之和相等，进行填写即可得出结果．
【详解】解：由题意，填写如下：
，满足题意；
故答案为：0．
11. 如图， 是 的弦，连接 ， ， 是 所对的圆周角，则 与 的和的度数
是________．
【答案】 ##90度
【解析】
【分析】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握圆周角定理是解题的
关 键 ． 根 据 圆 周 角 定 理 可 得 ， 结 合 三 角 形 内 角 和 定 理 ， 可 证 明
，再根据等腰三角形的性质可知 ，由此即得答案．
【详解】 是 所对的圆周角， 是 所对的圆心角，
，
，
，
，
，
，，
．
故答案为： ．
12. 已知点 和点 均在反比例函数 的图象上，若 ，则
________0．
【答案】 ##小于
【解析】
【分析】本题主要考查了反比例函数的性质，先求出 ， ，再根据 ，得出
，最后求出 即可．
【详解】解：∵点 和点 均在反比例函数 的图象上，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ．
13. 如图，在 中， ，E 是边 上一点，连接 ，在 右侧作 ，且
，连接 ．若 ， ，则四边形 的面积为________．
【答案】60
【解析】
【分析】本题考查等边对等角，平行线的性质，角平分线的性质，勾股定理：过点 作 ，
，根据等边对等角结合平行线的性质，推出 ，进而得到 ，得到
，进而得到四边形 的面积等于 ，设 ，勾股定理求出 的长，再利
用面积公式求出 的面积即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，∴ ，
∴ 平分 ，
过点 作 ， ，
则： ，
∵ ，且 ，
∴ ，
∴四边形 的面积 ，
∵ ，
∴ ，
设 ，则： ，
由勾股定理，得： ，
∴ ，
解： ，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 的面积为60．
故答案为：60．
三、解答题（共13小题，计81分。解答题应写出过程）
14. 计算： ．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了实数的运算．根据算术平方根、零次幂、有理数的乘法运算法则计算即可求解．
【详解】解：
．15 先化简，再求值： ，其中 ， ．
【答案】 ，6
【解析】
【分析】本题考查了整式的混合运算以及求值．根据完全平方公式和单项式乘以多项式法则进行运算，再
合并同类项，最后代入即可求解．
【详解】解：
；
当 ， 时，
原式 ．
16. 解方程： ．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了解分式方程，先去分母变分式方程为整式方程，然后再解整式方程，最后对方程
的解进行检验即可．
【详解】解： ，
去分母得： ，
去括号得： ，
移项，合并同类项得： ，
检验：把 代入 得： ，
∴ 是原方程的解．
17. 如图，已知直线l和l外一点A，请用尺规作图法，求作一个等腰直角 ，使得顶点B和顶点C都
在直线l上．（作出符合题意的一个等腰直角三角形即可，保留作图痕迹，不写作法）
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查了等腰直角三角形的定义，尺规作图．过点 A作 ，垂足为 ，再在直线l上截
取点C，使 ，连接 ，则 是所求作的等腰直角三角形．
【详解】解：等腰直角 如图所示：18. 如图，四边形 是矩形，点E和点F在边 上，且 ．求证： ．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质．根据矩形的性质得到 ，
，再推出 ，利用 证明 ，即可得到 ．
【详解】证明：∵四边形 是矩形，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ ．
19. 一个不透明的袋子中共装有五个小球，其中3个红球，1个白球，1个黄球，这些小球除颜色外都相
同．将袋中小球摇匀，从中随机摸出一个小球记下颜色后放回，记作随机摸球一次．
（1）随机摸球10次，其中摸出黄球3次，则这10次摸球中，摸出黄球的频率是________．
（2）随机摸球2次，用画树状图或列表 方法，求这两次摸出的小球都是红球的概率．
【答案】（1）0.3 （2）
【解析】
【分析】（1）根据“频数除以总数等于频率”求解即可；
（2）画出树状图可得，共有25种等可能的结果，其中两次摸出的小球都是红球有9种结果，再利用概率
公式求解即可．
小问1详解】
解：由题意得，摸出黄球的频率是 ，
故答案为：0.3；
【小问2详解】
解：画树状图得，共有25种等可能的结果，其中两次摸出的小球都是红球有9种结果，
∴两次摸出的小球都是红球的概率为 ．
【点睛】本题考查求频率的公式、画树状图或列表法求概率、概率公式，熟练掌握画树状图或列表法求概
率的方法是解题的关键．
20. 星期天，妈妈做饭，小峰和爸爸进行一次家庭卫生大扫除．根据这次大扫除的任务量，若小峰单独完
成，需 ；若爸爸单独完成，需 ．当天，小峰先单独打扫了一段时间后，去参加篮球训练，接着由
爸爸单独完成剩余的打扫任务．小峰和爸爸这次一共打扫了 ，求这次小峰打扫了多长时间．
【答案】小峰打扫了 ．
【解析】
【分析】本题是一道工程问题的应用题．设小峰打扫了 ，爸爸打扫了 ，根据总工作量=各部
分的工作量之和列出一元一次方程，然后求解即可．
【详解】解：设总工作量为1，小峰打扫了 ，爸爸打扫了 ，则小峰打扫任务的工作效率为
，爸爸打扫任务的工作效率为 ，
由题意，得： ，
解得： ，
答：小峰打扫了 ．
21. 如图所示，一座小山顶的水平观景台的海拔高度为 ，小明想利用这个观景台测量对面山顶 C
点处的海拔高度，他在该观景台上选定了一点A，在点A处测得C点的仰角 ，再在 上
选一点B，在点B处测得C点的仰角 ， ．求山顶C点处的海拔高度．（小明身高忽略
不计，参考数据： ， ， ）
【答案】山顶C点处的海拔高度为 ．
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形 应用．过点C作 交 的延长线于点 ，在 和
中，利用三角函数的定义列式计算即可求解．
【详解】解：过点C作 交 的延长线于点 ，设 ，在 中， ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
解得 ，
∴山顶C点处的海拔高度为 ．
22. 我国新能源汽车快速健康发展，续航里程不断提升，王师傅驾驶一辆纯电动汽车从A市前往B市，他
驾车从A市一高速公路入口驶入时，该车的剩余电量是 ，行驶了 后，从B市一高速公路出
口驶出，已知该车在高速公路上行驶的过程中，剩余电量 与行驶路程 之间的关系如图所
示．
（1）求y与x之间的关系式；
（2）已知这辆车的“满电量”为 ，求王师傅驾车从B市这一高速公路出口驶出时，该车的剩余
电量占“满电量”的百分之多少．
【答案】（1）y与x之间的关系式为 ；
（2）该车的剩余电量占“满电量”的 ．
【解析】
【分析】本题考查了一次函数的应用，正确理解题意、求出函数关系式是解题的关键．
（1）利用待定系数法求解即可；
（2）先求得当 时，y的值，再计算即可求解．
【小问1详解】
解：设y与x之间的关系式为 ，将 ， 代入得 ，
解得 ，
∴y与x之间的关系式为 ；
【小问2详解】
解：当 时， ，
，
答：该车的剩余电量占“满电量”的 ．
23. 水资源问题是全球关注的热点，节约用水已成为全民共识．某校课外兴趣小组想了解居民家庭用水情
况，
他们从一小区随机抽取了30户家庭，收集了这30户家庭去年7月份的用水量，并对这30个数据进行整
理，绘制了如下统计图表：
用 水 量 组 内 平 均 数
组别
A
B
C
D
根据以上信息，解答下列问：
（1）这30个数据的中位数落在________组（填组别）；
（2）求这30户家庭去年7月份的总用水量；
（3）该小区有1000户家庭，若每户家庭今年7月份的用水量都比去年7月份各自家庭的用水量节约
，请估计这1000户家庭今年7月份的总用水量比去年7月份的总用水量节约多少 ?
【答案】（1）B （2）
（3）
【解析】
【分析】本题主要考查了求一组数据的中位数，求一组数据的平均数，条形统计图，根据统计图信息得出
相应的量，是解题的关键．（1）根据中位数的定义进行求解即可；
（2）根据组内平均用水量和组内户数求出这30户家庭去年7月份的总用水量即可；
（3）用样本估计总体即可．
【小问1详解】
解：根据条形统计图可知： 组有10户，B组有12户，C组有6户，D组有2户，
∴将30个数据从小到大进行排序，排在第15和16的两个数据一定落在B组，
∴这30个数据的中位数落在B组；
【小问2详解】
解：这30户家庭去年7月份的总用水量为：
；
【小问3详解】
解：去年每户家庭7月份的用水量约为： ，
∵每户家庭今年7月份的用水量都比去年7月份各自家庭的用水量节约 ，
∴今年每户家庭7月份的节约用水量约为： ，
∴估计这1000户家庭今年7月份的总用水量比去年7月份的总用水量节约：
．
24. 如图，直线 l 与 相切于点 A， 是 的直径，点 C，D 在 l 上，且位于点 A 两侧，连接
，分别与 交于点E，F，连接 ．
（1）求证： ；
（2）若 的半径 ， ， ，求 的长．
【答案】（1）见解析 （2） ．
【解析】
【分析】（1）利用切线和直径的性质求得 ，再利用等角的余角相等即可证明
；
（2）先求得 ， ，证明 和 是等腰直角三角形，求得 的长，再证
明 ，据此求解即可．
【小问1详解】
证明：∵直线l与 相切于点A，∴ ，
∴ ，
∵ 是 的直径，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
【小问2详解】
解：∵ ，
∴ ， ，
∵直线l与 相切于点A，
∴ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
∵ 是 的直径，
∴ ，
∴ 也是等腰直角三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ．
【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，切线的性质，勾股定理等知
识点的应用，掌握切线的性质定理、相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
25. 一条河上横跨着一座宏伟壮观的悬索桥．桥梁的缆索 与缆索 均呈抛物线型，桥塔 与桥塔
均垂直于桥面，如图所示，以O为原点，以直线 为x轴，以桥塔 所在直线为y轴，建立平面直
角坐标系．已知：缆索 所在抛物线与缆索 所在抛物线关于 y 轴对称，桥塔 与桥塔 之间的距离
， ，缆索 的最低点P到 的距离 （桥塔的粗细忽略不计）
（1）求缆索 所在抛物线的函数表达式；
（2）点E在缆索 上， ，且 ， ，求 的长．
【答案】（1） ；
（2） 的长为 ．
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求二次函数解析式，根据题意求得函数解析式是解题的
关键．
（1）根据题意设缆索 所在抛物线的函数表达式为 ，把 代入求解即可；
（2）根据轴对称的性质得到缆索 所在抛物线的函数表达式为 ，由 ，
把 代入求得 ， ，据此求解即可．
【小问1详解】
解：由题意得顶点P的坐标为 ，点A的坐标为 ，
设缆索 所在抛物线的函数表达式为 ，
把 代入得 ，
解得 ，
∴缆索 所在抛物线的函数表达式为 ；
【小问2详解】
解：∵缆索 所在抛物线与缆索 所在抛物线关于y轴对称，
∴缆索 所在抛物线的函数表达式为 ，
∵ ，
∴把 代入得， ，
解得 ， ，
∴ 或 ，
∵ ，
∴ 的长为 ．
26. 问题提出（1）如图 1，在 中， ， ，作 的外接圆 ．则 的长为
________；（结果保留π）
问题解决
（2）如图 2 所示，道路 的一侧是湿地．某生态研究所在湿地上建有观测点 D，E，C，线段
和 为观测步道，其中点A和点B为观测步道出入口，已知点E在 上，且 ，
， ， ， ，现要在湿地上修建一个新观测点
P，使 ．再在线段 上选一个新的步道出入口点F，并修通三条新步道 ，
使新步道 经过观测点E，并将五边形 的面积平分．
请问：是否存在满足要求的点P和点F?若存在，求此时 的长；若不存在，请说明理由．（点A，B，
C，P，D在同一平面内，道路 与观测步道的宽、观测点及出入口的大小均忽略不计，结果保留根
号）
【答案】（1） ；（2）存在满足要求的点P和点F，此时 的长为 ．
【解析】
【分析】（1）连接 ，证明 等边三角形，再利用弧长公式计算即可求解；
（2）点P在以 为圆心，圆心角为 的圆上，如图，由题意知直线 必经过 的中点 ，得到
四
边形 是平行四边形，求得 ，作 于点 ，解直角三角形求得 和
的长，再证明 ，利用相似三角形的性质求得 ，据此求解即可．
【详解】解：（1）连接 ，
∵ ，∴ ，
∵ ，
∴ 等边三角形，
∵ ，
∴ ，
∴ 的长为 ；
故答案为： ；
（2）存在满足要求的点P和点F，此时 的长为 ．理由如下，
解：∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴四边形 是平行四边形，
∵要在湿地上修建一个新观测点P，使 ，
∴点P在以 为圆心， 为弦，圆心角为 的圆上，如图，
∵ ，
∴经过点 的直线都平分四边形 的面积，
∵新步道 经过观测点E，并将五边形 的面积平分，
∴直线 必经过 的中点 ，
∴ 是 的中位线，
∴ ，
∵ ， ，
∴四边形 是平行四边形，
∴ ，
作 于点 ，∵四边形 是平行四边形， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ．
答：存在满足要求的点P和点F，此时 的长为 ．
【点睛】本题考查了圆周角定理，解直角三角形，平行四边形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判
定和性质，正确引出辅助线解决问题是解题的关键．
