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2024-2025 学年高一数学上学期期中模拟卷
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如
需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写
在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．测试范围：集合与常用逻辑用语+不等式+函数+指数函数。
5．难度系数：0.69。
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的．
1．命题 ， ，则 是（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】C
【详解】因为命题 ， ，所以 ： ， .
故选：C
2．已知全集为R，集合 ， ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】A中，显然集合A并不是集合B的子集，错误.
B中，同样集合B并不是集合A的子集，错误.
学科网（北京）股份有限公司C中， ，错误.
D中，由 ，则 ， ，正确.
故选：D．
3．已知集合 ， ，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
【答案】A
【详解】当 时， ，此时 ，即 可以推出 ，
若 ，所以 ，得到 ，所以 推不出 ，
即“ ”是“ ”的充分不必要条件，
故选：A.
4．幂函数 在区间 上单调递减，则下列说法正确的是（ ）
A． B． 或
C． 是奇函数 D． 是偶函数
【答案】C
【详解】函数 为幂函数，则 ，解得 或 .
当 时， 在区间(0,+∞)上单调递增，不满足条件，排除A，B；
所以 ，定义域 关于原点对称，且 ，
所以函数 是奇函数，不是偶函数，故C正确，D错误.
故选：C.
5．已知关于 的不等式 的解集是 或 ，则不等式 的解集是（ ）
学科网（北京）股份有限公司A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】 关于 的不等式 的解集是 或 ，
∴1和3是方程 的两个实数根，且 ．
则 解得
所以不等式 等价于 ，即 ，
解得 ．
所以不等式 的解集是
故选:B．
6．已知函数 是定义在R上的奇函数，当 时， ，则 的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【详解】由题意得，函数 为奇函数，且定义域为 ，
由奇函数的性质得， ，解得 ，经过检验符合题意，
所以当 时， ，
所以 .
故选：D.
学科网（北京）股份有限公司7．已知函数 = ，满足对任意 ，都有 成立，则a的取值范围
是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】因为对任意 ，都有 成立，
所以 为 上的增函数，
所以 ，解得 ，即 ，
故选：C.
8．已知奇函数 的定义域为 ， 在区间 上单调递增， ，且 为偶函数.若关
于 的不等式 对 恒成立，则实数 取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】由 为 上的奇函数，则 关于点 对称，则 ，
又 为偶函数，则 ，故 关于 对称，则 ，
则 ， 是周期为4的周期函数，
又 在区间 上单调递增，因此 在区间 上单调递减，
又 ，则 ，因此 ，
学科网（北京）股份有限公司又关于 的不等式 对 恒成立，则 ，
因此，可得 ， ，
故选：C.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．下列说法正确的是（ ）
A．函数 的定义域为 ，则函数 的定义域为
B． 和 表示同一个函数
C．函数 的值域为
D．定义在 上的函数 满足 ，则
【答案】ACD
【详解】A选项，对于 ，令 ，则 ，则 ，
所以 ，即 的定义域为 ，A选项正确；
对于B， 的定义域为 ， 的定义域为 ，不是同一个函数，B选项不正确；
对于C，因为 ，所以 ，即函数 的值域为 ，C选项正确；
对于D，由 可得 ，
所以由 可得 ，D选项正确；
故选：ACD.
10．下列说法正确的是（ ）
A．若 ，则 的最大值为
学科网（北京）股份有限公司B．函数 的最小值为
C．已知 ，则 的最小值为3
D．若正数 满足 ，则 的最小值是4
【答案】ACD
【详解】对于A， ， ，
，
当且仅当 ，即 时，等号成立，
所以 的最大值为 .故A正确；
对于B，因为 ，所以 ，
所以 ，
当且仅当 ，即 时等号成立，所以函数 的最小值为3.
故B错误；
对于C，因为 ， ， ，
所以 ，
当且仅当 即 时等号成立，所以 的最小值为3.故C正确；
对于D，因为 ， ， ，所以 ，
学科网（北京）股份有限公司则 ，
当且仅当 即 时等号成立，此时 ，
所以 的最小值为4.故D正确.
故选：ACD.
11．已知定义在R上的函数 满足 ，当 时， ， ，则（ ）
A． B． 为奇函数
C． 在R上单调递减 D．当 时，
【答案】ABD
【详解】A选项， 中，令 得， ，
又 ，故 ，
令 中，令 得 ，
令 得 ，即 ，A正确；
B选项， 中，令 得 ，解得 ，
中，令 得 ，
故 为奇函数，B正确；
C选项， 中，令 ，且 ，
故 ，即 ，
当 时， ，故 ，
即 ，故 在R上单调递增，C错误；
学科网（北京）股份有限公司D选项， ， ，
又 ，故 ，
又 在R上单调递增，所以 ，D正确.
故选：ABD
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知 ， ，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是 .
【答案】
【详解】解： ， ，
因为p是q的充分不必要条件，所以 ，
则 ，即 .
经检验满足条件.
故答案为： .
13．已知函数 ，则 .
【答案】3
【详解】 ， ，
故答案为：3
14．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德，牛顿并
列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：对于实数 ，符号 表示不超过 的最大整数，
则 称为高斯函数，例如 ， ，定义函数 ，则下列命题中正确的序号是
．
学科网（北京）股份有限公司①函数 的最大值为 ； ②函数 的最小值为 ；
③函数 的图象与直线 有无数个交点； ④ .
【答案】②③④
【详解】由题意得： ，
由解析式可得函数图形如下图所示，
对于①，函数 ，①错误；对于②：函数 的最小值为 ，②正确；
对于③，函数 的图象与直线 有无数个交点，③正确；
对于④，函数 满足 ，④正确；
故答案为：②③④
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）（1）求值： ；
（2）已知 ，求值： .
【详解】（1）原式 ...........................6分
（2）由 ，而 ，.................................................9分
学科网（北京）股份有限公司则 ，故 ..........................................................13分
16．（15分）已知集合 ，集合 .
(1)当 时，求 ；
(2)若 ，求 的取值范围．
【详解】（1）由题设 ，则 ，........................................................3分
或 ，则 ...............................................................................6分
（2）由 ，.....................................................................................................8分
若 时， ，满足；.............................................................................10分
若 时， ；..................................................................................14分
综上， ..................................................................................................................................15分
17．（15分）已知函数 是定义在 上的奇函数，且当 时， ，函数 在 轴左
侧的图象如图所示，请根据图象；
(1)画出 在 轴右侧的图象，并写出函数 的单调区间；
(2)写出函数 的解析式；
(3)若函数 ，求函数 的最小值.
学科网（北京）股份有限公司【详解】（1）函数 是定义在 上的奇函数，即函数 的图象关于原点对称，
则函数 图象如图所示．
...............................................................2分
故函数的单调递减区间为 ，单调递增区间为 ；....4分
（2）根据题意，
令 ，则 ，则 ，
又因为函数 是定义在 上的奇函数，
所以 ，
即 ，....................................................................................6分
所以 .........................................................................8分
（3）当 时， ，
则 ，
其对称轴为 ，..............................................................................9分
当 时，即 ，则 ，...........................11分
当 时，即 ，则 ，............................13分
故 .............................................................................15分
学科网（北京）股份有限公司18．（17分）已知函数 是定义在 上的奇函数.
(1)求实数 的值；
(2)判断 在定义域上的单调性，并用单调性定义证明；
(3) ，使得 成立，求实数 的取值范围.
【详解】（1）因为 ， ,定义域关于原点对称，
令 ，所以 ，故 ，...................................................................2分
则 ， ，
所以 为定义在 上的奇函数，故 ...................................................................4分
（2） 是 上的增函数.
证明：任取 ，且 ，
，......6分
因为 ，所以 ， ， ，
所以 ， ，
所以 ，即 ，
所以 是 上的增函数........................................................................................................9分
（3）当 时，不等式 即 ，...................................11分
学科网（北京）股份有限公司故 ，
则令 ，由题意可知 ， ，....................................................13分
因为函数 ， 为 上的增函数，
故 在 上单调递增，
故 ，
所以 ....................................................................................................................................17分
19．（17分）欧拉对函数的发展做出了巨大贡献，除特殊符号、概念名称的界定外，欧拉还基于初等函数
研究了抽象函数的性质，例如，欧拉引入倒函数的定义：对于函数 ，如果对于其定义域 中任意
给定的实数 ，都有 ，并且 ，就称函数 为倒函数．
(1)已知 , ,判断 和 是不是倒函数，并说明理由；
(2)若 是 上的倒函数，其函数值恒大于0，且在 上是严格增函数．记 ，证明：
是 的充要条件．
【详解】（1）对于 ，定义域为 ，显然定义域 中任意实数 有 成立，又
，
是倒函数，............................................................................................................3分
对于 ，定义域为 ，
故当 时， ，不符合倒函数的定义，
所以 不是倒函数；.....................................................................................................6分
学科网（北京）股份有限公司（2）因为 ，又 是 上的倒函数，
所以 ，所以 ，
故 ，.................................................................9分
充分性：当 时， 且 ，又 在 上是严格增函数，
所以 ， ，
所以 ， ，故 ..............................................12分
必要性：当 时，
有
，.............................................................................................15分
又 恒大于0，所以 ，
因为 ，所以 ，
因为 在 上是严格增函数．所以 ，即有 成立.
综上所述： 是 的充要条件．..................................................................17分
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