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山西大学附中
2025～2026学年第一学期高三8月模块诊断（总第二次）解析版
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B A B A C C B C ABD AD
题号 11
答案 ABD
1．B
【分析】根据中位数的定义求解.
【详解】因为样本数据个数是偶数，所以这组数据的中位数是第3位数和第4位数的平均数，
即 .故选：B.
2．A
【详解】由 ，得 .故选：A.
3．B
【详解】由题设 ，且 ，则 .故选：B
4．A
【解】由 可得 ，即 ，所以 ，
因为方程 的两根为 ， ，
因为 ，所以 ，可得 ，所以不等式 的解集为：
，即不等式 的解集为 ，故选：A.
5．C
【解】试题分析：设三角形三边为3．5．7，所以最大角 满足
6．C
【详解】根据 是等差数列 的前 项和，由等差数列前 项和公式可得 .所以
，化简可得 . ，即 .得 .
将 代入 中，解得 .将 代入 ，可得 . 可得
故选：C.
7．B【分析】由题意，利用两角和与差的正弦公式可求得 ，再利用二倍角公式即可求得
.
【详解】因为 ，则 ，即 ，
所以 ，则 .故选：B.
8．C
【解】依题意，将抛物线 的图象向左平移2个单位，再向下平移3个单位，可得抛物
1
学科网（北京）股份有限公司线 ，即 的图象，
记抛物线 的焦点为 ，记点 为点 平移后的点，
由平移的性质可知 ，则 ，即 ，
所以点 的纵坐标为 ，即点 到 轴距离为 .故选：C.
9．ABD
【解】对于A，由双曲线 的实轴长是虚轴长的3倍，得 ，
解得 ，A正确；对于B，双曲线 的渐近线方程是
，B正确；对于C， 的焦距为 ，C错误；对于D， 的离心率为 ，D
正确.
故选：ABD
10．AD
【解析】利用等比数列通项公式求解 ， ，进而求得 ， ， ，从而判断各选项.
【详解】由等比数列通项公式得 ，解得 ，或 ，
又公比 为整数，故 ， ，故A选项正确；
，故数列 是公差为 的等差数列，故B选项错误；
，故 ，故C选项错误； ，故 为等比数列，即D
选项正确；故选：AD.
11．ABD
【分析】对于A：利用真数大于0即可求得结果；对于B：利用偶函数定义即可证明；
对于C：举反例即可判断；对于D：令函数 ，利用导数求得单调性再结合负负得正即可判断
【详解】对于选项A：因为对数的真数大于0，故 ，故定义域为 ，
故选项A正确；对于选项B:因为 ，定义域为 关于原点对称，
又 ，且 ，故 为偶函数，故选
项B正确；
对于选项C：因为 ，故 ，故选项C正确；
对于选项D：令 ，求导得 ，
故函数 在区间 上单调递减，而当 时， ，当 时，
当 时， ，所以 ，所以 ，
2当 时， ，所以 ，所以 ，故选项D正确；故选：ABD
12．
【解】因为 ，所以 ，故答案为： .
13．
【分析】分 ， 和 三种情况，结合二次函数的图象性质与极值的定义判断即可.
【详解】由题意当 时不成立，当 时 有两个零点 与 .
①当 时， 开口向上，且 ，故当 时 ， 时 ，
在 处取到极大值；
②当 时， 开口向下；
当 时， ， 无极大值；
当 时，在区间 上 ， 上 ，故 在 处取到极大值；
当 时，在区间 上 ， 上 ，故 在 处取到极小值.
综上有 或 .故答案为：
14． /
【解】由题可知当两球外切且与正方体包装盒对角的三个面相切时盒子棱长最小，过正方体对角作截面
如图，设此时盒子棱长为 ，则
，
，
∴ ( )，即盒子棱长最小值为
.故答案为： .
15．（1） ；（2）最大值为 ，最小值为
.
【分析】（1）利用两角和的正弦公式以及二倍角的余弦公式、两角和的余弦公式将函数 的解析
式化简为 ，然后解不等式 可得出函数 的单调递
增区间；
（2）由 ，可计算出 ，然后由余弦函数的基本性质可求出函数 在区
间 上的最大值和最小值.
【解】（1）
，
解不等式 ，得 ，
因此，函数 的单调递增区间为 ；
（2）当 时， .当 时，函数 取得最大值 ；
3
学科网（北京）股份有限公司当 时，函数 取得最小值 .
16．(1) 2)
【分析】（1）由题意可得： ，方法一：代入点解得 ， ，即可得方程；方法二：根据椭
圆的定义可得 ，即可得方程；
（2）由题意可得直线 方程为 ，联立方程结合弦长公式可得 ，结合点到直线的
距离公式求面积.
【解】（1）因为焦距为 ，即 ，
方法一：由题意可得： ，解得 ， ，所以椭圆方程 ．
方法二：由题意可知： ，右焦点 ，则 可得
，即 ，可得 ，
所以椭圆方程 ．
（2）因为 ， ，直线 方程为 ，即 ，
联立方程 ，消去y可得 ，解得 或 ，
可得 ，且 到直线 的距离为 ，
所以 的面积 ．
17．(1)①证明见解析；② ；(2) .
【详解】（1）①取 中点 ，连接 ， ，
∵ ，点 为 中点， ∴ ，
又 ∥ ，∴四边形 为平行四边形，
∴ ∥ ， ，∵ 为正方形，
∴ ∥ ， ，∴ ∥ ， ，
四边形 为平行四边形，
∴ ∥ ，又 平面 ， 平面 ，∴ ∥平面 .
②
以 为原点，分别以 ， ， 为 ， ， 轴建立空间直角坐标系，
， ， ， ， ，
， ，
设平面 的法向量为 ，
4，令 ，则 ， ，所以 ，
设平面 的法向量为 ，
，令 ，则 ， ，所以 ，
，易知：平面 与平面 所成角的余弦值为 .
18．(1)答案见解析；(2)① ；②证明见解析.
【解】（1）由题设 ，令 ，则 ，
由 且 ，则 ，所以 在 上单调递减，则 ，
若 ，则 ，故 在 上恒成立，此时 在 上单调递减，故无极值
点，若 ，则 ，且 趋向 ， ， ，即 ，
所以，存在 使 ，则 时 ， 时 ，
故在 上 ， 在 上单调递增，在 上 ， 在 上单调递减，
此时 在 上有1个极大值点，无极小值点；
综上， 时 在 上无极值点， 时 在 上有1个极大值点，无极小值
点；
（2）①由题设，可得 ，显然 时不合题设，
当 时， 趋向 ， ， ，即 ，不符合 ，所以 ，且
，
所以 ，即 在 上单调递减， ，即 在 上单调递增，
所以 ；
②由 ，令 ，则 ，
令 且 、 ，则 ，
所以 在 上单调递增，则 ， ，
所以存在 使 ，
，即 有 ， ，即 有 ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 时 的极小值点，因此 ，
由①，当 有 ，即 ，整理得 ，则 ，
所以 ，即
5
学科网（北京）股份有限公司所以 在 上单调递增，由 ，即 ，
所以 ，综上， .
19．(1) ；(2)（i） ；（ii） 的最大值为 ，此时 .
【分析】（1）应用独立乘法公式求共抽了3次的概率，再由独立乘法公式、互斥事件的加法求最后一次
抽到 的概率，最后求条件概率即可；
（2）（i）首先对灯谜的位置排序，再求最适合灯谜的位置对应情况数，最后应用古典概型的概率求法求
概率；（ii）记事件 表示最适合灯谜被摘到，事件 表示最适合灯谜排在第 个，则 ，应用全
概率公式有 ，讨论 、 ，进而得到 ，最后应用导数求
最值，即可得.
【详解】（1）设 表示共抽了3次，对应事件为{第一、二次都抽到 ，第三次抽到 }，
由题意，第一、二次抽到 的概率依次为 、 ，第三次抽到 的概率为 ，
所以 ，而最后一次抽到 的情况有{抽了1次}、{抽了2次}、{抽了3次}、{抽了4
次}，
除了最后一次，其它抽到 ，故对应概率依次为 、 、 、 ，
所以该顾客最后一次取到的是写有 的卡片的条件下，求他共抽了3次的概率为 .
（2）（i）这 条灯谜的位置从第 个到第 个排序，有 种情况，
要摘到那条最适合灯谜，有以下两种情况：
①最适合灯谜是第 个，其它的随意在哪个位置，有 种情况；
②最适合灯谜是最后一个，第二适合灯谜是第 个或第 个，其它的随意在哪个位置，有 种情
况，综上，所求概率为 ；
（ii）记事件 表示最适合灯谜被摘到，事件 表示最适合灯谜排在第 个，则 ，
由全概率公式知： ，
当 时，最适合灯谜在前 条中，不会被摘到，此时 ；
当 时，最适合灯谜被摘到，当且仅当前 条灯谜中的最适合那条在前 个之中时，此时
，所以 ，
令 ，则 ，由 ，得 ，
当 时， ，当 时， ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，故 ，
当 时， 取得最大值 ，从而 的最大值为 .
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