2025-2026学年第一学期9月（总第三次）模块诊断数学试题解析版_2025年9月_250921山西省太原市山西大学附属中学校2025-2026学年高三上学期9月（总第三次）模块诊断（全科）

山西大学附中 2025～2026学年第一学期高三9月模块诊断（总第三次）解析版 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C D C B A B B C ABD BCD 题号 11 答案 ABD 12.15 13. 14. 8.解：根据题意可得对于函数 ， 当 时，即 时，△ ，此时满足 恒成立， 因此，只需 恒成立即可，因此 恒成立； 又易知 ，所以可得 ，因此可得 ； 当 时，即 或 时，此时△ ， 若 ，可得 恒成立， 因此只需满足 在 上恒成立，显然不合题意； 若 ，可得 恒成立， 因此只需满足 在 上恒成立， 不妨取 ，可得 ，显然不合题意； 综上可知，实数 的取值范围是 ． 故选： ． 11.解：对于 ，由题意知， ， 则 ， ， 图象的对称中心为 ，故 正确； 对于 ， ， ， 两式相减得 ，令 ，得 （4） ，故 正确； 对于 ，由 选项可得， 的周期为4，又 ， 故 ，令 得， （2） ， 得 （2） ，故 错误； 对于 ， （2） ，又 （2） ，故 ，又 ， 在 中，令 得， ，又由 ，，令 得， ， ， 又 的周期为4， 则 ， ，故 正确．故选： ． 14.解：因为 ， 所以由正弦定理可得： ， 又因为 ，代入上式得： ， 整理可得： ， 所以 ，当且仅当 时，等号成立， 由于 ，所以 ， 因为 ，所以 ，又此时 ，所以△ 为等边三角形，则 ； 如图，在△ 中，由余弦定理得： ， 所以 ，所以 ，从而 ， 设 ，则 ， ， ， 在△ 中，由正弦定理得 ，则 ， 在△ 中，由正弦定理得 ， 则 ， 所以 ， 其中 ，所以 的最大值为 ，当 时取得最大值， 所以 ． 故答案为： ． 答案第2页，共7页15．解：（Ⅰ）证明：因为四边形 是正方形，所以 ， 因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 ， 因为 平面 ，平面 平面 ，所以 ； （ Ⅱ ） 因 为 平 面 平 面 ， 平 面 平 面 ， ， 平面 ， 所以 平面 ， 因为 平面 ，所以 ， 又 ， ， 所 以 ， 所 以 ， 故以 为原点建立空间直角坐标系如图， 则 ，0， ， ，0， ， ，1， ， ，1， ， ，0， ， 所以 ，1， ， ，0， ， ，1， ， 设平面 的法向量为 ， ， ，则 ， 取 ，得平面 的一个法向量 ，1， ， 设直线 与平面 的夹角为 ，则 ， 因为 ， ，所以 ，故直线 与平面 所成角为 ． 【点评】本题主要考查线面平行的判定与性质，直线与平面所成角，属于中档题． 16．已知等差数列 的前 项和为 ，且 ， ． (1)求数列 的通项公式； (2)若 ，令 ，求数列 的前 项和 ． 解：（1）设等差数列 的公差为 ，则 ，解得 ， 所以 ； （2）因为 ， ，所以 ， ①， ②，①-②得 ， 所以 . 17．已知双曲线 的左、右顶点为 ，右焦点为 ，离心率为 ． (1)求双曲线 的标准方程及其渐近线方程； (2)过点 的直线 交双曲线 于点 （点 在第一象限），记直线 的斜率为 ，直 线 的斜率为 ，求证： 为定值． 解：（1）由题意，双曲线 的中心为坐标原点， 右焦点为 ，离心率为 ， 可得 ，解得 ， ， 所以双曲线 的标准方程为 ，其渐近线方程为 ． （2）由（1）知， ， ． 显然直线 不垂直于 轴，设直线 的方程为 ， 设 ， ，由 ，消去 ，得 ， 显然 ， ，则 ， ， ， 直线 的斜率 ，直线 的斜率 ， 所以 ，为定值． 18．（本小题满分17分）在某个周末，甲、乙、丙、丁四名同学相约打台球．四人约定游戏规 则：①每轮游戏均将四人分成两组，进行组内一对一对打；②第一轮甲乙对打、丙丁对打；③每 轮游戏结束后，两名优胜者组成优胜组在下一轮游戏中对打，同样的，两名失败者组成败者组在 下一轮游戏中对打；④每轮比赛均无平局出现．已知甲胜乙、乙胜丙、丙胜丁的概率均为 ，甲 答案第4页，共7页胜丙、乙胜丁的概率均为 ，甲胜丁的概率为 ． （1）设在前三轮比赛中，甲乙对打的次数为随机变量 ，求 的数学期望； （2）求在第10轮比赛中，甲丙对打的概率． 解：（1）易知 的所有取值为1，2， 此 时 ， ， 则 ； （2）设第 轮比赛中，甲乙对打的概率为 ，甲丙对打的概率为 ，甲丁对打的概率为 ， 由（1）知 ， ， 当 时， ， 整理得 ， 又 ，所以 ，即 ， 所以 是以 为首项， 为公比的等比数列，此时 ， 整理得 ，则 ， 即在第10轮比赛中，甲丙对打的概率为 ． 19．已知函数 的导函数为 ． （1）当 时，求 的图象在 ， 处的切线方程； （2）若 有三个不同的零点，求实数 的取值范围； （3）已知 ，若 在定义域内有三个不同的极值点 ， ， ，且满足，求实数 的取值范围． 解：（1）当 时， ，则 ， 因此 ，则 ， 因此 的图象在点 ， 处的切线方程为 ，即 ． （2）由题知， ， 因为 有三个不同的零点， 因此方程 有三个不等实根， 化简可得方程 有三个不等实根， 即可看成直线 与曲线 有三个不同的交点， ， 因此当 或 时， ， 单调递减； 当 时， ， 单调递增， 因此当 时， 有极小值为 ， 当 时， 有极大值为 ， 当 时， ，且当 时， ， 因此作出函数 的图象如图1所示， 因此数形结合可知 ，即实数 的取值范围为 ． （3）由题知， ，其定义域为 ， 则 ， 答案第6页，共7页令 ，得 或 ， 设 ，则 ， 当 时， ，因此 单调递增； 当 时， ，因此 单调递减， 又当 时， ；当 时， ，且 ， 因此 的大致图象如图2所示， 因为 在定义域内有三个不同的极值点 ， ， ， 因此 与 有两个不同的交点，因此 ， 不妨设 ，则 ， 因此 ，因此 因此 ， 令 ，则 ， 因为 在 上单调递增， 在 上单调递减， 因此 在 上单调递增， 因此 ， 又 ， 因此 （a） ，因此 （a）在 上单调递增， 因为 ， 因此当 时， 恒成立，即当 时， 恒成立， 因此实数 的取值范围是 ． 答案第8页，共7页