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数学参考答案 第 1 页（共 7 页）
北京市东城区2024—2025 学年度第二学期高三综合练习（一）
数学参考答案及评分标准 2025.4
一、选择题（共10 小题，每小题4 分，共40 分）
（1）C
（2）B
（3）D
（4）A （5）C
（6）C
（7）A
（8）A
（9）B （10）D
二、填空题（共5 小题，每小题5 分，共25 分）
（ 11 ）
2
2
（12）
2
2 ；0
（13）2 （答案不唯一） （14）2； 5
4
（15）① ③ ④
三、解答题（共6 小题，共85 分）
（16）（共13 分）
解：（Ⅰ）在△ABC 中，因为
1
b
c
−
= ，所以b
c
. 所以C 为锐角．
因为
7
sin
4
C =
，所以
3
cos
4
C =
．
由余弦定理
2
2
2
2
cos
c
a
b
ab
C
=
+
−
，得
2
2
(
1)
36
9
b
b
b
−
=
+
−
.
解得
5
b =
.
△ABC 的面积
1
15 7
sin
2
4
S
ab
C
=
=
. ………………………7 分
（Ⅱ）由
6 ,
5
a
b
=
=
，
1
b
c
−
= ，得
4
c =
.
2
2
2
2
2
2
5
4
6
1
cos
2
2 5
4
8
b
c
a
A
bc
+
−
+
−
=
=
=
.
因为C 为锐角，所以2
(0, )
C
.
又
2
1
cos2
1
2sin
cos
8
C
C
A
= −
=
=
由
(0, )
A
，所以
2
A
C
=
. ………………………13 分
数学参考答案 第 2 页（共 7 页）
（17）（共14 分）
解：（Ⅰ）因为四边形ABCD 为平行四边形，所以BC
AD .
因为AD 平面ADE ，BC 平面ADE ，所以BC
平面ADE .
因为BF
DE ，DE 平面ADE ，BF 平面ADE ，所以BF
平面ADE .
因为BC
BF
B
=
，所以平面BCF
平面ADE .
因为FC 平面BCF ，所以FC
平面ADE . ………………5 分
（Ⅱ）选条件①：AE
CD
⊥
.
因为平面ADE ⊥平面CDE ,平面ADE
平面CDE
DE
=
，
AD
DE
⊥
，AD 平面ADE ，所以AD ⊥平面CDE .
因为CD 平面CDE ，所以AD
CD
⊥
.
因为AE
CD
⊥
，AD
AE
A
=
，
所以CD ⊥平面ADE .所以CD
DE
⊥
.
如图建立空间直角坐标系D
xyz
−
，设BF
t
= ，
则
(1,0,0)
A
，
(0,1,0)
C
，
(0,0,1)
E
，
(1,1, )
F
t .
所以
( 1,1,0)
AC = −
，
(0,1, )
AF
t
=
.
设平面AFC 的法向量为
( , , )
x y z
=
m
，则
0,
0,
AC
AF
=
=
m
m
即
0,
0.
x
y
y
tz
−+
=
+
=
令
1
z = −，则y
t
= ，x
t
= .于是
( , , 1)
t t
=
−
m
.
由于
( 1,0,1)
AE = −
，点E 到平面AFC 的距离d 为
6
2 ，
所以
2
2
2
|
| ( 1)
0
1 ( 1) |
6
|
|
2
( 1)
AE
t
t
d
t
t
−
+
+ −
=
=
=
+
+ −
m |
m
，解得
1
2
t =
.
所以BF 的长为1
2 . ………………14 分
选条件②：AC
CE
=
．
因为平面ADE ⊥平面CDE ，平面ADE
平面CDE
DE
=
，AD
DE
⊥
，
AD 平面ADE ，所以AD ⊥平面CDE . 所以AD
CD
⊥
. 所以
o
90
ADC
=
.
因为AD
ED
=
，AC
EC
=
，DC
DC
=
，所以ADC
EDC
.
所以
o
90
ADC
EDC
=
=
. 所以CD
DE
⊥
.
以下同选条件①. ………………14 分
数学参考答案 第 3 页（共 7 页）
（18）（共13 分）
解：（Ⅰ）在华东地区的6 个省份中，水稻产量比小麦产量少的省份有安徽省和山东省，
所以在华东地区的6 个省份中随机抽取一个省份，该省水稻产量比小麦产量少
的概率为2
1
6
3
=
. ………………4 分
（Ⅱ）在表1 中水稻的播种面积排在前5 名的省份是江西省、黑龙江省、安徽省、江
苏省和吉林省，其中属于东北地区的省份是黑龙江省和吉林省.
设X 为水稻播种面积排在前5 名且属于东北地区省份的个数，由题设，X 的所
有可能值为0，1，2.
(
)
2
7
2
9
7
0
12
C
P X
C
=
=
=
；
(
)
1
1
7
2
2
9
7
1
18
C
C
P X
C
=
=
=
；
(
)
2
2
2
9
1
2
36
C
P X
C
=
=
=
.
X 的分布列为：
X
0
1
2
P
7
12
7
18
1
36
因为
(
)
(
)
(
)
(
)
0
0
1
1
2
2
E X
P X
P X
P X
=
=
+
=
+
=
，
所以
(
)
E X
7
7
1
4
0
1
2
12
18
36
9
=
+
+
=
. ………………10 分
（Ⅲ） a
c
b
. ………………13 分
（19）（共15 分）
解：（Ⅰ）由题意，得
2
2
2
1,
6 ,
3
.
b
c
a
a
b
c
=
=
=
+
解得
2
3
a =
．
所以椭圆E 的方程为
2
2
1
3
x
y
+
= ． ………………5 分
数学参考答案 第 4 页（共 7 页）
（Ⅱ）由点
( , )
A m n (
0)
n
有
( ,
)
B m
n
−
，且
2
2
1
3
m
n
+
= ．
又
, (0
1)
OH
OA
=
，有
(
,
)
H
m
n
.
因为过点H 与x 轴平行的直线交E 于点
,
P Q ，
设
(
,
)
P
P x
n
，
(
,
)
P
Q
x
n
−
，则
2
2
(
)
1
3
P
x
n
+
= ．
因为点B 在以PQ 为直径的圆上，所以
0
BP BQ
⎯⎯→⎯⎯→
=
.
即
2
(
)(
)
[(
1) )]
0
P
P
x
m
x
m
n
−
−
−
+
+
=
.
所以
2
2
2
2
(
1)
0
P
m
x
n
−
+
+
=
.
因为
2
2
3
3
m
n
=
−
，
2
2
2
3
3
P
x
n
=
−
，
所以
2
2
2
2
2
2
2
3
3
3
3
(
1)
(4
2
2)
0
n
n
n
n
−
−
+
+
+
=
+
−
=
.
由
0
n
及0
1
，有
1
2
=
.
即点B 在以PQ 为直径的圆上时，
1
2
=
． ………………15分
（20）（共15 分）
解：（Ⅰ）由
( )
(
2)ex
f x
x
ax
b
=
−
+
+
得
(0)
2
f
b
=
−
，
( )
(
1)ex
f
x
x
a
=
−
+
，
(0)
1
f
a
=
−．
由题设知
1
0,
2
0
a
b
−=
−
=
，
解得
1,
2
a
b
=
=
． ………………4 分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
( )
(
2)e
2
x
f x
x
x
=
−
+
+
，
( )
(
1)e
1
x
f
x
x
=
−
+ ．
令( )
(
1)e
1
x
x
x
=
−
+ ，则
'( )
ex
x
x
=
．
'( )
x
与( )
x
的变化情况如下表：
数学参考答案 第 5 页（共 7 页）
x
(
, 0)
−
0
(0,
)
+
'( )
x
−
0
+
( )
x
↘
0
↗
当
0
x =
时，( )
x
取得最小值(0)
0
=
，即当
R
x
时，
( )
0
f
x
≥
.
因此
( )
f x 在区间(
,
)
−+ 上单调递增．
因为
(0)
2
2
0
f
= −+
=
，
所以当
0
x ≥
时，
( )
0
f x ≥
；当
0
x
时，
( )
0
f x
．
综上，不等式
( )
0
f x ≥
的解集为[0,
)
+ . ………………9 分
（Ⅲ）由题设知
(0, 0)
A
，
( , (
2)e
2)
t
B t
t
t
−
+ +
，
直线AB 的方程为
(
2)e
2
( )
t
t
t
y
g x
x
t
−
+ +
=
=
．
令( )
( )
( )
h x
g x
f x
=
−
(
2)e
2
[(
2)e
2]
t
x
t
x
x
t
−
+
=
−
−
+
，
则
(
2)e
2
'( )
(
1)e
t
x
t
h x
x
t
−
+
=
−
−
，
(0, )
x
t
.
由（Ⅱ）知
'( )
h x 在区间(0,
)
+ 上单调递减，
因为
2
t
，所以
(
2)e
2
'(0)
0
t
t
t
h
t
−
+ +
=
，
因为
2
2
2
2
(2
)
2
2, e
e
t
t
t
t
t
−
+
−
=
−
−
−
，
所以
2
(
2
2)e
2
'( )
0
t
t
t
h t
t
−
+
−
+
=
.
则存在
0
(0, )
x
t
，使得
0
'(
)
0
h x
=
．
当
0
(0,
)
x
x
时，
'( )
0
h x
，( )
h x 单调递增；
当
0
(
, )
x
x
t
时，
'( )
0
h x
，( )
h x 单调递减.
又因为(0)
0
h
=
，( )
( )
( )
0
h t
g t
f t
=
−
=
，所以当
(0, )
x
t
时，( )
0
h x
.
因为
2
(0, )
x
t
，所以
2
2
2
(
)
(
)
(
)
0
h x
g x
f x
=
−
．
数学参考答案 第 6 页（共 7 页）
因为
1
2
(
)
(
)
f x
g x
=
，所以
1
2
(
)
(
)
f x
f x
．
由（Ⅱ）知
( )
f x 在区间(
,
)
−+ 上单调递增，
因此
1
2
x
x
． ………………15 分
（21）（共15 分）
解：（Ⅰ）数列 ①4,1,3,2,1,3,4 具有性质P ；
数列 ②1,2,5,4,3,4,5,3,1不具有性质P ． ………………4 分
（Ⅱ）假设数列A 具有性质P ，则A 中存在n 项递增数列{ }
nb
和n 项递减数列{ }
nc
．
因为
{1,2,
, }
ia
n
，所以{ }
nb
为1,2,3,
,n ，{ }
nc
为,
1,
2,
,1
n n
n
−
−
．
所以任意
{1,2,
, }
m
n
，在A 中至少有一项
ia
m
=
.
因为A 中有2
1
n −项，所以存在
0
{1,2,
, }
m
n
在A 中恰出现一次，不妨记为
ka .
记
j
k
b
a
=
，则必有
1
n
j
k
c
a
−+ =
．
因为{ }
nb
递增，{ }
nc
递减，
所以数列A 中排在
ka 前面的项至少有
1
2
1
1
2
,
,
,
,
,
,
,
j
n
j
b b
b
c c
c
−
−，共
1
n −项，
排在
ka 后面的项至少有
1
2
2
3
,
,
,
,
,
,
,
j
j
n
n
j
n
j
n
b
b
b c
c
c
+
+
−+
−+
，共
1
n −项．
因为数列A 中有2
1
n −项，所以
ka 是第n 项，即k
n
=
.
这与题设矛盾，所以假设不成立，故数列不具有性质P ． ………………9 分
（Ⅲ）当数列A 具有性质P 时，
记A 的n 项递增子列{ }
nb
为1,2,
,n 和n 项递减子列{ }
nc
为,
1,
,1
n n −
，
由（II）知，数列A 中恰有一项
n
a 既是{ }
nb
的项也是{ }
nc
的项，
记
j
n
b
a
=
，所以
1
n
j
n
c
a
−+ =
．
所以数列A 的前n 项
1
2
,
,
,
n
a a
a 由
1
2
1
1
2
,
,
,
,
,
,
,
,
j
n
j
n
b b
b
c c
c
a
−
−
组成．
数学参考答案 第 7 页（共 7 页）
因为
1
2
1
2
1
n
j
n
j
c
c
c
a
b
b
b
−
−
，
所以项数最多的递增子列只能是
1
2
1
,
,
,
,
(
1,2,
,
)
j
i
b b
b
c i
n
j
−
=
−
或
1
2
1
,
,
,
,
j
n
b b
b
a
−
．
所以递增子列的项数最多为j ．
数列A 的后n 项
1
2
1
,
,
,
n
n
n
a a
a
+
−由
1
2
2
3
,
,
,
,
,
,
,
,
n
j
j
n
n
j
n
j
n
a b
b
b c
c
c
+
+
−+
−+
组成．
因为
3
2
1
2
n
n
j
n
j
n
j
j
n
c
c
c
a
b
b
b
−+
−+
+
+
，
所以项数最多的递增子列是
1
2
,
,
,
,
,(
2,
3,
, )
i
j
j
n
c b
b
b
i
n
j
n
j
n
+
+
=
−
+
−
+
或
1
2
,
,
,
,
n
j
j
n
a b
b
b
+
+
．
所以递增子列的项数最多为
1
n
j
+ −
. 所以
min{ ,
1
}
k
j n
j
+ −
≤
．
因为
(
1
)
1
j
n
j
n
+
+ −
=
+ ，所以
①当n 为奇数，
1
2
n
j
+
=
时，min{ ,
1
}
j n
j
+ −
有最大值为
1
2
n + ，所以
1
2
n
k
+
≤
．
构造数列
3
1
1
3
1
: ,1,
1,2,
,
,
,
,
,
,
,
1,2, ,1
2
2
2
2
2
n
n
n
n
n
A n
n
n
n
+
−
+
+
−
−
−
，
该数列具有性质P 且满足任意连续的n 项中，都包含
1
2
n + 项的递增子列．
②当n 为偶数，
2
n
j =
时，min{ ,
1
}
j n
j
+ −
有最大值为2
n ，所以
2
n
k ≤
．
构造数列
: ,1,
1,2,
,
1,
1,
,
1,
2,
,
1,2, ,1
2
2
2 2
2
n
n
n n
n
A n
n
n
n
−
−
+
+
+
−
，
该数列具有性质P 且满足任意连续的n 项中，都包含2
n 项的递增子列．
综上所述，
max
1
2
2
n
n
k
n
n
+
=
，为奇数，
，为偶数.
…………………15 分
