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2018 年辽宁省沈阳市中考数学试卷
一、选择题
1.下列各数中是有理数的是（ ）
A. π B. 0 C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据有理数是有限小数或无限循环小数，结合无理数的定义进行判断即可得答案．
【详解】A、π是无限不循环小数，属于无理数，故本选项错误；
B、0是有理数，故本选项正确；
C、 是无理数，故本选项错误；
D、 是无理数，故本选项错误，
故选B．
【点睛】本题考查了实数的分类，熟知有理数是有限小数或无限循环小数是解题的关键．
2.辽宁男蓝夺冠后，从4月21日至24日各类媒体体关于“辽篮CBA夺冠”的相关文章达到81000篇，将数
据81000用科学记数法表示为（ ）
A. 0.81×104 B. 0.81×106 C. 8.1×104 D. 8.1×106
【答案】C
【解析】
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变
成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当
原数的绝对值＜1时，n是负数．
【详解】81000的小数点向左移动4位得到8.1，
所以81000用科学记数法表示为：8.1×104，
故选C．
【点睛】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜
10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3.如图是由五个相同的小立方块搭成的几何体，这个几何体的左视图是（ ）A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】细心观察图中几何体中正方体摆放的位置，根据左视图是从左面看到的图形判定则可．
【详解】从左边看，从左往右小正方形的个数依次为：2，1，
左视图如下：
故选D．
【点睛】本题考查了几何体的三种视图以及空间想象能力，视图中每一个闭合的线框都表示物体
上的一个平面，而相连的两个闭合线框常不在一个平面上．
4.在平面直角坐标系中，点B的坐标是（4，﹣1），点A与点B关于x轴对称，则点A的坐标是（ ）
A. （4，1） B. （﹣1，4） C. （﹣4，﹣1） D. （﹣1，﹣4）
【答案】A
【解析】
【分析】直接利用关于x轴对称点的性质，横坐标不变纵坐标改变符号即可得出答案．
【详解】∵点B的坐标是（4，﹣1），点A与点B关于x轴对称，
∴点A的坐标是：（4，1），
故选A．
【点睛】本题考查了关于x轴对称的点的坐标特征，正确把握横纵坐标的关系是解题关键．
5.下列运算错误的是（ ）
A. （m2）3=m6 B. a10÷a9=a C. x3•x5=x8 D. a4+a3=a7
【答案】D
【解析】
【分析】利用合并同类项法则，单项式乘以单项式法则，同底数幂的乘法、除法的运算法则逐项进行计算
即可得.【详解】A、（m2）3=m6，正确；
B、a10÷a9=a，正确；
C、x3•x5=x8，正确；
D、a4+a3=a4+a3，错误，
故选D．
【点睛】本题考查了合并同类项、单项式乘以单项式、同底数幂的乘除法，熟练掌握各运算的运
算法则是解题的关键.
6.如图，AB∥CD，EF∥GH，∠1=60°，则∠2补角的度数是（ ）
A. 60° B. 100° C. 110° D. 120°
【答案】D
【解析】
【分析】根据平行线 的性质以及补角的定义进行求解即可得.
【详解】∵AB∥CD，
∴∠1=∠EFH，
∵EF∥GH，
∴∠2=∠EFH，
∴∠2=∠1=60°，
∴∠2的补角为120°，
故选D．
【点睛】本题考查了平行线的性质、补角和余角等知识，熟练掌握相关知识是解题的关键.
7.下列事件中，是必然事件的是（ ）
A. 任意买一张电影票，座位号是2的倍数
B. 13个人中至少有两个人生肖相同
C. 车辆随机到达一个路口，遇到红灯
D. 明天一定会下雨
【答案】B【解析】
【分析】必然事件就是一定发生的事件，结合不可能事件、随机事件的定义依据必然事件的定义逐项进行
判断即可．
【详解】A、“任意买一张电影票，座位号是2的倍数”是随机事件，故此选项错误；
B、“13个人中至少有两个人生肖相同”是必然事件，故此选项正确；
C、“车辆随机到达一个路口，遇到红灯”是随机事件，故此选项错误；
D、“明天一定会下雨”是随机事件，故此选项错误，
故选B．
【点睛】本题考查了随机事件．解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．
必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．
不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
8.在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b的图象如图所示，则k和b的取值范围是（ ）
A. k＞0，b＞0 B. k＞0，b＜0 C. k＜0，b＞0 D. k＜0，b＜0
【答案】C
【解析】
【分析】根据一次函数的图象与系数的关系进行解答即可．
【详解】∵一次函数y=kx+b的图象经过一、二、四象限，
∴k＜0，b＞0，
故选C．
【点睛】本题考查的是一次函数的图象与系数的关系，即一次函数y=kx+b（k≠0）中，当k＜0，
b＞0时图象在一、二、四象限．
9.点A（﹣3，2）在反比例函数y= （k≠0）的图象上，则k的值是（ ）
A. ﹣6 B. ﹣ C. ﹣1 D. 6
【答案】A
【解析】
【分析】根据点A的坐标，利用反比例函数图象上点的坐标特征求出k值即可．
【详解】解：∵A（﹣3，2）在反比例函数y= （k≠0）的图象上，
∴k=（﹣3）×2=﹣6，
故选A．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数图象上所有点的坐标均满足该函数的解
析式．
10.如图，正方形ABCD内接于⊙O，AB=2 ，则 的长是（ ）
A. π B. π C. 2π D. π
【答案】A
【解析】
【分析】连接OA、OB，求出∠AOB=90°，根据勾股定理求出AO，根据弧长公式求出即可．
【详解】连接OA、OB，
∵正方形ABCD内接于⊙O，
∴AB=BC=DC=AD，
∴ ，
∴∠AOB= ×360°=90°，
在Rt AOB中，由勾股定理得：2AO2=（2 ）2，
△解得：AO=2，
∴ 的长为 =π，
故选A．
【点睛】本题考查了弧长公式和正方形的性质，求出∠AOB的度数和OA的长是解此题的关键．
二、填空题
11.因式分解：3x3﹣12x=_____．
【答案】3x（x+2）（x﹣2）
【解析】
【分析】
先提公因式3x，然后利用平方差公式进行分解即可．
【详解】3x3﹣12x
=3x（x2﹣4）
=3x（x+2）（x﹣2），
故答案为3x（x+2）（x﹣2）．
【点睛】本题考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般
来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解．
12.一组数3，4，7，4，3，4，5，6，5的众数是_____．
【答案】4
【解析】
【分析】根据众数的定义进行求解即可得．
【详解】在这组数据中4出现次数最多，有3次，
所以这组数据的众数为4，
故答案为4．
【点睛】本题考查了众数，解题的关键是掌握求一组数据的众数的方法：找出频数最多的那个数
据，若几个数据频数都是最多且相同，此时这几个数据都是众数．
13.化简： ﹣ =_____．
【答案】
【解析】【分析】原式通分并利用同分母分式的减法法则计算，约分即可得到结果．
【详解】原式=
=
= ，
故答案为 .
【点睛】本题考查了分式的加减法，熟练掌握分式加减法的运算法则是解本题的关键．
14.不等式组 的解集是_____．
【答案】﹣2≤x＜2
【解析】
【分析】先分别求出两个不等式的解集，再根据有等式组解集的确定方法即可求出不等式组的解集.
【详解】解不等式x﹣2＜0，得：x＜2，
解不等式3x+6≥0，得：x≥﹣2，
则不等式组的解集为﹣2≤x＜2，
故答案为﹣2≤x＜2．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，确定解集要遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，
小大大小中间找，大大小小解不了．
15.如图，一块矩形土地ABCD由篱笆围着，并且由一条与CD边平行的篱笆EF分开．已知篱笆的总长为
900m（篱笆的厚度忽略不计），当AB=_____m时，矩形土地ABCD的面积最大．
【答案】150
【解析】
【分析】根据题意可以用相应的代数式表示出矩形绿地的面积，利用函数的性质即可解答本题．
【详解】解：设AB=xm，则BC= （900﹣3x），
由题意可得，S=AB×BC= （900﹣3x）x=﹣ （x2﹣300x）=﹣ （x﹣150）2+33750，
∴当x=150时，S取得最大值，此时，S=33750，
∴AB=150m，
故答案为150．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的函数关系式，利用二次函
数的性质求出最值．
16.如图， ABC是等边三角形，AB= ，点D是边BC上一点，点H是线段AD上一点，连接BH、
△
CH．当∠BHD=60°，∠AHC=90°时，DH=_____．
【答案】
【解析】
【分析】
如图，作 AE⊥BH 于 E，BF⊥AH 于 F，利用等边三角形的性质得 AB=AC，∠BAC=60°，再证明
∠ABH=∠CAH，则可根据“AAS”证明 ABE≌△CAH，所以BE=AH，AE=CH，在Rt AHE中利用含30
△ △
度的直角三角形三边的关系得到HE= AH，AE= AH，则CH= AH，于是在Rt AHC中利用勾股
△
定理可计算出AH=2，从而得到BE=2，HE=1，AE=CH= ，BH=1，接下来在Rt BFH中计算出HF=
△，BF= ，然后证明 CHD∽△BFD，利用相似比得到 =2，从而利用比例性质可得到DH的长．
△
【详解】作AE⊥BH于E，BF⊥AH于F，如图，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠BAC=60°，
∵∠BHD=∠ABH+∠BAH=60°，∠BAH+∠CAH=60°，
∴∠ABH=∠CAH，
在 ABE和 CAH中 ，
△ △
∴△ABE≌△CAH，
∴BE=AH，AE=CH，
在Rt AHE中，∠AHE=∠BHD=60°，
△
∴sin∠AHE= ，HE= AH，
∴AE=AH•sin60°= AH，
∴CH= AH，
在Rt AHC中，AH2+（ AH）2=AC2=（ ）2，解得AH=2，
△
∴BE=2，HE=1，AE=CH= ，
∴BH=BE﹣HE=2﹣1=1，
在Rt BFH中，HF= BH= ，BF= ，
△
∵BF∥CH，
∴△CHD∽△BFD，∴ =2，
∴DH= HF= × = ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、解直角三角形等，解
题的关键是明确在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分
发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形．
三、解答题
17.计算：2tan45°﹣| ﹣3|+（ ）﹣2﹣（4﹣π）0．
【答案】2+
【解析】
【分析】按顺序代入特殊角的三角函数值、化简绝对值、进行负指数幂、0指数幂的运算，然后再按运算
顺序进行计算即可得.
【详解】原式=2×1﹣（3﹣ ）+4﹣1
=2﹣3+ +4﹣1
=2+ ．
【点睛】本题考查了实数的混合运算，涉及特殊角的三角函数值，负指数幂、0指数幂的运算，
熟练掌握各运算的运算法则是解题的关键．
18.如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O．过点C作BD的平行线，过点D作AC的平行线，
两直线相交于点E．（1）求证：四边形OCED 是矩形；
（2）若CE=1，DE=2，ABCD的面积是 ．
【答案】（1）证明见解析；（2）4．
【解析】
【分析】（1）欲证明四边形OCED是矩形，只需推知四边形OCED是平行四边形，且有一内角为90度即
可；
（2）由菱形的对角线互相垂直平分和菱形的面积公式解答．
【详解】（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴∠COD=90°．
∵CE∥OD，DE∥OC，
∴四边形OCED是平行四边形，
又∠COD=90°，
∴平行四边形OCED是矩形；
（2）由（1）知，平行四边形OCED是矩形，则CE=OD=1，DE=OC=2．
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC=2OC=4，BD=2OD=2，
∴菱形ABCD的面积为： AC•BD= ×4×2=4，
故答案为4．
【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，菱形的性质，熟练掌握矩形的判定及性质、菱形的性质
是解题的关键.
19.经过校园某路口的行人，可能左转，也可能直行或右转．假设这三种可能性相同，现有小明和小亮两人
经过该路口，请用列表法或画树状图法，求两人之中至少有一人直行的概率．
【答案】两人之中至少有一人直行的概率为 ．
【解析】
【分析】画树状图展示所有9种等可能的结果数，找出“至少有一人直行”的结果数，然后根据概率公式求解．
【详解】画树状图为：
共有9种等可能的结果数，其中两人之中至少有一人直行的结果数为5，
所以两人之中至少有一人直行的概率为 ．
【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从
中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．概率=所
求情况数与总情况数之比．
20.九年三班的小雨同学想了解本校九年级学生对哪门课程感兴趣，随机抽取了部分九年级学生进行调查
（每名学生必只能选择一门课程）．将获得的数据整理绘制如下两幅不完整的统计图．
据统计图提供的信息，解答下列问题：
（1）在这次调查中一共抽取了 名学生，m的值是 ．
（2）请根据据以上信息直在答题卡上补全条形统计图；
（3）扇形统计图中，“数学”所对应的圆心角度数是 度；
（4）若该校九年级共有1000名学生，根据抽样调查的结果，请你估计该校九年级学生中有多少名学生对
数学感兴趣．
【答案】（1）50，18；（2）补全的条形统计图见解析；（3）108；（4）该校九年级学生中有300名学生
对数学感兴趣．
【解析】
【分析】（1）根据统计图化学对应的数据和百分比可以求得这次调查的学生数，进而求得m的值；
（2）根据（1）中的结果和条形统计图中的数据可以求得选择数学的人数，从而可以将条形统计
图补充完整；
（3）根据统计图中的数据可以求得“数学”所对应的圆心角度数；（4）根据统计图中的数据，可以求得该校九年级学生中有多少名学生对数学感兴趣．
【详解】（1）在这次调查中一共抽取了：10÷20%=50（名）学生，
m%=9÷50×100%=18%，
故答案为50，18；
（2）选择数学的有；50﹣9﹣5﹣8﹣10﹣3=15（名），
补全的条形统计图如图所示；
（3）扇形统计图中，“数学”所对应的圆心角度数是：360°× =108°，
故答案为108；
（4）1000× =300（名），
答：该校九年级学生中有300名学生对数学感兴趣．
【点睛】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是读懂统计图，
从不同的统计图中找到必要的信息，利用数形结合的思想解答．
21.某公司今年1月份的生产成本是400万元，由于改进技术，生产成本逐月下降，3月份的生产成本是
361万元．假设该公司2、3、4月每个月生产成本的下降率都相同．
（1）求每个月生产成本的下降率；
（2）请你预测4月份该公司的生产成本．
【答案】（1）每个月生产成本的下降率为5%；（2）预测4月份该公司的生产成本为342.95万元．
【解析】
【分析】
（1）设每个月生产成本的下降率为x，根据2月份、3月份的生产成本，即可得出关于x的一元二次方程，
解之取其较小值即可得出结论；
（2）由4月份该公司的生产成本=3月份该公司的生产成本×（1﹣下降率），即可得出结论．
【详解】（1）设每个月生产成本的下降率为x，根据题意得：400（1﹣x）2=361，
解得：x=0.05=5%，x=1.95（不合题意，舍去）．
1 2
答：每个月生产成本的下降率为5%；
（2）361×（1﹣5%）=342.95（万元），
答：预测4月份该公司的生产成本为342.95万元．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元
二次方程；（2）根据数量关系，列式计算．
22.如图，BE是圆O的直径，点A和点D是⊙O上的两点，过点A作⊙O的切线交BE延长线于点C,
（1）若∠ADE=25°，求∠C的度数；
（2）若AB=AC，CE=2，求⊙O半径的长．
【答案】（1）∠C=40°；（2）⊙O的半径为2．
【解析】
【分析】（1）连接OA，利用切线的性质和角之间的关系解答即可；
（2）根据直角三角形的性质解答即可．
【详解】（1）如图，连接OA，
∵AC是⊙O的切线，OA是⊙O的半径，
∴OA⊥AC，
∴∠OAC=90°，
∵ ,∠ADE=25°，
∴∠AOE=2∠ADE=50°，
∴∠C=90°﹣∠AOE=90°﹣50°=40°；（2）∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵ ，
∴∠AOC=2∠B，
∴∠AOC=2∠C，
∵∠OAC=90°，
∴∠AOC+∠C=90°，
∴3∠C=90°，
∴∠C=30°，
∴OA= OC，
设⊙O的半径为r，
∵CE=2，
∴r= (r+2)，
解得：r=2，
∴⊙O的半径为2．
【点睛】本题考查了切线的性质、圆周角定理、含30度角的直角三角形的性质等，熟练掌握相
关的性质与定理是解题的关键.
23.如图，在平面直角坐标系中，点F的坐标为（0，10）．点E的坐标为（20，0），直线l 经过点F和点
1
E，直线l 与直线l 、y= x相交于点P．
1 2
（1）求直线l 的表达式和点P的坐标；
1
（2）矩形ABCD的边AB在y轴的正半轴上，点A与点F重合，点B在线段OF上，边AD平行于x 轴，
且AB=6，AD=9，将矩形ABCD沿射线FE的方向平移，边AD始终与x 轴平行．已知矩形ABCD以每秒
个单位的速度匀速移动（点A移动到点E时止移动），设移动时间为t秒（t＞0）．
①矩形ABCD在移动过程中，B、C、D三点中有且只有一个顶点落在直线l 或l 上，请直接写出此时t的
1 2
值；
②若矩形ABCD在移动的过程中，直线CD交直线l 于点N，交直线l 于点M．当 PMN的面积等于18时，
1 2
请直接写出此时t的值． △【答案】（1）直线l 的表达式为y=﹣ x+10，点P坐标为（8，6）；（2）①t值为 或 ；②当t=
1
时， PMN的面积等于18.
△
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法求解析式，函数关系式联立方程求交点；
（2）①分析矩形运动规律，找到点D和点B分别在直线l 上或在直线l 上时的情况，利用AD、
2 1
AB分别可以看成图象横坐标、纵坐标之差构造方程求点A坐标，进而求出AF距离；
②设点A坐标，表示 PMN即可．
【详解】（1）设直线l
1
的表达△式为y=kx+b，
∵直线l 过点F（0，10），E（20，0），
1
∴ ，解得： ，
直线l 的表达式为y=﹣ x+10，
1
解方程组 得 ，
∴点P坐标为（8，6）；
（2）①如图，当点D在直线上l 时，
2∵AD=9
∴点D与点A的横坐标之差为9，
∴将直线l 与直线l 的解析式变形为x=20﹣2y，x= y，
1 2
∴ y﹣（20﹣2y）=9，
解得：y= ，
∴x=20﹣2y= ，
则点A的坐标为：（ ， ），
则AF= ，
∵点A速度为每秒 个单位，
∴t= ；
如图，当点B在l 直线上时，
2
∵AB=6，
∴点A的纵坐标比点B的纵坐标高6个单位，
∴直线l 的解析式减去直线l 的解析式得，
1 2
﹣ x+10﹣ x=6，解得x= ，
y=﹣ x+10= ，
则点A坐标 为（ ， ）
则AF= ，
∵点A速度为每秒 个单位，
∴t= ，
故t值为 或 ；
②如图，
设直线AB交l 于点H，
2
设点A横坐标为a，则点D横坐标为a+9，
由①中方法可知：MN= ，
为
此时点P到MN距离 ：a+9﹣8=a+1，
∵△PMN的面积等于18，
∴ =18，
解得a= -1，a=﹣ -1（舍去），
1 2
∴AF=6﹣ ，
则此时t为 ，
当t= 时， PMN的面积等于18.
△
【点睛】本题是代数几何综合题，涉及到待定系数法、两直线的交点坐标、勾股定理、三角形的
面积等，综合性较强，熟练掌握相关知识、运用分类讨论思想以及数形结合思想是解题的关键.
24.已知： ABC是等腰三角形，CA=CB，0°＜∠ACB≤90°．点M在边AC上，点N在边BC上（点M、
点N不与所△在线段端点重合），BN=AM，连接AN，BM，射线AG∥BC，延长BM交射线AG于点D，
点E在直线AN上，且AE=DE．
（1）如图，当∠ACB=90°时
①求证： BCM≌△ACN；
②求∠BD△E的度数；
（2）当∠ACB=α，其它多件不变时，∠BDE的度数是 （用含α的代数式表示）
（3）若 ABC是等边三角形，AB=3 ，点N是BC边上的三等分点，直线ED与直线BC交于点F，请
△
直接写出线段CF的长．
【答案】（1）①证明见解析；②∠BDE=90°；（2）α或180°﹣α；（3）CF的长为 或4 ．
【解析】【分析】（1）①根据SAS证明即可；
②想办法证明∠ADE+∠ADB=90°即可；
（2）分两种情形讨论求解即可，①如图2中，当点E在AN的延长线上时，②如图3中，当点E
在NA的延长线上时，
（3）分两种情形求解即可，①如图4中，当BN= BC= 时，作AK⊥BC于K，解直角三角形
即可．②如图5中，当CN= BC= 时，作AK⊥BC于K，DH⊥BC于H，结合图形求解即可.
【详解】（1）①如图1中，
∵CA=CB，BN=AM，
∴CB﹣BN=CA﹣AM，
即CN=CM，
∵∠ACN=∠BCM，
∴△BCM≌△CAN；
②如图1中，
∵△BCM≌△ACN，
∴∠MBC=∠NAC，
∵EA=ED，
∴∠EAD=∠EDA，
∵AG∥BC，
∴∠GAC=∠ACB=90°，∠ADB=∠DBC，
∴∠ADB=∠NAC，
∴∠ADB+∠EDA=∠NAC+∠EAD，
∵∠ADB+∠EDA=180°﹣90°=90°，∴∠BDE=90°；
（2）如图2中，当点E在AN的延长线上时，
易证：∠CBM=∠ADB=∠CAN，∠ACB=∠CAD，
∵EA=ED，
∴∠EAD=∠EDA，
∴∠CAN+∠CAD=∠BDE+∠ADB，
∴∠BDE=∠ACB=α；
如图3中，当点E在NA的延长线上时，
易证：∠1+∠2=∠CAN+∠DAC，
∵∠2=∠ADM=∠CBD=∠CAN，
∴∠1=∠CAD=∠ACB=α，
∴∠BDE=180°﹣α，
综上所述，∠BDE=α或180°﹣α，
故答案为：α或180°﹣α；（3）如图4中，当BN= BC= 时，作AK⊥BC于K，
∵AD∥BC，
∴ ，
∴AD= ，AC=3 ，易证 ADC是直角三角形，则四边形ADCK是矩形，
△
AKN≌△DCF，
△
∴CF=NK=BK﹣BN= ﹣ = ；
如图5中，当CN= BC= 时，作AK⊥BC于K，DH⊥BC于H，
∵AD∥BC，∴ ，
∴AD=6 ，易证 ACD是直角三角形，
△
由 ACK∽△CDH，可得CH= AK= ，
△
由 AKN≌△DHF，可得KN=FH= ，
△
∴CF=CH﹣FH=4 ．
综上所述，CF的长为 或4 ．
【点睛】本题考查了三角形综合题，涉及了全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定与性质、
解直角三角形等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会添加常用辅助线，构
造直角三角形解决问题．
25.如图，在平面角坐标系中，抛物线C ：y=ax2+bx﹣1经过点A（﹣2，1）和点B（﹣1，﹣1），抛物线
1
C ：y=2x2+x+1，动直线x=t与抛物线C 交于点N，与抛物线C 交于点M．
2 1 2
（1）求抛物线C 的表达式；
1
（2）直接用含t的代数式表示线段MN的长；
（3）当 AMN是以MN为直角边的等腰直角三角形时，求t的值；
（4）在△（3）的条件下，设抛物线C
1
与y轴交于点P，点M在y轴右侧的抛物线C
2
上，连接AM交y轴于
点k，连接KN，在平面内有一点Q，连接KQ和QN，当KQ=1且∠KNQ=∠BNP时，请直接写出点Q的
坐标．
【答案】（1）抛物线C ：解析式为y=x2+x﹣1；（2）MN=t2+2；（3）t的值为1或0；（4）满足条件的
1Q点坐标为：（0，2）、（﹣1，3）、（ ， ）、（ ， ）
【解析】
【分析】
（1）利用待定系数法进行求解即可；
（2）把x=t代入函数关系式相减即可得；
（3）根据图形分别讨论∠ANM=90°、∠AMN=90°时的情况即可得；
（4）根据题意画出满足条件图形，可以找到AN为 KNP对称轴，由对称性找到第一个满足条件
Q，再通过延长和圆的对称性找到剩余三个点，利用△勾股定理进行计算．
【详解】（1）∵抛物线C ：y=ax2+bx﹣1经过点A（﹣2，1）和点B（﹣1，﹣1），
1
∴ ，解得： ，
∴抛物线C ：解析式为y=x2+x﹣1；
1
（2）∵动直线x=t与抛物线C 交于点N，与抛物线C 交于点M，
1 2
∴点N的纵坐标为t2+t﹣1，点M的纵坐标为2t2+t+1，
∴MN=（2t2+t+1）﹣（t2+t﹣1）=t2+2；
（3）共分两种情况
①当∠ANM=90°，AN=MN时，由已知N（t，t2+t﹣1），A（﹣2，1），
∴AN=t﹣（﹣2）=t+2，
∵MN=t2+2，
∴t2+2=t+2，
∴t=0（舍去），t=1，
1 2
∴t=1；
②当∠AMN=90°，AN=MN时，由已知M（t，2t2+t+1），A（﹣2，1），
∴AM=t﹣（﹣2）=t+2，
∵MN=t2+2，
∴t2+2=t+2，
∴t=0，t=1（舍去），
1 2
∴t=0，
故t的值为1或0；
（4）由（3）可知t=1时M位于y轴右侧，根据题意画出示意图如图：易得K（0，3），B、O、N三点共线，
∵A（﹣2，1），N（1，1），P（0，﹣1），
∴点K、P关于直线AN对称，
设⊙K与y轴下方交点为Q，则其坐标为（0，2），
2
∴Q 与点O关于直线AN对称，
2
∴Q 是满足条件∠KNQ=∠BNP，
2
则NQ 延长线与⊙K交点Q，Q、Q 关于KN的对称点Q、Q 也满足∠KNQ=∠BNP，
2 1 1 2 3 4
由图形易得Q（﹣1，3），
1
设点Q 坐标为（a，b），由对称性可知QN=NQ =BN=2 ，
3 3 1
由∵⊙K半径为1，
∴ ，解得： ， ，
同理，设点Q 坐标为（a，b），由对称性可知QN=NQ =NO= ，
4 4 2
∴ ，解得： ， ，
∴满足条件 的Q点坐标为：（0，2）、（﹣1，3）、（ ， ）、（ ， ）.
【点睛】本题为代数几何综合题，考查了待定系数法、二次函数基本性质、轴对称的性质、平面内两点间的距离等，熟练掌握相关知识、灵活运用分类讨论、数形结合以及构造数学模型等数学
思想是解题的关键．本试卷的题干、答案和解析均由组卷网（http://zujuan.xkw.com）专业教师团队编校出品。
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