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2025 年高考考前信息必刷卷（新高考Ⅱ卷）
数 学·参考答案
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的．
1 2 3 4 5 6 7 8
A D C A B C C D
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，
全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9 10 11
AC AD ABD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12． 13． 14．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．(13分）【答案】(1)单调递减区间为 ，单调递增区间为 ．(2)
(3)
【解析】（1） 的定义域为 ，（1分） ．（2分）
当 时， 在 单调递减（4分）
当 时， 在 单调递增．（6分）
故 单调递减区间为 ，单调递增区间为 ．（7分）
（2）因为 ，所以由（1）知 ．（10分）
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学科网（北京）股份有限公司（3）由（1）知 （11分）
所以 ，得 ，即a的取值范围为 ．（13分）
16．(15分）【答案】(1)列联表见解析；有90%的把握认为性别因素与学生体育锻炼的经常性有关系；
(2) ， ；(3)分布列见解析，
【解析】（1）根据统计表格数据可得列联表如下：
锻炼
性别 合计
不经常 经常
男生 7 23 30
女生 14 16 30
合计 21 39 60
（2分）
根据列联表的数据计算可得
，（4分）
故有90%的把握认为性别因素与学生体育锻炼的经常性有关系；（5分）
（2）因学校总学生数远大于所抽取的学生数，故 近似服从二项分布，
易知随机抽取一人为“极度缺乏锻炼”者的概率 ，即可得 ，（6分）
故 ，（7分） ；（8分）
（3）易知10名“运动爱好者”有7名男生，3名女生，
所以Y的所有可能取值为0，1，2，3，且Y服从超几何分布：（9分）
，（10分）
，（11分）
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学科网（北京）股份有限公司，（12分）
（13分）
故所求分布列为
Y 0 1 2 3
P
可得 （15分）
17．(15分）【答案】(1)证明见解析；(2) .
【解析】（1）如图所示，取 的中点 ，连接 ， .
因为 ， ，所以 且 ，
所以四边形 是平行四边形，则 .（2分）
因为 ，所以 .（3分）
又 为等边三角形，所以 .（4分）
因为 ， ， 平面 ，所以 平面 .（5分）
因为 平面 ，所以 .（6分）
（2）设四棱锥 的高为 ，
由题设，得 ，则 ，（8分）
由题设知 ，所以 底面 .（9分）
如图所示，以点 为坐标原点，直线 为 轴， 为 轴， 为 轴，建立空间直角坐标系，
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学科网（北京）股份有限公司则 ， ， ， ， ， ，
所以 ， ， ，⃗DA=(2,0,0).（10分）
设平面 的法向量为⃗m=(x ,y ,z )，则 ，
1 1 1
令 ，则 ， ，所以 ；（12分）
设平面 的法向量为⃗n=(x ,y ,z )，则 ，
2 2 2
令 ，则 ， ，所以 .（13分）
设平面 与平面 的夹角为 ，
因为 ，所以 ，（14分）
即平面 与平面 的夹角正弦值为 .（15分）
18．(17分）【答案】（Ⅰ） ， ， ；（Ⅱ）证明见解析.
【解析】（Ⅰ）由题意得， ， ．（2分）
当覆盖的等圆有 层时，最下面一层的圆有 个，相邻两圆的圆心距为 ，（2分）
最左边与最右边的两圆的圆心距为 ．（4分）
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学科网（北京）股份有限公司又最左边与最右边的两圆的圆心在三角形底边上投影与底边最近顶点距离之和为 ，（5分）
则 ，∴ ．（8分）
（Ⅱ）证明：被覆盖面积 ，（11分）
正三角形的面积 ．（12分）
被覆盖率 ，（16分）
∴对任意的层数 ，此正三角形的被覆盖率 低于91%．（17分）
19．(17分）【答案】(1) (2)
【解析】（1）椭圆 的标准方程为 ，则F (-1,0)．（2分）
1
当直线 的倾斜角为 时， 分别为椭圆的左、右顶点，此时两切线平行无交点，不符合题意，所以直
线 的倾斜角不为 ,（2分）
设直线 ,
由 ,得 ，
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学科网（北京）股份有限公司则 ，
所以
,
又椭圆 在点 处的切线方程为 ，在点 处的切线方程为 ，
由 ，得 ，
代入 ，得 ，所以 ，
则点 到直线 的距离 ，
所以 ，
设 ，则 ，
令 ，则 ，所以 在 上单调递增，
所以当 ，即 时， 的面积最小，最小值是 ；
（2）椭圆 的焦点在 轴上，长半轴长为 ，短半轴长为1，
椭球由椭圆 及其内部绕 轴旋转 而成旋转体，
构造一个底面半径为1，高为 的圆柱，在圆柱中挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，
圆柱上底面为底面的圆锥后得到一新几何体，
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学科网（北京）股份有限公司当平行于底面的截面与圆锥顶点距离为 时，设小圆锥底面半径为 ，
则 ，即 ，所以新几何体的截面面积为 ，
把 代入 ，得 ，解得 ，
所以半椭球的截面面积为 ，
由祖暅原理，得椭球的体积 .
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