上海市崇明区2025届高三第二次模拟考试数学答案_2025年4月_250407上海市崇明区2025届高三第二次模拟考试_上海市崇明区2025届高三第二次模拟考试数学

上海市崇明区 2025 届高三二模数学试卷 2025.03 一、填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分） 1. 不等式 的解为__________． 【答案】 【解析】 【分析】结合绝对值不等式的解法，以及区间的定义，即可求解． 【详解】解： ，即 ，解得 ， 故所求解集为 ． 故答案为： ． 2. 已知复数 （i为虚数单位），则 __________． 【答案】 # 【解析】 【分析】由复数的乘法即可求得答案. 【详解】 故答案为： 3. 已知全集 ，集合 ，则 __________． 【答案】 【解析】 【分析】由集合运算求出 ，然后得到 . 【详解】 ，∴ ， 故答案为： 第1页/共21页 学科网（北京）股份有限公司4. 求直线 与直线 的夹角为________. 【答案】 【解析】 【分析】先求出直线的斜率，可得它们的倾斜角，从而求出两条直线的夹角． 【详解】解： 直线 的斜率不存在，倾斜角为 ， 直线 的斜率为 ，倾斜角为 ， 故直线 与直线 的夹角为 ， 故答案为： ． 5. 已知 ，则 __________． 【答案】 【解析】 【分析】写出 坐标，由坐标得到 . 【详解】 ，∴ . 故答案为： 6. 函数 的最小正周期是 ，则 _______． 【答案】 【解析】 【分析】由正弦型函数的周期公式可求得 的值. 第2页/共21页 学科网（北京）股份有限公司【详解】因为函数 的最小正周期是 ，则 . 故答案为： . 7. 某次数学考试后，随机选取14位学生的成绩，得到如下茎叶图，其中个数部分作为“叶”，百位数和十 位数作为“茎”，若该组数据的第25百分位数是87，则x的值为_______． 【答案】7 【解析】 【分析】根据题意结合百分位数的概念运算求解. 【详解】 ，则该组数据从小到大排列后的第四位数是87，即 ， 故答案为：7. 8. 在 中，若 ，其面积为 ，则 __________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据三角形面积公式求出 的值，再结合余弦定理求出 的值，进而求出 的值. 【详解】已知 ， ，代入面积公式可得： 则 ，可得： . 根据余弦定理为 ，可得 则 .即 ， 把 代入可得： ，即 . 第3页/共21页 学科网（北京）股份有限公司由于 为边长，可得 . 故答案为： . 9. 若 ，则 _______. 【答案】 ## 【解析】 【分析】令 求解即可. 【详解】令 ，则 ，即 . 故答案为： 10. 已知 ，若函数 有两个极值点，则实数a的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 的 【分析】分析分段函数 单调性，由题意得到对应结论，然后建立不等式组，求得实数a的取值范围. 【详解】∵二次函数 开口向下， 是 极大值， 一次函数 ，当 时，函数 时单调函数，没有极值点， 要想函数 有两个极值点，则这两个极值点为 和 ， 又∵函数 在 上单调递减，∴ 在 上递增. 第4页/共21页 学科网（北京）股份有限公司∴ ，∴ . 故答案为： 11. 已知双曲线 的左、右焦点为 ，以O为顶点， 为焦点作抛物线交双曲线于 P，且 ，则 __________． 【答案】 【解析】 【分析】由抛物线得定义过点 作准线的垂线，可构造直角三角形，由此可得 ，再在 中由余 弦定理可得 ，接着利用双曲线的定义可求 ，最后利用共焦点求得 . 【详解】由题意可知， ， 如图，过点 作准线的垂线，垂足为 ，则 ， 则 ，得 ， 在 中由余弦定理可得， 第5页/共21页 学科网（北京）股份有限公司，即 ， 则由双曲线的定义可得 ，得 ， 则 故答案为： 12. 已知集合M中的任一个元素都是整数，当存在整数 且 时，称M为“间断整数 集”．集合 的所有子集中，是“间断整数集”的个数为__________． 【答案】968 【解析】 【分析】根据子集中元素的个数分类，每一类都利用组合数计数，再剔除不满足定义的子集，最后根据分 类加法计数原理求值即可. 【详解】由题意，满足“间断整数集”定义的子集至少有2个元素，至多有9个元素， 按子集中元素 的个数分类， ①当元素个数为2时，不满足定义的子集有： ，共9个； 此时满足定义的子集有 个， ②当元素个数为3时，不满足定义的子集有： ，共8个； 此时满足定义的子集有 个， ③当元素个数为4时，不满足定义的子集有： ，共7个； 此时满足定义的子集有 个， ④当元素个数为5时，不满足定义的子集有： 第6页/共21页 学科网（北京）股份有限公司，共6个； 此时满足定义的子集有 个， ⑤当元素个数为6时，不满足定义的子集有： ，共5个； 此时满足定义的子集有 个， ⑥当元素个数为7时，不满足定义的子集有： ，共4个； 此时满足定义的子集有 个， ⑦当元素个数为8时，不满足定义的子集有： ，共3个； 此时满足定义的子集有 个， ⑧当元素个数为9时，不满足定义的子集有： ，共2个； 此时满足定义的子集有 个， 综上所述，满足题意的子集共有 个. 故答案为：968. 二、选择题 13. 若 ， ，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 第7页/共21页 学科网（北京）股份有限公司【分析】利用不等式的基本性质可判断AD选项，利用特殊值法可判断BC选项. 【详解】因为 ， ， 对于A选项， ，A错； 对于B选项，不妨取 ， ， ， ，则 ，B错； 对于C选项，取 ，则 ，C错； 对于D选项，由题意可知， ，由不等式的基本性质可得 ，D对. 故选：D. 14. 已知一个圆锥的轴截面是边长为2的等边三角形，则这个圆锥的侧面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出母线长和底面圆的半径，再根据圆锥的侧面积公式即可得解. 【详解】由题意可知，圆锥的母线长和底面圆的直径均为 ， 所以圆锥的侧面积为 . 故选：A. 15. 抛掷一枚质地均匀的硬币n次（其中n为大于等于2的整数），设事件A表示“n次中既有正面朝上又 有反面朝上”，事件B表示“n次中至多有一次正面朝上”，若事件A与事件B是独立的，则n的值为（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】先分别求出事件 、事件 以及事件 发生的概率，再根据事件 与事件 独立的性质 来求解 的值. 【详解】抛掷一枚质地均匀的硬币 次，所有可能的结果有 种. 第8页/共21页 学科网（北京）股份有限公司事件 表示“ 次中既有正面朝上又有反面朝上”，其对立事件 为“ 次都是正面朝上或 次都是反面 朝上”， 包含的情况有 种，所以 . 根据对立事件概率之和为 ，可得 . 事件 表示“ 次中至多有一次正面朝上”，即“ 次中没有正面朝上（全是反面朝上）”或“ 次中有 一次正面朝上”. “ 次中没有正面朝上”的情况有 种；“ 次中有一次正面朝上”，从 次中选 次为正面朝上，有 种情况. 所以事件 包含的情况共有 种，则 . 事件 表示“ 次中既有正面朝上又有反面朝上且至多有一次正面朝上”，即“ 次中有一次正面朝 上”，有 种情况，所以 . 因为事件 与事件 是独立的，所以 ，即 . 可得： .展开得： .即 . 当 时， ， ，等式不成立； 当 时， ， ，等式成立； 当 时， ， ，等式不成立. 所以 . 故选：C. 第9页/共21页 学科网（北京）股份有限公司16. 数列 是等差数列，周期数列 满足 ，若集合 ，n是正整数 中恰有 三个元素，则数列 的周期T的取值不可能是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】D 【解析】 【分析】现根据等差数列的通项公式和周期数列的定义，得到 ，然后对选项逐一分析即可. 【详解】 , 取 ，则公差 ， 当 ，是 ，此时角度序列为： ， 取 ，则对应的余弦值为 ，此时 ，三个元素合题意； 当 ，是 ，此时角度序列为： ， 取 ，则对应的余弦值为 ， 又 ，此时 也是三个元素，合题意； 当 ，是 ，此时角度序列为： ， 取 ，则对应的余弦值为 ，此时 也是三个元素，合题意； 当 ，是 ，此时角度序列为： ， 第10页/共21页 学科网（北京）股份有限公司由于 是质数，角度间隔 无法分解为更小的对称单元，余弦值的对称性不足以将 个不同角度映射为 个不同值， 故选：D. 三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+18+18=78分） 17. 如图，在四棱锥 中，底面 是边长为2的正方形，且 ， ，点 分别为 的中点. （1）求证： 平面 ； （2）求点 到平面 的距离. 【答案】（1）证明见解析； （2） . 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用线面垂直的判定、性质推理即得. （2）利用等体积法求出点到平面的距离. 【小问1详解】 由底面 为正方形，得 ，又 平面 ， 是 于 平面 ，而 平面 ，则 ，同理 ， 又 平面 ， 所以 平面 . 第11页/共21页 学科网（北京）股份有限公司【小问2详解】 由（1）得 ，点 为 的中点，在 中， ，点 为 的中点，同理 ， 在 中， ，因此 ， 在直角 中， ， 由（1）知 平面 ，则 平面 ，于是点 到平面 的距离为 设点 到平面 的距离为 ，由 ，得 ，解得 ， 所以点 到平面 的距离为 . 18. 已知 ． （1）是否存在实数a，使得函数 是偶函数？若存在，求实数a的值，若不存在，请说明理由； （2）若 且 ，解关于x的不等式 ． 【答案】（1）存在实数 ，使得函数 是偶函数 （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）根据偶函数的定义可求解. （2）先根据对数函数的单调性和定义域列出不等式组；再结合 且 ，分类讨论即可求解. 【小问1详解】 存在实数 ，使得函数 是偶函数. 第12页/共21页 学科网（北京）股份有限公司要使函数 有意义，须满足 ，即 ， 显然 ，即 ，函数 的定义域 . 当 时，函数定义域不关于原点对称，此时必然存在 且 ，此时函数 不是偶函 数. 当 时， ， 函数 的定义域为 ，对于任意的 ，都有 ， 并且 因此函数 是一个偶函数 综上所述，存在实数 ，使得函数 是偶函数 【小问2详解】 由 ，得 所以 且 ①． 由①得， . 因为 且 ， 所以当 时， ， 当 时， . 综上可得：当 时，不等式 的解集为 ；当 时，不等式 的解集为 . 第13页/共21页 学科网（北京）股份有限公司19. 某区2025年3月31日至4月13日的天气预报如图所示． （1）从3月31日至4月13日某天开始，连续统计三天，求这三天中至少有两天是阵雨的概率； （2）根据天气预报，该区4月14日的最低气温是9 ，温差是指一段时间内最高温度与最低温度之间的 差值，例如3月31日的最高温度为17 ，最低温度为9 ，当天的温差为8 记4月1日至4日这4天 温差的方差为 ，4月11日至14日这4天温差的方差为 ，若 ，求4月14日天气预报的最高气 温； （3）从3月31日至4月13日中随机抽取两天，用X表示一天温差不高于9 的天数，求X的分布列及期 望． 【答案】（1） （2）18 （3）分布列见解析， 【解析】 【分析】（1）根据古典概型概率公式，用事件 包含的样本点个数除以总样本点个数来计算概率； （2）根据方差公式列出关于 的方程，然后求解 ； （3）根据随机变量的分布列，利用期望公式计算期望. 第14页/共21页 学科网（北京）股份有限公司【小问1详解】 设“从3月31日至4月13日某天开始，连续统计三天，这三天中至少有两天是阵雨”为事件A，连续统计 三天共有12个样本点，事件A共有4个样本点，所以 【小问2详解】 4月1日至4日这4天温差分别为9 、8 、9 、9 ， 因此 ，设4月14日的温差为x ， 则4月11日至14日这4天温差分别为8 、9°C、8 、x ， 因此 ， 解得 ，因此，4月11日这天最高气温是18 ． 【小问3详解】 从3月31日至4月13日，一天温差不超过9 的共有11天，高于9 的共有3天 为 X可能取值 0，1，2. ， ， 随机变量X的分布列为： X 0 1 2 P 第15页/共21页 学科网（北京）股份有限公司随机变量X的期望 . 20. 已知抛物线 ，过点 的直线 与抛物线 交于点 、 ，与 轴交于点 ． （1）若点 位于第一象限，且点 到抛物线 的焦点的距离等于 ，求点 的坐标； （2）若点 坐标为 ，且点 恰为线段 的中点，求原点 到直线 的距离； （3）若抛物线 上存在定点 使得满足题意的点 、 都有 ，求 、 满足的关系式． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）设 ，利用抛物线的定义可求出点 的值，由此可求出点 的坐标； （2）设 ，则 ，根据点 在 轴上，可求出 的值，可得出点 的坐标，可 求出直线 的方程，再利用点到直线的距离公式可求得结果； （3）分析可知，直线 斜率必然存在，设其方程为 ，设点 、 、 第16页/共21页 学科网（北京）股份有限公司，将直线 的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，根据 可得出关于 的等 式，消去 即可得出结果. 【小问1详解】 设 ，因为点 在抛物线上， 所以点 到抛物线 的焦点的距离等于它到抛物线 的准线 的距离， 所以 ，则 ，所以 ，故点 的坐标是 . 【 小问2详解】 设 ，则 ，由题意 ，所以 ， 所以点 的坐标为 ，则 ， 所以，直线 的方程为 ，即直线 的方程为 ， 所以原点 到直线 的距离为 . 【小问3详解】 设 ，若直线 的斜率不存在时，则直线 与抛物线 只有一个交点，不合乎题意， 所以，直线 斜率必然存在，设其方程为 ， 代入 中，得 ， 设 、 ，则 ， ， 第17页/共21页 学科网（北京）股份有限公司因为 ，且 ， 所以 ， 显然 ， ，则 ， 所以 故 ，即 ． 由题意，得 ，因此 . 21. 已知函数 ，P为坐标平面上一点．若函数 的图像上存在与P不同的一点Q，使得直 线PQ是函数 在点Q处的切线，则称点P具有性质 ． （1）若 ，判断点 是否具有性质 ，并说明理由； （2）若 ，证明：线段 上的所有点均具有性质 ； （3）若 ，证明：“点 具有性质 ”的充要条件是“ ”． 【答案】（1）点 具有性质 ，理由见解析 （2）证明见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）设 ，然后写出经过 的切线方程，将 代入求解，即可判断； （2）设 ，然后写出经过 的切线方程，按 是否在 分类讨论，代入切线方程，得到关于 的方程，证明其有解即可； 第18页/共21页 学科网（北京）股份有限公司（3）设 ，然后写出经过 的切线方程，然后按照充分必要性的推出关系，分别证明即可. 【小问1详解】 点 具有性质 ，理由如下： 设 ，因为 ， 所以曲线 在点Q处的切线方程为： ， 将点 坐标代入，得： ，所以 或2 即函数 的图像上存在与P不同的一点 ， 使得直线PQ是函数 图像在点Q处的切线，故点 具有性质 ； 【小问2详解】 证明： 设 函数 的图像在Q处的切线方程为： ① 当 时，点P在函数 的图像上， 将 代入①式，得： ② 令 ，则 所以关于q的方程②必有实数解 ，且 故函数 的图像上存在与P不同的一点Q，使得直线PQ是函数 图像在点Q处的切线， 第19页/共21页 学科网（北京）股份有限公司即点 具有性质 ； 当 时，点P不在函数 的图像上， 将 代入①式，得： ③ 令 ，则 所以当 时，关于q的方程③必有解， 故函数 的图像上存在与P不同的一点Q，使得直线PQ是函数 图像在点Q处的切线， 即点 具有性质 ， 综上所述，线段 上的所有点均具有性质 ； 【小问3详解】 证明：设 ， 函数 的图像在Q处的切线方程为： 必要性：若点 具有性质 ，则点 应满足方程 令 ，则由 ，得： ， 当 时， ，当 时， ， 故函数 在 时取得最小值 因为P与Q是不相同的点，所以点P的横坐标 ，因此 ， 即 . 第20页/共21页 学科网（北京）股份有限公司充分性：当 时，令 对于函数 ，当q趋向 时， 趋向 ， 又 ，故关于q的方程 必然有解， 即存在点 使得直线PQ是函数 的图像的切线， 所以点 具有性质 综上所述，“点 具有性质 ”的充要条件是“ ”. 第21页/共21页 学科网（北京）股份有限公司