云南省玉溪第一中学2026届高三上学期适应性测试（四）数学Word版含解析_2025年9月_250924云南省玉溪第一中学2026届高三上学期适应性测试（四）（全科）

玉溪一中 2025—2026 学年上学期高三适应性测试（四） 数 学 注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡 上，并认真核准条形码上的姓名、准考证号、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条 形码. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需 改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，用黑色碳素笔将答案写在答 题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的. 1. 已知集合 ， ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【详解】∵ ，∴ ， 又 ，所以 ， 故选：C. 2. 已知复数 满足 ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【详解】设 ，则 ， 因为 ，所以 ，所以 ，所以 ，解得 ，所以 . 故选：A. 3. 若函数 在区间 单调递增，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【详解】令 ，又 在R上单调递减， 所以要使 在区间 单调递增， 则 在区间 单调递减， 所以由 的开口向上且对称轴为 得 ，解得 . 故选：D 4. 已知 ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【详解】故选：D. 5. 北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称为天心石)， 环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环 多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板 (不含天心石)（ ） A. 3699块 B. 3474块 C. 3402块 D. 3339块 【答案】C 【详解】设第n环天石心块数为 ，第一层共有n环， 则 是以9为首项，9为公差的等差数列， ， 设 为 的前n项和，则第一层、第二层、第三层的块数分 别为 ，因为下层比中层多729块， 所以 ， 即 即 ，解得 ，所以 . 故选：C 6. 的展开式中 的系数为（ ） A 55 B. C. 30 D. 【答案】C 【详解】对 ，有 ， 令 ，有 ， 令 ，有 ， 则 ， 故 的展开式中 的系数为 . 故选：C. 7. 已知定义在R上的函数 ，若函数 恰有2个零点，则实数a的取 值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【详解】如图，数形结合，观察直线 与曲线 的位置关系. 当 ，故在 处的切线方程为 . 当 ，同理可得在 处的切线方程为 . 当 ， 设切点为 ，其中 ，则过该点的切线方程为 ， 代入 ，得 ，故过 的切线方程为 . 可得当 时，有两个交点，即函数 恰有两个零点. 此时 故选：B 的 8. “曼哈顿距离”是人脸识别中 一种重要测距方式，其定义如下：设 ，则 两 点间的曼哈顿距离 ，已知 ，点 在圆 上 运动，若点 满足 ，则 的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D【详解】如图所示，由圆 ，可得 ， 则圆心 ，半径 ， 设 ，则 ，可得点 的轨迹为如下所示的正方形， 其中 ，则 ， 则 ，所以 的最大值为 . 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 如图，在长方体 中， ， ， 分别为棱 ， 的中点， 则下列说法正确的是（ ） 的 A. 四点共面 B. 直线 与 所成角 为 C. 平面 D. 平面 平面 【答案】BD 【详解】对于A：在长方体 中， 在平面 内， 为 的中点，平面 ，则 为平面 外一点，故 不共面，故A错误； 对于B：如图，取 中点 ，连接 ， ， 可得 ，则 为直线 与 所成角， 在长方体 中，由 ，易得 为边长为 的正三角形，故 ，故B正确； 对于C：若 平面 ，又 平面 ，则平面 平面 ，而平面 平 面 ，故矛盾，故C错误； 对于D：在长方体 中， 平面 ， 平面 ， 所以，平面 平面 ，故D正确. 故选：BD 10. 下列结论正确的是（ ） A. 若 ，则 B. 若 ， ，则 C. 若 且 ，则 D. 若 ，则 【答案】AD 【详解】对于选项A，当 时， .∵ ，当且仅当 时，取等号，∴ ，故A正确. 对于选项B，∵ 且 ，由糖水原理可知 ，故B错误； 对于选项C，当 时，结论不成立，故C错误； 对于选项D， ，即 ，故D正确. 故选：AD. 11. 已知函数 ，则（ ） A. 当 时，函数 在 上单调递增 B. 当 时，函数 有两个极值 C. 过点 且与曲线 相切的直线有且仅有一条 D. 当 时，直线 与曲线 有三个交点 ， ， 则 【答案】ACD 【详解】A选项， 时， ， 恒成立，故函数 在 上单调递增，A正确； B选项， ，当 时， 恒成立，此时 在R上单调递增，无极值，B错误； C选项，显然 不在 上，设切点为 ， 因为 ，所以 ， 故切线方程为 ， 又切线过点 ，故 ， 整理得 ， 设 ，则 令 得 或 ， 令 得 或 ，令 得 ， 故 在 上单调递增，在 上单调递减， 其中 ， ， 又 ，故 只有1个根-2， 故过点 且与曲线 相切的直线有且仅有一条，C正确； D选项，当 时， ， 若 ，直线 ， 此时与曲线 只有1个交点，不合要求，故 ， ，直线 与曲线 联立得 ，设 ， 故 ， 所以 ，则 ，D正确. 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知两个单位向量 ， 满足 ，则向量 和 的夹角为______. 【答案】 【详解】因为向量 ， 为单位向量，所以 ， ， 又 ，所以 ，所以 ， 所以 ， ， 所以 ， 又 ，所以 . 故答案为： . 13. 已知 是椭圆 的左、右焦点， 是 上一点．过点 作直线 的垂线 ，过点作直线 的垂线 ．若 的交点 在 上（ 均在 轴上方 ，且 ，则 的离心率 为__________． 【答案】 ## 【详解】设 ， ，由题意可知： ， 则直线 的斜率 ，可知 的方程为 ， 同理可得： 的方程为 ， 联立方程 ，解得 ，即 ， 因为 在 上，可知 关于x轴对称， 且 ，则 ，可得 ， 又因为 ，即 ，由题意可得： ，整理得 ， 解得 或 （舍去），则 ， 所以 的离心率为 . 故答案为： . 14. 甲、乙、丙、丁四人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传 给另外三个人中的任何一人.如果设 次传球后球在甲手中的概率为 ，则 __________； __________. 【答案】 ①. ②. 【详解】记n次传球后球在甲手中的事件为 ，对应的概率为 ， ， ，则 ， 于是得 ，即 ， 而 ，所以数列 是首项为 ，公比为 的等比数列， 因此， ，即 ， 所以n次传球后球在甲手中的概率是 . . 故答案 ：① ；② . 为 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 在 中，内角 的对边分别为 ，已知 ． （1）求证： ； （2）若 ，求 的面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【小问1详解】 因为 ， 根据正弦定理得： 又 ，所以 ， 所以 ， 即 ， 所以 ， 或 （舍）， 所以 . 【小问2详解】根据正弦定理 得 ，即 ， 有余弦定理 ，得 ， 解得 或 ， 当 时， ， ， ，则 ， ， 而 ，矛盾，舍去，故 ， 所以 的面积为 16. 如图，在四棱锥 中，底面 为矩形， ，侧面 是等边三角形，三 棱锥 的体积为 ，点 是棱 的中点． （1）求证：平面 平面 ； （2）求平面 与平面 夹角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【小问1详解】 因为底面 为矩形， ，所以 ，设三棱锥 的高为 ，又三棱锥 的体积为 ， 所以 ，所以 ， 又侧面 是等边三角形，且 ， 取 的中点，连接 ，可得 ，从而 为三棱锥 的高， 所以 平面 ，又 平面 ，所以 ， 又 ， ， 平面 ， 所以 平面 ，又 平面 ，所以平面 平面 ； 【小问2详解】 取 的中点 ，连接 ，则 ， 故由（1）可以 为坐标原点， 所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角标系， 则 ， 则 ， 设平面 的一个法向量为 ， 则 ，令 ，则 ，所以平面 的一个法向量为 ， 又平面 的一个法向量为 ， 设平面 与平面 夹角为 所以 ， 所以平面 与平面 夹角的余弦值为 ． 17. 现有两组数据， 组： 组： .先从 组数据中任取3个，构成数组 ，再从 组 数据中任取3个，构成数组 ，两组抽取的结果互不影响. （1）求数组 的数据之和不大于8且数组 的数据之和大于8的概率； （2）记 ，其中 表示数组 中最小的数， 表示数组 中最大的数， 求 的分布列以及数学期望 . 【答案】（1） （2）分布列见解析， 【小问1详解】 记“数组 的数据之和不大于8”为事件 ，“数组 的数据之和大于8”为事件 ， 则 ， 事件 包含的数组有： 、 、 、 、 、 ，共 组，，故所求概率 . 【小问2详解】 依题意， 的可能取值为 ； ， ， 则 的分布列为 1 2 3 4 则 . 18. 设 为坐标原点，抛物线 与 的焦点分别为 为线段 的中 点．点 在 上 在第一象限），点 在 上， ． （1）求曲线 的方程； （2）设直线 的方程为 ，求直线 的斜率； （3）若直线 与 的斜率之积为 ，求四边形 面积的最小值． 【答案】（1） （2） （3） 【小问1详解】抛物线 的焦点为 ， 由 为线段 的中点，可得 ， 所以曲线 的方程为 ； 【小问2详解】 设 ， ， ， ， 联立 ，消去x整理得 ，解得 ， ， 则 ， ， 因为 ，则 ， 因 为， ，则 ，所以 ， 所以 ， ，即 ，直线 的斜率为 ； 【小问3详解】 因为 ， ， ， ， 所以 ， ，因为 ，所以 因为 ， ， ， ， 所以 ，① 由 代入①得 ， 由 得 ， 因为 ， ，所以 ，所以 ，同理 ， 所以 且 ， 所以 ，因为 ，所以 ， 所以 ，得 ，即 ， 设 ，联立 消去x，得 ， 所以 ，所以 ，则 ，所以 过定点 ，则 ， 当且仅当 ，即 时取等号，所以 ， 所以四边形 面积的最小值为 19. 已知 ， （1）求 在 处的切线方程以及 的单调性； （2）对 ，有 恒成立，求 的最大整数解； （3）令 ，若 有两个零点分别为 且 为 的唯一 的极值点，求证： . 【答案】（1） ，单调递减区间为 ，单调递增区间为 ； （2） （3）证明见解析 【小问1详解】 因为 ，所以定义域为 ，且 ， 从而 ，又 ，所以切线方程为 即 ； ，令 解得 ，令 解得 ， 所以 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 . 【小问2详解】对 ，有 恒成立， 等价于 恒成立， 等价于 恒成立， 等价于 恒成立，记 ，则 ， 则 ，记 ，因为 ， 所以 为 上的递增函数， 又 ， ，所以 ，使得 ， 即 ， 所以 在 上递减，在 上递增，且 ； 所以 的最大整数解为 . 【小问3详解】 由题意 ，则 ， 令 得 ，当 ， ，当 时， ； 所以 在 上单调递减， 上单调递增， 而要使 有两个零点，要满足 ，即 ； 因为 ， ，令 ， 由 ，所以 ，即 ， 所以 ， 而要证 ，只需证 ，即证： ， 即： ，由 ， 只需证： ， 令 ，则 令 ，则 ， 故 在 上递增， ； 故 在 上递增， ；所以 .