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2024 高考数学
点睛密卷
上海卷
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绝密★启用前
2024 年高考数学点睛密卷(上海卷)
数 学
本试卷共6页，22小题，满分150分。考试用时120分钟。
注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。
用 2B 铅笔将试卷类型(B)填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡
右上角“条形码粘贴处”。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答
案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在
试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目
指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；
不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、填空题(本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分)，
考生应在答题纸的相应位置填写结果．
1．已知集合
2
A = { x || x | 1 } ， B = { − 1 ，1，3，5}，则A B= ．
2．若抛物线 x 2 = m y 的焦点到它的准线距离为1，则实数 m = ．
3．若 1 2 a = 3 b = m
1 1
，且 − =2，则
a b
m = ．
4．在 ( 2 x + 5 ) 5 的二项展开式中，x3的系数为 ．
5．若复数 z 满足iz=3−4i，则 | z |= ．
6．已知数列{a }是等比数列，且a a2 =4．设b =log a ，数列{b }的前
n 2 5 n 2 n n
n 项和为S ，则
n
S
7
= ．
7．已知一个半径为4的扇形圆心角为(02)，面积为 2 ，若tan(+)=3，则
tan= ．3
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8．在平面直角坐标系
3
x O y 中，已知点P(−1,1)和抛物线 C : y 2 = 4 x ，过C的焦点 F 且斜率为
k ( k 0 ) 的直线与 C 交于 A ， B 两点．记线段 A B 的中点为 M ，若线段 M P 的中点在 C 上，
则 k 的值为 ；|AF||BF|的值为 ．
9．已知 a = ( 6 , − 8 ) ， b 与 a 垂直， | b |= 5 ，且 b 与 c = (1 , 0 ) 的夹角是钝角，则 b 在 c 方向上的
投影向量为 ．
10．记函数 y = 4 s in
2 x +
3
在
t , t +
6
上的最大值为 M
t
，最小值为m ，则当
t
t R 时，
M
t
− m
t
的最小值为 ．
11．如图，一个正方体雕塑放置在水平基座上，其中一个顶点恰好在基座上，与之相邻的三
个顶点与水平基座的距离分别是2，3，4，则正方体的8个顶点中与水平基座距离的最大值
为 ．
12．已知曲线 C : y =
| x 2
x
−
2 +
x
1
|
,
+
x
1 ,
x
0
0
，点 P ， Q 是曲线C上任意两个不同点，若 P O Q ，
则称 P ， Q 两点心有灵犀，若 P ， Q 始终心有灵犀，则的最小值
0
的正切值
ta n
0
= ．
二、选择题(本题共有4题，满分20分，每题5分)，每题有且只有一个正确选项，考生应在答
题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．
13．已知 a + b 0 ，且 b 0 ，则( )
A．
a
b
− 1 B． a b − b 2
1 1
C． − D．a2 b2
a b
14．实验测得六组成对数据 ( x , y ) 的值为 ( 4 , 9 0 ) ，(5,84)，(6,83)， ( 7 , 8 0 ) ，(8,75)， ( 9 , 6 8 ) ，
由此可得 y 与 x 之间的回归方程为 ˆy = − 4 x + ˆb ，则可预测当 x = 1 0 时，yˆ的值为 ( )
A．67 B．66 C．65 D．644
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15．将函数y=−x3 +x，
4
x 0 ,1 的图象绕点(1,0)顺时针旋转角 0
2
得到曲线 C ，
若曲线 C 仍是一个函数的图形，则的最大值为( )
A． a r c ta n
1
2
B．
6
C．
4
D． a r c ta n 2
16．在平面直角坐标系 x O y 中，对于定点 P ( a , b ) ，记点集 { ( x , y ) || x − a | 1 ， | y − b | 1 } 中距
离原点 O 最近的点为点Q ，此最近距离为 f(P)．当点
P
P 在曲线 x 2 + y 2 − 8 x − 4 y + 1 6 = 0 上
运动时，关于下列结论：
①点Q 的轨迹是一个圆；
P
② f(P)的取值范围是 10−2, 10+2．
正确的判断是 ( )
A．①成立，②成立 B．①成立，②不成立
C．①不成立，②成立 D．①不成立，②不成立
三、解答题(本大题共有 5 题，满分 76 分)．解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必
要的步骤．
17．(本题满分 14 分)如图， D 为圆锥的顶点， O 是圆锥底面的圆心， A E 为底面直径，
A E = A D ． △ A B C 是底面的内接正三角形， P 为 D O
6
上一点，PO= DO．
6
(1)证明： P A ⊥ 平面PBC ；
(2)求二面角 B − P C − E 的大小．5
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18. (本题满分14分)如图，四棱锥
5
P − A B C D 中，PA⊥平面 A B C D ，四边形 A B C D 是直角梯
形，其中 D A ⊥ A B ，AD∥BC．PA=2AD=BC =2，AB=2 2．
(1)求异面直线 P C 与AD所成角的大小；
(2)若平面 A B C D 内有一经过点 C 的曲线E，该曲线上的任一动点 Q 都满足 P Q 与 A D 所成角
的大小恰等于 P C 与AD所成角．试判断曲线 E 的形状并说明理由；
(3)在平面ABCD内，设点 Q 是(2)题中的曲线 E 在直角梯形ABCD内部(包括边界)的、一段曲
线 C G 上的动点，其中G 为曲线 E 和 D C 的交点．以 B 为圆心，BQ为半径的圆分别与梯形
的边 A B ， B C 交于 M ， N 两点．当 Q 点在曲线段GC 上运动时，求四面体 P − B M N 体积的
取值范围．
19．(本题满分14分)为了减轻同学们的学习压力，班上决定进行一次减压游戏．班主任把8
个小球(只是颜色有不同)放入一个袋子里，其中白色球与黄色球各3个，红色球与绿色球各
1个．现甲、乙两位同学进行摸球得分比赛，摸到白球每个记1分，黄球每个记2分，红球
每个记 3 分，绿球每个记 4 分，规定摸球人得分不低于 8 分为获胜，否则为负．并规定如
下：
①一个人摸球，另一人不摸球；
②摸出的球不放回；
③摸球的人先从袋子中摸出1球，若摸出的是绿色球，则再从袋子里摸出2个球，若摸出的
不是绿色球，则再从袋子里摸出3个球，摸球人的得分为两次摸出的球的记分之和；
(1)若由甲摸球，如果甲先摸出了绿色球，求该局甲获胜的概率；
(2)若由乙摸球，如果乙先摸出了红色球，求该局乙得分 X 的分布列和数学期望E(X)．6
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20．已知椭圆
6
C :
x
a
2
2
+
y
b
2
2
= 1 ( a b 0 )
2
过点P1, ，记椭圆的左顶点为M ，右焦点为
2
F ．
(1)若椭圆 C 的离心率 e
0 ,
1
2
，求 b 的范围；
(2)已知 a = 2 b ，过点 F 作直线与椭圆分别交于E，G 两点(异于左右顶点)连接 M E ， M G ，
试判定 E M 与EG是否可能垂直，请说明理由；
(3)已知 a = 2 b ，设直线 l 的方程为 y = k ( x − 2 ) ，它与 C 相交于 A ， B ．若直线AF 与 C 的
另一个交点为 D ．证明： | B F |= | D F | ．
21．(本题满分 18 分)已知数列 { a
n
} 是由正实数组成的无穷数列，满足 a
1
= 3 ， a
2
= 7 ，
a =|a −a |，nN*．
n n+1 n+2
(1)写出数列 { a
n
} 前4项的所有可能取法；
(2)判断：是否存在正整数 k ，满足 a
k
= 1 ，并说明理由；
(3) c
n
为数列 { a
n
} 的前 n 项中不同取值的个数，求 c
1 0 0
的最小值．
