文档内容
2024 年高二数学秋季开学考试（北京专用）
注意事项：
1．本试卷满分150分，考试时间120分钟．
2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
3．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需
改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，
写在本试卷上无效．
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的．
1．已知向量 ， ，若 ，则 （ ）
A．1或 B． 或2 C．1或 D． 或
【答案】A
【分析】运用向量平行的坐标表示求解即可.
【详解】由 ，有 ，解得 或 ．
故选：A.
2．复数 （其中 为虚数单位）的虚部等于（ ）
A． B． C．1 D．0
【答案】B
【分析】由复数的运算法则先化简复数，根据复数虚部的概念可得答案.
【详解】 ，
所以其虚部为
故选：B
3．经过点 且斜率为 的直线方程是（ ）A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】利用直线的点斜式方程即可得解.
【详解】因为直线经过点 且斜率为 ，
所以直线方程为 ，即 .
故选：D.
4．斛是我国古代的一种量器，如图所示的斛可视为正四棱台，若该正四棱台的上､下底面
边长分别为2，4，侧面积为24，则该正四棱台的体积为（ ）
A．56 B． C． D．
【答案】C
【分析】先根据正四棱台的侧面积求出斜高，再求正四棱台的高，根据四棱台的体积公式
求解.
【详解】由 为四棱台的斜高.
设四棱台的高为 ，则 ，
所以四棱台的体积为： .
故选：C
5．已知一组样本数据 ， ，…， （ ）的方差为1.2，则 ， ， ，
⋯
的方差为（ ）．A．5 B．6 C．25 D．30
【答案】D
【分析】利用方差的性质求解．
【详解】 数据 的方差为1.2，
， ，…… 的方差为： ．
故选：D.
6．袋中装有大小相同的5个小球，其中1个红球，2个白球，2个黑球，从袋中任意取出
两个小球，则取到红球的概率为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用古典概型公式，结合列举法，即可求解.
【详解】设1个红球为 ，2个白球分别为 ，2个黑球分别为 ，则从袋子中任取2
个球包含：
，
共10个基本事件，
其中取到红球，包含 ，共4个基本事件，
则取出的2个球都是红球的概率 .
故选：B
7． 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 ，
，则 的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由给定条件，利用正弦定理边化角求出 ，再利用余弦定理求出 即可求出
三角形面积.【详解】在 中，由 及正弦定理，得
，
而 ，则 ，由 及余弦定理得 ， ，
因此 ， ，则 ，
所以 的面积为 .
故选：B
8．有4个大小质地相同的小球，分别标有数字 ，从中不放回的随机抽取两次，每
次取一个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是奇数”，乙表示事件“第一次取出的球
的数字是偶数”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和为4”，丁表示事件“两次取出的
球的数字之和为5”，则（ ）
A．甲和乙相互独立 B．甲和丙相互独立
C．甲和丁相互独立 D．丁和丙相互独立
【答案】C
【分析】根据相互独立事件的定义可得答案.
【详解】 ，
，
， ， ， ，
， ， ， ，
对于A， ，故A错误；
对于B，因为 ，故B错误；
对于C， ，故C正确；
对于D， ，故D错误.
故选：C.9．已知两个不重合的平面 ， ，三条不重合的直线a，b，c，则下列四个命题中正确的
是（ ）
A．若 ， ，则 B．若 ， ，则
C． ， ， ， ，则 D． ， ， ，则
【答案】D
【分析】根据线面平行的判定定理判断A，根据空间直线的位置关系判断B，根据面面平
行的判定定理判断C，根据线面平行的性质定理判断D.
【详解】当 ， ， 时，不能推出 ，故A错误；
当 ， 时， 可能相交，也可能异面，不能推出 ，故B错误；
当 ， ， ， ，若 不相交，则推不出 ，故C错误；
当 ， ， ，由线面平行的性质定理知 ，故D正确.
故选：D
10．在四边形 中， ，将 折起，
使平面 平面 ，构成三棱锥 ，如图，则在三棱锥 中，下列结论
不正确的是（ ）
A． B．
C．平面 平面 D．平面 平面
【答案】D
【分析】根据线面、面面垂直的判定定理以及线面、面面垂直的性质定理逐项判断即可.【详解】对于B，如图①，因为 ，
所以 ，
又因为 ， ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，故B正确；
对于A，由B选项知 ，
又因为平面 平面 ， 平面 ， 平面 平面 ，
所以 平面 ，
因为 平面 ，
所以 ，故A正确；
对于C，由选项A知， 平面 ，
因为 平面 ，
所以平面 平面 ，故C正确;
对于D，如图②过点A作 ，垂足为 ，
因为平面 平面 ， 平面 ， 平面 平面 ，
所以 平面 ，
显然 平面 ，所以平面 与平面 不垂直，故D错误.
故选：D.
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．
11．已知 则 在 上的投影向量为【答案】
【分析】根据投影向量的公式即可得解.
【详解】因为 ，且
所以 在 上的投影向量为 .
故答案为： .
12．过点 和点 的直线的斜率为 .
【答案】
【分析】利用两点斜率公式即可得解.
【详解】因为直线过点 和点 ，
所以直线的斜率为 .
故答案为： .
13．数据： ， ， ， ， ， ， ， ， ， 的第 百分位数为 ．
【答案】
【分析】根据百分位数的定义直接计算.
【详解】将数据从小到大依次排列为 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，
又 ，
所以第 百分位数为第三个数，即为 ，
故答案为： .
14．已知三棱锥 ， ，则三棱锥
的外接球的表面积为 .
【答案】
【分析】先证明线面垂直，再将三棱锥放置在圆柱内，利用底面外接圆半径、高与球半径
的关系即可求解.
【详解】 ， ， 平面 ， 平面 ，平面 ，
如图，设圆柱 的底面圆直径为 ，母线长（即圆柱的高）为 ，
则 的中点 到圆柱底面圆上每点的距离都相等，
即 为圆柱 的外接球球心，且有外接球半径 ，
故可以将三棱锥 置于以 外接圆为底面， 为高的圆柱内（如图），
其中上底面外接圆圆心为 ，下底面 外接圆的圆心为 ，
因为 ，
所以 外接圆的直径 ，
则 ，又圆柱的高 ，
所以三棱锥 外接球的半径 ，
球的表面积 .故答案为： .
15．“阿基米德多面体”也称半正多面体，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，
它体现了数学的对称美．如图是以正方体的各条棱的中点为顶点的多面体，这是一个有八
个面为正三角形，六个面为正方形的“阿基米德多面体”，若该多面体的棱长为2，则该
多面体外接球的表面积为 ．
【答案】
【分析】将该多面体补全为正方体，得出该多面体的外接球即为正方体 的
棱切球，求出该正方体的棱长得出棱切球半径，计算得到表面积.
【详解】将“阿基米德多面体”补全为正方体，如下图所示：
不妨取两棱中点为 ，由题知 ，
易知 ，可得 ，
所以正方体的棱长为 ，该多面体的外接球即为正方体 的棱切球，
所以棱切球的直径为该正方体的面对角线，长度为4，
因此该多面体的外接球的半径为2，所以其表面积为 .
故答案为： .
【点睛】关键点点睛：解决问题的关键是通过适当补形，求出外接球的半径，由此即可顺
利得解.三、解答题：本大题共6小题，共85分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16．已知平面向量 ， ， ，其中 .
(1)若 为单位向量，且 ，求 的坐标；
(2)若 且 与 垂直，求向量 ， 夹角的余弦值.
【答案】(1) 或
(2)
【分析】（1）设 ,根据 和 列出关于 的方程求解即可.
（2）根据垂直数量积为0,代入 的模长,求解得 .再根据夹角公式求解即可.
【详解】（1）设 ,由 和
可得：
∴ 或 ,
∴ 或 ；
（2）∵ ，
即 ，
又 , ，
∴ ，∴向量 , 夹角的余弦值 .
17．在 中，角 所对的边分别是 .
(1)若 是 的中点，且 ，求 的面积；
(2)若 为锐角三角形，求 的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用余弦定理和正弦定理将已知等式统一成角的形式，然后利用三角函数恒
等变换公式化简可求得 ，在 中利用余弦定理求出 ，从而可求出 ，再利
用三角形的面积公式可求得 的面积；
（2）利用正弦定理和三角函数恒等变换公式化简 ，得 ，然后求
出角 的范围，再利用正弦函数的性质可求得答案.
【详解】（1）由余弦定理得 ，
所以
由正弦定理得 ，
所以 ，
又 ，所以 ，所以 ，
又 ，所以 .在 中，由余弦定理得 ，
所以 ，解得 ，所以 .
所以 的面积 ；
（2）由正弦定理得
，
因为 是锐角三角形，所以 解得 ，
所以 ，所以 ，
即 的取值范围是 .
18．为了落实习主席提出“绿水青山就是金山银山”的环境治理要求，某市政府积极鼓励
居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准x
（吨），使居民的月用水量不超过x的部分按平价收费，超出x的部分按议价收费.为了了
解居民用水情况，通过抽样，获得了某年200位居民每人的月均用水量（单位：吨），将
数据按照 分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图，其中 .(1)求直方图中a，b的值；
(2)由频率分布直方图估计该市居民用水的平均数（每组数据用该组区间中点值作为代表）；
(3)若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准x（吨），估计x的值，并说明
理由.
【答案】(1) ，
(2) 吨
(3)
【分析】（1）结合图中数据，由直方图中所有长方形的面积之和为1列出等式，即可求出
答案；
（2）由频率分布直方图中平均数的求法，直接计算即可；
（3）结合图中数据易知标准 在 中，由此即可求出 的估计值.
【详解】（1）由频率分布直方图可得
，
又 ，则 ， .
（2）该市居民用水的平均数估计为：
（吨）.
（3）因 的频率为 ，
的频率为 ，
故 的估计值为 （吨）．
所以有 的居民每月的用水量不超过标准 （吨）．19．甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球.约定甲先投，先投中者获胜，一直到有人获胜
或者每人都已投球3次时投篮结束.设甲每次投篮投中的概率为 ，乙每次投篮投中的概率
为 ，且各次投篮互不影响.
(1)求甲获胜的概率；
(2)求投篮结束时，甲只投了2个球的概率；
(3)若用投掷一枚质地均匀硬币的方式决定甲、乙两人谁先投篮，求第3次投篮结束后，投
篮结束的概率.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）设 ， 分别表示甲、乙在第 次投篮投中，设甲获胜为事件 ，
则 ，由互斥事件概率的加法公式计算可得答案；
（2）设投篮结束时，甲只投2个球为事件 ，则 ，由互斥事件概率
的加法公式计算可得答案；
（3）设第3次投篮结束后，投篮结束为事件 ，按甲和乙谁先投篮分2中情况讨论，进而
由互斥事件概率的加法公式计算可得答案.
【详解】（1）根据题意，设 ， 分别表示甲、乙在第 次投篮投中，
则 ， ，
设甲获胜为事件 ，则 ，而 ， ， 互斥，
故
（2）根据题意，设投篮结束时，甲只投2个球为事件 ，则 ，而 ， 互斥，
所以
（3）根据题意，设第3次投篮结束后，投篮结束为事件 ，
分两种情况讨论：
若甲先投篮，若第3次投篮结束后，投篮结束，即事件 ，
若乙先投篮，若第3次投篮结束后，投篮结束，即事件 ，
故
20．如图，在四棱锥 中，底面 为直角梯形， ，
，平面 平面 ．
(1)求证： ；
(2)求平面APB与平面 夹角的余弦值；
(3)在棱 上是否存在点 ，使得 平面 ？若存在，求 的值；若不存在，说
明理由．
【答案】(1)证明见详解
(2)
(3)不存在，理由见详解
【分析】（1）根据面面垂直的性质可得 平面 ，即可得结果；
（2）建系标点，分别求平面APB与平面 法向量，利用空间向量求面面夹角；
（3）设 ，分析可知 ∥ ，列式求解即可判断.【详解】（1）因为平面 平面 ，平面 平面 ，
且 ， 平面 ，可得 平面 ，
因为 平面 ，所以 .
（2）取 中点 ，连接 ，
因为 ，则 ，
因为平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，
可得 平面 ，
由 平面 ，可得 ，
因为 ，则 ，
可知四边形 是平行四边形，则 ，
如图，以 为坐标原点， 为 轴，建立空间直角坐标系 ，
则
可得 ，
设平面APB的法向量为 ，则 ，
令 ，则 ，可得 ；
设平面 的法向量为 ，则 ，
令 ，则 ，可得 ；
则 ，所以平面APB与平面 夹角的余弦值为 .
（3）设 ，
且 ，则 ，
若 平面 ，则 ∥ ，可得 ，方程无解，
所以不存在点 ，使得 平面 .
20．设n为正整数，集合A= ．对于集合A中的
任意元素 和 ，记
M（ ）= ．
（Ⅰ）当n=3时，若 ， ，求M（ ）和M（ ）的值；
（Ⅱ）当n=4时，设B是A的子集，且满足：对于B中的任意元素 ，当 相同时，
M（ ）是奇数；当 不同时，M（ ）是偶数．求集合B中元素个数的最大值；
（Ⅲ）给定不小于2的n，设B是A的子集，且满足：对于B中的任意两个不同的元素
，M（ ）=0．写出一个集合B，使其元素个数最多，并说明理由．
【答案】(1)2,1;(2) 最大值为4;(3)
【详解】（Ⅰ） ，
．
（Ⅱ）考虑数对 只有四种情况： 、 、 、 ，相应的 分别为 、 、 、 ，
所以 中的每个元素应有奇数个 ，
所以 中的元素只可能为（上下对应的两个元素称之为互补元素）：
、 、 、 ，
、 、 、 ，
对于任意两个只有 个 的元素 ， 都满足 是偶数，
所以集合 、 、 、 满足题意，
假设 中元素个数大于等于 ，就至少有一对互补元素，
除了这对互补元素之外还有至少 个含有 个 的元素 ，
则互补元素中含有 个 的元素 与之满足 不合题意，
故 中元素个数的最大值为 ．
（Ⅲ） ，
此时 中有 个元素，下证其为最大．
对于任意两个不同的元素 ， 满足 ，
则 ， 中相同位置上的数字不能同时为 ，
假设存在 有多于 个元素，由于 与任意元素 都有 ，
所以除 外至少有 个元素含有 ，
根据元素的互异性，至少存在一对 ， 满足 ，
此时 不满足题意，
故 中最多有 个元素.
