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2024-2025 学年高二数学上学期第一次月考卷
参考答案
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1 2 3 4 5 6 7 8
D C D A C D C C
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9 10 11
ABD AC AC
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12． 13． 14．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
15．（13分）
【详解】（1）分析知， 斜率存在，则其斜率 ，其方程为 ，
即 ；.................................................................................................................（5分）
（2）当 的斜率为零或者不存在时，点A，B到直线 的距离不相等，故 的斜率存在且不为零，设
为 ，则 的方程为 ，即 ，............................（7分）
学科网（北京）股份有限公司又因为点A，B到直线 的距离相等，所以 ，..........（9分）
解得 ，解得 或 ，
所以直线 的方程为 或 .............................................................（13分）
16．（15分）
【详解】（1）记AC中点为M，连接DM、BM，三角形ACD为正三角形， ，则DM⊥AC，且
.
因为平面ACD⊥平面ABC，平面 平面 ， 平面ACD，所以DM⊥平面
ABC，................................................................................................................................（3分）
又△ABC为正三角形，所以BM⊥AC，所以 ，.............................................（5分）
如图建立空间直角坐标系，则 ， ， ， ，
所以 ， ，
设平面CDE的一个法向量为 ，则 ，令 ，则 ，
，则 ，
设 ， ，则 ，
因为BF∥平面CDE，所以 ，解得 ，
学科网（北京）股份有限公司所以F为CM的中点，此时 ....................................................................................（8分）
（2）若F是AC的中点，则点F与点M重合，则平面FDE的一个法向量可以为 ，
设二面角 为 ，显然二面角为锐角，则 ，
所以 ，
所以二面角 的正弦值为 ............................................................................（15分）
17．（15分）
【详解】（1）依题意， ，且 ，而 ，
所以 ......................................................................（5分）
（2）设 ，则 ，
假设存在这样的点 ，使得 为常数 ， 且 ，则 ，
即 ，将 代入消去 ,
得 对 恒成立，................................................（11分）
，而 ，解得 ，..................................................................（14分）
所以存在点B ，使得对于 上任一点 ，都有 为定值 ....................（15分）
学科网（北京）股份有限公司18．（17分）
【详解】（1）因为 ，所以 ，......................................（3分）
因为 ，所以 ，
所以直线 的方程为： ，化简得： ...........................（5分）
（2）将直线 变形可得： ，
对于 取任何实数时，此方程恒成立，
则 ，得 ，
即直线 恒过两直线 及 的交点 ，..............................（9分）
由图象可知，对于任何一条过点 的直线，点 到它的距离不超过 ，即 ．
......................................................................................（12分）
又因为过点 且垂直于 的直线方程是 ，
时，直线m表示为 ，
此时距离最大 ．所以， 存在最大值．...........................................................（17分）
19．（17分）
【详解】（1） ......（5分）
（2）假设存在点 ，使 ，设 ，....................（8分）
显然 .
学科网（北京）股份有限公司因为 ，所以 ，
即 ...................................................................................（11分）
.
设 ，又 ，
即 ，
解得 ，.........................................................................................................................（16分）
所以当 时， ...................................................................................（17分）
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