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高三数学参考答案
.【答案】
1 B
【解析】 因为 x 1 -1 所以x 所以A x x 1 xx
2> =2 , >-1, = 2> = >-1 ,
2 2
又B x x 所以A B x x .
= -2< <2 , ∩ = -1< <2
.【答案】
2 A
a2 b2
【解析】 设z a bab R 则z2 a2 ab b2 所以 - =0,解得a2 b2
= +i,,∈ , = +2 i- =-2i, ab = =1,
2 =-2,
所以z a2 b2 .
= + =2
.【答案】
3 A
【解析】 当a 时 结合图象可知 当x 时 a x ax x 所以fx .当x 时
>1 , , >0 ,(+1)- >0,>0, ()>0 <0 ,
a x ax x 所以fx 当x 时fx 所以函数fx 只有一个零点.
(+1)- <0,<0, ()<0, =0 ,()=0, ()
.【答案】
4 C
【解析】 由题设M Px y 则y2 x
4,0 , 0,0 , 0=4 0,
所以 MP 2 x 2 y2 x2 x x x 2
= 0-4 + 0= 0-8 0+16+4 0= 0-2 +12,
由x 所以 MP 2 MP 即点P到点 的距离的最小值为 .
0≥0, ≥12⇒ ≥23, 4,0 23
.【答案】
5 D
【解析】 .当x a时y x a
Ⅰ ≥ , =| -3|-3;
若a 则y x 当x 时y x
=0, =||-3, ≥0 ,= -3≥-3;
若a 当x a时y取得最小值 即y
>0, =3 , -3, ≥-3;
若a y x a x a y x a 在x a时单调递增y a a a
<0,=| -3|-3,-3 >0,= -3 -3, ≥ ,≥ -3 -3=-2 -3;
.当x a时 函数y ax a2 的图象是一个二次函数 其对称轴为x a
Ⅱ < , = (- )-2 , = ;
若a 则y ax a2 在 a 上单调递减y aa a2
>0, = (- )-2 (- ,) ,> (- )-2=-2;
若a y x
=0,=-2(<0);
若a 则y ax a2 在 a 上单调递增y aa a2
<0, = (- )-2 (- ,) ,< (- )-2=-2;
因为函数fx 的值域为R
() ,
当a 时y x a 在x a时最小值为 y ax a2 在x a时y 不满足
>0 ,=| -3|-3 ≥ -3,= (- )-2 < >-2,
值域为R
;
当a 时y x y x x y 不满足值域为R
=0 ,=-2(<0),=||-3(≥0),≥-3, ;
当a 时y x a 在x a时y a y ax a2 在x a时y
<0 ,=| -3|-3 ≥ ≥-2 -3,= (- )-2 < <-2;
为使值域为R 需满足 a 解得a 1 综上 1 a .
, -2 -3≤-2, ≥- , ,- ≤ <0
2 2
.【答案】
6 C
【解析】 设OA→ m OB→ m 设OA→ 与OB→ 的夹角为 AOB θ
= 4, , = 4, -4 , ∠ = ,
若θ OA→ OB→ m2 m m 2
∈ 0,π , · =16+ -4 =( -2)+12≥12>0,
则知θ π S 1 1 OA→ OB→ θ
∈(0, ),△ AOB = ×4×4=8= · sin,
2 2 2
即 OA→ OB→ 16 OA→ OB→ OA→ OB→ θ 16 θ π
· = θ, · = cos= θ,∈(0, ),
sin tan 2
则当 AOB最大时 θ最大 即OA→ OB→ 最小 即此时OA→ OB→ m 2 .
∠ ,tan , · , · =( -2)+12=12
当且仅当m 时成立.
=2
.【答案】
7 A
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1 8【解析】 圆x 2 y2 的圆心坐标为C 半径r .
(-6)+ =16 (6,0), =4
因为点P为线段AB的中点 AB 则CP r2 1 AB 2 2 .
, =43,| |= -( )= 16-(23)=2
2
所以点P的轨迹是以C 为圆心 半径为 的圆.
(6,0) , 2
点Q在直线x y 上 可得圆心C 到直线x y 的距离d .
-3 +4=0 , (6,0) -3 +4=0 =5
所以 PQ 的最小值为 .
5-2=3
.【答案】
8 B
【解析】 设第n次构造后得的数列为 x x x 则T x x x
1,1,2,…,k,3, n =4+ 1+ 2+…+ k,
x x x x
则第n 次构造后得到的数列为 1+ 1x 1+ 2x x k +3
+1 1, ,1, ,2,…,k, ,3,
2 2 2
于是T x x x T T T
n +1=6+2(1+ 2+…+ k)=6+2(n -4)=2 n -2,1=6,
显然T T 而T
n +1-2=2(n -2), 1-2=6-2=4,
因此数列 { T n -2} 是以 4 为首项 ,2 为公比的等比数列 , 则T n -2=4×2 n -1 , 即T n =2 n +1 +2,
所以T 9 .
8=2+2=514
.【答案】
9 BD
【解析】 由a2 b2 a b a b a b因为ab均为正数 所以a b
- =(+ )(- )= + , , , - =1,
a b 故 错误
ln(- )=0, A ;
由上知b a 所以b2 a2 所以a2 b2 故 正确
>0,>1, >0, >1, + >1, B ;
a b 所以 a b 故 错误
2>2,2>1, 2+2>3, C ;
a2 b 2
a b (+1) b 1 当且仅当a b 时 等号成立 故 正确.
2ln -ln =lnb=ln b =ln(+b+2)≥ln4, =2,=1 , , D
.【答案】
10 ABD
【解析】 因为fx x x x x
(+π)= 1+sin(2 +2π)- 1-sin(2 +2π)= 1+sin2 - 1-sin2 =
fx
(),
所以 为函数fx 的一个周期 又
π () ,
fx π x x x x fx 故 正确
(+ )= 1+sin(2 +π)- 1-sin(2 +π)= 1-sin2 - 1+sin2 ≠ (), A ;
2
因为f x x x x x fx
(π- )= 1+sin(2π-2 )- 1-sin(2π+2 )= 1-sin2 - 1+sin2 =- (),
故 正确
B ;
因为fx x x x x x x
()= 1+sin2 - 1-sin2 = sin +cos - sin -cos ,
当x π 时fx x单调递增 当x π π 时fx x单调递减 经分析可知
∈[0, ] ,()=2sin , ∈[ , ] ,()=2cos ,
4 4 2
π
fx f π fx f 所以fx 故 错误
()max= ( )=2,()min= (- )=-2, ()∈ -2,2 , C ;
4 4
结合y fx 和y x图象易知两个图象有 个交点 故 正确.
= () =sin 5 , D
.【答案】
11 ACD
【解析】 如图 取分别CD CC 中点为PQ 易得平面BPQ 平面ABM
1, 1 1, 1 , , 1 ∥ 1 ,
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2 8即N的轨迹为线段PQ 又PQ 故 正确
, =5, A ;
如图 取CD中点为T 连接MTBT 可得MT AB
2, , , , ∥ 1 ,
所以平面ABM截四棱柱ABCD ABCD 所得的截面是四边形ABTM 故 错误
1 - 1 1 1 1 1 , B ;
因为四边形ABCD为菱形 ABC 2π 所以BP CD 易知BP 平面CDDC
,∠ = , 1 ⊥ 1 1, 1 ⊥ 1 1,
3
因为 CPQ为直角三角形 所以此时存在N 当CN PQ时 满足CN 平面BPQ
△ 1 , , 1 ⊥ , 1 ⊥ 1 ,
即CN 平面ABM 则有CN BM 故 正确
1 ⊥ 1 , 1 ⊥ , C ;
三棱锥N BDD的体积最大时 此时点N与点Q重合 如图 .
- 1 1 , , 3
由已知得此时ND ND NB 所以N在底面BDD 的射影为 BDD 的外心
= 1= 1=22, 1 1 △ 1 1 ,
又由 BDD 为直角三角形 所以N在底面BDD 的射影为BD中点
△ 1 1 , 1 1 1 ,
设为O 设外接球的球心为O 半径为RBD AC NO 1AC
1, , ,1 =25,1 1=23, 1= 1 1=3,
2
由R2 OO2 OB2 OO2 R OO NO 可得外接球半径R 43
= 1+ 1 1= 1+5, - 1= 1=3, = ,
3
所求外接球的表面积为 R2 64 故 正确.
4π = π, D
3
.【答案】 43
12
3
AC CD
【解析】 在 ABC中 由角平分线定理得 所以b c
△ , AB=BD=3, =3,
A A
S S S 即1bc A 1c AD 1b AD 解得c 4b
△ ABC = △ ABD + △ ADC, sin = × ×sin + × ×sin , = ,=4,
2 2 2 2 2 3
所以S 1bc A 1 4 3 43.
ABC
△ = sin = × ×4× =
2 2 3 2 3
.【答案】
13 2 10
【解析】 由题知a PF PF QF QF
=2, 2 - 1 = 2 - 1 =4,
PQ PF QF PF QF
= 1 + 1 = 2 + 2 -8,
PQF 的周长为 PF QF PQ PF QF
∴△ 2 2 + 2 + =2 2 + 2 -8=
24,
PF QF PQ
∴ 2 + 2 =16, =8,
由PQ→2 PQ→ FQ→ 得PQ→ FQ→ PQ→ PQ→ FP→
= · 2 ·(2 - )= · 2 =0,
即PF→ PQ→ FPQ
2⊥ ,∴∠ 2 =90°,
故 PF 2 QF 2 QF PF
2 +64= 2 ,∴ 2 - 2 =4,
PF QF PF
∴ 2 =6, 2 =10,∴ 1 =2,
在 PFF 中 2 2 c2 解得c 焦距为 .
Rt△ 1 2 ,2+6= 2 , = 10,∴ 2 10
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3 8.【答案】 13
14
30
2 1
【解析】 设A 甲选了D奖品B 甲选了A奖品 则PA 2 C4 1 C3 5 PAB
: , : , ( )= × 3 1+ × 2= , ( )=
3 C6-C4 3 C4 12
13
PAB
2 3 1 1 13PBA ( ) 72 13.
3 × C 3 6-C 1 4 + 3 × C 2 4 = 72 , ( )=P ( A ) = 5 = 30
12
15
.【解析】
(1)
由已知S
n +1+
S
n -1=2
S
n +1,
得 S
n +1-
S
n -
S
n -
S
n -1 =1
n
≥2,
n
∈
N*
分
…………………………………………………………………………………………………………2
即a
n +1-
a
n =1
n
≥2,
n
∈
N*
,
且a
2-
a
1=1
.
数列a 是以a 为首项 公差为 的等差数列.
∴ n 1=1 , 1
a n 分
∴ n = ;………………………………………………………………………………………………5
a n
n
b
(2)n = n= n,
2 2
n n
所以T 1 2 1T 1 2 分
n = 1+ 2+…+ n, n = 2+ 3+…+ n +1 ,…………………………………………8
2 2 2 2 2 2 2
n n n
两式相减 得1T 1 1 1 1 +2 分
, n = 1+ 2+…+ n- n +1=1- n- n +1=1- n +1 ,………………………10
2 2 2 2 2 2 2 2
n
所以T +2
n =2- n ,
2
n
因为n
∈
N*
,
+
n
2
>0,
2
所以T . 分
n <2 …………………………………………………………………………………………13
.【解析】 设AC BD O 则O为ACBD的中点 连接PO
16 (1) ∩ = , , , ,
因为ABCD为菱形 则AC BD
, ⊥ ,
又因为PD PB 且O为BD的中点 则PO BD
= , , ⊥ ,
AC PO OACPO 平面PAC 所以BD 平面PAC
∩ = , , ⊂ , ⊥ ,
且PC 平面PAC 则BD PC 分
⊂ , ⊥ , …………………………………………………………………3
又因为BD 平面AMHNBD 平面PBD 平面AMHN 平面PBD MN
∥ , ⊂ , ∩ = ,
可得BD MN 所以MN PC.
∥ , ⊥
又因为 PAC为正三角形 所以AH PC
△ , ⊥
因为MN αAH α且MN与AH相交
⊂ , ⊂ , ,
所以PC 平面α 分
⊥ ;……………………………………………………………………………………6
因为PA PC 且O为AC的中点 则PO AC
(2) = , , ⊥ ,
且PO BD AC BD OACBD 平面ABCD 所以
⊥ , ∩ = , , ⊂ ,
PO 平面ABCD
⊥ ,
设AH PO G 则G AHG PO 且AH 平面AM-
∩ = , ∈ , ∈ , ⊂
HNPO 平面PBD
, ⊂ ,
可得G 平面AMHNG 平面PBD
∈ ,∈ ,
且平面AMHN 平面PBD MN
∩ = ,
所以G MN 即AHPOMN交于一点G
∈ , , , ,
因为H为PC的中点 则G为 PAC的重心 分
, △ ,………9
PM PN PG
且BD MN 则 2
∥ , PB=PD=PO= ,
3
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4 8由题AB PA PC OA OC 1AC OB OD OP
=2, = =23, = = =3, = =1, =3,
2
如图 以OAOBOP分别为xyz轴 建立空间直角坐标系
, , , ,, , ,
则A P M 2 C
3,0,0 , 0,0,3 , 0, ,1 , -3,0,0 ,
3
可得AM→ 2 AC→
= -3, ,1 , = -23,0,0 ,
3
设平面MAC的法向量n x y z
= 1,1,1 ,
n AM→ x 2y z
则 · =-3 1+ 1+ 1=0
3
n AC→ x
· =-23 1=0,
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5 8
令y 则z 可得n 分
1=3, 1=-2, = 0,3,-2 ,………………………………………………………12
设平面α的法向量为CP→
= 3,0,3 ,
n CP→
可得 nCP→ · -6 39
cos<, >= n CP→ = =- ,
· 13×23 13
所以平面MAC与平面α夹角的余弦值为 39. 分
…………………………………………………15
13
. . . .
.【解析】 由题意得x 8+7+6+5 . 百人 y 05+04+03+02 . 百人
17 (1) = =65( ),= =035( ),
4 4
4xy . . . . . 4xy xy . . . 分
i∑ ii =8×05+7×04+6×03+5×02=96, i∑ ii -4 =96-91=05,…………2
=1 =1
i∑
4x i2
=8
2
+7
2
+6
2
+5
2
=174, i∑
4x i2
-4
x2
=174-4×6
.
5
2
=5, …………………………………4
分
=1 =1
4xy xy
^ b i∑ =1 ii -4 0 . 5 . 分
= 4x i2 x2 = 5 =01,………………………………………………………………………5
i∑ -4
=1
所以^
a y
^
bx . . . .
= - =035-01×65=-03,
故得y关于x的线性回归方程为^ y .x . 分
=01 -03;…………………………………………………7
当毕业生人数x 百人 时 由回归方程^ y . . . 百人
(2)① =70( ) , =01×70-03=67( ),
补贴总金额为 . . 万元 分
67×100×05=335( );………………………………………………………9
设两人从事软件工程职业的补贴总金额为X 万元 X的取值可能为 . .
② ( ), 0,05,1
pX p p . p . p
( =0)=(1- )×[1-(2 -05)]=(1- )(15-2 ),
pX . p p . p p . p . p p p .
( =05)= ×[1-(2 -05)]+(1- )×(2 -05)= (15-2 )+(1- )×(2 -05),
pX p p . .
( =1)= (2 -05)
EX p . p . p . p p p . p p .
( )=0×(1- )(15-2 )+05×[(15-2 )+(1- )×(2 -05)]+1× (2 -05)
.p . 分
=15 -025,………………………………………………………………………………11
由EX . 即 .p . . 得p .. 分
( )≤08, 15 -025≤08, ≤07 ………………………………………………13
p
又因为0≤ ≤1, 解得 . p . .
p . 025≤ ≤075
0≤2 -05≤1,
综上p的取值范围是 . . . 分
, 025,07 ………………………………………………………………15
c
.【解析】 由已知得 2a2 b2 c2 c2 所以b2 c2
18 (1) a= , = + =2 , = ,
2
由S
△ AOF =
1bc
=
9得b2
=
c2
=9,
a2
=18
.
2 2x2 y2
所以椭圆C的标准方程为 分
+ =1; ……………………………………………………………4
18 9
法一 题意可知直线AB的斜率存在 设直线AB的斜率为kk
:(2)(ⅰ) , ≠0 ,
则直线AB的方程为y kx 即y kx k
+3= , = -3 ≠0 ,
x2 y2 k
联立 与y kx 得 k2 x2 kx 解得x 或x 12 .
+ =1 = -3 : 2 +1 -12 =0, =0 =k2
18 9 2 +1
k k k2
将x 12 代入y kx 得y k 12 6 -3
=k2 = -3, = ·k2 -3=k2 ,
2 +1 2 +1 2 +1
k k2
所以 点B的坐标为 12 6 -3
, k2 ,k2 ,
2 +12 +1
设P为线段AB的中点 点A的坐标为
, 0,-3 ,
k
所以点P的坐标为 6 -3 分
k2 ,k2 , ……………………………………………………………6
2 +12 +1
-3
k2 -0
所以直线TP的斜率为k 2 +1 -3
TP = k =k t k2 ,
6 t 6 - 2 +1
k2 -
2 +1
又因为TP AB 所以k -3
⊥ , ·k t k2 =-1,
6 - 2 +1
k
整理得t 3 因k 所以t 3 3 32且t
=k2 , ≠0, = ≤ = ≠0,
2 +1 k 1 22 4
2 +k
当且仅当 k 1 即k 2时取得等号.
2 =k , =
2
因为B异于椭圆的顶点 所以k 2
, ≠ ,
2
解得t的取值范围是 32 32 . 分
(- ,0)∪(0, ) ……………………………………………………10
4 4
由 AFB BFO 且 AF
(ⅱ) sin∠ =42sin∠ , =32,
S 1 AF BF AFB 1 BF AFB
ABF
△ = × × ×sin∠ = ×32× ×sin∠
2 2
S 1 OF BF BFO 1 BF BFO
OBF
△ = × × sin∠ = ×3× sin∠
2 2
两式相除得S S 分
△
ABF
=8 △
OBF,………………………………………………………………………12
k k2
由 知 点B的坐标为 12 6 -3 且点B在x轴的下方 则k 2.
(ⅰ) , k2 ,k2 , , <
2 +12 +1 2
设B到直线AFx y 的距离为d
:- -3=0 ,
k k3
12 6 -3
k2 -k2 -3 k k2 k k2
d 2 +1 2 +1 12 - 12 - . 分
= = k2 = k2 ………………………………………14
2 2(2 +1) 2(2 +1)
k k2 k k2
S 1 AF d 1 12 - 18 -
△ ABF =
2
× × =
2
×32×
2 2
k2
+1
=
2
k2
+1
,
k2 k2
S 1 OF y 1 6 -3 3 3-6 .
△ OBF = × × B = ×3× -k2 = ·k2
2 2 2 +1 2 2 +1
则有 k k2 k2 化简得 k2 k 解得k 2或k 舍 .
18 - =12 3-6 , 3 + -2=0 := =-1( )
3
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6 8则直线AB的方程为y 2x 即 x y . 分
+3= , 2 -3 -9=0 ……………………………………………17
3
法二 设Bx y 则 x 或 x
:(ⅰ) (0,0), -32< 0<0 0< 0<32,
y x x
AB的中垂线方程y 0-3 - 0 x 0
:- =y (- ),
2 0+3 2
y2 x
令y 则 0-9 0 x t
=0, x + = T = ,
2 0 2
x2 y2 x
又 0 0 x2 y2 y2 0.
+ =1,∴ 0+20=18,∴ 0-9=-
18 9 2
x
t 0 32 32
∴ = ∈(- ,0)∪(0, );
4 4 4
设直线BF的倾斜角为 β AFB β π
(ⅱ) ,∴∠ = - ,
4
β π β 即 2 β β β
∴sin(- )=42sin, ∴ (sin-cos)=42sin,
4 2
β β β 1
∴-cos=7sin,∴tan=- ,
7
直线BF的方程为y 1x
∴ =- (-3),
7
x y
+7 -3=0,
∴
联立 x2 y2 解得B72
,-
3
(
B在第四象限
),
+ =1, 17 17
18 9
3
3-
而A 直线AB的方程为y 17x 2x 即 x y .
(0,-3),∴ +3= = , 2 -3 -9=0
72 3
17
.【解析】 f'x 1 x 1 1 x g'x a 分
19 (1) = ln + +x,∈(0,+ ), = ,…………………………………2
2 2 2
设切点为x y 则fx gx 且f'x a
(0,0), 0 = 0 0 = ,
即1x x ax 1 x 1 1 a
(0+1)ln 0= (0-1),ln 0+ +x = ,
2 2 2 2 0
联立得1x x 1 x 1 1 x
(0+1)ln 0=(ln 0+ +x)(0-1),
2 2 2 2 0
化简得 x x 1
2ln 0- 0+x =0,
0
令tx x x 1x t'x 2 1 ( x -1) 2 .
()=2ln - +x,∈(0,+ ), =x-1-x2=- x2 ≤0
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7 8所以tx 在 上单调递减
() (0,+ ) ,
又t 所以x
(1)=0, 0=1,
故a f' 1 1 1 分
= 1 = ln1+ + =1;…………………………………………………………………4
2 2 2
ax
当x 时 fx gx 等价于 x (-1) .
(2) ∈(1,+ ) ,2 ()> () ln - x >0
+1
令mx x
a
(
x
-1) 则m'x 1 2
a x2
+2(1-
a
)
x
+1m .
()=ln - x , =x-x 2= xx 2 , (1)=0
+1 (+1) (+1)
当a x 时
① ≤2,∈(1,+ ) ,
x2 ax x2 x
+2(1- )+1≥ -2 +1>0,
故m'x mx 在 上单调递增
()>0, () (1,+ ) ,
因此mx .
()>0
当a 时 令m'x 得x a a 2 x a a 2
② >2 , ()=0, 1= -1- (-1)-1,2= -1+ (-1)-1,
由x 及xx 得x
2>1 1 2=1 1<1,
故当x x 时m'x mx 在 x 上单调递减
∈(1,2) , ()<0, () (1,2) ,
因此mx 不满足题意.
()<0,
综上a的取值范围是 分
, (- ,2]; ……………………………………………………………………9
由题可知hx 1x x ax 注意到h
(3) ()= (+1)ln - (-1), (1)=0,
2
即当x 时 1x x ax 还有另外 个零点
≠1 , (+1)ln = (-1), 2 ,
2
ax ax x 2 ax
令 φx x 2 (-1)注意到 φ φ'x 1 4 (-1) (+1)-4
()=ln - x , (1)=0, ()=x- x 2 = xx 2 ,
+1 (+1) (+1)
记 μx x 2 ax x2 ax
()=(+1)-4 = +(2-4 )+1,
令 a2 且 a 所以a .
(2-4 )-4>0 2-4 <0, >1
当a 时 记 μx 的两根为x x 则xx
>1 , ()=0 1,2, 1 2=1,
不妨设 x x
0< 1<1< 2,
又 φx 在x x 上单调递减 所以 φx φx
() (1,2) , (2)<0< (1),
当x + 时 φx 当x 时 φx
→0 ,()→- ; →+ ,()→+ ,
所以 φx 存在三个不同零点
() ,
故a 分
>1; ……………………………………………………………………………………………13
又hx 的三个零点分别pqr因此一定有 p r且q
()=0 ,,, :0< <1< , =1,
同时若hx
()=0,
则h 1 1 1 1 a 1
(x)= (x+1)lnx- (x-1)
2
a x
1 x x (1- )
=-x(+1)ln - x
2
1 1x x ax
=-x[ (+1)ln - (-1)]=0,
2
p r
∴ · =1,
q r
要证2 - a r p a p a r 且r 1
p <2 -1⇐2- < (2 -1)⇐ (2 -1)+ >2 =p,
由1 p a a 故结论成立. 分
p+ (2 -1)>2 2 -1>2, …………………………………………………17
注 以上各解答题 如有不同解法并且正确 按请相应步骤给分
【 】: , , 。
高三数学参考答案 第 页(共 页)
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