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2025年3月济南市高三模拟考试
数学试题
本试卷共4页,19题，全卷满分150分。考试用时120分钟。
注意事项：
1 .答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。
2 .回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需
改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在
本试卷上无效。
3 .考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题:本题共8小题,每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的。
1 .已知集合人={% |log2^，则z =
u
1
A. 2i B. - 2i C. - 2 + 2i D. - 2 — 2i
3 .若直线 2)x + 3y + 3=0 与直线 l2 ；2x + (m - Dy + 2=0 平行，则 m =
A. 4 B. — 4 C. 1 或—•4 D. —1 或4
4 .若数列{a J各项均为正数，则” {七}为等比数列''是" {lna.}为等差数列”的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
5 .抛物线夕=3 + 2工+2的焦点坐标为
A. (-by) B. (-14) C. (1，4) D. (1，4)
z 4 Z 4
高三数学试题 第1页(共4页)©r 一 ]逐 （0,
6.已知函数"z）= , 、 则/'（2工）+/般-3）>0的解集是
1 — ex ,x >0,
A. （—oo,l） B. （11 4-0°）
C. （—8,—3） D. （—3, +°0）
7 .已知圆台的侧面展开图是半个圆环，侧面积为4元，则圆台上下底面面积之差的绝对值为
A. n B. 2式 C, 4n D. 87t
7T
8 .已知 0 Va Vf V 丁，则
Li
A. sina — sin/? < a —/? B. a — /? < tana — tanf
C. a sin/? V 8cosa D. taxi/3 > a/3
二、选择题:本题共3小题,每小题6分，共18分.。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题
目要求。全部选对的得6分,部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9 .为了验证牛的毛色（黑色、红色）和角（有角、无角）这两对相对性状是否相关,某学院进行了
一次数据统计，并根据形成的2 X2列联表，计算得到X2 % 2. 727,根据小概率值为a的独立
性检验，则
附：
P(X2^k) 0.100 0. 050 0.010
k 2.706 3.841 6. 635
A.若a =0.100,则认为“毛色”和“角”无关
B.若a =0.100,则认为“毛色”和“角”有关，此推断犯错误的概率不超过10%
C.若a =0. 010,则认为“毛色”和“角”无关
D.若a =0. 010,：则认为“毛色”和“角”有关，此推断犯错误的概率不超过1%
10 .已知艮，玛分别是椭圆c：t + [=i的左、右焦点，O为坐标原点，P为C上异于左、右
4 o
顶点的一点，H是线段PF2的中点，则
A. | OH |+| HF2 | = 2
B. \OH \>1
C. AOHF2内切圆半径的最大值为当
0
D. △HF1F2外接圆半径的最小值为1
高三数学试题 第2页（共4页）11 .已知递增数列｛aj的各项均为正整数，且满足* =3n，则
A. a% =3 B. a” > " C. as =6 D. <22025 =81azs
三、填空题：本题共3小题,每小题5分，共15分。
12 .将两个1,两个3,一个5排成一行,则不同的排法种数为.(用数字作答)
13 .函数 /(x) =| sinx 14-cosx 的最小值为。
14 .已知正四面体ABCD的棱长为，动点P满足PA? +PB2 =PC2+PD2，用所有这样
的点P构成的平面截正四面体,则所得截面的面积为.
四、解答题:本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15 .(本小题满分13分)
某公司升级了智能客服系统，在测试时，当输入的问题表达清晰时，智能客服的回答被采
纳的概率为v，当输入的问题表达不清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为v .已知输入
o Z
的问题表达不清晰的概率为1.
(1)求智能客服的回答被采纳的概率；
(2)在某次测试中输入了 3个问题，设X表示智能客服的回答被采纳的次数.求X的分布
列、期望及方差.
16 .(本小题满分15分)
如图，正方形ADEF所在平面和等腰梯形ABCD所在平面互相垂直，已知BC =4,
AB =AD =2,点尸在线段BE上.
(1)求证：平面ACP_L平面ABF ；
(2)当直线AP与平面BCE所成角的正弦值为
高三数学试题 第3页(共4页)17 .(本小题满分15分)
已知双曲线C：三一4 = l(a>0,6>0)的离心率为物,0为坐标原点，过C的右焦点
a2 b1
的直线Z交C的右支于P,Q两点，当，工轴时，| PQ | = 2V2 .
(1)求C的方程；
(2)过P作直线2=1的垂线，垂足为N.
(i)证明:直线QN过定点；
(ii)求△OQN面积的最小值.
18 .(本小题满分17分)
已知 € R，函数 F(力)~a -bx，工 6 [0, 4-oo).
(1)当a=0时，求八力)的极值；
(2)若f (%)存在零点.
(i)当6=0时，求a的取值范围；
(ii)求证：>+/>2.
19 .(本小题满分17分)
如图，已知给定线段BQ1长为2,以为底边作顶角为外0°<夕<90°)的等腰三角
形AiBCi，取的腰A】Bi的三等分点B2,C2(B2靠近A1)，以B2c2为底边向
外部作顶角为6的等腰三角形A2B2 c2……依次类推，取△A- Bi Ci的腰
的三等分点凡，& (B,靠近A”_】)，以B”C”为底边向△A1B1C1外部作顶角为6
的等腰三角形A“B”C.a >2)，得到三角形列｛zMnBnCn).
⑴用0表示出ZVlzB2c2的外接圆半径；
(2)当6=60°时,证明：｛△A“B”C“｝各顶点均在△AiB】g
外接圆上或其内部；
(3)若｛△A”B“C”｝各顶点均在外接圆上或其内
部，求cos夕的取值范围.
高三数学试题 第4页(共4页).2025年3月济南市高三模拟考试
数学试题参考答案
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的。
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B A D C B A B D
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有
多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得。分。
题号 9 10 11
答案 BC ACD ABD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12. 30 13. -1 14. 2
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.【解析】
解：（1）设4= "智能客服的回答被采纳"，B= "输入问题表达不清晰”，
1 1 4 1 - 7
由题意可知，P(5) = ",P(B) = l-- = -,尸(川8)=；］(川8)=看,
5 5 5 2 8
- - 114 7 4
P(4) = P(B)P(A | B) + P(5)P(^|B)=JX2 + 5X8 = 5，
4
智能客服的回答被采纳的概率为
4
(2)由题意得，X的可能取值为0,1,2,3. X〜8(3,?.
所以X的分布列为
X 0 1 2 3
1 12 48 64
P
125 125 125 125所以，E⑺=0x赤+ lx京+ 2x祺+ 3x黑制或E(X)= 3xL
。⑻
=(04
16.【解析】
(1)证明：因为平面功ErJL平面/8C0,
△
平面 ADEF CI 平面 ABCD = AD,
AF1 AD, AF u 平面 ADEF,
所以/产，平面/8C0.
因为/Cu平面/BCD,
所以/户JL4C.
过/作于〃，则卸/=1,力〃=^, CH=3,
所以 ACF收 贝1J AB2+AC2=BC2,
所以＜CJ_48.
因为 NB fl AF=Ay AB, AF u 平面 ABF ,
所以NCJ•平面/BE又因为/Cu平面NCP,
所以平面ACP1平面ABF .
(2)以N为坐标原点，ABMCjF的方向分别为x轴、y轴、2轴的正方向,
建立如图所示的空间直角坐标系Axyz .
贝必(0,0,0), 5(2,0,0), C(0,2石,0),E(-1,❷2),
~BE = (-3,石2),就=(-2,2^,0).
设而=点瓦4 G [0,1],
贝IJ BP = (-3儿后1,24),所以P(2-3儿&,24),
故万= (2-3九折,2%).
设” =(xj, z)为平面BCE的法向量，贝I」
一3x+吗+2z = 0,解得卜夕
-2x + 2。3y = 0 [x = y/3y令y = l,得〃 =（3,同）.
_______6 3幅
设直线AP与平面BCE夹角为6 , sin 6 = |cos（AP,〃）卜
V2TV16Z2-!2A+4 14
整理得4才一34 + ；=0 ,即（44一|）（；1_9 = 0,
所以4情或耳•所以胃菖或普=；•
17.【解析】
（1）因为C的离心率为近，所以a = b, c = &a，
因为当/lx轴时，尸0 = 2后，
所以不妨令尸（&d内 代入C中得，竽-Q1,所以，="=2,
则 c：4一〈 = i.
2 2
（2） （i）设尸（芭,M）,。（均,%）,贝IJNQM，因为/斜率不为0,所以设/==叩+ 2,
与。:幺一/-2 = 0联立得（31）射+4叩+ 2 = 0,
所以62 一 ］工o, a = 8加2 + 8 > 0, △
4m 2
V
K+3-R'叩2 = k
因为收则直线股的方程为蚱号（-）+九
由双曲线对称性得直线N。所过定点必在x轴上，故令y = 0得0 = %二?3-1） +必，则
再一 1
_ 4m
乂一月一为/ 出生丫 w 所以x一必一必._%-〃必必一2M . /,+j2="^T
x-…，因为“或+2所以x- - - '因为"2
叩2 - g
所以上也.=一2m，则组?= 〃仍%,所以丫_必_孙必_2必/+ ' 2"_2必_ 3 .
，以 一2 X—必_弘一为一% -2
3
所以直线N。恒过〃（苏0）.
（ii）因为=夕。切瓦-力|= 和-力|= 1•他+力）2-仇” ^2 'w2 -1 * 0
由⑴得，• A = 8m2 + 8>0所以
2
网=k。
令1=/一1(一14<0)，所以当1?=孚后段，令/。)=苧J；+Q
，G[-1,O),所以在ZG[-1,O)上单调递增，所以/⑺沟(T) =乎.
综上，△O0N面积的最小值为逑.
2
18.【解析】
(1) a = O时，/'(x) = e*-b,
当时,/'(x)>0,函数/(x)单调递增，既无极大值也无极小值.
当6>1时，xw[0,ln6),函数/(x)单调递减，x€(lnZ>,+<»),函数/(x)单调递增，
函数/(x)的极小值是6-61n6,无极大值.
⑴当6 = 0时，因为函数/(X)存在零点，故q有解，若* = 0,此时无解，所以x>。，
g(x) = ex - a>Jx 有解,gr(x) = ex - -^= = ,
①若gWO, g(x)单调递增，g(x)>g(O) = l此时不存在零点：
②若a>0,令方(x) = 2c，4一a, A(0) = -a<0,〃Q2)= e/a-a>(),由零点存在定理可知存在
xoe(O,a2), h(xJ = Q,所以g(x)在(0,%)上为减函数，在(%,―)上为增函数，
故g(x)而小物-。扃=京-。氏这0,解得铲;，•故心公=仄・
(ii)因为函数/(X)存在零点，所以『⑻二炉-a瓜-bx有解%,其中升之0,
若%=0,则l-ax0-6x0 = 0,该式不成立，故％>0.
故a6+bxQ-e" = 0,考虑直线-e" = 0,
"T万表示原点与直线aR +及。-e& =0上的动点(a,6)之间的距离，庐/-------前-------- 府二'所以'+心▽a%
%>0时，要证”2+/>2,只需证二一>2
X。+ Xq
即证 6%—2/2-2~>0.
令g(x) = e2* -2X2 -2x,x>0 ,贝！j -4x-2 = 2(e2, -2x-1),
A(x) = (e2jf -2x-l)^A,(x) = 2(e2jf -l)>0 , 〃(力在(0,2)上为增函数，故〃6)>力(。)=0.
即g'(x)>0, g(x)在(0,e)上为增函数,
e%
故g(x)>g(O) = l,故---->2,即，+62>2成立.
X。+ X。
19.【解析】
(1)设△4&G的外接圆半径为弓：由题意知,
4耳=81cl = ~~0 b2c2 = = -
2sin- sin 2' 3 3sin-
2 2 2
2r-B^- 1
又4 =6,故 2"sin^3sin^n£ ・
2
1
故MBzCz的外接圆半径为马=心房印.
osin c/sin一
(2)设△4)8.C的外心为外接圆半径为小 与1G的中点为M.，BnC„ =ln,
ffl||r - l» AnBn=-^-0 1"1=9也=~^
则F' 2s啖3 6s喙
注意到4TBi的中点也为Mn o故的中垂线与BnCn中垂线
重合.由题意知均在纥C的中垂线上.
0AB O ='"T
-r-O„ 1Kl -An M -tan —= - tan—
而"I " "I " 2 2 2 四
48S”'M
OnMn - = 匕—=---4-----=
ta" 2tan6 i2sin-tan0 6有，
2
故04尸04 + 0此=翁.
r 一尸=L-i_____ L 二 1-1 " 1 、="内二q q
另一方面，" 2sin0 2sin6 2sin6(…3后"""，
osin一 ▼
2
故2X44G的外接圆内切于Ai1T4tQt的外接圆.
从而△4B.C”的外接圆各点位于47cM的外接圆上或其内部.①
反复使用结论①可得，纥C的外接圆位于△4MG外接圆上或其内部.
故△4区G各顶点均在△4用G外接圆上或其内部.
(3)若满足题意，则4位于在A4/G外接圆上或其内部，故《GW、
八 1, j ly 6 0 /1
.. O.M2 - A.M2 • tan— = —tan-=—
由⑵知 । 2 । 2 2 2 2 ， 0 ,
4cos—
2
0
/2 Z|，C°S2 I 1 8s5
A2M 2 = ,4Q =《此 +0M = t（—z+--- 勺）•
6 19.26 4 8s 2 3sin2^
2 tan— 12sm —
2 2 2 2
0
I [ cos - t 、 a
由题意，4QW大即木一^+―益],解得^Wsin^Wl .
cos— 3sinz —
2 2
故 60°W 6W900.
当60OW6W90。，同上可得
由(2)知 4，Q,Qt 共线，故 4Q+QQ-W/；t，即。
故QQ-i 故的外接圆位于外接圆上或其内部.
故以总。各顶点均在耳G外接圆上或其内部，故cose的范围为［0,；］.
