文档内容
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第一讲 和差倍比与方程法 ........................................1
第二讲 工程问题 ................................................6
第三讲 余数、平方数与等差数列 .................................11
第四讲 整除问题和合作完工问题 .................................17
第五讲 容斥问题 ...............................................22
第六讲 溶液问题与十字交叉法 ...................................26
第七讲 经济利润问题 ...........................................30
第八讲 经济利润之函数最值、增长相关 ...........................34
第九讲 和定最值与最不利极限题 .................................38
第十讲 周期循环与日期星期问题 .................................43
第十一讲 平面几何问题 .........................................47
第十二讲 立体几何与特殊几何问题 ...............................56
第十三讲 基础排列组合 .........................................63
第十四讲 基础概率问题 .........................................67
第十五讲 特殊情境之相邻/不相邻问题与环形排列 ..................71
第十六讲 特殊情境之定序、相同元素分配、错位与重复排列 ......... 75
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第十七讲 特殊情境之平均分堆与特殊概率问题 .....................80
第十八讲 行程问题（一） .......................................84
第十九讲 行程问题（二） .......................................88
第二十讲 趣味杂题（一） .......................................93
第二十一讲 趣味杂题（二） .....................................98
第二十二讲 考场提速蒙猜技巧 ..................................103
第 2 页
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第一讲 和差倍比与方程法
✎方程法：
例题1（2021国考）
社区工作人员小张连续4天为独居老人采买生活必需品，已知前三天共采买65次，其中第二天采买
次数比第一天多50%，第三天采买次数比前两天采买次数的和少15次，第四天采买次数比第一天的2倍少
5次。问这4天中，小张为独居老人采买次数最多和最少的日子，单日采买次数相差多少次？
A．9 B．10
C．11 D．12
例题2（2024深圳）
老刘家有100亩草场，平均每亩草场年产草料4吨。草场上饲养了羊、驴、牛共252头，每头羊年均
需草料1吨，每头驴年均需草料2吨，每头牛年均需草料5吨。去年老刘家草场恰好能满足草料需求，今
年老刘没有饲养羊，但驴和牛的数量都翻了一倍，草场仍恰好满足草料需求，则老刘家去年饲养了多少头
牛？
A．32 B．33
C．34 D．35
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例题3（2024国考副省）
甲、乙、丙和丁四个汽车租赁公司可用汽车数量比为5:4:3:2，现甲公司调度4辆汽车到丙公司，丁
公司调度1辆汽车到乙公司后，丁公司可用汽车数量正好是丙公司的60%。问此时甲公司的可用汽车数量
比乙公司？
A．少12辆 B．少22辆
C．多12辆 D．多22辆
例题4（2024国考地市）
某县开展冬日暖心活动，向困难户发放慰问大礼包，各镇根据实际情况安排物资发放。乙镇平均每个
困难户发放的大米比丙镇多1袋，比甲镇少1袋，且各镇发放的大米总量相同。若甲镇的困难户比乙镇少
60户，比丙镇少150户，则这三个镇发放的大米共有多少袋？
A．1800 B．3600
C．5400 D．7200
例题5（2022国考）
张和李2名社区工作者上门统计某小区内住户的新冠疫苗接种情况，两人各负责1栋住宅楼，每访问
1户居民均需要5分钟。李因处理公文比张晚出发一段时间。已知14:00时两人共访问63户，15:00时张
访问的户数是李的2倍。问李访问完50户居民是在什么时候？
A．16:30 B．16:45
C．17:00 D．17:15
例题6（2023国考副省级）
甲、乙、丙三家科技企业2021年的收入之和比2020年提升了20%。其中甲企业的收入上升了400万
元，乙企业的收入下降了100万元且是甲企业收入的一半，丙企业的收入上升了30%且其2020年的收入与
甲、乙两企业同年收入之和相同。问2020年甲企业的收入比乙企业高多少万元？
A．900 B．1100
C．400 D．600
第 2 页
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✎不定方程：
例题7（2020下半年四川）
某人花400元购买了若干盒樱桃。已知甲、乙、丙三个品种的樱桃单价分别为28元/盒、32元/盒和
33元/盒，问他最多购买了多少盒丙品种的樱桃？
A．3 B．4
C．5 D．6
例题8（2018江苏）
小李为办公室购买了红、黄、蓝三种颜色的笔若干支，共花费40.6元。已知红色笔单价为1.7元、
黄色笔为3元、蓝色笔为4元，则小李买的笔总数最多是多少支？
A．19支 B．20支
C．21支 D．22支
例题9（2020浙江）
某会务组租了20多辆车将2220名参会者从酒店接到活动现场。大车每次能送50人，小车每次能送
36人，所有车辆送2趟，且所有车辆均满员，正好送完，则大车比小车？
A．多5辆 B．多2辆
C．少2辆 D．少5辆
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例题10（2022江苏）
某企业年终评选了30名优秀员工，分三个等级，分别按每人10万元、5万元、1万元给与奖励。若
共发放奖金89万元，则获得1万元奖金的员工有多少？
A．14人 B．19人
C．20人 D．21人
例题11（2024联考）
商店销售甲、乙、丙、丁四种商品，每件分别盈利15元、9元、4元和1元。某日销售这四种商品共
40件，共盈利201元。四种商品每种至少销售1件，且甲、丁商品销量相同。问当天丙商品的销量为多少
件？
A．21 B．27
C．29 D．31
例题12（2023上海）
足球比赛在每个半场结束时都有一段时间的伤停补时，这是由当值主裁判决定的。某场比赛的主裁判
确定伤停补时的规则为：每次处理受伤增加30秒，每次换人增加20秒，其他情况每次增加10秒。在下
半场即将结束时，主裁判确定伤停补时的时长为4分30秒。若已知下半场比赛时间内，处理受伤、换人
和其他情况都存在且共计有10次，那么下半场两队总共换了多少人？
A．1 B．2
C．3 D．4
✎倍比问题：
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例题13（2022天津）
一个袋子里红球、白球、蓝球的数量比例为3∶8∶4，再向袋子中放入14个红球和若干个蓝球后，红
球、白球、蓝球的数量比例变为5∶4∶3。如果此时从袋子里取出10个红球、6个白球和2个蓝球后，袋
子里剩余红球、白球、蓝球的数量比例为多少？
A．1∶2∶1 B．2∶3∶1
C．1∶1∶2 D．1∶1∶1
例题14（2024国考副省）
市政部门采购了一批灯带用于美化夜景，有30灯珠/条的M型和60灯珠/条的N型两种规格，单价分
别是20元/条和30元/条。已知所采购M型灯带的总灯珠数量是N型的2倍，M型灯带的总价比N型多3
万元，问共采购灯带多少条？
A．2400 B．2700
C．3000 D．3300
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第二讲 工程问题
✎已知条件为工作时间：
例题1（2021广东）
为支持“一带一路”建设，某公司派出甲、乙两队工程人员出国参与一个高铁建设项目。如果由甲队
单独施工，200天可完成该项目;如果由乙队单独施工，则需要300天。甲、乙两队共同施工60天后，甲
队被临时调离，由乙队单独完成剩余任务，则完成该项目共需多少天？
A．120 B．150
C．180 D．210
例题2（2018浙江事业编）
有一水池，如果打开甲水龙头注水，需要5个小时装满水，如果打开乙水龙头注水，需要8个小时装
满水，如果打开丙水龙头放水，需要6小时放空水池。现打开甲水龙头一小时，然后打开乙水龙头，过一
小时后再打开丙水龙头，问再过多少小时可以注满水池？
A．3 B．4
C．5 D．6
例题3（2023国考副省级）
一项工作甲独立完成需要3小时，乙独立完成的用时比其与甲合作完成多4小时，且乙和丙合作完成
需要4小时。问丙独立完成需要多少小时？
A．10 B．12
C．6 D．8
第 6 页
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例题4（2020山东）
甲、乙两个工程队共同完成某项工程需要12天，其中甲单独完成需要20天。现8月15日开始施工，
由甲工程队先单独做5天，然后甲、乙两个工程队合作3天，剩下的由乙工程队单独完成，问工程完成的
日期是哪天？
A．9月5日 B．9月6日
C．9月7日 D．9月8日
✎已知条件为效率比例：
例题5（2020联考）
某医疗器械公司为完成一批口罩订单生产任务，先期投产了A和B两条生产线，A和B的工作效率之
比为2：3，计划8天可完成订单生产任务，两天后公司又对这批订单投产了生产线C，A和C的工作效率
之比为2：1，问该批口罩订单任务将提前几天完成？
A．1 B．2
C．3 D．4
例题6（2021北京）
农场使用甲、乙两款收割机各1台收割一片麦田。已知甲的效率比乙高25%，如安排甲先工作3小时
后乙加入，则再工作18小时就可以完成收割任务。问如果增加1台效率比甲高40%的丙，3台收割机同时
开始工作，完成收割任务的用时在以下哪个范围内？
A．8小时以内 B．8～10小时之间
C．10～12小时之间 D．12小时以上
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例题7（2022天津）
甲、乙二人合作计划30天完成一项工程，甲的工作效率是乙的2倍。两人合作10天后，甲的效率提
升25%，乙的效率提升50%。又合作10天后，乙因其他任务撤出，甲单独完成剩余任务。问最终工作比预
计时间？
A．早2天 B．晚2天
C．早4天 D．晚4天
✎已知条件为不同完工情况：
例题8（2024联考）
甲、乙两工厂共同完成某个生产订单需要12天。现两工厂共同生产8天后，再由乙单独生产7天，
一共完成了订单总量的90%。若整个订单由乙单独生产，那么需要多少天完成？
A．20 B．23
C．26 D．30
例题9（2024联考）
某餐饮店接到一份粽子订单，张师傅与李师傅同时工作8小时可完成。现张师傅先独自包粽子3小时，
李师傅接着独自包了1小时，还剩订单总数的 没完成。已知张师傅每小时比李师傅多包14个粽子。问这
11
16
份订单粽子的总数是多少个？
A．224 B．296
C．320 D．416
第 8 页
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例题10（2019国考）
有甲、乙、丙三个工作组，已知乙组2天的工作量与甲、丙共同工作1天的工作量相同。A工程如由
甲、乙组共同工作3天，再由乙、丙组共同工作7天，正好完成。如果三组共同完成，需要整7天。B工
程如丙组单独完成正好需要10天，问如由甲、乙组共同完成，需要多少天？
A．不到6天 B．6天多
C．7天多 D．超过8天
例题11（2019山东）
A、B两台高性能计算机共同运行30小时可以完成某个计算任务，如两台计算机共同运行18小时后，
A、B计算机分别抽调出20%和50%的计算资源去执行其他任务，最后任务完成的时间会比预计时间晚6小
时，如两台计算机共同运行18小时后，由B计算机单独运行，还需要多少小时才能完成该任务？
A．22 B．24
C．27 D．30
例题12（2023国考）
甲和乙两个工程队共同承担某项工程的施工任务。两队合作时各自的效率均比单独施工时高20%。已
知两队合作施工需要25天完工；如甲先施工15天后乙加入，两队合作15天后剩余工作乙单独施工还需
要10天完成。问甲队的效率是乙队的多少倍？
A．3/2 B．4/3
C．1/2 D．2/3
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✎比例法运用：
例题13（2023广东县级）
某印刷厂原计划用全自动装订机花费4小时装订一批文件，但在还剩300份文件时装订机出现故障，
无法装订。印刷厂立即安排了部分员工进行人工装订，由于人工装订的总效率仅为机器的20%，最终比原
计划推迟1小时完成装订。则这批文件共有多少份？
A．2400 B．3600
C．4800 D．6000
例题14（2023上海）
某超市设有10个人工收银台。周末10个收银台全开，顾客结账平均排队20分钟。为提高效率，超
市撤了4个人工收银台，并改造为6个自助收银台。若自助收银的效率是人工收银效率的90%。改造后，
周末当人工收银台和自助收银台全开，预计顾客结账平均排队耗时约为多少？
A．12分钟 B．14分钟
C．16分钟 D．18分钟
第 10 页
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第三讲 余数、平方数与等差数列
✎数列基础知识：
数列常考公式：
通项公式 求和公式
等差数列
1+
= 1+ −1 =
等比数列 2
−1 1 1−
= 1× =
1−
数列常见性质：
性质
一、若是奇数项等差数列，则平均数＝等差中项， ＝n×等差中项；
n
等差数列 等差数列的平均数 ； S
1+
二、若 ＋ ＝ ＋，则=
2
。
一、若m ，n k，i 成 等 比+ 数 列=， 则+ ；
等比数列 2
二、若 −＋1 ＝ ＋ ， +1则 。 = −1 +1
m n k i =
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例题1（2022青海）
某市对下辖9个文艺表演团体去年新创节目的数量进行统计分析，发现9个团体新创节目的数量恰好
成等差数列，其中前5个团体的新创节目总数是60，前7个团体的新创节目总数是70。那么这9个文艺
表演团体去年新创节目的总数是多少？
A．72 B．76
C．78 D．80
例题2（2022江苏B）
某金融机构向9家“专精特新”企业共发放了4500万元贷款，若这9家企业获得的贷款额从少到多
排列，恰好为一个等差数列，且排第3的企业获得420万元贷款，排第8的企业获得的贷款额为多少？
A．620万元 B．660万元
C．720万元 D．760万元
例题3（2022四川）
某共享汽车公司年初购入一批二手电动汽车，每台16200元。第一年每台电动汽车的维护费用为1100
元，以后每年增加400元，每台电动汽车每年可产生收益9100元。问在第几年时，单台汽车扣除购置和
维护成本后产生的利润将超过2万元？
A．5 B．6
C．7 D．8
例题4（2024山东）
若干职员参加某次强国知识竞赛，每个人的得分均不相同且为整数，分数排名相邻的2人分差均为5
分。已知有3人成绩低于70分，且超过70分的职员平均分为82分。问所有职员中竞赛成绩超过70分的
人数占比在下列哪个范围内？
A．低于50% B．50%～60%之间
C．60%～70%之间 D．高于70%
第 12 页
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例题5（2022下四川）
商场6月6日开始销售某种电器，从6月7日起，每天这种电器的销量都比前一天多1台。已知6月
16日卖了22台这种电器，问其6月共卖了多少台这种电器？
A．555 B．600
C．645 D．690
例题6（2022安徽）
某市举行庆典活动，将依次升空105架无人机，升空方式如下：每架无人机间距均相等，第一次升空
n架，第二次升空n－1架，以此类推，最终在夜空中组成一个近似等边三角形背景的灯光秀，那么第10
次升空的无人机数量是多少？
A．3架 B．5架
C．8架 D．10架
例题7（2022下四川）
某企业在“十二五”期间第一年的营业额比上一年增长了1.5亿元，且往后每年的营业额增量都保持
1.5亿元不变。已知该企业在“十四五”期间的营业额将是“十二五”和“十三五”期间营业额之和的80%。
问该企业在“十二五”到“十四五”期间的总营业额在以下哪个范围内？
A．不到300亿元 B．300～330亿元
C．330～360亿元 D．超过360亿元
例题8（2024浙江）
有一组算式1＋1、2＋3、3＋5、4＋7、1＋9、2＋11、3＋13、4＋15、1＋17、2＋19、3＋21、4＋23、
1＋25、2＋27、……和为2021的是第几个算式？
A．507 B．1010
C．1012 D．1014
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✎平方数问题：
例题9（2017吉林）
已知张先生的童年占去了他年龄的1/14，再过了1/7他进入成年，又过了1/6他结婚了，婚后3年他
的儿子出生了，儿子7岁时，他们的年龄和为某个素数的平方，则张先生结婚时的年龄是多少岁？
A．38岁 B．32岁
C．28岁 D．42岁
例题10（2022天津）
有一个20世纪八九十年代出生的人，在21世纪，恰好有一年，他年龄的平方数等于那一年的年份。
这个人是哪年出生的？
A．1995 B．1990
C．1985 D．1980
例题11（2022甘肃）
甲、乙两家大型医疗公司的负责人各带一名助手参加展会订购医疗器械。最终订单显示：每人各自订
购了不同种类医疗器械，且其订购的每种医疗器械台数恰巧等于他所订医疗器械的种类数。每人订购的医
疗器械种类数都未超过15类，并且两位负责人所订购的医疗器械台数不同，但都比自己的助手多购45台。
问甲、乙两公司一共订购了多少台医疗器械？
A．150 B．170
C．210 D．240
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✎余数问题：
余同 和同 差同
特征
余数相同 除数与余数的和相同 除数与余数的差相同
口诀 余同取余 和同加和 差同减差
被除数 最小公倍数＋余数 最小公倍数＋和 最小公倍数－差
“一个数 “一个数 “一个数
除3余1， 除7余1， 除7余5，
实例 除5余1， 除6余2， 除6余4，
除6余1” 除5余3” 除3余1”
则被除数为30n＋1 则被除数为210n＋8 则被除数为42n－2
例题12（2023广东县级）
某社区计划组建多支社工团队，为此招募了一批社工。如果每支团队由3名社工组成，则剩余2名社
工；如果每支团队由4名社工组成，同样剩余2名社工，则该社区可能招募了多少名社工？
A．32 B．34
C．36 D．38
例题13（2019江苏事业编）
N为自然数，被9除余数是8，被7除余数是6，被5除余数是4。已知100＜N＜1000，则这样的数有
多少个？
A．1 B．2
C．3 D．4
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例题14（2018山东）
某市场调查公司3个调查组共40余人，每组都有10余人且人数各不相同。2017年重新调整分组时发
现，若想分为4个人数相同的小组，至少需要新招1人；若想分为5个人数相同的小组，至少还需要新招
2人。问原来3个组中人数最多的组比人数最少的组至少多几人？
A．2 B．3
C．4 D．5
第 16 页
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第四讲 整除问题和合作完工问题
✎利用倍数特性解决不定方程：
例题1（2024联考）
大学生创业主要集中在高科技、智力服务、连锁加盟和自媒体运营四个领域。某学院今年选择创业的
大学毕业生不到50人，其中选择智力服务领域、连锁加盟领域和自媒体运营领域的分别占 ， 和 。那么
1 1 1
7 2 3
该学院今年选择高科技领域创业的大学毕业生有多少人？
A．1 B．3
C．5 D．7
例题2（2023北京）
某单位3个部门共有员工50人，拥有中级工程师职称的人员比重为40%。其中甲、乙两个部门拥有中
级工程师职称的人员比重分别为45%和32%，则丙部门拥有中级工程师职称的人员比重为多少？
A．60% B．52%
C．44% D．36%
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例题3（2018山东）
某企业有不到100名员工，本月只有1/12的员工未得到每人1000元的全勤奖，只有13名员工未得
到每人1000元的绩效奖，两个奖都未得到的员工占员工总数的1/14。问企业本月共发放全勤奖和绩效奖
多少万元？
A．7.1 B．12.6
C．14.8 D．16.8
例题4（2021国考）
某地调派96人分赴车站、机场、超市和学校四个人流密集的区域进行卫生安全检查，其中公共卫生
专业人员有62人。已知派往机场的人员是四个区域中最多的，派往车站和超市的人员中，专业人员分别
占64%和65%，派往学校的人员中，非专业人员比专业人员少30%，问派往机场的人员中，专业人员的占比
在四个区域中排名
A．第一 B．第二
C．第三 D．第四
例题5（2019联考）
某农户饲养有肉兔和宠物兔两种不同用途的兔子共计2200只，所有兔子的毛色分为黑、白两种。肉
兔中有87.5%的毛色为黑色，宠物兔中有23%毛色为白。据此可知，毛色为白色的肉兔至少有多少只？
A．25 B．50
C．100 D．200
✎利用整除特性解决纯整除问题：
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例题6（2021上海）
公司购买某设备24套，现要登记单价，但是数据上没有标注单价，且总价第一位和最后一位模糊不
清，只看到是☆579△元。则☆可能是几？
A．3 B．5
C．7 D．9
例题7（2015黑龙江）
小李某月请了连续5天的年假，这5天的日期数字相乘为7893600，问他最后一天年假的日期是？
A．25日 B．26日
C．27日 D．28日
例题8（2022深圳）
小王从图书馆借了一本书，书共204页，阅读时，他发现书的前半部分有连续的4个页码被墨水污染，
将其余200个页码加总，其和刚好可以被85整除，则被污染的4个页码中最小的数是多少？
A．100 B．95
C．75 D．41
例题9（2020国考）
某种产品每箱48个。小李制作这种产品，第1天制作了1个，以后每天都比前一天多制作1个。X天
后总共制作了整数箱产品。问X的最小值在以下哪个范围内？
A．在41～60之间 B．超过60
C．不到20 D．在20～40之间
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✎合作完工问题的整体思想：
例题10（2018浙江）
某蛋糕店接到300个蛋糕的订单。已知老板一天能做30个蛋糕，店员小红一天只能做10个。蛋糕制
作过程中，老板有一个周末外出，小红请了8天假，两人在外时间不重叠。问制作这批蛋糕一共花了多少
天？
A．11 B．12
C．13 D．14
例题11（2017年国考）
某商铺甲乙两组员工利用包装礼品的边角料制作一批花朵装饰门店。甲组单独制作需要10小时，乙
组单独制作需要15小时，现两组一起做，期间乙组休息了1小时40分，完成时甲组比乙组多做300朵。
问这批花有多少朵？
A．600 B．900
C．1350 D．1500
例题12（2022江苏B）
甲、乙、丙三个物流公司合作完成两个仓库K和L的货物搬运任务。已知两个仓库的工作量相同，他
们先在K工作2小时，完成了K工作量的75%；然后乙、丙先去L工作，甲留在K继续工作，并用3小时
完成了K的剩余工作量后再去L工作，直至任务全部完成。甲在L工作的总时间为多少？
A．20分钟 B．30分钟
C．40分钟 D．50分钟
第 20 页
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例题13（2022四川）
工厂甲、乙、丙3条生产线共同完成一项任务，甲、丙先合作两天，完成了全部任务的1/3，接着乙、
丙合作两天完成剩下任务的45%，最后甲、乙合作两天恰好完成剩余任务。问甲完成的部分占全部任务的
多少？
A．4/15 B．1/3
C．2/5 D．3/5
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第五讲 容斥问题
✎代入公式：
例题1（2022广东）
某单位计划从全部80名员工中挑选专项工作组成员，要求该组成员须同时有基层经历和计算机等级
证书。已知，单位内有40人有基层经历，有46人有计算机等级证书，既没有基层经历又未获得计算机等
级证书的有10人。那么能够进入工作组的员工有多少人？
A．16 B．40
C．46 D．54
例题2（2022天津）
某班期末考试结束后统计，物理、化学均不及格的人数占全班的14%，物理及格的人数比化学及格的
人数多10人，且化学及格的人数占全班人数的60%。已知全班人数不超过70人，问物理及格的人中化学
也及格的有多少人？
A．25 B．26
C．27 D．28
第 22 页
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例题3（2020新疆）
某单位共有240名员工，其中订阅A期刊的有125人，订阅B期刊的有126人，订阅C期刊的有135
人，订阅A、B期刊的有57人，订阅A、C期刊的有73人，订阅3种期刊的有31人，此外，还有17人没
有订阅这三种期刊中的任何一种。问订阅B、C期刊的有多少人？
A．57 B．64
C．69 D．78
例题4（2023浙江）
某班级对70多名学生进行数学和英语科目摸底测验，有12%的学生两个科目均不及格。已知有2/3的
学生英语及格，数学及格的学生比英语多10人，那两科均及格的学生有多少人？
A．31 B．37
C．41 D．44
例题5（2024深圳）
某高校法学院对学生毕业后就职于司法机关、律所、企业的意愿进行调查，共725名学生参与调查，
可选其中0至3项。结果显示，选择司法机关、律所、企业的学生分别有360人、380人、237人，3项都
选的学生有60人，3项都不选的学生有8人，则仅选择其中1项的学生有多少人？
A．517 B．516
C．515 D．514
例题6（2012四川省考）
某次射击比赛共有52人参加，前1、2、3、4、5靶未命中的人数分别为4、6、10、20、39。5靶中
如每人至少射中1靶，只中1靶的有7人，5靶全中的有6人，中2靶的人数与中3靶的一样多，问中4
靶的有几人？
A．20 B．25
C．29 D．31
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✎最值思想：
例题7（2018浙江事业编）
某单位45名职工利用假期重读马克思主义著作，其中60%的人阅读《资本论》，阅读《共产党宣言》
的人比阅读《政治经济学批判》的多5人，但少于阅读《资本论》的人。已知所有人都阅读过这三本著作
中的至少一本，最多有多少人这三本著作都阅读了？
A．12 B．13
C．14 D．15
例题8（2023四川事业单位）
某机关部门有65人，为加强文化建设，组织员工到电影院观看A、B、C三部电影，由于三部电影放
映时间错开，要求每个员工至少观看一部电影，有40%员工选择看电影A，有27人选择观看电影B，有48
人选择观看电影C。则选择观看三部电影的员工至多可以有多少人？
A．16 B．17
C．18 D．19
✎画图解决：
第 24 页
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例题9（2023深圳）
小明对甲、乙、丙三种手机软件的安装情况进行街头调查。随机选取的一批调查对象中，手机安装了
甲、乙、丙三种软件的人数分别是40，36，35，只安装了其中一种软件的人数分别占其中的25%、25%、
20%，同时安装了甲、乙两种软件而未安装丙软件的有4人，同时安装了甲、丙两种软件而未安装乙软件
的人数比同时安装乙、丙两种软件而未安装甲软件的人数多3人，有多少人同时安装了甲、乙、丙三种软
件？
A．15 B．21
C．27 D．33
例题10（2023国考副省级）
农科院在某村287名淡水鱼养殖人员中开展防病培训和育种培训。已知参加防病培训的养殖人员中，
参加育种培训的人数比未参加的多21%；参加育种培训的养殖人员中，参加防病培训的人数比未参加的多
76人。问共有多少人未参加任何一项培训？
A．21 B．23
C．25 D．27
例题11（2023北京）
某公司有80人报名参加会计、法律和技术三项培训中的一项或多项，三项培训的报名人数比为6∶5∶4。
已知同时参加会计和法律培训的人数，和同时参加法律和技术培训的人数，分别是同时参加会计和技术培
训的人数的70%和80%，且无人同时参加3项培训，则只参加技术培训的有多少人？
A．4 B．6
C．8 D．10
例题12（2024国考行政执法）
某高校外国语学院中，会俄语的学生都会英语，其中一半还会法语；会英语的学生中有一半会法语；这
三种语言都会的学生有50人，只会其中两种语言的有100人，只会其中一种语言的有150人。问会法语的
学生有多少人？
A．50 B．100
C．150 D．200
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第六讲 溶液问题与十字交叉法
✎溶液问题：
例题1（2022江苏C）
某种杀虫剂每桶5公斤，浓度为40%，使用时需将浓度稀释到5%，每亩地喷洒60公斤。若某农户家
中有4亩地，则至少需要该杀虫剂多少桶？
A．3桶 B．4桶
C．5桶 D．6桶
例题2（2022深圳）
实验室有甲、乙、丙3瓶盐酸溶液，浓度分别为10%、40%、60%，实验员将3瓶溶液全部倒入一瓶中，
得到浓度为52%的盐酸溶液。已知乙溶液重量为甲溶液的1.5倍，则丙溶液重量为甲溶液的多少倍？
A．4.5 B．5.5
C．6.5 D．7.5
例题3（2022湖北选调）
将一满容器浓度为24%的溶液放置太阳下暴晒一段时间，经过一段时间蒸发水分后溶液浓度变为36%
且无沉淀。然后再用浓度为12%的溶液将容器加满。请问容器内溶液浓度变为多少？
A．24% B．28%
C．30% D．32%
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例题4（2019联考）
酒师调配鸡尾酒，先在调酒杯中倒入120毫升柠檬汁，再用伏特加补满，摇匀后倒出80毫升混合液
备用，再往杯中加满番茄汁并摇匀，一杯鸡尾酒就调好了。若此时鸡尾酒中伏特加的比例是24%，问调酒
杯的容量是多少毫升？
A．160 B．180
C．200 D．220
例题5（2020浙江大学生）
实验室内有浓度分别为10%和25%的盐酸各500毫升，从两种溶液中分别倒出一部分配成浓度为15%
的盐酸600毫升。如果将剩余的盐酸混合，则该溶液的浓度为：
A．16.5% B．18.6%
C．20% D．21.25%
✎十字交叉法：
例题6（2020浙江大学生）
实验室内有浓度分别为10%和25%的盐酸各500毫升，从两种溶液中分别倒出一部分配成浓度为15%
的盐酸600毫升。如果将剩余的盐酸混合，则该溶液的浓度为多少？
A．16.5% B．18.6%
C．20% D．21.25%
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例题7（2022北京）
甲、乙两条生产线每小时分别可以生产15000件和9000件某种零件，产品合格率分别为99%和99.8%。
现接到36万件这种零件的生产任务，要求合格率不得低于99.5%，则两条生产线合作，至少需要多少小时
完成？
A．15 B．18
C．24 D．25
例题8（2024联考）
高校管理学院某期培训班有不到100名学员参加，期中、期末两次考试平均分分别为68分和75分，
期中考试不及格学员平均分为53分，及格学员平均分为74分；期末考试不及格学员平均分为47分、及
格学员平均分为83分。问这期培训班有多少名学员参加？
A．42 B．54
C．63 D．77
例题9（2020山东）
由于改良了种植技术，农场2017年种植的A和B两种作物，产量分别增加了10%和25%。已知2017
年两种作物总产量增加了18%，问2017年A和B两种作物的产量比为多少？
A．7∶8 B．8∶7
C．176∶175 D．77∶100
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例题10（2022甘肃）
某工厂要做如图①所示的竖式和横式的两种无盖纸盒若干个，需从仓库领取如图②中的长方形和正方
形纸板作侧面和底面，每次领取的纸板必须用完。工作人员领取记录如下表，仓库管理员在核查工作人员
四次领取纸板数的记录时发现有一次记录有误。问第几次记录有误？
次数 正方形纸板（张） 长方形纸板（张）
第一次 562 933
第二次 420 860
第三次 502 1000
第四次 980 1015
A．一 B．二
C．三 D．四
例题11（2016联考）
某高校艺术学院分音乐系和美术系两个系别，已知学院男生人数占总人数的30%，且音乐系男女生人
数之比为1∶3，美术系男女生人数之比为2∶3，问音乐系和美术系的总人数之比为多少？
A．5∶2 B．5∶1
C．3∶1 D．2∶1
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第七讲 经济利润问题
✎基础题型：
例题1（2023北京）
一件商品售价100元/件时，卖出4件的利润与售价80元/件时卖6件的利润相同。则这种商品的成
本是多少元/件？
A．30 B．40
C．50 D．60
例题2（2022国考）
某地引进新的杂交水稻品种，今年每亩稻谷产量比上年增加了20%，且由于口感改善，每斤稻谷的售
价从1.5元提升到1.65元。以此计算，今年每亩稻谷的销售收入比上年高660元。问今年的稻谷亩产是
多少斤？
A．2200 B．1980
C．1650 D．1375
例题3（2023浙江）
某商品上月售价为进价的1.4倍，销售m件。本月该商品进价下降20%，售价不变，销售利润为上月
的1.8倍。那么本月的销量为多少件？
A．1.3m B．1.25m
C．1.2m D．1.15m
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例题4（2021北京）
一种设备打九折出售，销售12件与原价出售销售10件时的获利相同。已知这种设备的进价为50元/
件，其它成本为10元/件，问如打八折出售，1万元最多可以买多少件？
A．80 B．83
C．86 D．90
例题5（2023吉林）
某商场柜台出售一款小家电，如果按定价打九折出售可获得利润70元，如果按定价打九五折出售可
获得利润100元，这款小家电进货价格所在区间是？
A．400～450元 B．450～500元
C．500～550元 D．550～600元
例题6（2024江苏省考）
某商店购进一款无线路由器，进价100元/个，加价30%出售，半年后将剩下的打7折全部售出，共盈
利7410元，若成本利润率为19%，则打7折售出的路由器共有多少个？
A．90个 B．100个
C．105个 D．110个
✎阶梯计费：
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例题7（2023安徽）
某智慧公共停车场的收费标准如下：停车不超过15分钟，不收费；超过15分钟但不超过60分钟，
按1小时计，收费5元；超过1小时后，超过的部分按每30分钟4元收费（不足30分钟，按30分钟计）。
若李先生支付停车费17元，则他停车的时长可能为？
A．2小时 B．2小时15分钟
C．2小时45分钟 D．3小时
例题8（2022深圳）
某商城停车场实行按时长阶梯式收费，收费规则如下：不超出某一基础时长的，按5元/小时收费。
超出该基础时长的，超出的部分每小时收费增加3元；停车时长达基础时长3倍以上时，则超出基础时长
3倍的部分，每小时收费再增加3元。若甲某次停车离场时超出基础时长11小时，共交费116元，则基础
时长为多少小时？（该基础时长为整数，停车时长不满1小时的按1小时计）
A．6 B．5
C．4 D．3
✎分批销售：
例题9（2021广东）
某帮扶项目以每公斤9元的价格从农民手中收购了一批苹果，并以每公斤12元（包邮）的价格在网
上销售。售出总量的80%后，价格下调为每公斤10元（包邮）。运费成本为每公斤0.1元。全部售完后，
扣除收购成本和运费的总收益为2.5万元，则这批苹果为多少吨？
A．5 B．10
C．15 D．20
第 32 页
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例题10（2022北京）
商店销售某种商品，先按定价卖了300件，打七五折卖了200件，后在此基础上再打八折卖完了剩下
的100件，总利润为总成本的2/3。单件成本相当于单件定价的多少？
A．57% B．54%
C．51% D．48%
例题11（2019四川）
某助农项目从农民手中以1元/斤的价格收购一批芒果，通过网络平台销售，定价30元/10斤包邮，
售出芒果的60%后调价为35元/10斤，售完全部芒果的总收入比调价前预计的多20万元。问这批芒果总
重量为多少吨？
A．50 B．100
C．500 D．1000
例题12（2018国考）
甲商店购入400件同款夏装。7月以进价的1.6倍出售，共售出200件；8月以进价的1.3倍出售，
共售出100件；9月以进价的0.7倍将剩余的100件全部售出，总共获利15000元。问这批夏装的单件进
价为多少元？
A．125 B．144
C．100 D．120
例题13（2018浙江事业编）
商场以120元/套的价格购进了N套某款服装，又以135元/套的价格购进了2N套，商场以定价售完
1.5N套后，以定价的七折又销售了N套，最后以定价四折售完剩余所有服装，利润总计为330N元。问最
初定价是多少元？
A．200 B．240
C．280 D．300
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第八讲 经济利润之函数最值、增长相关
✎函数最值：
例题1（2022联考）
某地的一种特色纪念品在旅游旺季十分畅销，有商家发现，进价为每个40元的纪念品，当售价定为
44元时，每天可售出300个，售价每上涨1元，每天销量减少10个。现商家决定提价销售，若要使销售
利润达到最大，则售价应为多少？
A．51 B．52
C．54 D．57
例题2（2020江苏）
某商品的进货单价为80元，销售单价为100元，每天可售出120件。已知销售单价每降低1元，每
天可多售出20件。若要实现该商品的销售利润最大化，则销售单价应降低的金额是多少？
A．5元 B．6元
C．7元 D．8元
例题3（2024山东）
某线上店铺将进货单价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售100件。店铺计划提高售价增加
利润，若每件商品售价提高1元，每天销售量就要减少10件，为保证每天至少获利350元，问该商品售
价应为多少？
A．不到13元 B．13～15元之间
C．15～17元之间 D．17元以上
第 34 页
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例题4（2022安徽）
北京冬奥会期间，冬奥会吉祥物“冰墩墩”纪念品十分畅销。销售期间某商家发现，进价为每个40
元的“冰墩墩”，当售价定为44元时，每天可售出300个，售价每上涨1元，每天销量减少10个。现商
家决定提价销售，若要使销售利润达到最大，则售价应为多少？
A．51元 B．52元
C．54元 D．57元
✎增长率相关：
例题5（2023辽宁）
某高校今年共有231名本科毕业生被录取为硕士研究生。其中推荐录取人数比上年度减少1/6，而考
试录取人数比上年度增加31/150，总体录取人数比上年度高10%，那么，这所高校今年推荐录取的研究生
人数为多少？
A．40人 B．45人
C．50人 D．55人
例题6（2023黑龙江）
某口罩生产车间一月份生产口罩100万包，以后每个月都比前一个月按相同增长率增长，四月份生产
口罩133.1万包，这个增长率是多少？
A．10% B．8%
C．6% D．5%
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例题7（2024联考）
某商家购进一批商品，每件成本为27元，最初将商品定价为每件40元，该商家经过百分率相等的连
续两次降价后，每件商品的利润率不超过20%。问每次降价的百分率至少是多少？
A．20% B．15%
C．10% D．5%
例题8（2023上海）
某公司生产A、B两种产品，其中B是A的升级产品。经过调研，预判2022年市场对A产品的需求比
2021年下降30%（A产品的价格不变）。因此公司决定增加对B产品营销，使B产品在2022年的销售收入
比2021年增长70%，这样恰好使公司2022年的总销售收入比2021年增长10%。则2021年B产品的销售
额占总销售额的比例是多少？
A．40% B．50%
C．60% D．70%
例题9（2023深圳）
有甲、乙两种咖啡豆，按照质量比a：b相混合制成一种拼配豆，已知甲咖啡豆每公斤60元，乙咖啡
豆每公斤80元，现因产量变化，甲咖啡豆单价上涨15%，乙咖啡豆单价下降15%，以致该拼配咖啡豆的成
本上调了5%，则a∶b为多少？
A．1∶1 B．5∶3
C．8∶3 D．2∶1
例题10（2023山东）
某企业花费3456万元改造了一条自动化生产线，单位产品人工成本降低了50%，非人工成本降低了
10%，单日产量扩大了一倍，已知改造前的单位产品人工成本是非人工成本的3倍，改造后每天的人工成
本比非人工成本高3.6万元。问多少天后新生产线降低的成本可与花费的改造成本相抵？
A．480 B．300
C．360 D．540
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例题11（2022国考）
为降低碳排放，企业对生产设备进行改造，改造后日产量下降了10%，但生产每件产品的能耗成本下
降了50%，其他成本和出厂价不变的情况下每天的利润提高了10%。已知单件利润＝出厂价－能耗成本－
其他成本，且改造前产品的出厂价是单件利润的3倍，则改造前能耗成本为其他成本的？
A．不到 B． 之间
1 1 1
4 4~3
C． 之间 D．超过
1 1 1
3~2 2
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第九讲 和定最值与最不利极限题
✎和定最值：
例题1（2023安徽）
某小区物业准备了230盒口罩免费派发给10栋楼，要求任意两栋楼派发的口罩数量都不相同，但最
多相差不超过1倍。假设口罩不拆盒发放，那么派发口罩数量最少的那栋楼最少可派发多少口罩？
A．18盒 B．15盒
C．14盒 D．12盒
例题2（2023辽宁）
19个不同的正整数从小到大排序，总和为191，则最大的数只能取多少？
A．18 B．19
C．20 D．21
例题3（2022上海）
某单位进行了一次绩效考评打分，满分为100分。有5位员工的平均分为90分，而且他们的分数各
不相同，其中分数最低的员工得分为77分，那么排第二名的员工至少得多少分？（员工分数取整数）
A．90 B．92
C．94 D．96
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例题4（2021上海）
有一座13.2万人口的城市，需要划分为11个投票区，任何一个区的人口不得超过其他区人口的10%，
那么人口最少的地区可能有多少人？
A．9800 B．10500
C．10700 D．11000
例题5（2019江西法检）
某高校计划招聘81名博士,拟分配到13个不同的院系,假定院系A分得的博士人数比其他院系都多,
那么院系A分得的博士人数至少有多少名？
A．6 B．7
C．8 D．9
例题6（2023浙江事业编）
总公司选派110多名员工到5家分公司进行基层锻炼，每个分公司分到的人数均不同。已知选派人数
第二多的分公司人数比第四多的多10人，选派人数最多的分公司的人数占总选派人数的 ，但未超过最少
1
3
人数的3倍。那么选派人数最少的分公司的选派人数至多可能是多少人？
A．13 B．14
C．15 D．16
✎最不利极限题：
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例题7（2023山东）
一个袋子里装了50个苹果，5个香蕉，30个橘子和50个梨，若每次从袋子里随机取出1个水果，问
至少需要取多少次能肯定拿出10个相同种类的水果？
A．10 B．35
C．33 D．32
例题8（2022河北）
有200人参加招聘会，其中法学70人，经济学60人，工业设计50人，统计学20人，至少有多少人
找到工作才能保证一定有50人的专业相同？
A．167 B．168
C．170 D．175
例题9（2017辽宁）
某高校举办一次读书会共有37位同学报名参加，其中中文、历史、哲学专业各有10位同学报名参加
此次读书会，另外还有4位化学专业学生和3位物理专业学生也报名参加此次读书会，那么一次至少选出
多少位学生，能保证选出的学生中至少有5位学生是同一专业的。
A．17 B．20
C．19 D．39
例题10（2018浙江事业编）
某放映行有80名观众观看电影，已知有5名未成年人，观众年龄最大的69岁，问至少有多少名观众
有同龄人？
A．23 B．24
C．25 D．26
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例题11（2023浙江）
某部门举行年会抽奖活动。抽奖箱里有80个抽奖券，共20个不同的数字，每个数字均出现4次，且
分别对应一份礼品，不同的数字对应的礼品不同。每人当天限抽1次。那么最少多少人当天参加抽奖活动，
才能保证至少有3人领取的礼品相同？
A．41 B．42
C．61 D．62
例题12（2020浙江事业单位）
有6把钥匙和6把锁一一对应。问最多需要尝试开锁多少次能把所有的钥匙和锁对应上？
A．6 B．12
C．15 D．21
✎反向构造：
例题13（2022江苏）
某机构对全运会收视情况进行调查，在1000名受访者中，观看过乒乓球比赛的占87%，观看过跳水比
赛的占75%，观看过田径比赛的占69%。这1000名受访者中，乒乓球、跳水和田径比赛都观看过的至少有：
A．310人 B．440人
C．620人 D．690人
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例题14（2021广东）
某单位在网上办公系统传阅了 15 份文件，甲阅读了 9 份，乙阅读了 12 份，丙阅读了 10 份，则
甲、乙、丙三人共同阅读过的文件至少有多少份？
A．0 B．1
C．2 D．3
第 42 页
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第十讲 周期循环与日期星期问题
✎周期循环：
例题1（2022江苏）
某学者认为，人类的体力、情绪、智力自出生日起分别以22天、28天、33天为周期开始往复循环变
化，前半个周期是“高潮期”，后半个周期是“低潮期”。根据该学者的观点，我们过公历生日时，体力、
情绪和智力同时处于“高潮期”的最小年龄是多少？
A．4周岁 B．3周岁
C．2周岁 D．1周岁
例题2（2022河北）
两个信号灯分别以30秒和36秒的固定间隔闪亮一次，若他们10点第一次同时闪亮，则第七次同时
闪亮的时间为多少？
A．10:15 B．10:16
C．10:18 D．10:21
例题3（2023上海）
某班有48位同学，教室里有6排，每排8个座位。若在每个周一早上班里同学按照如下要求换座位：
①第一排同学换到最后一排，其他每排同学向前换一排；②最左边一列的同学换到最右边一列，其他每列
同学向左换一列。那么坐在第一排最左边的同学经过多少周后首次回到第一排最左边？
A．12周 B．24周
C．36周 D．48周
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✎日期星期问题：
例题4（2022青海）
2021年7月1日是中国共产党建党100周年的纪念日，这一天是星期四，那么建党110周年纪念日是？
A．星期一 B．星期二
C．星期三 D．星期四
例题5（2024事业单位联考）
某大学学生会发起了一项“给未来的自己的一封信”的活动，提议大一新生在2023年3月1日星期
三这天写下对大学生活的期待和目标，并且由班主任保管，约定在3年后的这天交还给学生，则3年后的
3月1日是哪天？
A．星期四 B．星期五
C．星期六 D．星期日
例题6（2020河南事业编）
2020年的2月1日为星期六，那么下一个2月1日为星期六的年份是？
A．2024 B．2025
C．2026 D．2027
第 44 页
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例题7（2019河北）
甲、乙、丙三人均每隔一定时间去一次健身房锻炼。甲每隔2天去一次，乙每隔4天去一次，丙每7
天去一次。4月10日三人相遇，下一次相遇是哪天？
A．5月28日 B．6月5日
C．7月24日 D．7月25日
例题8（2019浙江事业编）
小米、小明、小华三人参加补习班，小米每隔1天补习一次，小明每隔2天补习一次，小华每隔6天
补习一次。已知9月15日他们相约第一次补习，则下一次三人同时来补习是哪天？
A．9月27日 B．9月29日
C．10月26日 D．10月27日
✎利用“唯一性”确定星期日期：
例题9（2024事业编联考）
网管员小王每隔一周的周一、周三、周五对机房进行检修，某年7月31日，小王进行了当月第7次
机房检修。问当年7月1日是星期几？
A．星期一 B．星期三
C．星期四 D．星期六
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例题10（2023深圳）
博物馆员工周二至周六上班，周日、周一休息。某月有31天，员工小王工作了22天，则该月的4号
是周几？
A．周一 B．周二
C．周一或周四 D．周四或周日
例题11（2024国考行政执法）
小张每周二、周五和周日固定参加骑行社团活动。某年9月和10月，小张分别参加了13次和14次
活动。问当年他最后一次参加活动是在哪一天？
A．12月28日 B．12月29日
C．12月30日 D．12月31日
例题12（2024事业单位联考）
刚刚过去的4月份共有5个周六和5个周日。据此推算，谷雨（4月20日）是哪天？
A．周五 B．周四
C．周三 D．周二
第 46 页
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第十一讲 平面几何问题
几何问题常见公式
1、平面图形
平面图形 图示 周长 面积
正方形
正方形
2
S =
4
长方形
长方形
S =ab
2( + )
三角形
三角形
1
S = ×ℎ
+ +
2
正三角形 边长 边长
正三角形
3
3 S = ×
4
圆形
圆形
2
S =πr
2πr
弧长 圆周长 圆面积
扇形 2
扇形 n o nπr o n nπr lr
=360 × =180 S = o× = o =
为圆心角 360 为弧长 360 2
n l
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（上底 下底） 高
梯形
梯形
+ ×
+ + + S =
2
平行四边形 平行四边形
S = ℎ
2 +2
对角线 对角线
菱形
菱形
×
4 S =
2
2、立体图形
立体图形 图示 表面积 体积
正方体
2 3
6
长方体
2( + + )
球体
2 2
（4 r是=直 径D） 4 3
πr
3
D
第 48 页
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圆柱体
2 2
2 r +2 rh πr h
2 2
πr +πR +πrl+πRl=
2 2
π(r +R +rl+Rl)
圆台
1 2 2
为母线
πh(r +Rr+R )
是小3圆半径， 是大圆半径
（l ）
r R
2
2
l= R−r +h
为圆台高
h
圆锥
1
Sh
2 为3底面积
πr +πrl
S
棱锥
侧面积＋底面积 1
Sh
为3底面积
S
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✎平面几何之三角形：特殊直角三角形、勾股定理、特殊勾股数、相似三角形、等底等高等
例题1
某公园内的道路如下图所示，其中AB，BC分别为正南北向和正东西向道路，AB，
AC分别长100米和200米。且BCD为正三角形，如要用直线道路连接AD，则该道路的
长度为多少米？
A． B．
C．150 3 D．50 3+1
100 7 200 2
例题2
厦门鼓浪屿海滨覆鼎岩上屹立着一尊郑成功雕像。为了测量石像的高度，某测量小组选取的测量点A
与覆鼎岩底部D在同一水平线上，如下图所示。已知覆鼎岩高CD为24米，在A处测得石像头顶部B的仰
角为45°，石像底部C的仰角为31°（参考数据：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60），
则石像BC的高度约为多少？
A．20米 B．18米
C．16米 D．14米
第 50 页
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例题3（2024山东省考）
某巡逻艇在海域A点发现正南方30千米处的B点有一艘可疑船只正匀速向正西方行驶，巡逻艇以比
该可疑船只快1/3的速度沿某一方向直线追击，两船恰好在C点相遇。问B、C两点之间的距离约多少千
米？
A．26 B．28
C．30 D．34
例题4（2024事业编联考）
一条东西向的河流宽50米，如下图所示，甲划船从北岸的A点出发，直线航行130米后到达南岸的B
点，然后向左转向90度继续直线行驶，到达河流北岸的C点，问A、C两点的距离在以下哪个范围内？
A．不到150米 B．150～160米之间
C．160～170米之间 D．超过170米
例题5（2023福建）
边长为10厘米的正方形ABCD如下图所示，E为正方形中的某一点，已知AE长8厘米，BE长6厘米，
问三角形ADE的面积为多少平方厘米？
A．24 B．32
C．44 D．48
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例题6（2022国考）
甲地在丙地正西17千米，乙地在丙地正北8千米。张从甲地、李从乙地同时出发，分别向正东和正
南方向匀速行走。两人速度均为整数千米/小时，且1小时后两人的直线距离为13千米，又经过3小时后
两人均经过了丙地且直线距离为5千米。已知李的速度是张的60%，则张经过丙地的时间比李？
A．早不到10分钟 B．早10分钟以上
C．晚不到10分钟 D．晚10分钟以上
例题7（2022江苏）
如图所示，小王买了一块直三棱柱形状的蛋糕 ，其中 ， 。为与两
位室友分享，他切出一小块和原蛋糕形状相同的蛋糕AB？C−A'B'C' 其∠体A积BC与=原9蛋0°糕的∠B体A积C=之3比0°为1∶3。
若 ，则线段 与 的长度之比为多少？ ADE−A'D'E'
∠ADE= 90° AE EB
A． B．
C．2∶1 D．3∶2
3∶1 2∶ 3
例题8（2023国考执法）
公园里有一片四边形草坪，沿对角线修建的小道相交于O点，O到四个
顶点A、B、C、D的距离之比正好为1∶2∶3∶4，一名工人花费1天正好完
成AOB区域的修剪，问第二天至少需要额外增加多少名效率相同的工人一
起工作，才能在当天内完成剩余草坪的修剪？
A．8 B．10
C．11 D．12
第 52 页
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例题9（2023吉林）
为推动产业园和产业集聚区加快转型，某地计划在三角形ABC区域内建设新能源产业园区（如下图所
示），三角形DEF是中央工厂区，已知BD∶DE∶EC=1∶2∶3，F为AE的中点，则新能源产业园区总面积
是中央工厂区面积的多少倍？
A．7倍 B．6倍
C．5倍 D．4倍
✎平面几何之其他：圆形、扇形、正方形长方形等
例题10（2019广东）
某小区规划建设一块边长为10米的正方形绿地。如图所示，以绿地的2个
顶点为圆心，边长为半径分别作扇形，把绿地划分为不同的区域。小区现准备
在图中阴影部分种植杜鹃，则杜鹃种植面积为多少平方米？
A．100-25π B．200-35π
C．200-50π D．100π-100
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例题11（2023浙江）
某地打算在绿地上建两个圆形花坛，如下图所示，大圆的直径为6米，小圆的直径为2米，修建期间
暂时在外围设置围栏。已知围栏呈矩形，大圆与围栏的三条边相切，小圆与围栏的两条边相切，且两圆相
切，那么矩形围栏的面积是多少平方米？
A． B．
C．12 2+ 3 D．12 1+2 3
12 13 6 3+ 13
例题12（2024湖北）
某单面圆形交通禁停标志牌如图所示，标志牌直径为60cm，牌中各处红色区域宽度均为5cm，某工厂
承接30个该种标志牌的喷绘业务，已知每个标志牌的蓝色区域喷绘价格是112.5元，红蓝区域喷绘单价
相同（价格仅按面积计算），那么30个标志牌喷绘共需多少元？
A．3375元 B．6000元
C．6750元 D．8437.5元
第 54 页
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例题13（2019广东）
如图所示，市政部门在一块周长为260米的长方形草地旁边铺设宽为10米的L形道路。已知铺好道
路后，道路和草地面积之和为草地面积的1.5倍，则草地的面积为多少平方米？
A．4200 B．4000
C．3000 D．2800
例题14（2023浙江）
一只闹钟的秒针顶点距离表盘圆心4厘米，分针顶点距离表盘圆心3厘米。小王烧开一壶水的时间内，
秒针顶点累计移动了40π厘米。那么这一时间段内，分针顶点与表盘圆心的连线扫过的扇形面积为多少平
方厘米？
A．0.5π B．0.75π
C．π D．1.5π
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第十二讲 立体几何与特殊几何问题
✎立体几何之表面积：
例题1（2022国考）
一个圆柱体零件的高为1，其圆形底面上的内接正方形边长正好也为1。现将圆柱体零件切割4次，
得到棱长为1的正方体，则切去部分的总表面积为多少？
A． B．
C． 2 π+2 D．2 2 π−2
2+1 π+2 2 2π−2
例题2（2024福建）
一个白色圆柱体零件的底面半径是高的 1.5 倍，现将其表面涂上黑漆之后，沿下图所示虚线方
向切割为 4 个完全相同的部分。问单个部分的黑色面积是白色面积的多少倍？(π≈3.14)
A．不到1.1倍 B．1.1～1.2倍之间
C．1.2～1.3倍之间 D．1.3倍以上
第 56 页
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✎立体几何之体积：
例题3（2021辽宁）
如下图1所示，在一个金字塔造型（底面为正方形，侧面为四个全等的等腰三角形）的铸造件内部挖
空一个圆柱。现沿铸造件顶点A且垂直底面的方向切开，切开后的截面如下图2所示，已知DE、GF为圆
柱的高，BC＝4 分米，DE＝2分米，AO＝4分米，那么挖后铸造件的体积是多少？
2
A． 立方分米 B． 立方分米
128
128−4π 3 −4π
C． 立方分米 D． 立方分米
64
3 −4π 64−4π
例题4（2023湖北）
下图所示是一种帐篷屋顶的示意图，底面是一个长4米
宽3米的长方形，屋顶高1米，上棱长2米且平行于底面，
那么该帐篷屋顶的体积是多少？
A．5立方米
B．11立方米
C．12立方米
D．24立方米
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✎等比放缩：
例题5（2020新疆）
某演播大厅的地面形状是边长为100米的正三角形，现要用边长为2米的正三角形砖铺满（如图所示）。
问，需要用多少块砖？
A．2763 B．2500
C．2340 D．2300
例题6（2023安徽）
某餐馆承诺25分钟内上齐一桌菜，若超时则未上的菜品免单。每张餐桌上都有
一个装满后正好25分钟漏完的圆锥形沙漏（如下图所示）。某位顾客在等待的过程
中发现沙漏内上方沙子的高度为原先的一半，此时还差一道菜未上，则再过多久还未
上菜，这位顾客将享受免单服务？
A．不到3分钟 B．3～4分钟之间
C．4～5分钟之间 D．超过6分钟
第 58 页
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例题7（2022安徽）
商家门口摆放了一把正四棱锥形（底面为正方形，侧面为四个全等的等腰三角形）的遮阳伞，第一次
伞撑开到图1所示的位置，伞柄与伞骨成角 为30°，继续撑开到如图2所示的位置，伞柄与伞骨成
角 变为60°，那么第二次伞撑开后形∠成CP的Q正方形 是第一次撑开后正方形ABCD面积的多少
倍？∠C'PQ' A'B'C'D'
A． 倍 B． 倍
C．32倍2 D．33倍
例题8（2021国考）
一个人工湖的湖面上有一个露出水面3米的圆锥体人工景观（底面朝下）。如人工湖水深减少20%，
则该景观露出水面部分的体积将增加61/64。问原来的人工湖水深为多少米？
A．3.5 B．3.75
C．4.25 D．4.5
✎几何最值：
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例题9（2019新疆）
某健身馆准备将一块周长为100米的长方形区域划为瑜伽场地，将一块周长为160米的长方形区域划
为游泳场馆。若瑜伽场地和游泳场馆均是满足周长条件下的最大面积。问两块场地面积之差为多少平方
米？
A．625 B．845
C．975 D．1150
例题10（2023安徽）
某村拟建造一个容积为144立方米，深度为4米的长方体无盖蓄水池。为节约成本，侧面积最小为多
少平方米？
A．24 B．36
C．96 D．132
例题11（2018四川）
在美化城市活动中，某街道工作人员想借助如图所示的直角墙角，用28米长的篱笆围成一个矩形花
园ABCD，篱笆只围AB、BC两边。图中的P为一棵直径为1米的树，其与墙CD、AD的最短距离分别是14
米和5米，若要将这棵树围在花园内，则花园的最大面积为多少平方米？
A．187 B．192
C．195 D．196
第 60 页
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✎最短路径：
例题12（2023北京）
一个半径为120米的圆形人工湖正中有一个半径为60米的圆形人工岛。甲从岛的正北岸边出发，以1
米/秒的速度匀速划船前往湖的正南岸边，则最少需要多长时间？
A．不到3分45秒 B．3分45秒～4分之间
C．4分～4分15秒之间 D．超过4分15秒
例题13（2023湖北）
A、B两村在一条笔直公路的同侧，到公路的垂直距离分别是3公里和7公里，两村相距8.5公里，现
需在公路边建一个物资集散中心，为节约物资配送成本，集散中心到两个村的直线路程之和应尽可能小，
若货车的速度约为60公里/小时，那么货车从集散中心出发，到两村送货后返回中心，路途所花费的最少
时间为多少？
A．18分钟 B．21分钟
C．24分钟 D．27分钟
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例题14（2022安徽）
A、B两个乡镇分布于山谷两侧，山谷间有一条宽为2km的河道（如下图所示）。当地政府决定在两个
乡镇间修建一条跨河公路促进旅游发展。由于架桥费用高昂，所以要求跨河公路中的桥梁路段长度最短。
那么根据图中数据，从A镇前往B镇的最短距离为多少？
A．17km B．15km
C．19km D．20km
第 62 页
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第十三讲 基础排列组合
✎基础排列组合：
有序为排列，无序为组合；分类用加法，分步用乘法；从特殊入手，全部减不符
例题1（2023吉林）
教育平台的网络课程由阅读资料、观看视频、论坛交流、练习作业和问卷考试五部分学习内容组成。
学员需先后完成这五部分学习内容，其中论坛交流与练习作业均不能在最先和最后完成，则学员安排学习
的顺序共有多少种？
A．120种 B．72种
C．36种 D．24种
例题2（2023吉林）
在一次“互联网+现代农业”培训会后，为了交流拓展农村电商产业路径，要求各地参会代表一周内
每两人互通一次电话，已知他们一周内共打了120次电话，这次参与培训交流的人数是多少？
A．20 B．18
C．16 D．15
例题3（2023联考吉林）
像中国的回文联“洞帘水挂水帘洞，山果花开花果山”一样，如果将一个数的数字倒排后所得的数仍
是这个数，这样的数称为回文数，例如11，22，343，565，1881，20102等，在所有三位数中回文数共有
多少个？
A．81个 B．90个
C．99个 D．100个
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例题4（2024联考）
企业将12个技术培训名额分配给甲、乙、丙三个研发团队。要求乙团队分配的培训名额比甲团队少，
但比丙团队多，且每个团队至少分配1个名额。问有多少种不同的分配方式？
A．6 B．7
C．36 D．42
例题5（2024江苏）
某公司派出5名人力资源专员去2个一线城市和2个二线城市参加秋季招聘会。若每名专员只去其中
一个城市，每个一线城市至少派一名专员，每个二线城市只派1名专员，则不同的派出方法共有多少？
A．110种 B．130种
C．120种 D．140种
✎分情况讨论：
例题6（2024国考副省）
公司有六个编号依次为1-6的研发团队，现安排这6个团队参与甲、乙两个科研课题，要求每个团队
参与一个课题。每个课题最少安排2个团队，每个课题安排一个团队负责，且负责团队不能是该课题所有
参与团队中编号最小的团队。问有多少种不同的安排方式？
A．300 B．340
C．150 D．170
第 64 页
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例题7（2024联考）
安排A、B、C、D共4个研发团队参与甲、乙、丙3个课题的研究，要求每个课题至少有1个团队参
与，每个团队必须且只能参与1个课题，如甲课题参与的团队数超过1个，则A、B都不参与甲课题，问
共有多少种不同的安排方式？
A．24 B．26
C．36 D．42
例题8（2022北京）
将张、王、李、陈、赵五名应届毕业生分配到甲、乙、丙3个不同的科室，要求每个科室至少分配1
人，甲科室分配的人数多于乙科室，且张和王不能去丙科室。则有多少种不同的分法？
A．12 B．21
C．35 D．72
例题9（2022青海）
某市举办世界遗产大会，开幕式会场需要从6组志愿者中选出4组分别从事防疫协助、嘉宾引导、英
语翻译、物资发放四项不同的工作，其中甲、乙组不能从事英语翻译工作，丙组只能从事防疫协助工作，
则派选方案有多少种？
A．36种 B．72种
C．108种 D．144种
✎全部减不符：
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例题10（2021安徽）
某高校开设A类选修课四门，B类选修课三门。小刘从中共选取四门课程，若要求两类课程各至少选
一门，则选法有多少种？
A．18种 B．22种
C．26种 D．34种
例题11（2023黑龙江）
在一个3×3的表格（如下图所示）中，分别填入5个数字0和4个数字1，若要求灰色方格中不能同
时填入数字1，问有多少种填法？
A．98 B．100
C．120 D．126
例题12（2022安徽）
滑雪和滑冰是冬奥会的两大项赛事，其中高山滑雪、自由式滑雪、单板滑雪、跳台滑雪、越野滑雪和
北欧两项是滑雪大项中的6个分项，短道速滑、速度滑冰和花样滑冰是滑冰大项中的3个分项。小林打算
去现场观看比赛，共选择6个项目，并且每个大项不少于1个，若所有项目比赛时间均不交叉，则不同的
观赛方式有多少种？
A．83种 B．84种
C．92种 D．102种
第 66 页
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第十四讲 基础概率问题
✎基础概率问题：
例题1（2023黑龙江）
如果3个学生一起报名，且3个学生都通过科目一考试，那么就可以减免1个学生的报名费。他们3
人不能通过科目一考试的概率分别为 、 、 ，则减免1个学生报名费资格的概率为多少？
1 1 1
2 3 4
A． B．
3 2
4 3
C． D．
1 1
3 4
例题2（2019江苏）
已知一个箱子中装有12件产品，其中有2件次品。若从箱子中随机抽取2件产品进行检验，则恰好
抽到1件次品的概率是多少？
A． B．
13 10
22 33
C． D．
7 8
11 11
例题3（2023北京）
甲和乙两个办公室分别选出2人听一个讲座。如每个办公室均随机选择，则甲办公室员工小刘和小陈
同时被选中的概率正好为10%。乙办公室员工小吴被选中的概率为20%，则两个办公室共有多少名员工？
A．11 B．15
C．16 D．20
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例题4（2020山东）
在ATM机上输入银行卡密码时，若连续三次输入错误则会吞卡，老李忘了银行卡密码的末两位数，只
记得是两个不相同的奇数，若他在末两位上随意输入两个不同奇数，能在吞卡前猜中正确密码的概率是多
少？
A． B．
3 1
20 5
C． D．
1 2
9 9
✎分情况讨论与全部减不符：
例题5（2022江苏C）
“双减”政策实施后，某小学下午5：30放学，小李5:00下班去接孩子回家，当不堵车时，5:30之
前到校；当堵车时，5:30之前到校的概率为0.6。若5:00～5:30堵车的概率为0.3，则小李5:30之前到
校的概率是多少？
A．0.78 B．0.80
C．0.88 D．0.91
例题6（2023安徽）
某学习平台收到的征文，将通过两轮评审决定能否采用。先由两位编辑进行初审，若两位编辑评审都
通过，则予以采用；若两位编辑都未予通过，则不予采用；若仅有一位编辑初审通过，则再由主编进行复
审，若复审通过，则予以采用，否则不予采用。设稿件能通过各初审编辑评审的概率均为0.4，复审的稿
件能通过的概率为0.2，各编辑独立评审，则每篇征文被采用的概率为多少？
A．0.32 B．0.256
C．0.24 D．0.208
第 68 页
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例题7（2022国考）
某企业将5台不同的笔记本电脑和5台不同的平板电脑捐赠给甲、乙两所小学，每所学校分配5台电
脑。如在所有可能的分配方式中随机选取一种，两所学校分得的平板电脑数量均不超过3台的概率为多少？
A． B．
50 125
63 126
C． D．
25 125
63 252
例题8（2022天津）
某部门共7人，其中有2人博士毕业，5人硕士毕业。某日，该部门随机分成3个小组参加3项不同
的活动，3个小组人数各不相同。问其中2位博士毕业人员分在同一小组的概率在以下哪个范围内？
A．不到25% B．在25%到35%之间
C．在35%到45%之间 D．45%以上
例题9（2022广东）
某街道对辖内6个社区的垃圾分类情况进行考核评估，结果显示，有2个社区的垃圾分类考核不通过。
如果从6个社区中随机抽取3个进行现场检查，则抽取的社区中，既有考核通过的又有考核不通过的社区
的概率为多少？
A． B．
1 1
5 2
C． D．
2 4
3 5
例题10（2022安徽）
为了加强环境治理和生态修复，某市派出4位专家（甲、乙、丙、丁）前往某山区3个勘探点进行环
境检测，要求每个勘探点至少安排一名专家。那么甲、乙两名专家去了不同勘探点的概率是多少？
A． B．
3 1
4 6
C． D．
5 1
6 4
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例题11（2024江苏）
小张所在单位共有4个科室，现以科室为单位组织文艺演出，每个科室出2个节目。演出结束后，因
8个节目都非常精彩，决定从中随机选3个节目参加上级组织的汇演。则小张所在科室出的节目至少有一
个被选送参加汇演的概率为()。
A． B．
7 11
10 14
C． D．
11 9
20 14
✎分子分母同时简化：
例题12（2024国考副省）
甲、乙等36人分为6个小组参加某项活动，要求任意2组人数不同，每个组都不少于3人，且任何
一组人数不得超过另一组的3倍。问甲和乙至少有1人分到人数第二多的小组的概率为？
A．35% B．40%
C．25% D．30%
例题13（2024事业编联考）
一次学术会议安排3名教授和2名副教授作报告，要求第一个和最后一个作报告的都是教授。如在满
足此要求的安排中随机选择一种，则2名副教授的发言次序相邻的概率为多少？
A． B．
1 1
C．4 D．3
４
2 3
3
第 70 页
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第十五讲 特殊情境之相邻/不相邻问题与环形排列
✎相邻问题：
例题1（2020新疆）
某美术馆计划展出12幅不同的画，其中有3幅油画、4幅国画、5幅水彩画，排成一行陈列，要求同
一种类的画必须连在一起，并且油画不放在两端，问有多少种不同的陈列方式？
A．不到1万种 B．1万～2万种之间
C．2万～3万种之间 D．超过3万种
例题2（2022青海）
某单位拟于下周周一至周六期间举办“人人学党史，人人讲党史”和“我为群众办实事”实践活动，
每个活动均需连续开展两天，那么这两个活动的时间完全不重叠的概率为多少？
A．40% B．48%
C．52% D．60%
例题3（2022湖北选调）
某单位组织员工参加业务培训，小王和小李所在部门员工10人在同一排就坐，一排正好10个座位，
假设座位是随机安排的。问小王和小李之间相隔人数小于等于3人的概率为多少？
A． B．
1 1
3 2
C． D．
8 2
15 3
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例题4（2024联考）
某公司开展迎新春三分球投篮比赛。3个部门分别派出2、4、4个选手共计10人参加。规则要求同一
个部门的选手顺序相连、全部投完再安排另一个部门的人员，则这10人不同的投篮顺序种数的范围是？
A．小于1000 B．1000～5000
C．5001～10000 D．10000以上
例题5（2023浙江）
12个人排成1列纵队，从前到后编为1~12号。现要将他们排成另一个与原来不同的纵队并从前到后
重新编号，要求每个人的新号码与原始号码相差不超过1。那么有多少种重新编队的方法？
A．155 B．227
C．232 D．239
✎不相邻问题：
例题6（2020联考）
某学习平台的学习内容由观看视频、阅读文章、收藏分享、论坛交流、考试答题五个部分组成。某学
员要先后学完这五个部分，若观看视频和阅读文章不能连续进行，该学员学习顺序的选择有多少种？
A．24种 B．72种
C．96种 D．120种
第 72 页
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例题7（2018广东）
某条道路一侧共有20盏路灯。为了节约用电，计划只打开其中的10盏。但为了不影响行路安全，要
求相邻的两盏路灯中至少有一盏是打开的，则共有多少种开灯方案？
A．2 B．6
C．11 D．13
例题8（2023北京）
某车库有10个并排的车位，有3辆不同的车要停进这10个车位之中，而且彼此不能相邻，则有多少
种不同的停放方法？
A．336 B．246
C．156 D．66
例题9（2023浙江）
某停车场有7个连成一排的空车位。现有3辆车随机停在这排车位中，则任意两辆车之间至少间隔一
个车位的概率为多少？
A． B．
1 2
5 7
C． D．
6 9
35 35
例题10（2023安徽）
某空军基地举行飞行训练，有8架歼击机、3架预警直升机、2架反潜直升机参与训练，每架飞机编
号不同。训练时，需派出3架歼击机、2架预警直升机、1架反潜直升机进行起降飞行。若每次只能起飞1
架飞机，其中3架歼击机必须相邻起飞，2架预警直升机不能相邻起飞，那么不同的起飞方式有多少种？
A．504 B．4032
C．8064 D．24192
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✎环形排列：
例题11（2021云南）
两个大人带四个孩子去坐只有六个位置的圆型旋转木马，那么两个大人不相邻的概率为多少？
A． B．
2 3
5 5
C． D．
1 2
3 3
例题12（2012年国考）
有5对夫妇参加一场婚宴，他们被安排在一张10个座位的圆桌就餐，但是婚礼操办者并不知道他们
彼此之间的关系，只是随机安排座位。问5对夫妇恰好都被安排在一起相邻而坐的概率是多少？
A．在1‰到5‰之间 B．在5‰到1%之间
C．超过1% D．不超过1‰
第 74 页
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第十六讲 特殊情境之定序、相同元素分配、错位与重复排列
✎定序问题：
例题1（2008国考）
一张节目表上原有3个节目，如果保持这3个节目的相对顺序不变，再添进去2个新节目，有多少种
安排方法？
A．20 B．12
C．6 D．4
例题2（练习题）
现有5个红球、3个篮球、2个黄球，排成一列，共有多少种安排方式？
A．2520 B．4200
C．2860 D．3640
例题3（2020国家）
扶贫干部某日需要走访村内6个贫困户甲、乙、丙、丁、戊和己。已知甲和乙的走访次序要相邻，丙
要在丁之前走访，戊要在丙之前走访，己只能在第一个或最后一个走访。问走访顺序有多少种不同的安排
方式？
A．24 B．16
C．48 D．32
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例题4（2023辽宁）
712934856是一个包含1至9每个数字恰好一次的九位数，它具有以下特征：数字1至6在其中是从
小到大排列的，但是数字1至7不是从小到大排列的。则符合这种特征的九位数共有多少个？
A．12 B．336
C．432 D．504
✎相同元素分配：
例题5（2020联考）
某城市一条道路上有4个十字路口，每个十字路口至少有1名交通协管员，现将8个协管员名额分配
到这4个路口，则每个路口协管员名额的分配方案有多少种？
A．35种 B．70种
C．96种 D．114种
例题6（2015年黑龙江省考）
某单位共有10个进修的名额分到下属科室，每个科室至少一个名额，若有36种不同分配方案，问该
单位最多有多少个科室？
A．7 B．8
C．9 D．10
第 76 页
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例题7（2023福建）
某高校学生会选拔乡村支教志愿者，初试合格者中，语文类5名，数学类6名，文体类4名，从中选
取9名志愿者，但每类至少要选2名。问就9名志愿者的科目类别构成而言，共有几种选拔方式？
A．6 B．7
C．8 D．9
例题8（2020青海）
物业派出小王、小曾、小郭三名工作人员负责修剪小区内的6棵树，每名工作人员至少修剪1棵树（只
考虑修剪的棵数），问小王至少修剪3棵树的概率为多少？
A． B．
3 3
10 7
C． D．
1 3
4 5
例题9（2024事业编联考）
某单位将11本《党员学习手册》分发给甲、乙、丙共3个党支部。甲支部至少分得3本，乙支部至
少分得2本，丙支部至少分得4本，共有多少种不同的分配方式？
A．3 B．4
C．5 D．6
✎重复排列：
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例题10（2023国考副省级）
某单位有甲和乙2个办公室，分别有职工5人和4人。每周从这9名职工中随机抽取1人下沉社区担
任志愿者（同一人有可能被连续、重复选中）。问7月前2周的志愿者均来自甲办公室的概率在以下哪个
范围内？
A．不到25% B．25%～35%之间
C．35%～45%之间 D．超过45%
例题11（2019联考）
某小学组织6个年级的学生外出参观包括A科技馆在内的6个科技馆，每个年级任选一个科技馆参观，
则有且只有两个年级选择A科技馆的方案有多少种？
A．1800种 B．18750种
C．3800种 D．9375种
✎错位排序：
例题12（2014北京）
相邻的4个车位中停放了4辆不同的车，现将所有车开出后再重新停入这4个车位，要求所有车都不
得停在原来的车位中，则一共有多少种不同的停放方式？
A．9 B．12
C．14 D．16
第 78 页
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例题13（2015山东）
某单位从下属的5个科室各抽调了一名工作人员，交流到其他科室，如每个科室只能接收一个人的话，
有多少种不同的人员安排方式？
A．120 B．78
C．44 D．24
例题14（2022下四川）
4个车间各抽一名检测员组成一个检查组，对4个车间进行常规检查。要求每个检测员只检查一个车
间，但不能检查自己所在的车间。则不同的检查方法有多少种？
A．8 B．9
C．10 D．11
例题15（2017年国考）
某集团企业5个分公司分别派出1人去集团总部参加培训。培训后再将5人随机分配到这5个分公司，
每个分公司只分配1人。问5个参加培训的人中，有且仅有1人在培训后返回原分公司的概率？
A．低于20% B．在20%～30%之间
C．在30%～35%之间 D．大于35%
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第十七讲 特殊情境之平均分堆与特殊概率问题
✎平均分堆：
例题1（2015四川）
将10名运动员平均分成两组进行对抗赛，问有多少种不同的分法？
A．120 B．126
C．240 D．252
例题2（2018浙江）
某班共有8名战士，现在从中挑出4人平均分成两个战斗小组分别参加射击和格斗考核，问共有多少
种不同的方案？
A．210 B．420
C．630 D．840
例题3（2021上海）
安排4名护士护理3个病房，每个病房至少一名护士，每名护士固定护理一个病房，则共有多少种安
排方法？
A．24 B．36
C．48 D．72
第 80 页
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✎二人同组：
例题4（2018联考）
某单位工会组织桥牌比赛，共有8人报名，随机组成4队，每队2人。那么，小王和小李恰好被分在
同一队的概率是多少？
A． B．
1 1
7 14
C． D．
1 1
21 28
例题5（2021江苏）
某次圆桌会议共设8个座位，有4个部门参加，每个部门2人，排座位时，要求同一部门的两人相邻，
若小李和小王代表不同部门参加会议，则他们座位相邻的概率是多少？
A． B．
1 1
48 24
C． D．
1 1
12 6
例题6（2019联考）
某学校举行迎新篝火晚会，100名新生随机围坐在篝火四周。其中，小张与小李是同桌，他俩坐在一
起的概率为多少？
A． B．
2 2
97 98
C． D．
2 2
99 100
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例题7（2018国考）
某单位的会议室有5排共40个座位，每排座位数相同。小张和小李随机入座，则他们坐在同一排的
概率是多少？
A．不高于15% B．高于15%但低于20%
C．正好为20% D．高于20%
例题8（2019国考）
小张和小王在同一个学校读研究生，每天早上从宿舍到学校有6:40、7:00、7:20和7:40发车的4班
校车。某星期周一到周三，小张和小王都坐班车去学校，且每个人在3天中乘坐的班车发车时间都不同。
问这3天小张和小王每天都乘坐同一趟班车的概率在？
A．3%以下 B．3%～4%之间
C．4%～5%之间 D．5%以上
例题9（2024浙江）
某公司组织面试，每位考生都要回答甲、乙、丙、丁、戊5道试题，作答顺序随机安排。已知小张第
二题是甲题、第四题是丁题，小王第三题是乙题，那么两人作答顺序完全相同的概率是多少？
A． B．
1 1
72 48
C． D．
1 1
36 24
✎比赛概型：
第 82 页
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例题10（2020安徽事业编）
某场羽毛球单打比赛采取三局两胜制。假设甲选手在每局都有80%的概率赢乙选手，那么这场单打比
赛甲有多大概率战胜乙选手？
A．0.768 B．0.800
C．0.896 D．0.924
例题11（2014年浙江省考）
两支篮球队打一个系列赛，三场两胜制，第一场和第三场在甲队的主场，第二场在乙队的主场。已知
甲队主场赢球概率为0.7，客场赢球概率为0.5。问甲队赢得这个系列赛的概率为多少？
A．0.3 B．0.595
C．0.7 D．0.795
例题12（2021福建事业编）
某场乒乓球单打比赛采取5局3胜制。假设甲选手在每局都有70%的概率赢乙选手，若要打满5局，
那么这场单打比赛甲有多大概率战胜乙选手？
A．0.031 B．0.103
C．0.185 D．0.343
例题13（2023湖北选调）
某市职工篮球赛甲、乙两队决赛，采取7场4胜制（先赢4场者胜，每场没有平局）。若两队水平相
当，现在已经比了3场，甲赢了2场，乙赢了1场。问甲获得最后胜利的概率有多少？
A． B．
2 3
3 4
C． D．
5 11
8 16
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第十八讲 行程问题（一）
✎基础行程：
例题1（2020上海）
两条公路成十字交叉,甲从十字路口南1200米处向北直行,乙从十字路口处向东直行。甲、乙同时出
发10分钟,两人与十字路口的距离相等,出发后100分钟,两人与十字路口的距离再次相等,此时他们距离
十字路口多少米？
A．6600 B．6000
C．5600 D．5400
例题2（2018国考）
一辆汽车第一天行驶了5个小时，第二天行驶了600公里，第三天比第一天少行驶200公里，三天共
行驶了18个小时。已知第一天的平均速度与三天全程的平均速度相同，问三天共行驶了多少公里？
A．800 B．900
C．1000 D．1100
例题3（2023广东）
某地举办了“铁人三项”体育活动，先进行蛙跳，后游泳，最后竞走到达终点。一位选手在上午7点
出发，9点到达了终点，全程未休息，其蛙跳、游泳和竞走的速度分别为每小时2千米、3千米和6千米。
如果蛙跳和竞走的路程相同，则所有的总路程是多少？
A．无法计算 B．6千米
C．8千米 D．12千米
第 84 页
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✎比例法运用：
例题4（2023广东乡镇）
小明骑车从甲镇前往乙镇。如果骑车的速度为每小时20千米，那么将准时到达。如果骑车的速度为
每小时24千米，那么将提早5分钟到达。则甲镇到乙镇的距离为多少千米？
A．8 B．10
C．12 D．16
例题5（2022天津）
冬奥会男子短道速滑1500米比赛中，A、B两位运动员同时出发，已知本次比赛需要绕场地滑13.5圈，
假设每位运动员滑完全程的速度是不变的，A运动员滑完全程需要2分15秒，B运动员滑一圈比A运动员
少用时1秒，则A开始滑第几圈时，B运动员正好领先A运动员一整圈？
A．9 B．10
C．11 D．12
例题6（2019浙江）
小王从单位开车去省城，如果他把车速提高20%，可以比原定时间提前15分钟到达；如果按原速行驶
30千米后再将车速提高25%，也比原定时间提前15分钟到达。问小王单位距离省城多少千米？
A．60 B．120
C．180 D．240
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✎相遇追及问题：
例题7（2020联考）
甲乙两人在相距1200米的直线道路上相向而行，一条狗与甲同时出发跑向乙，遇到乙后立即调头跑
向甲，遇到甲后再跑向乙，如此反复，已知甲的速度为40米/分钟，乙为60米/分钟，狗为80米/分钟。
不考虑狗调头所耗时间，当甲乙相距100米时狗跑了多少米？
A．1100 B．1000
C．960 D．880
例题8（2023吉林）
为加快推进县域交通基础设施内畅外联、互联互通，A、B两地新修建了一条高速公路。甲、乙两辆汽
车在这条高速公路上同时从A、B两地相向开出，甲车每小时行驶74千米，乙车每小时行驶65千米，两
车在距中点18千米处相遇。这条连通A、B两地的高速公路全长是多少千米？
A．139千米 B．256千米
C．278千米 D．556千米
例题9（2024广西）
c地为a、b两地直线道路上的一点，甲、乙两人9:00分别自a、b两地同时出发匀速相向而行，甲的
速度是乙的1.5倍，甲9:40到达c地休息10分钟后继续向b地前进；乙全程不休息，在10:40到达c地，
问甲、乙相遇的时间为？
A．10:00 B．10:10
C．10:20 D．10:30
第 86 页
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例题10（2022北京）
甲和乙同时出发，在长360米的环形道路上沿同一方向各自匀速散步。甲出发2圈后第一次追上乙，
又走了4圈半第二次追上乙。则甲出发后走了多少米第一次到达乙的出发点？
A．160 B．200
C．240 D．280
例题11（2022河北）
甲乙两人顺时针方向沿圆形跑道跑步。甲跑完一圈要10min，乙跑完一圈要12min，如果他们分别从
圆形跑道直径两端同时出发，甲第一次追上乙需要多少分钟？
A．30 B．60
C．15 D．45
例题12（2024福建）
某校园围墙外的道路形成一个边长为300米的正方形（如图所示），甲、乙两人分别从正方形的两个
对角沿逆时针方向同时出发，甲、乙的步行速度比为9:7。问甲、乙两人第一次处于同一条边是在哪一条
边上？
A．AB B．BC
C．CD D．DA
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第十九讲 行程问题（二）
✎多次相遇问题：
例题1（2020天津选调）
小王在甲医院，小赵在乙医院。两人从所在医院同时骑车出发，来回往返于两个医院之间。已知小王
骑车速度为205米/分钟，小赵骑车速度为225米/分钟，且经过12分钟后两人第二次相遇。问两家医院
相距多少米？
A．1290 B．1720
C．2150 D．2580
例题2（2011国考）
甲、乙两人在长30米的泳池内游泳，甲每分钟游37.5米，乙每分钟游52.5米。两人同时分别从泳
池的两端出发，触壁后原路返回，如是往返。如果不计转向的时间，则从出发开始计算的1分50秒内两
人共相遇了多少次？
A．5 B．2
C．4 D．3
第 88 页
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例题3（2021新疆）
甲乙两人同时沿直线跑道两端匀速相向而行，两人第一次迎面相遇时距跑道中点50米，两人到达跑
道尽头时立即掉头重新出发，重新出发后两人第二次相遇，第二次两人相遇也为迎面相遇，且距跑道中点
150米。则此时两人中速度较快一人比速度较慢一人多行走多少米？
A．150 B．400
C．200 D．300
✎流水问题：
例题4（2018山东）
一艘船模出发后先逆流航行1分钟；掉头后顺流航行2分钟；再掉头后逆流航行3分钟……以此类推。
已知船模顺流速度为30米/分钟，逆流速度为10米/分钟。问10分钟后船模的位置和20分钟后船模的位
置相距多少米？
A．0 B．30
C．50 D．100
例题5（2021新疆）
甲、乙两地分别为一条河流的上下游，两地相距360千米，A船往返需要35小时，其中从甲地到乙地
的时间比从乙地到甲地的时间短5小时。B船在静水中的速度为12千米每小时。问其从甲地开往乙地需要
多少小时？
A．12 B．20
C．24 D．40
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例题6（2022下四川）
甲、乙两名游泳运动员同时从下游A点出发，游向900米外的上游B点并立刻原路返回。甲游了200
米时，乙游了120米。已知甲顺流游泳的速度是逆流的1.8倍，问两人迎面相遇的地点距离A点多少米？
A．270 B．390
C．510 D．630
例题7（2023浙江）
水文工作人员小张和小刘同时乘坐相同的船，分别从下游的A码头和上游的B码头出发前往对方所在
码头，并沿途采集水样。两人出发时各采集第一份水样，往后每行驶1.31千米采集一份水样。两船相遇
时，小张正好采集第16份水样。已知船在静水中的速度是水流速度的5倍，那么两人全程一共采集了多
少份水样？
A．38 B．39
C．76 D．78
✎火车过桥问题：
例题8（2020天津选调）
某铁路桥长1440米，一列动车从桥上通过，测得动车从开始上桥到完全下桥用了21秒，动车的速度
为288km/h，则整列动车完全在桥上的时间为多少秒？
A．18 B．16
C．15 D．12
第 90 页
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例题9（2024江苏）
一列长为210米的动车以180千米/小时的速度行驶。某乘客拍窗外风景时，恰好拍到平行铁轨上一
列420米、相向而行的高速列车，该列车进过窗户的时间是3.6秒。若不计窗户长度，则该高速列车的速
度为多少？
A．210千米/小时 B．240千米/小时
C．450千米/小时 D．630千米/小时
✎等距离平均速度问题：
例题10（2014北京）
某人开车从A镇前往B镇，在前一半路程中，以每小时60公里的速度前进；而在后一半的路程中，
以每小时120公里的速度前进，则此人从A镇到达B镇的平均速度是多少公里？
A．60 B．80
C．90 D．100
例题11（2020联考）
小明每天从家中出发骑自行车经过一段平路，再经过一道斜坡后到达学校上课。某天早上，小明从家
中骑车出发，一到校门口就发现忘带课本，马上返回，从离家到赶回家中共用了1个小时，假设小明当天
平路骑行速度为9千米/小时，上坡速度为6千米/小时，下坡速度为18千米/小时，那么小明的家距离学
校多远？
A．3.5千米 B．4.5千米
C．5.5千米 D．6.5千米
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✎匀加速问题：
例题12（2023国考）
一辆汽车从甲地开往乙地，先以40千米/小时的速度匀速行驶一半的路程，然后均匀加速；行驶完剩
下路程的一半时，速度达到80千米/小时；此后均匀减速，到达乙地时的速度正好降为0。问其全程的平
均速度在以下哪个范围内？
A．不到44千米/小时 B．在44～45千米/小时之间
C．在45～46千米/小时之间 D．超过46千米/小时
例题13（2022国考）
李某骑车从甲地出发前往乙地，出发时的速度为15千米/小时，此后均匀加速，骑行25%的路程后速
度达到21千米/小时。剩余路段保持此速度骑行，总路程前半段比后半段多用时3分钟。问甲、乙两地之
间的距离在以下哪个范围内？
A．不到23千米 B．在23～24千米之间
C．在24～25千米之间 D．超过25千米
第 92 页
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第二十讲 趣味杂题（一）
✎牛吃草问题：
例题1（2020浙江）
火车站售票窗口一开始有若干乘客排队购票，且之后每分钟增加排队购票的乘客人数相同。从开始办
理购票手续到没有乘客排队，若开放3个窗口，需耗时90分钟，若开放5个窗口，则需耗时45分钟。问
如果开放6个窗口，需耗时多少分钟？
A．36 B．38
C．40 D．42
例题2（2019联考）
某河道由于淤泥堆积影响到船只航行安全，现由工程队使用挖沙机进行清淤工作，清淤时上游河水又
会带来新的泥沙。若使用1台挖沙机300天可完成清淤工作，使用2台挖沙机100天可完成清淤工作。为
了尽快让河道恢复使用，上级部门要求工程队25天内完成河道的全部清淤工作，那么工程队至少要有多
少台挖沙机同时工作？
A．4 B．5
C．6 D．7
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例题3（2020广东）
某政务服务大厅开始办理业务前，已经有部分人在排队等候领取证书，且每分钟新增的人数一样多。
从开始办理业务到排队等候的人全部领到证书，若同时开5个发证窗口就需要1个小时，若同时开6个发
证窗口就需要40分钟。按照每个窗口给每个人发证书需要1分钟计算，如果想要在20分钟内将排队等候
的人的证书全部发完，则需同时开多少个发证窗口？
A．7 B．8
C．9 D．10
例题4（2022江苏B）
某疫苗接种点市民正在有序排队等候接种。假设之后每小时新增前来接种疫苗的市民人数相同，且每
个接种台的效率相同，经测算：若开8个接种台，6小时后不再有人排队；若开12个接种台，3小时后不
再有人排队。如果每小时新增的市民人数比假设的多25%，那么为保证2小时后不再有人排队，需开接种
台的数量至少为多少个？
A．14个 B．15个
C．16个 D．17个
✎鸡兔同笼：
例题5（2019河南）
某饮料厂生产的A、B两种饮料均需加入某添加剂，A饮料每瓶需加该添加剂4克，B饮料每瓶需加3
克，已知370克该添加剂恰好生产了这两种饮料共计100瓶，则A、B两种饮料各生产了多少瓶？
A．30、70 B．40、60
C．50、50 D．70、30
第 94 页
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例题6（2022北京）
某测试共有100道题，答对一道题得3分，不答或答错一道题扣2分，小张测试成绩为285分，则他
一共答对了多少道题？
A．85 B．90
C．95 D．97
例题7（2023北京）
28名运动员在羽毛球馆打比赛，馆内共有10块羽毛球场地，所有运动员都要上场比赛，或者参加单
打比赛，或者参加双打比赛。如果保证每名运动员都在打比赛，且每块羽毛球场地上都有运动员在打比赛，
则有多少名运动员参加双打比赛？
A．20 B．24
C．12 D．16
✎方阵问题：
例题8（2015新疆）
某校计算机学院学生组成的正方形实心方阵参加学校体育节开幕式，能组成的最大方阵最外层人数为
48人。问该学院的学生人数在以下哪个范围内？
A．144到155之间 B．156到168之间
C．169到195之间 D．大于195
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例题9（2023福建）
某学院有新生两百多人，将学生从1开始依次编号，选取编号为3的倍数的学生，正好构成新生运动
会开幕式方队，选取编号为m（3＜m＜10，且m为整数）的倍数的学生，恰好构成闭幕式方队，问该学院
新生人数有多少人？
A．242 B．243
C．245 D．246
例题10（2024深圳）
某灯光秀表演中，无人机群先排列成红、绿两个正方形实心方阵，然后融合并变换灯光，形成一个黄
色的正方框形空心方阵。原红方阵最外侧每边有8架无人机，且原红方阵恰好可填满黄方阵的空心，原绿
方阵最外侧每边的无人机数量比黄方阵少4架。则参加灯光秀表演的无人机共有多少架？
A．260 B．233
C．196 D．185
✎植树问题：
例题11（2019广东）
某机构计划在一块边长为18米的正方形空地开展活动，需要在空地四边每隔2米插上一面彩旗，若
该空地的四个角都需要插上彩旗，那么一共需要多少面彩旗？
A．32 B．36
C．44 D．48
第 96 页
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例题12（2013年广东省考）
施工队要在一东西长600米的礼堂顶部沿东西方向安装一排吊灯，根据施工要求，必须在距西墙375
米处安装一盏，并且各吊灯在东西墙之间均匀排列（墙角不能装灯）。该施工队至少需要安装多少盏吊灯：
A．6 B．7
C．8 D．9
例题13（2024联考）
某个障碍跑项目需要在100米长的跑道上布置障碍（起点和终点均不布置）。如果从起点开始，每隔
4米布置一个甲障碍，每隔6米布置一个乙障碍，甲、乙障碍的重合点则不布置甲障碍。则跑道上总共布
置多少个甲障碍？
A．16 B．17
C．24 D．25
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第二十一讲 趣味杂题（二）
✎比赛类问题：
例题1（2017河南）
140支社区足球队参加全市社区足球淘汰赛，每一轮都要在未失败过的球队中抽签决定比赛对手，如
上一轮未失败过的球队是奇数，则有一队不用比赛直接进入下一轮。问夺冠的球队至少要参加几场比赛？
A．3 B．4
C．5 D．6
例题2（2014国考）
某羽毛球赛共有23支队伍报名参赛，赛事安排23支队伍抽签两两争夺下一轮的出线权,没有抽到对
手的队伍轮空，直接进入下一轮。那么，本次羽毛球赛最后共会遇到多少次轮空的情况？
A．1 B．2
C．3 D．4
例题3（2023山东）
某工会组织了一次乒乓球单打比赛，由54名职工参加，比赛规则如下：每轮比赛所有参赛人抽签捉
对厮杀，胜者和轮空者进入下一轮，直至决出冠军，问总共要进行多少轮比赛？
A．4 B．5
C．6 D．7
第 98 页
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例题4（2015山东）
乒乓球世界杯锦标赛上，中国队、丹麦队、日本队和德国队分在一个小组，每两个队之间都要比赛1
场，已知日本队已比赛了1场，德国队已比赛了2场，中国队已比赛了3场，则丹麦队还有几场比赛未比？
A．0 B．1
C．2 D．3
例题5（2019联考）
小张、小李和小王三人以擂台形式打乒乓球，每局2人对打，输的人下一局轮空。半天下来，小张共
打了6局，小王共打了9局，而小李轮空了4局。那么，小李一共打了多少局？
A．5局 B．7局
C．9局 D．11局
例题6（2022江苏）
有5支足球队进行单循环比赛，每场比赛胜者得3分，负者不得分，平局双方各得1分。比赛结束后，
若5支球队的总得分为25分，冠军得12分，则亚军得多少分？
A．5分 B．6分
C．7分 D．8分
✎钟表类问题：
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例题7（2019辽宁）
两只机械手表，一只每天快18分钟，一只每天慢15分钟。现在将两只手表同时调整到标准时间，则
它们再次同时显示标准时间要经过多少天？
A．40 B．88
C．178 D．240
例题8（2020浙江事业编）
小刚的手表出现了故障，每小时快3分钟。为了第二天早上六点上课不迟到，他在当晚十一点调好了
表，第二天小刚按照自己手表上六点的时间准时到达教室，则实际上他提前了多少分钟？
A．19 B．20
C．21 D．22
✎统筹类问题：
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例题9（2023北京）
小王去医院看病，上午要看3个科室的门诊（已提前完成了挂号取号）。
以下是当天小王在医院发生的所有诊疗相关活动和相应的时间（单位：分钟）。已知同一科室靠左的
项目完成后才能进行靠右的项目且每个项目只进行1次，等待化验结果时可以进行其他科室的项目，且多
个科室的交费环节或多个科室的取药环节可以合并一次完成。则小王完成所有诊疗活动最少需要多少分
钟？
项目 问诊、开检查单、 检查（药费）单 检查 等待化验 药房
科室 开药 交费 /治疗 结果 取药
科室1 5 3 10 20 /
科室2 10 3 / / 5
科室3 10 3 / / 5
A．74 B．63
C．54 D．46
例题10（2023湖北选调）
汽修厂有两个车间（每个车间不能同时维修2辆车），现有并排的5台车等待进入车间维修，它们的
修复时间分别为18、30、17、25、20分钟，且每台车等待一分钟会造成该汽修厂服务体验值下降0.1（维
修时间也计入等待时间）。问修理完这5台车服务体验值最少下降多少？
A．16.2 B．16.3
C．18.2 D．18.3
例题11（2021江苏）
为发展乡村旅游，某地需建设一条游览线路，甲工程队施工，工期为60天，费用为144万元；若由
乙工程队施工，工期为40天，费用为158万元。为在旅游旺季到来前完工，工期不能超过30天，为此需
要甲、乙两工程队合作施工，则完成此项工程的费用最少是多少？
A．156万元 B．154万元
C．151万元 D．149万元
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例题12（2023国考）
甲和乙两个实验室共同承接10000份样本的检验工作。甲实验室每小时可检验200份样本，每检验一
份样本的费用为100元；乙实验室每小时可检验500份样本，每检验一份样本的费用为200元。问如要求
15小时内检验完毕，最低总检验费用比要求18小时内检验完毕时高多少万元？
A．3 B．4
C．5 D．6
例题13（2022联考）
A、B两地医院分别有库存呼吸设备10台和6台，现需要支援C地医院9台、D地医院7台。已知从A
地调运一台设备到C地和D地的运费分别为400元和600元，从B地调运一台设备到C地和D地的运费分
别为300元和700元。如果总运费不能超过7800元，共有多少种调运方案？
A．3 B．4
C．5 D．6
例题14（2023深圳）
小孟有58枚硬币，其中1枚为假，目前已知道真币重量相同，假币重量偏轻。如果小孟手中只有一
个天平，则至少称多少次一定能找出假币？
A．4 B．5
C．6 D．7
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第二十二讲 考场提速蒙猜技巧
✎代入排除：
例题1（2023广东县级）
某工厂加工出一批正方体奶酪，抽检时质检员从奶酪中切下了一个厚度
为2厘米的长方体（如图所示）。如果剩余奶酪的体积为144立方厘米，则
奶酪原本的边长为多少厘米？
A．4 B．6
C．8 D．10
例题2（2022云南）
一件工作由甲、乙、丙三人完成，若甲、乙合作先干10小时，丙再单干1小时可以完成。已知乙单
干用的时间比甲多4小时，丙单干用的时间是甲的1/2还多2小时，问甲单干需多少小时？
A．20 B．25
C．30 D．35
例题3（2023山东）
某科研团队中男性占比高于50%，低于60%，问这一团队最少有几人？
A．5 B．6
C．7 D．8
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✎赋值法：
例题4（2021山东）
X千克甲盐水和Y千克乙盐水中的含盐量相同。将X千克乙盐水与X千克甲盐水混合，并蒸发掉X千
克水之后，得到的溶液浓度是乙盐水的Z倍。问乙盐水的浓度是甲盐水的多少倍？
A． B．
1 1
C．Z+1 D．Z−1
1 1
X Y
Z+Y Z+X
例题5（2021黑龙江）
幼儿园需采购春联、窗花、小狗玩偶三种新年用品，已知大班采购春联7幅，窗花12对，小狗玩偶5
个，共花费200元。中班采购对联9幅，窗花19对，小狗玩偶5个，共花费224元。问小班采购春联10
幅，窗花10对，小狗玩偶10个需花费多少元？
A．170 B．176
C．340 D．352
例题6（2023河北）
某商品的利润率是20%。如果进货价降低20%，售价保持不变，此时利润率是多少？
A．40% B．30%
C．60% D．50%
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例题7（2018北京）
一家电影院的电影票收费标准为50元/次，若购买会员年卡，可享受如下优惠：
会员年卡类型 办卡费用（元） 每张电影票收费（元）
A类 50 40
B类 100 35
C类 200 30
若小李一年内在该电影院观影次数介于10～20次之间，则对于他来说最省钱的方式为哪种？
A．购买A类会员年卡 B．不购买会员年卡
C．购买C类会员年卡 D．购买B类会员年卡
例题8（2022安徽）
某商场为庆祝开业三周年，制作了一个长方形大蛋糕，并切成
四块，如图所示。假设这个蛋糕可供350人享用，左下角那块蛋糕
平均可供50人享用，右上角那块蛋糕平均可供70人，则中间最大
块蛋糕平均可供多少人享用？
A．150 B．155
C．175 D．180
✎倍数特性：
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例题9（2017吉林甲级）
古希腊数学家丢番图（D.iophA.ntus）的墓志铭：过路人，这儿埋葬着丢番图，他生命的六分之一是
童年；再过了一生的十二分之一后，他开始长胡须，又过了一生的七分之一后他结了婚；婚后五年他有了
儿子，但可惜儿子的寿命只有父亲的一半，儿子死后，老人在活了四年就结束了余生。根据这个墓志铭，
丢番图的寿命为多少？
A．60 B．84
C．77 D．63
例题10（2017联考）
某地举办铁人三项比赛，全程为51.5千米，游泳、自行车、长跑的路程之比为3︰80︰20。小陈在这
三个项目花费的时间之比为3︰8︰4，比赛中他长跑的平均速度是15千米/小时，且两次换项共耗时4分
钟，那么他完成比赛共耗时多少？
A．2小时14分钟 B．2小时24分钟
C．2小时34分钟 D．2小时44分钟
例题11（2024浙江）
某公司招聘员工，来应聘的男女人数比是18∶17，最后被录取的有280人，其中男女人数比是3∶4，
未被录取的男女人数比是6∶5。问同来应聘的共有多少人？
A．630 B．720
C．1050 D．1400
✎符合常识或图例：
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例题12（2023安徽）
某大型商场的地下停车场入口处横截面如下图所示，入口处斜坡的坡角为30度，下坡起点至入口顶
部水平距离为6米，楼板厚为0.6米。商场管理处需在入口处张贴限高标志，以便告知车辆能否安全驶入。
若停车场内部的高度均高于入口处汽车可通过的最低高度，则下列限高最为合理的是多少？
A．1.8米 B．2.3米
C．2.6米 D．3.2米
例题13（2022江苏B）
小王和小李进行七局四胜的乒乓球比赛，两人水平相当，每局胜对方的概率都是 。若前三局过后小
1
2
王获胜的概率是 ，则她前三局的胜负情况是？
11
A．胜3局 16 B．胜2局、负1局
C．负3局 D．胜1局、负2局
例题14（2018江苏）
如图，在长方形ABCD中，已知三角形ABE、三角形ADF与四边形AECF的面积相等，则三角形AEF与
三角形CEF的面积之比是多少？
A．5∶1 B．5∶2
C．5∶3 D．2∶1
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✎抓住关键点：
例题15（2023国考）
在一块正方形土地中，画一条经过某个顶点的规划线，将其分割为三角形和梯形两块土地，且梯形土
地的面积正好是三角形土地的2倍。问三角形和梯形土地的周长之比是多少？
A． B．
C．1∶2 D．5∶7
1+ 5 ∶ 2+ 5 5+ 13 ∶ 7+ 13
例题16（2022国考）
甲、乙等16人参加乒乓球淘汰赛。每轮对所有未被淘汰选手进行抽签分组两两比赛，胜者进入下一
轮。已知除甲以外，其余任意两人比赛时双方胜率均为50%。甲对乙的胜率为0%，对其他14人的胜率均
为100%。则甲夺冠的概率为多少？
A． B．
3 8
4 11
C． D．
11 225
15 256
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