文档内容
2024－2025 学年度下学期
广东省三校二月第一次模拟考试
高三年级
数学•试题
参加学校：诺德安达学校，金石实验中学，英广实验学校
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符
合题目要求的．
1．已知 是虚数单位，复数 满足 ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．函数 的一个零点所在的区间是（ ）
A． B． C． D．
3．已知 为椭圆 上一动点， 、 分别为其左右焦点，直线 与 的另一
交点为 ， 的周长为16．若 的最大值为6，则该椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
4．某医院对该院历年来新生儿体重情况进行统计，发现新生儿体重 服从正态分布 ，若
，则 （ ）
A．0.2 B．0.7 C． D．0.9
5．若一扇形的圆心角为 ，半径为20cm，则扇形的面积为（ ）
A． B． C． D．
6．三棱锥 中， ， 平面 ， ，
学科网（北京）股份有限公司，则直线 和直线 所成的角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
7．六氟化硫，化学式为 ，在常压下是一种无色，无味，无毒，不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在
电器工业方面具有广泛用途•六氟化硫分子结构为正八面体结构（正八面体是每个面都是正三角形的八面
体），如图所示．若此正八面体的棱长为2，则下列说法正确的是（ ）
A．正八面体的体积为 B．正八面体的表面积为
C．正八面体的外接球体积为 D．正八面体的内切球表面积为
8．已知曲线 在 处的切线方程是 ，则 与 分别为（ ）
A．3，3 B．3，－1 C．－1，3 D．－2，－2
二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．
9．在 中， ， ， 所对的边分别为 ， ， ．若 ，则 的大小可
能为（ ）
A． B． C． D．
10．已知函数 ，则（ ）
A． 是奇函数 B． 是周期函数
C． ， D． 在区间 内单调递增
11．我们知道，函数 的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数 为奇函数
•
有同学发现可以将其推广为：函数 的图象关于点 成中心对称图形的充要条件是函数
学科网（北京）股份有限公司为奇函数．现已知函数 ，则下列说法正确的是（ ）
A．函数 为奇函数
B．若方程 有实根，则
C．当 时， 在 上单调递增
D．设定义域为 的函数 关于 中心对称，若 ，且 与 的图象共有2022个交点，
记为 ，则 的值为4044
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12． 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ．已知 ， ， ，则 ______．
13．在 的展开式中，含 的项的系数是______．（用数字作答）
14．若圆 与 轴相切，则实数 的值是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15．（本小题15分）已知函数 在 处取到极值
（Ⅰ）求 的值
（Ⅱ）当 时，证明
（Ⅲ）如果 ， ， 满足 ，那么称 比 更靠近 ，当 且 时，试比较 和
哪个更靠近 ，并说明理由．
16. 本小题 分 某运动产品公司生产了一款足球，按行业标准这款足球产品可分为一级正品、二级正品、
次品共三个等级根据该公司测算：生产出一个一级正品可获利100元，一个二级正品可获利50元，一个
学科网（北京）股份有限公司次品亏损80元该运动产品公司试生产这款足球产品2000个，并统计了这些产品的等级，如下表：
等
一级正品二级正品次品
级
频
1000 800 200
数
（1）求这2000个产品的平均利润是多少；
（2）该运动产品公司为了解人们对这款足球产品的满意度，随机调查了100名男性和100名女性，每位
对这款足球产品给出满意或不满意的评价，得到下面的列联表：
满意 不满意 总计
男性 32 68 100
女性 61 39 100
总计 93 107 200
问：能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为男性和女性对这款足球产品的评价有差异？
附： ，其中 ．
0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
17．（本小题15分）已知数列 的前 项和为 ， ， ．
（Ⅰ）当 为何值时，数列 是等比数列？
（Ⅱ）设数列 的前 项和为 ， ，点 在直线 上，在（Ⅰ）的条件下，
若不等式 对于 但成立，求实数 的最大值．
18．（本小题17分）已知圆 的圆心坐标为 ，且被直线 截得的弦长为 ．
（1）求圆 的方程；
（2）若动圆 与圆 相外切，又与 轴相切，求动圆圆心 的轨迹方程；
学科网（北京）股份有限公司（3）直线 与圆心 轨迹位于 轴右侧的部分相交于 、 两点，且 ，证明直线 必过一
定点，并求出该定点．
19．（本小题13分）平面直角坐标系 中，已知椭圆 的左，右焦点分别为
， ，离心率为 ，经过 且倾斜角为 的直线 与 交于 ， 两点（其中点 在
轴上方），且 的周长为8．现将平面 沿 轴向上折叠，折叠后 ， 两点在新图像中对应的
点分别记为 ， ，且二面角 为直二面角，如图所示．
（1）求折叠前 的标准方程；
（2）当 时，折叠后，求平面 与平面 夹角的余弦值；
（3）探究是否存在 使得折叠后 的周长为 ？若存在，求 的值；若不存在，说明理由．
2024－2025 学年度下学期广东省三校二月第一次模拟考试
高三年级数学•试题参考答案
1．【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了共轭复数的概念，是基础题．
直接利用复数代数形式的乘除运算化简，然后利用共轭复数的概念得到答案．
【解答】
学科网（北京）股份有限公司解：∵ ，∴ ，
∴ ，故选：D．
2．【答案】B
【解析】解： 和 都是增函数，所以函数 为增函数，且
， ， ， ，所以函数在区
间 存在唯一零点，所在区间为 ．
故选：B．
根据函数的单调性，结合函数零点存在性定理，即可判断．
本题主要考查函数零点存在性定理，属于基础题．
3．【答案】C
【解析】解：设椭圆的半焦距为 ，则由题意得 ，解得 ，
所以椭圆的离心率为 ．
故选：C．
由题意，结合椭圆的标准方程及定义，可得 、 的值，代入离心率公式计算即可．
本题考查椭圆的定义及性质，考查椭圆的离心率的求解，属于基础题．
4．【答案】B
【解析】【分析】
本题考查正态分布的实际应用，正态分布的概率，均值，方差，属于基础题．
利用正态曲线的对称性即可求解．
【解答】
解：因为 服从正态分布 ，
则正态曲线关于 对称，
故 ，
故选：B．
5．【答案】B
【解析】试题分析：因为，扇形的圆心角为 ，半径为 20cm，所以，扇形的面积为
学科网（北京）股份有限公司，故选：B
考点：扇形的面积公式
点评：简单题，扇形的面积公式 ．
6．【答案】C
【解析】解：如图所示，三棱锥 中， ， 平面 ， ， ，
则 ，
所以
，
， ，
，
，
所以直线 和直线 所成角的余弦值为 ．
故选：C．
根据题意画出图形，结合图形利用基向量表示 、 ，求出 ， 即可得出答案．
本题考查了异面直线所成角的余弦值计算问题，是基础题．
7．【答案】D
【解析】解：把正八面体补形为如图所示正方体，因为正八面体棱长为2，则正方体的棱长为 ，
学科网（北京）股份有限公司选项 ，正八面体的体积 ，设四棱锥 的高为 ，
则 ，所以 ，A错误；
选项B，正八面体的表面积为八个面面积和，故 ，B错误；
选项C，正八面体的外接球半径为正方体棱长的一半，故 ，
所以外接球体积 ，C错误；
选项D，设内切球半径为 ，则根据正八面体体积相等，
，
所以 ，
所以内切球表面积为 ，D正确．
故选：D．
把正八面体补形为正方体，求得正方体的棱长为 ，利用正八面体和正方体的关系即可求解．
本题考查几何体的体积与表面加的计算，属于中档题．
8．【答案】D
【解析】解：由题意得 ， ．
故选：D．
利用导数的几何意义得到 等于直线的斜率-2，由切点横坐标为5，得到纵坐标即 ，
本题考查了导数的几何意义，考查学生的计算能力，属于基础题．
学科网（北京）股份有限公司9．【答案】ACD
【解析】解：根据余弦定理，可得 ，
结合 ，可知 ，即 ，
当 时，等式成立，结合 ，可得 ；
当 时，等式可化为 ，结合 ， 或 ．
综上所述， 或 或 ．
故选：ACD．
根据余弦定理化简题中等式，可得 ，然后利用二倍角公式并结合 为三角形的内角，计算
出角 的大小．
本题主要考查余弦定理，二倍角的三角函数公式及其应用等知识，属于基础题．
10．【答案】ABD
【解析】解：易知 的定义域为 ，
又 ，
所以 是奇函数， 正确；
由 ，
所以 的周期函数，B正确；
由 ，C错误；
当 时， ，且单调递增，
此时， 时， ，且单调递减，
学科网（北京）股份有限公司所以函数 在 上单调递增，
又由 是奇函数，所以函数 在 上单调递增，
所以 在区间 内单调递增，D正确．
故选：ABD．
根据函数奇偶性，周期性的定义可判断 、 ；由 ，可判定 ；由 与
在 上的单调性和值域，再结合奇函数的性质，可判断 的单调性．
本题主要考查了函数的单调性，奇偶性，周期性的判断，属于中档题．
11．【答案】ABD
【解析】【分析】
本题考查了函数的新定义，函数的单调性，函数的奇偶性和函数的对称性，属于较难题．
根据题意有 ，可判定奇偶性，从而判定 ；
由 有解，即 有解，所以 ，解出，可判定B；
当 时， ，根据函数图像的平移可判定单调性，从而判定C；
易得函数 关于 中心对称，由对称性计算判定D．
【解答】解：函数 ，
根据题意有 ，则函数 为奇函数，
函数 图像关于 成中心对称，所以选项A正确．
学科网（北京）股份有限公司选项 ， 有解，即 有解，
所以 ，即 ，选项B正确；
选项C：当 时， ，
可由函数 向右平移1个单位，向上平移 个单位得到．
又易知函数 在 上单调递增，
所以 在 上单调递增，∴选项C错误；
选项D：当 时， 关于 中心对称，又函数 关于 中心对称，
∴ ，故选项D正确；
故选：ABD．
12．【答案】
【解析】解：∵ ， ， ，
∴由余弦定理可得： ，
∴解得： ．
故答案为： ．
由已知利用余弦定理即可求解．
本题主要考查了余弦定理在解三角形中的应用，属于基础题．
13．【答案】－69
【解析】解： 的展开式中，含 的项的系数是：
学科网（北京）股份有限公司．
故答案为：-69．
利用二项展开式的通项公式，分别求出的四部分中含 的项的系数得答案．
本题考查利用二项展开式的通项公式解决展开式的特定项问题，属于基础题．
14．【答案】16
【解析】解：由 ，可得 ，
方程表示圆，则可得圆心为 ，半径为 ，
由圆 与 轴相切，则可得 ，解得 ，
则实数 的值是16．
故答案为：16．
求得圆心与半径，进而可得 ，求解即可．
本题考查了直线与圆的位置关系，属于中档题．
15．【答案】解：（Ⅰ）由 ，
求导 ，
由 ，则 ，解得： ， 的值为1；
（Ⅱ）证明：由题意可知：不等式左边为 ，由 ，
， ， ，则 恒成立，
∴ 在 单调递增； ，
∴则 ，
（Ⅲ）设 ， ，
学科网（北京）股份有限公司∵则 ， ， ，则 ， ，
∴ 在 上为减函数，
又 ，∴当 时， ，当 时， ，
∴ 在 上为增函数，+
又 ，∴ 时， ，∴ 在 上为增函数，
∴ ．
①当 时， ，
设 ，则
∴ 在 上为减函数，
∴ ，
∴ ，∴ ，∴ ，
∴ 比 更靠近 ．
②当 时， ，
设 ，则 ，
∴ ，则
∴ ，∴ 比 更靠近 ．
综上，在 ， 时， 比 更靠近 ．
学科网（北京）股份有限公司【解析】（Ⅰ）由题意可知：求导， ，即可求得 的值；
（Ⅱ）构造函数 ，求导，根据函数的单调性，即可证明不等式；+
（Ⅲ）设 ， ，由导数性质求出 在 上为减函数，
在 上为增函数，由此利用导数性质推导出在 ， 时， 比 更靠近 ．
本题考查函数与导数的综合应用能力，具体涉及到用导数来描述函数的单调性等情况，主要考查考生分类
讨论思想的应用，对考生的逻辑推理能力与运算求解有较高要求，属于中档题．
16．【答案】解：（1）依题意可得平均利润为 （元）；
（2）零假设 ：男性和女性对这款足球产品的评价无差异，
依题意可得 ，
所以能在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为男性和女性对这款足球产品的评价有差异．
【解析】（1）直接根据平均数计算公式即可；
（2）计算出 的值再与临界值比较即可。
本题主要考查了平均数的定义，考查了独立性检验的应用，属于基础题．
17．【答案】解：（Ⅰ）由 ，得 ，
两式相减得 ，即 ，
所以 ，
由 及 ，得 ，
因为数列 是等比数列，所以只需要 ，解得 ，此时，数列 是以
为首项，2为公比的等比数列．
学科网（北京）股份有限公司（Ⅱ）由（Ⅰ）得 ，因为点 在直线 上，所以 ，
故 是以 为首项， 为公差的等差数列，则 ，
所以 ，
当 时， ， 满足该式，所以 ．
不等式 ，即为 ，
令 ，则 ，
两式相减得 ，
所以 ．
由 恒成立，即 恒成立，
又 ，
故当 时， 单调递减；当 时， 单调递增，
当 时， ；当 时， ，则 的最小值为 ，
所以实数 的最大值是 ．
【解析】（Ⅰ）由条件 ，令 得 ，两式相减得数列递推公式
学科网（北京）股份有限公司，转化为 求 ，然后利用数列 是等比数列，再求 即可；
（Ⅱ）由点 在直线 上求出 是等差数列且 ，然后求出 ，连
同 代入不等式化简．不等式的左边为等比数列前 项和令其为所 ，利用错位相减法求出
，则原不等式为 恒成立，即 恒成立，利用数列的增减性求解．
本题是典型的数列题，形式复杂，但规律性强，第一问属基础技巧，知 ， 混合式求递推公式再求通
项，第二问较难，求出 ，代入不等式求解，千万不要怕复杂，克服畏惧心理，沉着答题．
18．【答案】解：（1）设圆 的方程为 ， ，
由圆心到直线 的距离为 ，
由弦长公式可得 ，解得 ，
可得圆 的方程为 ；
（2）设 的坐标为 ，由动圆 与圆 相外切，又与 轴相切，
可得 到点 的距离比它到 轴的距离大1，
即为 到点 的距离与它到直线 的距离相等，
由抛物线的定义，可得动圆圆心 的轨迹方程为 ；
（3）证明：设 代入抛物线 ，消去 得
设 ， ，则 ， ，
∴
学科网（北京）股份有限公司令 ，∴ ，∴ ．
∴直线 过定点 ．
【解析】本题考查圆的方程的求法，注意运用待定系数法和定义法，考查直线方程和抛物线方程联立，运
用韦达定理，考查方程思想和向量数量积的坐标表示，考查运算能力，属于中档题．
（1）设圆 的方程为 ， ，运用弦长公式和点到直线的距离公式，即可得到半径 ，
可得圆 的方程；
（2）由题意可得 到点 的距离比它到 轴的距离大1，即为 到点 的距离与它到直线 的距
离相等，由抛物线的定义可得抛物线的方程；
（3）设出直线的方程，同抛物线方程联立，得到关于 的一元二次方程，根据根与系数的关系表示出数
量积，根据数量积等于-4，解出数量积表示式中的 的值，即得到定点的坐标．
19．【答案】解：（1）由题意得： ，解得 ，
故折叠前椭圆 的标准方程 ．
（2）当 时，直线 的方程为： ，
联立 ，
解得 ， ，
以原来的 轴为 轴， 轴正半轴所在直线为 轴， 轴负半轴所在的直线为 轴建立空间直角坐标系，
如图所示，
学科网（北京）股份有限公司则 ， ， ， ，
故 ， ，
设平面 的法向量为 ，
则 ，为 ，
取 ，则 ， ，
故 ， ．
平面 的一个法向量为 ，
故 ，
设平面 与平面 所成的角为 ，
，
即平面 与平面 所成角的余弦值为 ；
（3）以原来的 轴为 轴， 轴正半轴为 轴， 轴负半轴为 轴建立空间直角坐标系，如图所示，
学科网（北京）股份有限公司设折叠前 ， ，则折叠后 ， ，
设直线 的方程为 ，其中 ，
联立 ，消去 ，
得 ，
显然 ，且 ，
由 ， ，
得 ，
即 ，①
，
，②
由①②得： ，
即是 ，
学科网（北京）股份有限公司，
，
即是 ，解得 ，
注意到 ，
故 ，
从而存在满足条件的 ，且 ．
【解析】（1）根据题意构造方程组求解即可；
（2）建立空间直角坐标系，分别求出平面 和平面 的一个法向量，利用向量法求解即可；
（3）建立空间直角坐标系，设折叠前 ， ，则折叠后 ， ，
联立方程组求解即可．
本题考查椭圆方程与向量法的综合应用，属于难题．
学科网（北京）股份有限公司
