文档内容
决胜高考一2025高三年级大联考
数学
注意事项
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求
1 .本试卷共4页，包含【单选题（1〜8）多选题9T1,填空题（第12题~第14题，共73分）、
解答题（第15 ~ 19题，共77分）.本次考试时间120分钟，满分15。分、考试结束后，请将
答题卡交回.
2 .答题前，请考生务必将自己的姓名、学校、班级、座位号、考试证号用0・5毫米的黑色签字笔
写在答题卡上相应的位置，并将考试证号用2B铅笔正确填涂在答题卡的相应位置.
3 .答题时请用0.5毫米的黑色签字笔在答题卡指定区域作答.在试卷或草稿纸上作答一律无效.
4 .如有作图需要，可用2B铅笔作图，并请加黑加粗，描写清•楚.____________________________
一、单选题：本大题共8小题，每题5分，共40分。在每小题提供的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的。
1.已知/= {x|e* b>o）的左，、右焦点，4为C上的一点，且
卜用=3朋引=6返，则C的短轴长为
A. 3>/2 B- 6>/2 C. 25/3 D・ 4、/J
6 .已知圆锥的底面半径为3,圆锥内的最大球的表面积为9冗，则该圆锥的侧面积为
A. 97r B. \5n C. 10>/2n D. 206n
高三数学第1页（共4页）7 .已知函数/（x）=2cos%x + sin2*_l（M>o）的图象关于直线* =将对称，且加）在（0号）上有最大值
没有最小值，则。的值为（B ）
3 27 io 3
A. — B. — C. — D.-
10 10 10 2
8 .若AABC的三个内角均小于120°，点M满足ZAMB = ZAMC = /BMC = 120°,则点M到三角形三个顶
点的距离之和最小，点M被人们称为费马点.根据以上性质，已知，是平面内的任意一个向量，向量
满足B ,且|，=3,忖|=4,则|万-61+日-5 |+|2 + 3|的最小值是
A. 9 B. 4百 C. 6 D. 3百
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要
求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得。分。
9 .已知复数4=3-4i, Z2=x + " （x, ywR） （i为虚数单位），贝I」
A. B.妙=|马『
c. I Z^2 H z}z21 D.若 |z2-zJW2,则"IW7
10 .已知R3,0）是抛物线C：V=2点的焦点，M, N是C上的点，。为坐标原点.则
A. p = 6 B.若MF+NA10,,则线段MN的中点到丁轴的距离为2
C.以MV为直径的圆与C的准线相切D.当NMON = 90。时，|。河||（加|2 288
11 .在经济增长模型中，假设某种经济指标的增长与一种特殊函数关系密切相关.定义增长正弦函数为
if 7r _1 —x sin« X
sin x = ^^-（a>l）,增长余弦函数为C0SgX = £^-（a>l）,增长正切函数tai^》=崇二•则
A.增长余弦函数是偶函数 B.增长正弦函数是增函数
1 4
C.若 1311尸=彳，贝ijx = log,3 D. ^tan^x,+tanfx2 =1,贝I11加式芭+冬）2E
2 3
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.不需写出解答过程，请把答案直接填写在答
题卡相应位置上.
12. 已知（1 + 2X）S+（2-X）6=% +。科+ + ，贝 U _A-•
高三数学第2页（共4页）13. 已知函数f(x)的定义域为R , /(x) = g(x-l) + 2.若函数g(x)为奇函数，g(x + l)为偶函数，则
/（2025）= ▲
14. 如图1, 一圆形纸片的圆心为。，半径为46
以O为中心作正六边形4BCDE尸,以正大边
形的各边为底边作等腰三角形，使其顶角的
顶点恰好落在圆。上，现沿等腰三角形的腰
和中位线裁剪，裁剪后的图形如图2所示，
将该图形以正六边形的边为折痕将等腰梯
形折起,使得相邻的腰重合得到正六棱台.若
该正六棱台的高为遍，则其体积为 ▲
四、解答题：本大题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证
明过程或演算步鳏.
15. (13 分)
4a
已知数列｛4｝中,4=4,4旧=/亳
⑴求数列长｝的前〃项和名；
(2)证明：1＜。川
16. （15 分）
如图，在直四棱柱 中，AD//BC. ADlABt AA,=AD = 2BC = 2 t AB =日点 E
在棱4P上，平面BGE与棱交于点尸.
(1)求证：BD1C.F；
⑵若BE与平面ABCD所成角的正弦值是|,求三角形GEF的面积.
高三数学第3页(共4页)17. （15 分）
已知双曲线c：4-4=1（。>0,>0）过点尸（4,石），4, 4是双曲线c的左右顶点，且44=4・
a b
（1）求双曲线C的方程；
（2）直线，过点。（3,0）交双曲线C于点直线的4,，N4交于点B,求忸4-6月的最大值.
18. （17 分）
甲、乙两名围棋学员进行围棋比赛，规定每局比赛胜者得1分，负者得。分，平局双方均得0分，比
赛中当一方比另一方多两分比赛中止，多得两分的一方赢得比赛.已知每局比赛中，甲获胜的概率为为
乙获胜的概率为S，两人平局的概率为7（a + £ + 7 = La>0,6>0,，为），且每局比赛结果相互独立.
（1）若。=/，£ = * / = 求进行4局比赛后甲学员赢得比赛的概率；
（2）当y = 0 时，
（i）若比赛最多进行6局（若到第6局时未分出胜负，也结束比赛），求比赛结束时比赛局数X的
分布列及期望E（X）的最大值；
（迨若比赛不限制局数，写出“甲学员赢得比赛”的概率（用外夕表示），无需写出过程.
19. （17 分）
设函数丁 = /（》）的定义域为。，其导函数为了'（X）,区间/是。的一个非空子集.若对区间/内的任
意实数X,存在实数3使得x+rwO,且使得/（x+r）》（r + l）•/（X）成立，则称函数y = /（x）为区间/
上的函数
⑴判断函数/（x） = cosx是否为［0,可上的“〃图函数”，并说明理由；
（2）若函数g（x） = --⑪是［0,2］上的“〃（2）函数”.
（i）求。的取值范围；
（ii）证明：Vxe［l,2］, g（x + 2）>6（lnx-l）.
高三数学第4页（共4页）苏州市2025届高三第二学期九校大联考
高"学
2025. 2. 17
一、单选题:本大题共8小题，每题5分，共40分.在每小题提供的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1 .已知 4 = {c|eHVe}, {c|lncVl},则 A D8= ( )
A. (0,1) B. (0,e) C. (-co, 1) D. (—oo,e)
【答案】A
【解析】A = {rc|ez tan （a+ -y ） =—2 => tana = 3
所以8s2a = 1 — tan2a =-4- si. n02a 2.tantz =3
1 + tan2a 5 1+ tan% 5
cos（2tz--y） = -^-（cos2tz + sin2E71 - _V2_
10 '
故选B
5 .已知E，E分别为椭圆C：M + M=l(a>b>0)的左、右焦点，4为。上的一点，且力E_LER,|4E|=3,
er bz
IEEI = 6/,则。的短轴长为 ( )
A. 35/2 B. 6x/2 C. 2V3 D. 4/
【答案】B
, 1 •\AF1\ = ^-=3 （q=6
【解析】由题意得 出同=2c=6/= b = 3/，所以。的短轴长为为2b = 62，故选B
a2-b2=c2 [c=3V2
6 .已知圆锥的底面半径为3,圆锥内的最大球的表面积为9兀,则该圆锥的侧面积为 ()
A. 9兀 B. 157c C. 10V27C D. 20a/3tt
【答案】B
【解析】由球的表面积公式5 = 4兀4=9兀=几=去 即圆锥内的毂大球的半径为
圆锥轴截面如图，则4。= 8。=3,0。= 0石=/，因为，/COE=N"LB,设为加，
则 sina = -7=-,cos（z = -7^,则 cos2a = 8s2a — sin2a = ?,在△COE 中,8s2a =
V5 V5 5 OC
3.
=OC= =工=得，所以 CD= co + .OD = 4,所以6。=，3+协=5,
8s 2a ? 2
所以圆锥的侧面积为7i x 3 X 5 = 15a
故选B
7 .已知函数/（c） = 2cos2a）a? 4- sin2（wa; - 1 （w>0）的图象关于直线1 =答 对称，且/Q）在（0,-x-）上既没有最大
值也没有最小值，则8的值为 （）
A.而 B.而 C.而 D. j
【答案】A
【解析】『⑺=2cos2w3: + sin2wx - 1 = V2sin（2 yly2=-144,x}x2 = 144,
所以 |OM\\ON\ = - v'/十澧—y/x1i + 12xi - J-+ 12e=-Jx}x2{x} +12) (x2+12)
=12-(% + 12)3+12) = 12，ig+144+12(g + g) > 125288 + 12 乂2他的=288,当且仅当电二g=12 时
取等，
故选ABD
-3-y
M'
N'
11 .在经济增长模型中，假设某种经济指标的增长与一种特殊函数关系密切相关.定义增长正弦函数为si%x =
"~~2&-（a>l）,增长余弦函数为cos# = 史卢增长正切函数tan# =网更.则 ）
cosset/
乙
A.增长余弦函数是偶函数 B.增长正弦函数是增函数
C.若 tan# =/,则6=10go3
D.若 tan#1+ tan#2 = L 则 tans（x1+ir2）》
o
【答案】ABD
【解析】增长正弦函数sin# =2千二（G>1）为奇函数，且在R上单调递增,
增长余弦函数为cos# =里竽二（a>l）为偶函数，且在（一8,0）上单调递减，在（0.+8）上单调递增,
A,B均正确
sin^ （^-a-x
tan® =---- =-=--y- -=-> ax= V3 => x= loga/, C 错误
cos产 。工+。一工
sin遇i + sin*2 姬一多一% .• I. Of " Cb _ ]
对于 D, tan夕i + tan^ =
cos产 1 COS.2 嫡+/E ax +a-T '
=>a2*3=。勿 ++ 3>乂川•百 + 3=> （。工计2—3）（Q'g'+1） >0 =峭-1 >3,验证取等
则 tans（a；i+a；2）= singQi + o；） _。但一日&，_ qH+44 i =I--- 2 2 T，d正确;
coSg（a；i+g） q%+%+q-3Ta2x,+2x，+1 8,2z,+2x, 32+l
故选ABD
三、填空题:本大题共3小题,每小题5分，共15分.不需写出解答过程,请把答案直接填写在答题卡相应位置上.
12 .已知（l + 2a;）54- （2—劣）6 = 00+。序 + 加d + 03〃 +。£ + 佐；炉 + 砌巴则。3=•
【答案】-80
【解析】% =绫-2 -盘• 23 =-80
13 .已知函数/（0的定义域为A,/Cr）=g3—l） + 2.若函数gQ）为奇函数，g（工+1）为偶函数，则
/（2025）=
【答案】2
【解析】因为函数g（t）为奇函数，g3+l）为偶函数，则gQ）为周期函数，且周期为4,
•4 •因为/(c)=g3-l)+2,则为①)为周期函数，且周期为4,所以f(2025)=f(l)=g(0)+2 = 0 + 2 = 2
14 .如图1,一圆形纸片的圆心为O,半径为4/,以O为中心作正六边形ABCDEF,以正六边形的各边为底边作
等腰三角形,使其顶角的顶点恰好落在圆。上,现沿等腰三角形的腰和中位线裁剪，裁剪后的图形如图2所示,
将该图形以正六边形的边为折痕将等腰梯形折起，使得相邻的腰重合得到正六楼台.若该正六棱台的高为
通，则其体积为.
【答案］里弊
【解析】如图1,以48为底边的等腰三角形的中位线为46,
连接04,分别交43，AB子点MN,则河，N分别为的中点，
设AB = 2q,则由中位线和正六边形性质得AB = 4N=q, OA = 2a, ON=V3a,
折尊卮影成的正六楼台如图2所示，由正六边形性质得O/i = AB = q,。］河=孚，MN= 4人后项
图1 图2
连接OQ,则OQ是正六棱台ABCDEF- 45GR/符的高，即0.0 = V6 ,
过点“作MG J_ ON,交ON于点G,
则由正六棱台结构特征可知MG±平面ABCDEF, MG-0,0 = 76,
f
在 RtAMNG 中，MN2 = MG2 + NGf 也 初『=6 + （空,解得 a = 1,
正六棱台ABCDEF- 4BCD㈤出的上下底面的边长分别为4场= a = l和4B=2a = 2,
正六棱锥上底面面积为S二苧x I2 x 6 = 挈，下底面面积为S2 =卓x 22 x 6 = 64,
该正六棱台的体积为丁=日（苧+ 6/+J^^E）x4 =为②
■ 5 ,四、解答题:本大题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步
骤.
6 (13 分)
已知数列｛5｝中，Q1 = 4 , 4+1 =
(1)求数列｛亲｝的前几项和S”；
(2)证明：1 VOn + i VO„.
‘' ' 0n+ 3 o,)+1 40n 4 40n a1+i 4a„ 4 4 V a„ /
因为J- - 1 二一年，所以数列［J_ 一i ］是首项为一号，公比为|的等比数列
Q1 4 I On J 4 4 ,七
所以《一1=一信「所以吉=1 一信):所以& 一 4•一7T"=九一3(1一信))
- 1 一丁 -
(2)因为—=1-(-^-) ,nE N',所以 J W — < 1,所以 a” > 1,而——=1 — (-y)，所以——关于 n 单
0n ' 4 / 1 a„ 0n+i ' 4)
调递增,所以---> ■—，所以a” A4+，所以1 V <2,1+1 < On-
%+1 dn
16. (15 分)
如图，在直四棱柱 ABCD-45G。中，AP_L AB, 44尸 AD = 2BC=2, AB = V2.点E在核
上，平面BGE与棱AA1交于点F.
(1)求证,：m_LGF;
⑵若8E与平面人及比> 所成角的正弦值是《，求三角形GEF的面积.
0
【解析】⑴在直四棱柱中ABCD -力向G2中，AA± Fffii ABCD,
••• BO U 平面 ABCD，二 AA^BD,连接 AC：
■ 6 ,/. N ADR = CCAB, AC.LBD,
•••力4,4Ou 平面 ACCXAX,n 力。=力，••. 6。_L 平面 ACC}A,,
,: CiFu 平面 ACCjAi，二 BD ± CXF.
（2）以A为坐标原点，4D为名轴，力R为,轴，441为z轴,建立空间直角坐标系,
则 2(0, 0,0)，B(0, V2,0), C(l,、2.0j, G(l,、2,2),设E(°,0⑵，0,
平面ABCD的法向量为元=(0, (), 1),胡=(上，一嚣，2),,
则六二18S(BE,n}\ 二些 '「=-===,解得⑦=[■,
5 । - I的忸，V^+6 2
则 E(十,0,2), BE = (4 , 一2), GE = —V2,0),
设网0,()，2人声=(一1,一方，2—2),因为。1,夕，七下四点共面，
则 C\F mBE + nC[E => (-1 > —V2 , z - 2)= 771(/,一V2,2)+ 九(—, —V2,0),
...[2 7n 2 n~ 1 ，解得7n =—),九=今,z= 1,
1—a/2ttz—^/2n=-V2
・・・F(O, 0, 1),・・.R为棱441的中点.
所以布=(-1, 一方,-l),|c2|= 7f + 2 = y,|GF|= 0+2+1 = 2
・ - GEOF _1+ 2 _ £
C cm 一 ।翦.函一尹2 一百
所以sin〈福，乖)=J1 - cos2 律,硒=噜
所以三角形GER的面积S= /I裾1|G?|-sin(G^.OF> = 平
17. （15 分）
已知双曲线C：考■一名• =l（a>0,b>0）过点。（4,，3），4,42是双曲线。的左右顶点，且44=4.
a o
（1）求双曲线。的方程；
（2）直线Z过点Q（3,0）交双曲线。于点M,N,直线M41,NA2交于点B，求IB4-BPI的最大值.
【解析】⑴因为4,4是双曲线。的左右顶点，且44 = 4,即2a = 4,得。=2,
将点P（4,小）代入双曲线方程得芈一,=1,解得〃 =1,
4 0
所以双曲线方程为专一y 二 l
⑵因为直线Z的斜率仆为零,所以设直线。=7ny + 3,MQ“必）,N（g，勿）
_ . 任一"=1…
联立直线Z方程与双曲线方程（4 / ，消去立得（7n2-4）^ + 6zny + 5 = 0
0,由韦达定理得"+ 2/2 =5^^,%佻=与泊^,且吆出2=-右(劭+珀
直线MAf.y =一甥3+ 2)，直线NA训=—1 Q—2)
X\ । 乙 Uz2 一乙
幼 (rr + 2)
y= + 2 豆+ 2 为+ 2 . 勿=(破+3版=馆小幼+5夕2
联立直线MAr与直线NA2方程
,y= g V — 2 2 (①一 2) x—2 V\ 色I2 (加到2+1)% myiyz+yi
5
一百(%+例)+ %2 七(a- 5g2)
=-5,解得立=,
一］_(%+夕2)+幼 卷(y 1-5g) O
即直线与直线N4的交点B在直线/=■!上，点4关于直线z = ■的对称点E(早,0)
所以 |34| = \BE\,所以 \BAl-BP\ = \BE-BP\ W|EF| =’(券—4了+ (0-V3)2 =呼
当点B在直线EP与直线/ = *的交点时，即点EF，B共线时，|口4 一 BP|取到最大值毕
J O
18. (17 分)
甲、乙两名围棋学员进行围棋比赛,规定每局比赛胜者得1分,负者得。分,平局双方均得0分，比赛中当一方比
另一方多两分比赛中止，多得两分的一方赢得比赛.已知每局比赛中,甲获胜的概率为a,乙获胜的概率为",
两人平局的概率为7(a+6 + 7 = l,a>0,£>0,7>0)，且每局比赛结果相互独立.
⑴若a = +/=+, 7 = /,求进行4局比赛后甲学员赢得比赛的概率；
(2)当 7 = 0 时，
⑴若比赛最多进行6局(若到第6局时未分出胜负,也结束比赛)，求比赛结束时比赛局数X的分布列及期望
E(X)的最大值；
(ii)若比赛不限制局数，写出“甲学员赢得比赛”的概率(用a, £表示)，无需写出过程.
【解析】⑴4局比赛结束后甲学员嬴得比赛，甲乙学员的得分情况为2:0,3:1
若甲乙学员得分情况为2念概率「士 ©a.厂％ = 3")、(节2 =焉
若甲乙学员得分情况为3:1,概率x/*(打=矗
所以4局比赛结束后期学员•嬴得比赛的概率为卷+ 责=忐
(2)⑴因为7 = 0、所以每局比赛结果仅有“甲获胜”和“乙获胜”，即a + 6=l,
由题意得X的所有可:能取值为2, 4,6,则
P(X=2) = / + £2,
P(X = 4) = (a0 + /?cz)a2 + Q6 + “a)/?? = 2a0(a? + 伊)，
-8-尸(X= 6)=(3 +£a) •(3 + £a) • (a2+/?2+2a^) = 4a2俨.
所以X的分布列为：
X 2 4 6
P / + £2 2a6(/ + 俨) 4a2伊
所以X的期望E(X) = 2(/ +价)+ 8a0(/ +阴+ 24徉2
=2(1 - 2a6) + 8a0(1 -勿0) + 24 审伊=8/价+ 4奶 + 2,
因为a + £ = l>2j币,所以印《十,当且仅当a = 6=^1•时，等号成立，所以如爪。,本］,
所以 E(X) = 8a20 + 4a£ + 2<8x借)2 + 4x1 + 2=W•.
故E(X) 的最大值为全
(ii)记“甲学员嬴得比赛”为事件“，当甲、乙两洛学员得分总数相同时，甲学员嬴得比赛的概率与比赛一开始
甲学员赢得比赛的概率相同，
所以 P(M)=屋 + a°p(M) + SaP(M\= / + 2tZ/?p( A1)
所以(1 — 23)P(M) = /,即 P(M)~ 匚/，
因为a + 6=1'所以「伽)=砺洋砺=^+2s；优一2啰=/.
19. (17 分)
设函数y=f3)的定义域为D,其导函数为尸(了)，区间，是。的一个非空子集.若对区间I内的任意实数以存
在实数£,使得G +16。，且使得fQ+t) > (t+1) 了⑺成立，则称函数y =/(0为区间/上的⑴函数”.
(1)判断函数f(『)= 8sc是否为［0,汨上的“M(食)函数”，并说明理由；
⑵ 若函数g⑸=〃一皿是［0,2］上的⑵函数”.
⑴求a的取值范围；
(ii)证明：Vx G ［1»2］»g(c+2) >6(lncc-1).
【解析】⑴/'(t) =—sine,
因为/(工 + £) =cos(x + y ) =—sina:,(y + 1) =—(£ +1) •sine
又a；e ［0,兀］所以sine〉0,
所以小+专)>住+ 1)73)对于任意" 6 ［()"］恒成立.
故fQ)=8SC是［0,兀］上的“M住)”函数.
(2)① g'(t) = 2x — a.
由条件得(工+ 2f - a(c + 2) >3(2x —a)对任意的x 6 ［u,2］恒成立,
即。3一1) &(/-1)2+3任意的56 ［0,2］怆成立.
1°当劣=1时,对一切a e H成立.
2° 当 0(i-l) + —恒成立.
X—1
设 F(tc) =x — l+ .；］-,'则尸'(工)= < 0,所以FQ)在［0,1)上单调递减,
(G — 1)2
a > R(①)max = F( 0)~-4.
3°当1 Vc<2时，由aW(c —D 恒成立.
7 X— 1
设F{x} = x-{ + 吉，则尸'3) = 1- E F V0,所以F(。)在。，2］上单调递减,
I J/ A )
可得 Q4尸Gr)min = R(2) =4.
综上所述,a的范围是一44a■44.
• 9 •(ii)证明：由(i)知，-44,对 V力 W [l,2],g(°+2) > 3^(x) = 3(2x-a) > 3(2x-4).
下面证:Va; G [l,2],3(2x —4) >6(lnx—1),即证 W 劣€ [l,2],x — 1 — Inx^O.
设G(c) =x-l-lnx,则GQ) = 1 —> 0,所以G(x)在[1,2]上单调递增，
又G(l) = 0,所以GQ) > 0成立.
所以 ° C [1,2]时,不等式 3(2a:-4) = 6(x— 1) — 6>61nc - 6 = 6(lnrc-成立.
所以 [l,2],g3+2)26(lnc-l)成立.
• 10 •
