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江西省十校协作体 2025 届高三第二次联考数学答案
选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 C D C B A B D C AC ABD ACD
填空题
12． 13． 14．
部分选择填空题详细过程
6．B
【详解】由题意知要将4个相邻的小岛A，B，C，D连接起来，
共有 个位置可以建设桥梁，从这6个位置中选3个建设桥梁，共有 种选法，
但选出的3个位置可能是仅连接 或 或 或 三个小岛，不合题意，
故要建3座桥梁，将这4个小岛连接起来，共有 （种）不同的方案.故选B.
7．D
【详解】因为 ，
所以
.故选：D.
8．C
【详解】设 ， ，延长ON交 于A，如图所示.
答案第1页，共2页由题意知 ，O为 的中点，∴点A为 中点.
又 ，点N在 的平分线上，
∴ ，∴ 是等腰三角形，
∴ ，
则 ，所以 .
又 ，所以 .
又在 中，由余弦定理得 ，
即 ，即 ，
化简得： .又 ，所以 ，所以 ，即
故选：C.
10．ABD
【详解】对A：如图：
取 中点 ， 中点 ，连接 ， ， ， ，
易证平面 平面 .
因为 平面 ，所以 点轨迹为线段 ，且 .故A正确.
对B：设点C关于平 面对称的点为 M,
所以B正确。
答案第2页，共2页对C：如图：
因为 ，且 ， ，所以不存在 满足
，故C错误；
对D：如图：
连接 ，取其中点 ，连接 .
因为 是棱 的中点，则 .所以 为 外接圆圆心.
过 作平面 的垂线，则三棱锥 外接球的球心 一定在该垂线上.
连接 ，设 ，则 ，
连接 ， ，所以 ，
所以 ，解得 ，所以 ，
所以三棱锥 外接球的表面积为： ，故D正确.
故选：ABD
11．ACD
答案第3页，共2页【详解】如图：
对A：由 ，所以函数 的反函数为 ，
所以 关于直线 对称，故A正确；
对B：有 .
设 ，则 ，
由 ，由 .
所以 在 上单调递减，在 上单调递增.
且 ， ，所以存在 ，使得 ，
另 .
所以 上两点 ， ， ， 所以.
所以 的弦长最大值小于3❑√2.故B错误；
对C：因为直线 与直线 垂直，设曲线 的切线为 ，
由 ，所以切点为 ，所以切线方程为 .
直线 与 的距离为 .
答案第4页，共2页所以直线 被 截得弦长的最大值为 即 .故C正确；
对D：由 ，所以B中 .
过点 做 的切线，再做该切线关于 对称的直线，过 ，
做切线的垂线，与两切线分别交于 ，如图所示，构成矩形 ，
该矩形将图形 包含在内，所以 的面积小于矩形 的面积.
又 ， ，
所以矩形 的面积为 .所以D正确.
故选：ACD
13．
【详解】过 分别作 轴的垂线，垂足分别为 ，过 分别作 轴、 轴的垂线相
交于点 ，
连接 ，则 ，
由余弦定理得 ，
由上可知， 轴垂直于 ，又 平面 ，
所以 轴垂直于平面 ，又 轴，所以 平面 ，
因为 平面 ，所以 ，
因为 的周期 ，所以 ，
答案第5页，共2页由勾股定理得 ，解 得，
由图知， 的图象过点 ，且在递减区间内，
所以， 即
因为 ，点 在递减区间内，所 以.
14．【详解】当 时，由 ，可得 对任意的 恒成立，
即 对任意的 恒成立，此时 不存在；
当 时，由 对任意的 恒成立，
作出 的大致图象，如图所示：
由题意可知 ，又 是整数，
所以 或 或 .
故答案为：
解答题
15.【详解】（1） 列联表数据如下：
时长 其他 总计
优秀
答案第6页，共2页不优
秀
总计
……3分
……5分
∴有 的把握认为学业成绩优秀与日均作业时长
不小于2小时且小于3小时有关． ……6分
（2）已知 ， 则
由已知得 ,所以 ……8分
而 则 ……10分
P(A) P(AB)P(AB)0.6 P(AB)0.5
由 得 ……12分
所以 ……13分
16.【详解】（1）因为 ，
则 ，
可得 ， ……4分
且 ，则 ，可得 ，即 ，
又因为 ，所以 . ……7分
（2）因为 ，由（1）可知： ，
设 ，则 .
在Rt 中，可得 ，即 ， ……8分
答案第7页，共2页在 中，由正弦定理得 ，
可得 ， ……10分
又因为 ，即 ， ……13分
可得 ，解得 ，所以 的值为 . ……15分
（注：其他解法酌情给分。如用几何法也行）
17．【详解】（1）因为 ， ，
所以 ， ， ，
又因为 ，所以 ，
在 中，由余弦定理得 ，所以 ，
因为 ，所以 ， ……2分
又因为四边形 为矩形，所以 ， ……4分
因为 ， 所以平面 ， ……6分
因为 ，所以 平面 . ……7分
（2）取 中点 中点N，以M为原点，以 方向为x轴，
以 方向为y轴，以 方向为z轴，建立如图所示的坐标系
又 ，则
所以 ，则
， ． ……9分
答案第8页，共2页假设平面 的一个法向量为 ，则
，令 ，则 ，所以 ， ……11分
假设平面 的一个法向量为 ，则
，令 则 ，所以 ……13分
假设平面 与平面 所成的角为 ，则 ，
即平面 与平面 所成角的余弦值为 ……15分
18．【详解】（1）当 时， ，则 ，
则曲线 在点 处的切线斜率为 ，
又 ，所以曲线 在点 处的切线方程为 ． ……4分
（2） ，由题意得， 恒成立．
令 ，则 ，且 在 单调递增，
令 ，解得 ，
所以当 时， ，故 单调递减；
当 时， ，故 单调递增；
所以 ，
又 ，当且仅当 ，故 ． ……10分
答案第9页，共2页（3）解法一：因为 ，所以题意等价于当 时， ．
即 ，
整理，得 ，
因为 ，所以 ，故题意等价于 ．
设 ，
的导函数 ，
化简得 ，
考察函数 ，其导函数为 ，
当 单调递减；当 单调递增；
故在 时， 取到最小值，即 ，
即 ，所以 ，
所以当 单调递减；当 单调递增；
所以 的最小值为 ，故 ． ……17分
19．【详解】（1）由题可得 ，则 ， ， ，
故点Q处的切线方程为
即． ……3分
（2）①
则由（1）可知直线AB为 ，直线AC为 ，
由A在AB上，同时A在AC，
答案第10页，共2页可知 直线BC的方程为 ， …… 6分
，
又由（1）可知直线 的斜率为 ，又 ，
，即 ，则直线AM为 ，E点横坐标为 ， ……8分
又 在BC上， ， ，
即A、M、E三点的纵坐标成等差数列． ……10
分
②由①可知A、M、E三点的纵坐标成等差数列，则 ，
又 ，则 ，可得 ，且相似比为 ，
故 ， ……12分
同理可得
如图连接BM，CM，因 ，又 ，
则 与 在底边BC与底边 对应的高相同，
又 ，则 ，则 ，
则 ，
答案第11页，共2页即第二次所做的“外切三角形”的面积之和是第一次所做“外切三角形”的面积的 ，
同理每一次所做“外切三角形”面积之和都是上一次“外切三角形”面积之和的 ……
14分
可得 ……17分
答案第12页，共2页
