河南省实验中学2024-2025学年高三下学期第四次模拟考试数学试卷+答案_2025年5月_250527河南省实验中学2024-2025学年高三下学期第四次模拟考试（全科）

河南省实验中学 2024-2025 学年下期第四次模拟考试 高三数学 时间：120 分钟 满分：150 分 一、选择题：本题共 8个小题，每题 5分，共 40分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。 1．“−1x1”是“x2 1”的 A．充分必要条件 B．充分但不必要条件 C．必要但不充分条件 D．既不充分也不必要条件 2．复平面内，若复数 试卷第1页，共4页 z 满足 z + 1 = z − i ，则 z 所对应的点 Z 的集合构成的图形是 A．圆 B．直线 C．椭圆 D．双曲线. 3．已知两个非零向量 a , b 满足 a + b = a − b ，则向量 2 a − b 在向量 a 上的投影向量为 A．b B．−b C． 2 a D． − 2 a 4．记S 为等差数列 n  a n  的前n项和，若 a 3 + a 7 = 1 0 ， a 5 a 9 = 6 5 ，则 S n n = A．14−n B．n−4 C．12−n D．n−2  5．将函数 f (x)=sin2x的图像向右平移(0 )个单位后得到函数 2 g ( x ) 的图像，若  对满足 f(x )−g(x ) =2的x ,x ，有 x −x = ，则 1 2 1 2 1 2 min 3 = 5  A． B． C． 12 3 4  D． 6  6．将编号为 1，2，3，4，5的 5个球放到 3个不同的盒子中，每个球只能放到 1个盒 子中，每个盒子至少放入 1个球，则编号为 1，2，3的球所放盒子各不相同的概率为 5 6 A． B． C． 18 25 9 2 5 D． 8 9 x2 y2 7．已知F,F 分别是双曲线 − =1(a0,b0)的左、右焦点，P是左支上一点，且 1 2 a2 b2 PFF 的面积为 1 2 b 2 ，若 PFF 的内切圆与y轴相切，则双曲线的离心率e= 1 2 A． 3+1 B． 3 3 C．2 D． 2 8．当x 1时，关于x的不等式eax+lna −eax−lnx −lnx  −1恒成立，则a的取值范围 是 A． ( e,+ ) B．(1,+) C．(e,+) D．   1 ,+   e  {#{QQABSY40wgg4kBaACJ4LAQFqCUkQkJChJUoEwQAZqAxqgBFABIA=}#}二、选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求。全部选对的得 6分，有选错的得 0分，部分选对的得部分分。 9．一组成对样本数据 试卷第2页，共4页 ( x 1 , y 1 ) , ( x 2 , y 2 ) , ( x n , y n ) ( n  1 0 , n  N * ) 的散点位于一条直线附近，它的 样本相关系数 r = n i= 1 n i= 1 ( x ( x − i − i x ) x 2 ) ( y − i n ( i= 1 y y i ) − y ) 2 （其中 x = 1 n n i= 1 x ,i y = 1 n n i= 1 y i ），由最小二乘法求得 n (x −x)(y −y) i i 经验回归方程yˆ =b ˆ x+aˆ（其中b ˆ = i=1 ），则 n (x −x)2 i i=1 A．若 r  0 ，则 b0 B．若z = y −2(i =1,2, ,n)，则成对数据 i i ( x ,i z i ) 的样本相关系数 r1 等于 r C．若 z i = 2 y i ( i = 1 , 2 , , n ) ，则成对数据 ( x ,i z i ) 的样本相关系数 r 2 大于 r D．若 z i = 2 y i ( i = 1 , 2 , , n ) ，则成对数据 ( x ,i z i ) 的经验回归方程 ˆz = 2 ˆb x + 2 ˆa 10．函数 y = ( k x 2 + 1 ) e x 的图像可能是 A． B． C． D． 11．某教授于 1986年发现了一类有趣的数列并命名为“外观数列” （Lookandsaysequence），该数列由正整数构成，后一项是前一项的“外观描述”.例如： 取第一项为 1，将其外观描述为“1个 1”，则第二项为 11；将 11 描述为“2个 1”，则第 三项为 21；将 21描述为“1个 2，1个 1”，则第四项为 1211；将 1211描述为“1个 1，1 个 2，2个 1”，则第五项为 1 1 1 2 2 1 , ，这样每次从左到右将连续的相同数字合并起来 描述，给定首项即可依次推出数列后面的项.则对于外观数列  a n  ，则 A．若 a 1 = 3 ，则从a 开始出现数字 2； 4 B．若 a 1 = k ( k = 1 , 2 , 3 , , 9 ) ，则a ( nN*) 的最后一个数字均为 n k ； C． a  可能既是等差数列又是等比数列； n D．若a =123，则a ( nN*) 均不包含数字 4. 1 n 三、填空题：本题共 3题，每小题 5分，共 15 分。 {#{QQABSY40wgg4kBaACJ4LAQFqCUkQkJChJUoEwQAZqAxqgBFABIA=}#}12．已知函数 试卷第3页，共4页 f ( x ) = e x − e − x + 2 s i n x ，若 m  0 ， n  0 ，且 f ( 2 m ) + f ( n − 2 ) = f ( 0 ) ，则 1 m + 2 n 的最小值是 ． 13．设F,F 分别是椭圆 1 2 E ： x 2 + y b 2 2 = 1 ( 0  b  1 ) 的左、右焦点，过点F 的直线交椭圆 于 1 A , B 两 点，若 A F 1 = 3 B F 1 , A F 2 ⊥ x 轴 ，则椭圆 的方程为 . 14．祖暅是我国古代的伟大科学家，他在 5世纪末提出：“幂势即同，则积不容异”，意 思是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意一个平面所截， 若截面面积都相等，则这两个几何体的体积相等.这就是著名的祖暅原理，祖暅原理常 用来由已知几何体的体积推导未知几何体的体积，例如由圆锥和圆柱的体积推导半球体 的体积，其示意图如图一所示. 利用此方法，可以计算如下抛物体的体积：在平面直角坐标系中，设抛物线 C的方程为 y = 1 − x 2 ( − 1  x  1 ) ，将 C围绕 y轴旋转，得到的旋转体称为抛物体.利用祖暅原理它可用 一个直三棱柱求解，如图二，由此可计算得该抛物体的体积为 . 四、解答题:本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（本题满分 13分）记 A B C 是内角 A ，B， C 的对边分别为a，b， c .已知 b 2 = a c ， 点 D 在边AC上，BDsinABC = asinC . （1）证明：BD =b； （2）若 A D = 2 D C ，求cosABC . 1 16．（本题满分 15分）已知函数 f (x)= x2 −2x+alnx 2 (1)若a =1，求函数 f (x)在x =1处的切线方程； (2)求证：当a0时， f (x) 有且仅有一个零点. {#{QQABSY40wgg4kBaACJ4LAQFqCUkQkJChJUoEwQAZqAxqgBFABIA=}#}17（. 本题满分 15分）如图 1，平面四边形 试卷第4页，共4页 P B A C 为“箏型”，其中 P B = P C , A B = A C ，将平面 P B C 沿着 B C 翻折得到三棱锥 P − A B C （如图 2）， D 为BC的中点． (1)证明：平面 P A D ⊥ 平面 P B C ； (2)如图 2，若AB⊥ AC,AB=2， P A = P D = 3 2 2 ，求平面PAB与平面 P A C 的夹角的正弦 值． 18．（本题满分 17分）在平面直角坐标系 x O y 中，顶点在原点 O 的抛物线E经过点 A ( 9 , 6 ) . (1)求抛物线 E 的方程； (2)若抛物线 E 不经过第二象限，且经过点 B ( 0 , 3 ) 的直线 l 交抛物线 E 于 M ， N ，两点 （ B M  B N ），过 M 作 x 轴的垂线交线段 O A 于点 P . ①当 M P 经过抛物线E的焦点 F 时，求直线 N P 的方程； ②求点A到直线 N P 的距离的最大值. 19．（本题满分 17分）某生态公园有两条散步路线，分别记为路线 A和路线 B.公园附 近的居民经常来此散步，经过一段时间的统计发现，前一天选择路线 A 的居民第二天 选择路线 A和路线 B的概率均为 1 2 ；前一天选择路线 B的居民第二天选择路线 A和路 3 线 B 的概率分别为 和 4 1 4 .已知居民第一天选择路线 A的概率为 1 3 ，选择路线 B的概率 为 2 3 . (1)若有 4位居民连续两天去公园散步，记第二天选择路线 A散步的人数为Y ，求Y 的分 布列及期望； (2)若某居民每天都去公园散步，记第 n 天选择路线 A的概率为P . n （i）请写出 P n + 1 与P(nN*)的递推关系； n 16 n M M M n （ii）设M = −4，求证： −1 1 + 2 + + n  (nN*). n 15P −9 4 M M M 4 n 2 3 n+1 {#{QQABSY40wgg4kBaACJ4LAQFqCUkQkJChJUoEwQAZqAxqgBFABIA=}#}河南省实验中学第四次模拟考试参考答案： 一 选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A B C B D C A D ABD ABC 题号 11 答案 BCD 二 填空题 12．4 ； 13． 答案第1页，共6页 x 2 + 3 2 y 2 = 1 ； 14． 2  三 解答题 15．（1）设 A B C 的外接圆半径为 R，由正弦定理， 得 s in  A B C = 2 b R , s in C = 2 c R ，……………………………………………………….2 分 因为 B D s in  A B C = a s in C ，所以 B D  2 b R = a  2 c R ，即 B D  b = a c ． 又因为 b 2 = a c ，所以 B D = b ．………………………………………………………5 分 （2）[方法一]【最优解】：两次应用余弦定理 因为 A D = 2 D C ，如图，在 A B C 中， c o s C = a 2 + 2 b a 2 b − c 2 ，① 在 △ B C D 中， b a2+( )2−b2 3 cosC= ．②……………………………………………………….7 分 b 2a 3  b  11 由①②得a2+b2−c2 =3 a2+( )2−b2 ，整理得2a2− b2+c2 =0．    3  3 又因为 b 2 = a c ，所以 6 a 2 − 1 1 a c + 3 c 2 = 0 c ，解得a= 或 3 a = 3 c 2 ，……………10 分 c c2 c 3c 当a= ,b2 =ac= 时，a+b= + c（舍去）．……………………….11 分 3 3 3 3 {#{QQABSY40wgg4kBaACJ4LAQFqCUkQkJChJUoEwQAZqAxqgBFABIA=}#}当 答案第2页，共6页 a = 3 c 2 , b 2 = a c = 3 c 2 2 时， c o s  A B C = ( 3 c 2 2 ) 2 +  c 3 c 2 2  − c 3 c 2 2 = 1 7 2 ． 所以 c o s  A B C = 1 7 2 ．……………………………………………………………….13 分 16．（ 15 分）（1）若 a = 1 ，则 f ( x ) = x 2 2 − 2 x + ln x , f  ( x ) = x − 2 + 1 x ，………2 分 所以 f  ( 1 ) = 0 , f ( 1 ) = − 3 2 ，函数 f ( x ) 在x=1处的切线方程为 y = − 3 2 ；……..5 分 （2） f ( x ) a x2−2x+a 的定义域为(0,+), f(x)=x−2+ = ，……………….6 分 x x 当 a = 0 时 f ( x ) = x 2 2 − 2 x , f ( x ) 有且仅有一个零点 4：………………………… 8 分 当 a  1 时， f  ( x )  0 ，函数 f ( x ) 递增，由 f ( 1 ) 0 , f ( 4 ) = a ln 4 0 ，知 f ( x ) 存在唯一 零点 x 0  ( 1 , 4 ) ；…………………………………………………………………………10 分 当 0  a  1 时，令 f  ( x ) = 0 得 x 1 = 1 − 1 − a , x 2 = 1 + 1 − a , 0  x 1  1  x 2 ， 当 x  ( 0 , x 1 ) 时 f  ( x )  0 ，函数 f ( x ) 递增： 当 x  ( x 1 , x 2 ) 时 f  ( x )  0 ，函数 f (x)递减； 当 x ( x 2 , )   + 时 f  ( x )  0 ，函数 f (x)递增：…………………………………….12 分 当 x  ( 0 ,1  时， x 2 2 − 2 x  0 , a ln x  0 ，所以 f ( x )  0 ，函数 f (x)无零点； 因为当x(1,x )时 f (x)递减，当x(x ,+)时 f (x)递增， 2 2 且 f ( x 2 )  f ( 1 ) 0 , f ( 4 ) = a ln 4 0 ，所以 f ( x ) 存在唯一零点 x 0  ( 1 , 4 ) …………14 分 综上所述，当a0时， f (x)有且仅有一个零点…………………………………..15 分 17. （15 分）（1） PB=PC，AB= AC， D 为BC的中点，  P D ⊥ B C ， A D B C 微信公众号“做事方法很重要”，免费分享各科优质资料 微信公众号“做事方法很重要”，免费分享各科优质资料 ⊥ ， PDAD=D,PD平面PAD，AD平面PAD， BC ⊥平面PAD． {#{QQABSY40wgg4kBaACJ4LAQFqCUkQkJChJUoEwQAZqAxqgBFABIA=}#}又 答案第3页，共6页 B C  平面 P B C ，  平面 P A D ⊥ 平面 P B C ．…………………………………………………………6 分 （2） 如图，以点 A 为坐标原点，分别以 A B , A C 所在直线为 x 轴､ y 轴，过点 A 且与平面 A B C 垂直的直线为 z 轴，建立空间直角坐标系． 取 A D 中点 E ，连接 P E ， P A = P D ，∴PE ⊥ AD． 由（1）可知 B C ⊥ 平面 P A D ， P E  平面 P A D ，  B C ⊥ P E ， 又 ADBC=D,AD平面 A B C ，BC平面ABC，故PE ⊥平面ABC． A B ⊥ A C ， A B = A C = 2 ，D为 B C 的中点，  A D = 2 ． 又 P A = P D = 3 2 2 ，E为 A D 的中点，  P E = 2 ．…………………………..8 分 则 A ( 0 , 0 , 0 ) ， B ( 2 , 0 , 0 ) ， C ( 0 , 2 , 0 ) ，D(1,1,0)， E  1 2 , 1 2 , 0  1 1  ，P , ,2 ， 2 2  所以 A B = ( 2 , 0 , 0 ) , A P =  1 2 , 1 2 , 2  , A C = ( 0 , 2 , 0 ) ， 设平面 P A B 的一个法向量为n =(x,y ,z )， 1 1 1 1 则  n n 1 1   A A B P = = 2 x x 12 1 + = 0 y 1 2 + 2 z 1 = 0 ，令 z 1 = − 1 ，则 x 1 = 0 , y 1 = 4 ，所以n =(0,4,−1)． 1 设平面 P A C 的一个法向量 n 2 = ( x 2 , y 2 , z 2 ) ，  n AC =2y =0   2 2 则 ，令 x y n AP= 2 + 2 +2z =0  2 2 2 2 z 2 = − 1 ，则x =4,y =0，所以 2 2 n 2 = ( 4 , 0 , − 1 ) 微信公众号“做事方法很重要”，免费分享各科优质资料 . …………………………………………………………………………………13 分 设平面PAB与平面PAC的夹角为， {#{QQABSY40wgg4kBaACJ4LAQFqCUkQkJChJUoEwQAZqAxqgBFABIA=}#}则 答案第4页，共6页 c o s c o s n 1 , n 2 n n 1 1 n n 2 2 1 1 7  = =  = ，…………………………………… 14 分 所以 s i n 1 2 1 7 2  = .所以，平面PAB与平面 P A C 12 2 的夹角的正弦值是 ． 15分 17 18．（1）若抛物线 E 的焦点在 y 轴上时，可设抛物线 E 的方程为x2 =my， 且抛物线过点 A ( 9 , 6 ) ，所以 8 1 = 6 m ，解得 m = 2 7 2 ； 若抛物线 E 的焦点在 x 轴上时，可设抛物线 E 的方程为y2 =nx， 且抛物线过点 A ( 9 , 6 ) ，所以 3 6 = 9 n ，解得 n = 4 ； 综上所述：抛物线 E 的方程为 x 2 = 2 7 2 y 或 y 2 = 4 x …………………………..4 分 （2）因为抛物线 E 不经过第二象限，由（1）可知，抛物线 E 的方程为y2 =4x， 且 F ( 1 , 0 ) , O A : y = 2 3 x ， ①当 M P 经过抛物线 E 的焦点F 时，令 x = 1 ，得 P  1 , 2 3  ， 在y2 =4x中，令 x = 1 ，得 y =  2 ， 又因为 B M  B N ，则 M ( 1 , 2 ) ，可得直线l: y=−x+3， 由  y y 2 = = − 4 x x + 3 x=1 x=9 ，解得 或 ，即 y=2 y=−6 N ( 9 , − 6 ) ， 所以直线 N P : y − 2 3 = − 5 6 ( x − 1 ) 5 3 ，即y=− x+ ；………………………….9 分 6 2 ②设 l : x = m ( y − 3 ) 微信公众号“做事方法很重要”，免费分享各科优质资料 1  1  ，M y2,y  ，N y2,y  ， 4 1 1  4 2 2  x=m(y−3) 由 ，消去x整理得y2−4my+12m=0， y2 =4x 所以Δ=16 ( m2−3m ) 0，y +y =4m，y y =12m，…………………..11 分 1 2 1 2 {#{QQABSY40wgg4kBaACJ4LAQFqCUkQkJChJUoEwQAZqAxqgBFABIA=}#}且 答案第5页，共6页 P  x 1 , 2 3 x 1  ，即 P  1 4 y 21 , 1 6 y 21  ， 则 N P : y − y 2 = 1 4 y 2 y − 22 − 1 6 1 4 y 21 y 21  x − 1 4 y 22  ，…………………………………12 分 令 x = 0 ，得 = 2 4 m 2 − 1 2 m y y y 1 2 − 2 − + 3 2 6 m 2 y 1 = ( − y 3 y 2 y − 1 + 22 y 1 6− ) 2 2 y 1 2 y 1 = y 2 22 4 + m 2 y 2 − y − 6 22 3 2 m − = ( y 2 y 1 1 1 6 + 2 y 1 y 2 y ) 22 = − 2 y y 1 2 4 m 2 2 y + y − 22 3 222 6 − ( y 1 2 − y 1 m  4 2 y 1 + m y 2 = ) ( 0 y 1 − y 2 ) ， 所以直线 N P 经过定点 D  0 , 3 2  ，…………………………………….16 分 所以当 N P ⊥ D A ，即点 A以直线 N P 9 5 的距离取得最大值，为 AD = …..17分 2 19．（17 分）（1）记附近居民第 i ( i = 1 , 2 ) 天选择路线A,B分别为事件 A ,i B i ， 依题意， P ( A 1 ) = 1 3 , P ( B 1 ) = 2 3 ， P ( A 2 A 1 ) = P ( B 2 A 1 ) = 1 2 ， P ( A 2 B 1 ) = 3 4 , P ( B 2 B 1 ) = 1 4 ， 则由全概率公式，得居民第二天选择路线A散步的概率 P ( A 2 ) = P ( A 1 ) P ( A 2 A 1 ) + P ( B 1 ) P ( A 2 B 1 ) 1 1 2 3 2 =  +  = ；……………….3 分 3 2 3 4 3 记第二天选择路线 A 散步的人数为 Y ，则 Y ～ B ( 4 , 2 3 ) ，……………………4 分 则 P ( Y = 0 ) = ( 1 3 ) 4 = 1 8 1 ， P ( Y = 1 ) = C 14  2 3  ( 1 3 ) 3 = 8 8 1 ， P ( Y = 2 ) = C 24  ( 2 3 ) 2  ( 1 3 ) 2 = 2 8 4 1 = 8 2 7 ， P ( Y = 3 ) = C 34  ( 2 3 ) 3  1 3 = 3 8 2 1 ， P ( Y = 4 ) = ( 2 3 ) 4 = 1 8 6 1 ， 则 Y 的分布列为： Y 0 1 2 3 4 P 1 8 1 8 8 81 27 3 8 2 1 1 8 6 1 故Y 的数学期望 E ( Y ) = 4  2 3 = 8 3 ．………………………………………….7 分 （2）（i）当第n天选择路线A时，第n+1天选择路线A的概率 P n + 1 = 1 2 P n 微信公众号“做事方法很重要”，免费分享各科优质资料 ； 3 当第n天选择路线B时，第n+1天选择路线A的概率P = (1−P)， n+1 4 n {#{QQABSY40wgg4kBaACJ4LAQFqCUkQkJChJUoEwQAZqAxqgBFABIA=}#}所以 答案第6页，共6页 P n + 1 = 1 2 P n + 3 4 (1 − P n ) = − 1 4 P n + 3 4 ( n  N * ) ………………………………10 分 （ii）由（i）知 P n + 1 = − 1 4 P n + 3 4 ( n  N * ) 3 1 3 ，则P − =− (P − )，而 n+1 5 4 n 5 P 1 = 1 3 ， 于是数列 { P n − 3 5 } 是首项为 P 1 − 3 5 = 1 3 − 3 5 = − 1 4 5 ，公比为 − 1 4 的等比数列， 因此 P n − 3 5 = − 1 4 5  ( − 1 4 ) n − 1 ，即 P n = 3 5 − 1 4 5  ( − 1 4 ) n − 1 ， 16 M = −4=4n−4， …………………………13 分 n 15P −9 n 当 n  2 时， M M n n + 1 = 4 4 n n + − 1 − 4 4 = 4 4 ( n 4 − n − 4 1 )  4 n 4 n ( 4 − − 4 4 ) = 1 4 ，而 M M 1 2 = 0  1 4 ， 所以 M M 1 2 + M M 2 3 + + M M n n + 1  n 4 ；……………………………………………………14 分 当 n  2 时， M M n n + 1 = 4 4 n n + − 1 − 4 4 = 1 4 ( n + 1 4 − n + 1 4 − 4 ) 4 − 3 = 1 4 − 4 n + 3 1 − 4  1 4 − 3 4 n ，而 M M 1 2 = 0  1 4 − 3 4 = − 1 2 ， M M M n 1 1 1 1 n 1 n 所以 1 + 2 + + n  −3( + + + + )= −(1− ) −1， M M M 4 41 42 43 4n 4 4n 4 2 3 n+1 所以 n 4 − 1  M M 1 2 + M M 2 3 + + M M n n + 1  n 4 ……………………………………………….17 分 {#{QQABSY40wgg4kBaACJ4LAQFqCUkQkJChJUoEwQAZqAxqgBFABIA=}#}