湖南省岳阳市2025届高三下学期教学质量监测（二）数学试卷（含答案）_2025年4月_250417湖南省岳阳市2025届高三教学质量监测（二）（全科）

姓 名 准考 岳阳市2025届高三教学质量监测（二） 数学 本试卷共19题，满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1 .答卷前，考生务必将自己的学校、班级、考号和姓名填写在答题卡指定位置。 2 .回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应的标号涂黑，如需改动, 用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。 3,非选择题必须用黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内； 如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求 作答无效。 4 .考生必须保证答题卡的隹洁。考试结束后，只交答题卡。 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的. 1 .若集合力=1|442}, 8 =何唾2（*一1）〈2卜则408 = A. [-4,4] B. [1,4] C. （1,4] D. [0,5] 2 .若 z + 2 = 2 + i,则2 = z A. 1 + i B. 1-i C. -1 + 1 D・—1—i 3 .已知非零向最明 b,若同= 且（Q + b）JL（a-2。）,则a与。的夹角为 4 .已知直线«, I,平面a,夕，若平面a_L平面耳，且&0夕=/,则下列命题正确的是 A.若加〃a,则用1/ B.若加ua, 〃u夕，则加 C.若加ua,则加_L[ D.若加ua,则直线加必垂直于平面夕内的无数条直线 5 .某校食堂为打造菜品，特举办菜品评选活动.已知评委团由家长代表，学生代表和教工代表组成，人 数比为1:2:2,现由评委团对1号菜品和2号菜品进行投票（每人只能投一票且必须投一票）.若投票 结果显示，家长代表和学生代表中均有4的人投票给1号菜品，教工代表中有上的人投票给2号菜品, - 3 4 那么，从1号菜品的投票人中任选1人，他是学生代表的概率为 高三二模数学试卷 第1页（共4页）6.若函数f（x）有唯一零点，且/（工+ 1） =，-1 +4/+6-、），则。= A. —— B.一 C. - D. 1 2 3 2 7 .已知圆锥的侧面展开图为半圆，其轴截面是以4为顶点的等腰三角形，若8, C分别是该三角 D D 2R 形的三个内角，贝U tan—+tan——+tan 3 +tan—tan——tan 3 = 3 3 3 3 A. y/3 B. 2於 C. 0 D. 1 8 .设椭圆C：二+乙=1的左右焦点分别为g, F2 ,点P在椭圆上，cos/EP玛=4, /月尸耳的平 4 3 5 分线与X轴交于点4,则|尸4| = A. 6 B. 2万 C, D.— 4 4 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求,全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得。分. 9 .下列说法正确的有 A.已知随机事件4, 4的概率不为0,若4和3相互独立，则力和5一定不互斥 B.若V关于x的经验回归方程为_p = -0.2x + 0.8,则样本点（2,-1）的残差为1.4 C.数据玉，々，%，%的平均数为2,方差为12,贝收2 +。2+七2 +婷=16 D.设随机变量X服从正态分布N（4，U，贝iJE（2X + l） = 9,。（24+ 1）=1 10 .已知不等式InxVx-1在xg（0, + 8）上恒成立（当且仅当％ = 1时等号成立），下列不等式正确的是 1 3 3 A. lnx>l—（x>0） B. — In 2025 D- -r+-r4--X-+-^-+-^-+—+2 < e 2 3 4 2025 77 75 74 73 72 7 11.已知数列｛4｝的前〃项和为S“，且对任意的•，总存在加cN\使得邑=%,则称｛可｝为“回 归数列”.以下结论中正确的是 A.若a11f 贝U｛q｝为“回归数列” B.若｛%｝为等比数列，贝M见｝为“回归数列” C.设｛4｝为等差数列，当q = 1,公差d<0时，若｛%｝为“回归数列"，则d = -l D.对任意的等翻列｛（｝,总存在两个“回归数列” ｛4｝和｛q｝,使得 高三二模数学试卷第2页（共4页）三、填空题：本期共3小题，每小题5分，共15分. 12,将函数〃x) = sin(2x.J的图象向左平移煮个单位长度，得到函数八g(x)的图象，则g(x)在 7T 区间。，5上的值域是一 13.已知曲线丁 = x + lnx在点(1,1)处的切线与曲线y = ox2+(a + 4)x + i只有一个公共点，则。=_. 14.(第一空3分，第二空2分)祖脂，南北朝时期的伟大科学家，于5世纪末提出了体积计算原理：“募 势既同，则积不容异"，这就是“祖地原理”.“势”即是高，“鼎”是面积，意思是：夹在两个平行 平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等， 那么这两个几何体的体积相等.已知双曲线C： 卷_( = 1,若直线”0与尸2在第一象限内与双曲 线。及其渐近线围成图形OABN (如图1 ),则它绕y轴旋 转一周所得几何体C的体积为;由双眈线。和两直 线歹=±2围成的封闭图形绕V轴旋转一周后得到儿何体 「(如图2),则r的体积为. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. (13 分) 记△4SC的内角N, B, C的对边分别为a, b, c,已知向量胆=(0sinC,-cosZ), n = (a> c),且_L”. ⑴求Z; (2)若△4BC的面积为JJ,且肥+。2=2麻。，求a. 16. (15 分) 已知函数/(x) = ^x2-(a + 2)x + 2alnx(ae??). (】)当a = -3时，求函数_/(x)的极值; (2)讨论函数/(x)的单调性. 高三二模数学试卷第3页(共4页)17. （15 分） 如图，在圆锥尸。中，4c为底面圆。的一条直径，B,。为底面圆周上不同于4, C的两点，圆 锥母线长为石，AC = 2, N"4c = 30°. (1)若40 = 1,平面以。与平面P3c的交线为/,证明：AD//1； (2)若40与平面PCD所成角的正切值为逑，求AD的长. 3 18. （17 分） 2 2 已知双曲线C:%-｝ = > 0 , b > 0)与抛物线r：y2= 2px(p > 0)有公共焦点尸，且p = 4尻 (1)若抛物线「的方程为/ = 8②. ①求双曲线。的方程； a ②设直线/： 4 与x轴交于点Er过点尸(6,0)的直线交。于5两点，点0在直线/上, 且直线40J_y轴，证明：直线B0恒过定点. (2)过尸的直线机与抛物线「交于M, N两点，与。的两条渐近线交于S, T两点(均位于y 轴右侧).若实数2满足；1T,求4的取值范围. 则 \OT\) \MF\ 丽| 19. (17 分) 中国古代许多著名的数学家对推导高阶等差数列的求和公式很感兴趣，创造并发展了名为“垛积术” 的算法，推导出了三角垛、方垛、刍费多、刍童垛等的公式.我们把公差不为。的等差数列 S/GgN')称为“一阶等差数列"，若数列｛〃用一为｝是“一阶等差数列”，则称数列｛q｝是 “二阶等差数列”.定义：若数列｛/十1一凡｝是"阶等差数列”，则称原数列｛勺｝为 喋+ 1阶等差 数列二例如：数列1,3,6,10,它的后项与前项之差组成新数列2,3,4 ,新数列2,3,4是公差 为1的等差数列，则称数列1,3,6,10为二阶等差数列. (1)若数列｛4｝满足4=1,%=4,且%7+%_尸2(勺+1)(〃N2),求证：数列｛%｝为二阶 等差数列； (2)若三阶等差数列｛4｝的前4项依次为1,4,10,20,求也｝的前〃项和S” ； (3)若左阶等差数列｛c”｝的通项公式为c”=(2〃T)1 ①求左的值；②求｛c“｝的前九项和北. 高三二模数学试卷第4页(共4页)岳阳市2025届高三教学质量监测(二) 数学参考答案及评分细则 一、单选题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C B D D A C B D 二、多选题 题号 9 10 11 答案 AD ABD ACD 三、填空题 12. np1 13. 0或2 14. 18不，48不(第一空3分，第二空2分) 四、解答题 15.【解析】(1)由题意知，m u= V3asinC-ccosJ=0, 由正弦定理得百sin/sinC-sinC'cos4 = 0，.....................................................2分 因为0<。<乃，所以sinCwO, 贝ijTisin 力-8s4=0, g[J tan J = —, ..........................................................................4 分 3 又00), /，(x)7 + 1-9=.+ *-6 =(* + 3)(・2).............................................................2 分 ' ' X X X 由/‘卜)<0,得0vx<2；由/1x)>0,得x>2. 所以/(x)在(0,2)上单调递减，在(2,+ 8)上单调递增. .....................3分 故/。)的极小值为/(2) = 4—61n2,无极大值. ...........................5分 岳阳市2025届高三教学质量监测(-)答案及评分细则——1. 、- 2a x2-(a+l^x+la (x-q)(x-2) 、 (2) xe(0, + oo), f (x) = x-(a+2) + 一 =--------------= ----- -----...... 7 分 当400时，由/'(x)<0,得00,得x>2, 此时，/(x)在(0,2)上单调递减，在(2,+ 8)上单调递增； ...................9分 当 02, 此时，/(x)在(。,2)上单调递减，在(0,0和(2,+ 8)上单调递增； ........... 11分 当。=2时，,5)=与"20对任意的x>0恒成立， 此时，/(x)在(0,+ 8)上单调递增； ........................................12 分 当a>2fl寸，由/'(x)<0,得20,得0〃， 此时,/(x)在(2心)上单调递减，住(0,2)和(a,+ 8)上单调递增............ 14分 综上可知，当时，/(x)在(0,2)、上单调递减，在(2,+ 8)上单调递增； 当0<”2时,/(x)在(a,2)上单调递减,，在恒,勾和(2,+ 8)上单调递增； 当。=2时,/(X)在(0,+ 8)上单调递增： 当］>2时，/(x)在(2,a)上单调递减，在(0,2)和(〃，+工)上单调递增........ 15分 17 .【解析】(1)因为4。为直径， 则/。_LCD, ABLBC 又M=l, AC = 2 则 GD=g 且/。。= 60。， 又/比10 = 30°, 则 NB4Q = 90°, AD LAB. 又力BJ.BC且/ID, BCu平面43CZ), 所以力O〃8C, ............................................................................................................3分 岳阳市2025届高三教学质量监测(二)答案及评分细则——2又川Du平面PBC, BCu平面尸4C, 所以40〃平面尸8C 又4Du平面P4D,平面/MOP!平面尸5C = / 所以4。〃/. ......................................................... 6分 （2）方法一：由题意知，AD1CD,如图，以。点为坐标原点，DA, 0c所在直线为 x, y轴建立空间直角坐标系，尸。="斤=2,设力。=% 、 ______ ( /T 2 则力(60,0), C(oj4-a2,o), P p- ~-r-,2 , ..................................................8 分 k 7 f 53 = (67,0,0), DP= 2-， J 设平面PC。的法向量为〃 = tx,乂二）, n. 〃 ♦ DP = 0 则｛____ n • DC = 0 ax + "一4 y + 2z = 0 即《 2 2 令z = l, = f--,0,1 j, ..........................................................................................12 分 设力。与平面PC。所成角为e,由tane = 88,得sine = 4, 13分 M 3 4 整理得16 + / = 19, 解得。=6，BP AD = ^3 . .........................................................................................15 分 方法二：以。点为坐标原点，OC , OP所在直线分别为歹和二轴，建立空间直角坐标 系,夕。=区1=2, 岳阳市2025届高三教学质量监测（二）答案及评分细则——3孚J。］，4（0,TO），C（0,l,0）, 设。（cos。,sin。,0）,尸（0,0,2）, B 8分 则 AD = (cos <9,sin 6> +1,0), ~PC = (0,1,-2), PD = (cos。,sin仇一2), 9分 设平面PCD的法向量为n = （x j,二）, n • DP = 0 则 n- DC = 0 y-2z = 0 即《 cose・x + sin6・y-2= = 0 2-2sin。, J 令二=1,得〃= cosA ''『 12分 4« 4 设力。与平面PC。所成角为a ,由tana =------，得sina =「=, ............13分 3 则 即 Icos®,研=绰=1 _ 4 、= m， I \ Zl KIH J(2 + 2sme).*F M 整理得 18 + 2sin”19, 解得 sin<9 = ；,即 | 诟卜 j2 + 2sin6=G，即 4O = j3. .......................................15 分 18 .【解析】(1)①设双曲线的焦距为2c,则有R = c = 2jL 又p = 4b,则c = 2b 2 所以 b = ^3 ,贝! J。= & 2 - 及=3 , 所以双曲线C的方程为二一或=1. ........................................................................3分 9 3 ②由题意得,呜，0）， 当直线43与工轴不重合时，设直线48的方程为x = ）+6 , 4（X，必），3卜2，y2）. 二一片=1 由 «9 3 整理得，（/2-3）/ + 12/y + 27 = 0（/2-3^0）, .............................4 分 x = ty + 6 △ >0恒成立，由韦达定理得 岳阳市2025届高三教学质量监测（-）答案及评分细则——4-12/ M+为 =/2-3 则有9(%+必)=-4例必, 6分 27 比2 K 由2停,")得' 乃一以 直线3。的方程为歹-弘= 令y = 0 3 - 2 3 3 X =一必X----工 + — 必f 2 3 2%一必X? 必一M ， 3 ,%-6乂一勿必 必一必 3 9 /2-6*+]3+%) 必一必 臬必一 M) 必一乂 15 4 即直线8。恒过点(e,0 9分 一 I 4 当直线45与x轴重合时，设 题4,0), 5(-4,0),点。停0),直线80为x轴，也过点 (2,0).综上，直线8Q恒过定点............................. 10分 (2)由题意知，y = c,又 p = 4b ,则 c = 2b, a = 同, 所以双曲线。的渐近线方程为y = ±第x, ..............................................................11分 易知直线〃?的斜率不为0 ,设直线m：x = 〃y+c, s(%,必)，「(乙,天)， 由于s, 7两点且均位于y轴右侧，有/<3, 岳阳市2025届高三教学质量监测(二)答案及评分细则——5x = ny + c 由， y/3 ，解得人= 也-n '" 一逐一n， y = ±——x 3 1 1 1 13分 网+西=丽+常 x = ny + c 、，一 『， 、 设〃（七,必）,%（几,必），由＜ 2 、,消去x 得y--2P号-p-=0 , [y =2px 则有必 + 乂 = 2pn,y3y4 = -P2， \MF\ |N日 /+叫电 _1 Jl+/ 15分 __J_ 1%+刃 =— —• ' ' y1\+n2 必必 | =_!M J1+/ p2 _ 2 I n2 p V /7： + 1 由《向 及g = C得, V3 2 A ---- 二——, 即 V3A = 16分 C P 又0W〃2<3,则o,当 > 所以％ e 0> — I, 2 7 0,1 故实数九的取值范围为 17分 19.【解析】（1）因为q+|+凡_1 =2（a“ + l）（〃2 2）,所以（。什［一 4"）一（可一4一） = 2（〃22）, 所以｛。曲-勺｝是首项为2- 4 = 3，公差为2的等差数列, 岳阳市2025届高三教学质量监测（二）签案及评分细则——6则｛%+「%｝是一阶等差数列，数列｛/｝为二阶等差数列・ ................. 3分 (2)因为也｝是“三阶等差数列"，所以｛晨也｝是“二阶等差数列”,设4=黑「4, 所以｛4+尸力｝是"一阶等差数列". 由题意得4 =3, 4=6, d3 = 1。，所以4+1=〃 + 2 , 「3 + (〃 + 1)](〃-1) dn= dn- % + 力 _ dn_2 +…+ 4- 4+ 4=-----------------------+3 w2+3h + 2 (w + 2)(/? + l) 2 0 • • 4 =------------- = -------2~~ = Q+2/ - 2 4 =3满足上式，所以力=。"(〃21). ..................................................................6分 b” = b„ - “一 + - 6,二:+ …+ 也 一 〃 + “ = c3+c：+c3+…+C+1 = c；+c；+c；+c；+…+c3 = Cj+2，〃N2 因为4 = 1满足上式 4 = C：+2. ................................................................... 8 分 .•.s. = c；+C+C+…+( = C：+3 = 24 • ..................................................................................................9 分 (3) ( i ) cn =(2m-1)4,设e〃 =c“+|-c“则e” =(2〃 + 1?-(2〃-I)4 =64/ + 16〃， 设<=%+「与， 则 < =64 (〃 +1 丫 +16 (〃 +1) -(64/ +16〃) = 192/ +192〃 + 80 , 设g〃 =以一工， 岳阳市2025届高三教学质量监测(-)答案及评分细则——7所以g〃 = 192(〃 +1)2+ 192(〃 + 1)+ 80-(192/+192〃 + 80)= 384〃 + 384 , 所以g"+「g〃=384(〃 + l) + 384-(384〃+384) = 384,所以数列｛g,J是公差为 384 的等差 数列，则数列｛1｝是4阶等差数列，即％=4. ......................................................12分 (ii ) 〃5-(〃一l)s=〃5-(C：〃S-c>4+C23-C〃2+c；〃-C) = -5n4 +10w3 -10/72 +5/7-1) 9 = 5m4-10w3 + I0w2-5w + 1 所以 - (〃 - 1)[ + 2/7' - 2〃2 + W - y , .................. ............................................................1 3 分 又因为 (2〃- if = C： (2〃)4 +C； ")2 —c； (2〃) + C： = 16w4-32w3+24h2-> 8/7 + 1 所以 北=£(22一1)4=用斗好―4一])5)—82~83一！ A=l 5 A=l* ' *=l AT 5 16 5 " 2 (n + \]n 11 *, =—n -8EZr- + 8x----------------n 5 *-i 2 5 同理可证= 证明如下: *=i 6 n 设ZM = s,因为 〃3 -(/7- I)3 =〃3 _(〃3 _3〃2 +3〃-]) =3n2 - 3〃 +1 所以〃2=l +w-l 3 L 」 3 岳阳市2025届高三教学质量监测（二）答案及评分细则——8+ n 3 2 3 3 ， （此处若未证明该公式而直接使用, 扣1分） n n' n —+ — + — 3 2 6 〃(77 + I)(2〃 +1) ~6~ 所以7；=—八8x-^——-----U8x^——』----- -n 5 6 2 5 16/ 8/ 7 n -------1---- 17分 5 3 15 岳阳市2025届高三教学质量监测（二）答案及评分细则——9