文档内容
第 7 讲 函数的单调性与最值
知识点目录
【知识点1】函数的单调性与函数图象的特征........................................2
【知识点2】定义法求解函数的单调性..............................................5
【知识点3】求函数的单调区间....................................................6
【知识点4】由函数的单调性求解函数或参数........................................8
【知识点5】复合函数的单调性....................................................9
基础知识
1．函数的单调性
(1)单调函数的定义
增函数 减函数
一般地，设函数f(x)的定义域为D，区间I D，如果∀x ，x I
1 2
当 x f ( x )，那
1 2 1 2 1 ⊆2 1 ∈ 2
定 就称函数 f(x)在区间 I 上单调递 么就称函数f(x)在区间I上单调
增， 递减，
义
特别地，当函数f(x)在它的定义域 特别地，当函数 f(x)在它的定
上单调递增时，我们就称它是增 义域上单调递减时，我们就称
函数 它是减函数
图象
描述
自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的
(2)单调区间的定义
如果函数y＝f(x)在区间I上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格
第1页 共11页的)单调性，区间I叫做y＝f(x)的单调区间．
2．函数的最值
前提 一般地，设函数y＝f(x)的定义域为D，如果存在实数M满足
(1) x D，都有f(x)≤M； (1) x D，都有f(x)≥M；
条件
(2) x D，使得f(x )＝M (2) x D，使得f(x )＝M
∀ 0∈ 0 ∀ 0∈ 0
结论 M是函数y＝f(x)的最大值 M是函数y＝f(x)的最小值
∃ ∈ ∃ ∈
常用结论
1．∀x ，x I且x ≠x ，有>0(<0)或(x －x )[f(x )－f(x )]>0(<0) f(x)在区间I上单调递增(减)．
1 2 1 2 1 2 1 2
2．在公共定义域内，增函数＋增函数＝增函数，减函数＋减函数＝减函数．
∈ ⇔
3．函数y＝f(x)(f(x)>0或f(x)<0)在公共定义域内与y＝－f(x)，y＝的单调性相反．
4．复合函数的单调性：同增异减．
知识点1
知识点
【知识点1】函数的单调性与函数图象的特征
1. 从图象判断单调性
函数图象从左到右上升，则函数在对应区间单调递增；图象从左到右下降，则函数在对应区
间单调递减．对于分段函数，需分别观察每一段图象的升降趋势．
2. 图象特征与单调性的关系
极值点：图象的 “峰”“谷” 对应函数的极大值点和极小值点，在极值点两侧函数单调性
会发生改变．
渐近线：若函数存在水平渐近线或垂直渐近线，渐近线附近的图象趋势能反映函数的单调性
变化 ．
对称性：偶函数关于 轴对称，在 轴两侧单调性相反；奇函数关于原点对称，在原点两侧
单调性相同，可利用对称性由已知区间的单调性推出未知区间的单调性．
第2页 共11页典型例题
例1：
【例1】（2024秋•双流区期中）已知函数 的图象如图所示，则该函数的减区间为
A． ， ， B． ， ，
C． ， D． ，
【例 2】（2024秋•金昌期中）如图是函数 的图象，其定义域为 ， ，则函数
的单调递减区间是
A． ， B． ， C． ， ， ， D． ， ，
第3页 共11页【例3】（2024春•嘉禾县期中）如图所示，函数 在下列哪个区间上单调递增
A． ， B． ， ， C． ， D． ，
【例4】（2023秋•麒麟区期中）如图是函数 的图象，则函数 的单调递减区间为
A． B． C． D．
【例5】（2023秋•富阳区月考）若定义在 上的函数 的图像如图所示，则其单调递
减区间是 ， 和 ， ．
知识点2
第4页 共11页知识点
【知识点2】定义法求解函数的单调性
1. 基本步骤
设值：设 ， 是给定区间内的任意两个值，且 ．
作差：计算 ，通过因式分解、通分、配方等方法变形．
定号：结合 ， 的取值范围判断 的正负，进而确定函数单调性．
结论：根据定号结果得出函数在给定区间的单调性．
2. 注意事项
设值时强调 ， 的任意性，确保结论适用于整个区间．
作差变形根据函数形式选方法，如分式函数常用通分，二次函数常用配方．
定号时充分考虑 ， 取值范围对式子正负性的影响．
典型例题
例1：
【例6】（2025春•花山区月考）已知函数 为奇函数，且 （1） ．
（1）求 的解析式；
（2）求证： 在区间 ， 上单调递增．
【例7】（2024秋•邢台期末）已知函数 ．
（1）证明：函数 在区间 上是增函数；
（2）当 ， ，求函数 的值域．
第5页 共11页【例8】（2024秋•孝南区期末）已知函数 是定义在 ， 上的奇函数，
且 （1） ．
（1）求 的解析式；
（2）判断 的单调性，并利用定义证明你的结论．
【例9】（2025•山东模拟）已知定义域为 的奇函数 ，且 时， ．
（1）求 时 的解析式；
（2）求证： 在 ， 上为增函数．
【例10】（2025•扬州模拟）已知函数 满足 ．
（1）求 的解析式；
（2）用定义法证明 在 上单调递减．
知识点3
知识点
【知识点3】求函数的单调区间
1. 基本初等函数
一次函数： ， 时在 上单调递增； 时在 上单调递减．
第6页 共11页二次函数： ，先由对称轴公式 确定对称轴，再根据 的正负判
断单调区间．
指数函数： ， 时在 上单调递增； 时在 上单调递减．
对数函数： ， 时在 上单调递增； 时在 上单
调递减．
2. 复合函数
利用 “同增异减” 原则．设 ，令 ，分别确定 和 的单调
区间，再根据原则判断 的单调区间．
3. 复杂函数
对于分式函数、根式函数等，先求定义域，再通过求导、换元等方法确定单调区间．
对于含绝对值的函数，通过去绝对值符号转化为分段函数，分别求每一段的单调区间．
典型例题
例1：
【例11】（2024秋•苏州期末）函数 的单调递减区间为
A． ， B． ， C． ， D． ，
【例12】（2024秋•无锡期中）函数 的单调增区间是
A． B．
C． D． ，
第7页 共11页【例13】（2024秋•孝义市月考）函数 的单调增区间为
A． B．
C． ， ， D． ，
【例14】（2024•江西模拟）函数 的一个单调递减区间为
A． B． C． D．
【例15】（2024秋•齐齐哈尔期中）函数 的单调递增区间为 ， ．
知识点4
知识点
【知识点4】由函数的单调性求解函数或参数
1. 求解函数值
已知函数单调性，若 ，函数单调递增时 ；单调递减时 ，借此
比较函数值大小或求解不等式．
2. 求解参数
根据单调性定义求解：函数在区间 上单调递增，则 对任意 ， 且
恒成立；单调递减则 恒成立，建立不等式求解参数范围．
第8页 共11页根据导数与单调性的关系求解：函数在区间 上可导且单调递增，则 在区间 上恒成
立（注意等号情况）；单调递减则 恒成立，通过求解不等式得到参数取值范围．
典型例题
例1：
【例16】（2025•保定二模）若函数 在 ， 上单调，则 的取值范围是
A． ， B． ， C． ， ， D． ， ，
【例17】（2025•河南模拟）若函数 是定义在 上的增函数，则
实数 的取值范围为
A． ， B． ， C． ， D． ，
【 例 18 】 （ 2025• 黄 冈 模 拟 ） 设 函 数 ， 对 ， 有
成立，则实数 的取值范围是
A． ， B． ， C． D． ，
【例19】（2025•南通模拟）已知函数 在区间 单调递增，则 的取
值范围是
第9页 共11页A． B． ， C． ， D． ，
【例 20】（2025 春•清远期中）已知函数 ，若对 上的任意实数 ，
，恒有 成立，那么实数 的取值范围是
A． B． ， C． D．
知识点5
知识点
【知识点5】复合函数的单调性
1. 确定函数构成
明确复合函数是由哪几个基本函数复合而成．
2. 分别分析内外函数单调性
根据函数类型确定外层函数和内层函数各自的单调区间．
3. 利用 “同增异减” 原则
结合内外函数的单调区间和 “同增异减” 原则确定复合函数的单调区间，同时要注意内层
函数的值域需满足外层函数的定义域要求．
典型例题
例1：
【例21】（2025•南通模拟）已知函数 在 内单调递增，则实数 的取值范
第10页 共11页围是
A． B． C． D．
【例22】（2025•安丘市模拟）已知 ，则函数 的单调递增区间为
A． ， B． ， C． ， D． ，
【例23】（2025春•湖北期中）已知函数 在区间 ， 上单调递减，则
实数 的取值范围为
A． ， B． C． ， D． ，
【例24】（2025•枣庄模拟）若函数 在 ， 上单调递减，则实数 的取值范围
是
A． B． C． D．
【例25】（2025•广东模拟）已知函数 在区间 ， 上单调递增，则实数
的取值范围是
A． B．
C． D．
第11页 共11页
