文档内容
第 7 讲 函数的单调性与最值
知识点目录
【知识点1】函数的单调性与函数图象的特征........................................2
【知识点2】定义法求解函数的单调性..............................................6
【知识点3】求函数的单调区间...................................................11
【知识点4】由函数的单调性求解函数或参数.......................................14
【知识点5】复合函数的单调性...................................................18
基础知识
1．函数的单调性
(1)单调函数的定义
增函数 减函数
一般地，设函数f(x)的定义域为D，区间I D，如果∀x ，x I
1 2
当 x f ( x )，那
1 2 1 2 1 ⊆2 1 ∈ 2
定 就称函数 f(x)在区间 I 上单调递 么就称函数f(x)在区间I上单调
增， 递减，
义
特别地，当函数f(x)在它的定义域 特别地，当函数 f(x)在它的定
上单调递增时，我们就称它是增 义域上单调递减时，我们就称
函数 它是减函数
图象
描述
自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的
(2)单调区间的定义
如果函数y＝f(x)在区间I上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格
第1页 共23页的)单调性，区间I叫做y＝f(x)的单调区间．
2．函数的最值
前提 一般地，设函数y＝f(x)的定义域为D，如果存在实数M满足
(1) x D，都有f(x)≤M； (1) x D，都有f(x)≥M；
条件
(2) x D，使得f(x )＝M (2) x D，使得f(x )＝M
∀ 0∈ 0 ∀ 0∈ 0
结论 M是函数y＝f(x)的最大值 M是函数y＝f(x)的最小值
∃ ∈ ∃ ∈
常用结论
1．∀x ，x I且x ≠x ，有>0(<0)或(x －x )[f(x )－f(x )]>0(<0) f(x)在区间I上单调递增(减)．
1 2 1 2 1 2 1 2
2．在公共定义域内，增函数＋增函数＝增函数，减函数＋减函数＝减函数．
∈ ⇔
3．函数y＝f(x)(f(x)>0或f(x)<0)在公共定义域内与y＝－f(x)，y＝的单调性相反．
4．复合函数的单调性：同增异减．
知识点1
知识点
【知识点1】函数的单调性与函数图象的特征
1. 从图象判断单调性
函数图象从左到右上升，则函数在对应区间单调递增；图象从左到右下降，则函数在对应区
间单调递减．对于分段函数，需分别观察每一段图象的升降趋势．
2. 图象特征与单调性的关系
极值点：图象的 “峰”“谷” 对应函数的极大值点和极小值点，在极值点两侧函数单调性
会发生改变．
渐近线：若函数存在水平渐近线或垂直渐近线，渐近线附近的图象趋势能反映函数的单调性
变化 ．
对称性：偶函数关于 轴对称，在 轴两侧单调性相反；奇函数关于原点对称，在原点两侧
单调性相同，可利用对称性由已知区间的单调性推出未知区间的单调性．
第2页 共23页典型例题
例1：
【例1】（2024秋•双流区期中）已知函数 的图象如图所示，则该函数的减区间为
A． ， ， B． ， ，
C． ， D． ，
【答案】
【分析】由图象上升下降的情况判断即可．
【解答】解：函数 的图象在区间 和 是下降的，在区间 和 是上升
的，
故该函数的减区间为 ， ．
故选： ．
【例 2】（2024秋•金昌期中）如图是函数 的图象，其定义域为 ， ，则函数
的单调递减区间是
第3页 共23页A． ， B． ， C． ， ， ， D． ， ，
【答案】
【分析】根据函数单调性的定义可解．
【解答】解：由函数单调递减的定义可知对应图象呈下降趋势，根据函数图象可知， 的
单调递减区间为 ， 和 ， ．
故选： ．
【例3】（2024春•嘉禾县期中）如图所示，函数 在下列哪个区间上单调递增
A． ， B． ， ， C． ， D． ，
【答案】
【分析】利用函数图象上升所对区间确定函数单调递增区间即可．
第4页 共23页【解答】解：观察函数图象，在 ， 、 ， 上随 的增大，函数 的图象是下降
的，
在 ， 上随 的增大，函数 的图象是上升的，
因此函数 在 ， 、 ， 上单调递减，在 ， 上单调递增，
所以函数 在 ， 上是增函数．
故选： ．
【例4】（2023秋•麒麟区期中）如图是函数 的图象，则函数 的单调递减区间为
A． B． C． D．
【答案】
【分析】根据题意，由函数的图象分析即可得答案．
【解答】解：根据题意，函数图象在 上是下降趋势，则 的单调递减区间为： ．
故选： ．
【例5】（2023秋•富阳区月考）若定义在 上的函数 的图像如图所示，则其单调递
减区间是 ， 和 ， ．
第5页 共23页【答案】 ， 和 ， ．
【分析】根据题意，由函数的单调性的定义结合图像，分析可得到结果．
【解答】解：根据题意， 的图象在 ， 和 ， 上呈下降趋势，该函数单调递减，
则其单调递减区间是 ， 和 ， ．
故答案为： ， 和 ， ．
知识点2
知识点
【知识点2】定义法求解函数的单调性
1. 基本步骤
设值：设 ， 是给定区间内的任意两个值，且 ．
作差：计算 ，通过因式分解、通分、配方等方法变形．
定号：结合 ， 的取值范围判断 的正负，进而确定函数单调性．
结论：根据定号结果得出函数在给定区间的单调性．
2. 注意事项
设值时强调 ， 的任意性，确保结论适用于整个区间．
作差变形根据函数形式选方法，如分式函数常用通分，二次函数常用配方．
定号时充分考虑 ， 取值范围对式子正负性的影响．
典型例题
第6页 共23页例1：
【例6】（2025春•花山区月考）已知函数 为奇函数，且 （1） ．
（1）求 的解析式；
（2）求证： 在区间 ， 上单调递增．
【答案】（1） ；
（2）证明见解析．
【分析】（1）根据 （1）求出参数 的值，再根据 （1） ，求出参数 的值，
最后检验即可．
（2）根据单调性的定义求出即可．
【解答】解：（1）根据题意，函数 ，其定义域为 ， ， ，
若函数 为奇函数，则有 （1），即 ，解得 ，
又 （1） ，解得 ，所以 ，
若 ，其定义域为 ， ， ，关于原点对称，
且 ，则 为奇函数，符合题意；
故 ；
（2）证明：任意的 ， ， ，且 ，
有 ，
由 ，可得 ， ，
则 ，即 ，
第7页 共23页所以 在区间 ， 上单调递增．
【例7】（2024秋•邢台期末）已知函数 ．
（1）证明：函数 在区间 上是增函数；
（2）当 ， ，求函数 的值域．
【答案】（1）证明见解析；
（2） ， ．
【分析】（1）利用函数的单调性的定义证明即得；
（2）利用已证的函数单调性，即可求得函数在给定区间上的值域．
【解答】解：（1）证明：函数 ，
任取 ， ，且 ，
由 ，
因 ，故 ， ，故 ，
即函数 在区间 上是增函数；
（2）由（1）的结论：函数 在 ， 上也是增函数，
则 （2） （6），即 ，
故函数 的值域为 ， ．
【例8】（2024秋•孝南区期末）已知函数 是定义在 ， 上的奇函数，
第8页 共23页且 （1） ．
（1）求 的解析式；
（2）判断 的单调性，并利用定义证明你的结论．
【答案】（1） ；
（2） 在 ， 上单调递增，证明见解析．
【分析】（1）由 ， （1） ，解方程求出 ， ，即可求出 的解析式；
（2） 在 ， 上是增函数，由单调性的定义证明即可．
【解答】解：（1）根据题意，函数 是定义在 ， 上的奇函数，
则 ，变形可得 ，
则 ，由 ，得 ，
所以 ，经检验，符合题意．
（2） 在 ， 上单调递增，
证明如下：
设 ， ， ，且 ，
则 ，
又 ，所以 ，因为 ， ， ，所以 ，
所以 ，则 ，
故 在 ， 上单调递增．
第9页 共23页【例9】（2025•山东模拟）已知定义域为 的奇函数 ，且 时， ．
（1）求 时 的解析式；
（2）求证： 在 ， 上为增函数．
【答案】（1） ；
（2）证明见解析．
【分析】（1）利用函数的奇偶性求解析式即可；
（2）利用定义法证明单调性即可．
【解答】解：（1）定义域为 的奇函数 ，
则当 时， ，
故
证明：（2）任取 ，
则 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，
即 ，
第10页 共23页所以 在 ， 上为增函数．
【例10】（2025•扬州模拟）已知函数 满足 ．
（1）求 的解析式；
（2）用定义法证明 在 上单调递减．
【答案】（1） ；
（2）证明见解析．
【分析】（1）根据题意，由换元法代入计算，即可得到结果；
（2）根据题意，由单调性的定义法代入计算，即可证明．
【解答】解：（1）由于 ，
则 的定义域为 ，
由 ，
则 ，
故 的解析式为 ， ．
（2）证明：任取 ， ，令 ，
则 ，
因为 ， ， ，
所以 ， ，
从而 ，即 ，
第11页 共23页故 在 上单调递减．
知识点3
知识点
【知识点3】求函数的单调区间
1. 基本初等函数
一次函数： ， 时在 上单调递增； 时在 上单调递减．
二次函数： ，先由对称轴公式 确定对称轴，再根据 的正负判
断单调区间．
指数函数： ， 时在 上单调递增； 时在 上单调递减．
对数函数： ， 时在 上单调递增； 时在 上单
调递减．
2. 复合函数
利用 “同增异减” 原则．设 ，令 ，分别确定 和 的单调
区间，再根据原则判断 的单调区间．
3. 复杂函数
对于分式函数、根式函数等，先求定义域，再通过求导、换元等方法确定单调区间．
对于含绝对值的函数，通过去绝对值符号转化为分段函数，分别求每一段的单调区间．
典型例题
第12页 共23页例1：
【例11】（2024秋•苏州期末）函数 的单调递减区间为
A． ， B． ， C． ， D． ，
【答案】
【分析】利用复合函数的单调性可求得函数 的减区间．
【解答】解：对于 ，根据 ，可得 或 ，
因此 的定义域为 ， ， ，
由于内层函数 在 ， 上为增函数，在区间 ， 上为减函数，
外层函数 在 ， 上为增函数，
由复合函数的单调性可知，函数 的减区间为 ， ．
故选： ．
【例12】（2024秋•无锡期中）函数 的单调增区间是
A． B．
C． D． ，
【答案】
【分析】求出函数的定义域，根据反比例函数的性质及函数的变换规则判断即可．
【解答】解：函数 的定义域为 ，
又 的图象是由 向右平移2个单位得来，
的单调递增区间为 ， ，
第13页 共23页所以 的单调递增区间为 ， ．
故选： ．
【例13】（2024秋•孝义市月考）函数 的单调增区间为
A． B．
C． ， ， D． ，
【答案】
【分析】先分离常数，再结合复合函数的单调性求解即可．
【解答】解： 函数 ，定义域为 ，
且 的单调递减区间为 ， ，
故函数 的单调增区间为 ， ，
故选： ．
【例14】（2024•江西模拟）函数 的一个单调递减区间为
A． B． C． D．
【答案】
【分析】结合偶函数的性质，以及复合函数的单调性判断方法，即可求解．
【解答】解： ，
令 ，
则 ，由复合函数的单调性可知 的单调递减区间为函数 的单调递减区间，
又函数 为偶函数，
第14页 共23页函数 的单调递减区间为 和 ，
故 的单调递减区间为 和 ．
故选： ．
【例15】（2024秋•齐齐哈尔期中）函数 的单调递增区间为 ， ．
【答案】 ， ．
【分析】根据复合函数的单调即可求解．
【解答】解：由题意， ，解得 ，
即函数的定义域为 ， ，
令 ，函数图象开口向下，对称轴为 ，
所以函数 在 ， 上单调递增，在 ， 上单调递减，
又 在定义域上单调递增，
由复合函数的单调性可知函数 的单调递增区间为 ， ．
故答案为： ， ．
知识点4
知识点
【知识点4】由函数的单调性求解函数或参数
1. 求解函数值
第15页 共23页已知函数单调性，若 ，函数单调递增时 ；单调递减时 ，借此
比较函数值大小或求解不等式．
2. 求解参数
根据单调性定义求解：函数在区间 上单调递增，则 对任意 ， 且
恒成立；单调递减则 恒成立，建立不等式求解参数范围．
根据导数与单调性的关系求解：函数在区间 上可导且单调递增，则 在区间 上恒成
立（注意等号情况）；单调递减则 恒成立，通过求解不等式得到参数取值范围．
典型例题
例1：
【例16】（2025•保定二模）若函数 在 ， 上单调，则 的取值范围是
A． ， B． ， C． ， ， D． ， ，
【答案】
【分析】根据指数函数 的单调性可知 ， ．对 的取值范围进行分类讨论去绝对
值，结合指数函数的单调性即可求解．
【解答】解：当 ， 时，
因为函数 在 上单调递增，
可知 ， ．
当 ， 时， ，
所以 ，
第16页 共23页此时 在 ， 上单调递增；
当 时，
则 ，
则 在 ， 上先单调递减，再单调递增；
当 ， 时， ，
所以 ，
则 在 ， 上单调递减．
综上，要使函数 在 ， 上单调，
则 ， ， ．
故选： ．
【例17】（2025•河南模拟）若函数 是定义在 上的增函数，则
实数 的取值范围为
A． ， B． ， C． ， D． ，
【答案】
【分析】当 时，由对数的性质可得 ；当 时，由 ，可得 ，再由临界值的大
小关系求解即可．
【解答】解：当 时， 单调递增，故 ；
当 时，若 单调递增，
第17页 共23页则 在区间 ， 上恒成立，
只需 ，
即当 时， ，得 ．
又函数 是增函数，
则 ，解得 ，
所以 的取值范围为 ， ．
故选： ．
【 例 18 】 （ 2025• 黄 冈 模 拟 ） 设 函 数 ， 对 ， 有
成立，则实数 的取值范围是
A． ， B． ， C． D． ，
【答案】
【分析】根据条件得到 在 上单调递增，再利用分段函数的单调性，列不等式组
，即可求解．
【解答】解：根据题意，函数 ，对 ， 有 成
立，
第18页 共23页则 在 上单调递增，必有 ，
解得 ，即 的取值范围为 ， ．
故选： ．
【例19】（2025•南通模拟）已知函数 在区间 单调递增，则 的取
值范围是
A． B． ， C． ， D． ，
【答案】
【分析】根据题意，由函数的单调性的定义可得关于 的不等式式组，解可得答案．
【解答】解：根据题意，函数 在区间 单调递增，
则有 ，解可得 ，即 的取值范围为 ， ．
故选： ．
【例 20】（2025 春•清远期中）已知函数 ，若对 上的任意实数 ，
，恒有 成立，那么实数 的取值范围是
A． B． ， C． D．
【答案】
【分析】根据 是 上的减函数，列出不等式组，解该不等式组即可得答案．
第19页 共23页【解答】解：根据题意，若对 上的任意实数 ， ，恒有 成
立，
假设 ，必有 ，
故函数 是定义域为 的减函数，
而函数 ，必有 ，即 ，解得 ，
故实数 的取值范围是 ．
故选： ．
知识点5
知识点
【知识点5】复合函数的单调性
1. 确定函数构成
明确复合函数是由哪几个基本函数复合而成．
2. 分别分析内外函数单调性
根据函数类型确定外层函数和内层函数各自的单调区间．
3. 利用 “同增异减” 原则
结合内外函数的单调区间和 “同增异减” 原则确定复合函数的单调区间，同时要注意内层
函数的值域需满足外层函数的定义域要求．
典型例题
第20页 共23页例1：
【例21】（2025•南通模拟）已知函数 在 内单调递增，则实数 的取值范
围是
A． B． C． D．
【答案】
【分析】根据同增异减可得 的增减性，故可求实数 的取值范围．
【解答】解： ，
设 ，则 为 上的增函数，
要使 在 内单调递增，
则 在 内单调递增，且 在 内恒成立，
所以 ，解得 ．
故选： ．
【例22】（2025•安丘市模拟）已知 ，则函数 的单调递增区间为
A． ， B． ， C． ， D． ，
【答案】
【分析】求解 的值，然后利用复合函数的单调性求解即可．
【解答】解： ，可得 ．
二次函数 ，开口向上， 是对称轴， ， 是二次函数的单调增区间，
由复合函数的单调性求值，函数 的单调递增区间为 ， ．
第21页 共23页故选： ．
【例23】（2025春•湖北期中）已知函数 在区间 ， 上单调递减，则
实数 的取值范围为
A． ， B． C． ， D． ，
【答案】
【分析】根据题意，设 ，则 ，由复合函数单调性的判断方法可得关于 的
不等式，解可得答案．
【解答】解：根据题意，函数 ，设 ，则 ，
若函数 在区间 ， 上单调递减，而 在 上递增，
则 在区间 ， 上单调递减且 恒成立，
则有 ，解可得 ，即 的取值范围为 ， ．
故选： ．
【例24】（2025•枣庄模拟）若函数 在 ， 上单调递减，则实数 的取值范围
是
A． B． C． D．
【答案】
【分析】由复合函数的单调性法则可知， 在 ， 上单调递增，由此可得答案．
【解答】解：由于 在 上单调递减，
第22页 共23页则由复合函数的单调性法则可知， 在 ， 上单调递增，
可得 ，即 ．
故选： ．
【例25】（2025•广东模拟）已知函数 在区间 ， 上单调递增，则实数
的取值范围是
A． B．
C． D．
【答案】
【分析】由复合函数的单调性把问题转化为二次函数 在区间 ， 上单调递
增且恒大于0，由此列关于 的不等式组求解．
【解答】解：令 ，
函数 在区间 ， 上单调递增，
在区间 ， 上单调递增且恒大于0，
则 ，解得 ．
实数 的取值范围是 ．
故选： ．
第23页 共23页
