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陕西省西安中学高 2025 届高三第一次模拟考试
数学试题
（时间：120分钟 满分：150分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的．
1. 设集合 ， ，若 ，则 （ ）
A. B. C. D.
2. 已知 为虚数单位，若 ，则 （ ）
A. B. 2 C. D.
3. 设 为非零向量，则“存在负数 ，使得 ”是“ ”的（ ）
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
.
C 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
4. 若 则 （ ）
A. B. C. D.
5. 某省新高考中选考科目采用赋分制，具体转换规则和步骤如下：第一步，按照考生原始分从高到低按成
绩比例划定 、 、 、 、 共五个等级（见下表）.第二步，将 至 五个等级内的考生原始分，依
照等比例转换法则，分别对应转换到100～86、85～71、70～56、55～41和40～30五个分数段，从而将考
生的等级转换成了等级分.
等级
比例 15% 35% 35% 13% 2%
赋分区间 100-86 85-71 70-56 55-41 40-30
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学科网（北京）股份有限公司赋分公式： ，计算出来的 经过四舍
五人后即为赋分成绩.
某次考试，化学成绩 等级的原始最高分为98分，最低分为63分.学生甲化学原始成绩为76分，则该学
生的化学赋分分数为（ ）
A. 85 B. 88 C. 91 D. 95
6. 若函数 ，是定义在 上的减函数，则 的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
7. 已知直线 与 相交于 两点，且 为等边三角形，则实数
（ ）
.
A 或2 B. 或4 C. D.
8. 已知函数 及其导函数 定义域均为R，满足 ，记 ，
其导函数为 且 的图象关于原点对称，则 （ ）
A. 0 B. 3 C. 4 D. 1
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错或不选的得0分．
9. 已知函数 ，则（ ）
A. 函数 的图象关于点 对称
B. 函数 的图象关于直线 对称
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学科网（北京）股份有限公司C. 若 ，则函数 的值域为
D. 函数 的单调递减区间为
10. 若函数 ，则（ ）
A. 的图象关于 对称 B. 在 上单调递增
C. 的极小值点为 D. 有两个零点
的
11. 已知抛物线 焦点为 ，准线与 轴的交点为 ，过点 的直线 与抛物线交于 ， 两点，
点位于 点右方，若 ，则下列结论一定正确的有（ ）
A. B.
C. D. 直线 的斜率为√3
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，则选出的2名同学中至少有1名女同学的
概率是_____.
13. 在等差数列 中， ，则 的值为____．
14. 三棱锥 中， ，平面 平面 ，且 .记
的体积为 ，内切球半径为 ，则 的最小值为______.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
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学科网（北京）股份有限公司15. 中，sin2A－sin2B－sin2C=sinBsinC.
（1）求A；
（2）若BC=3，求 周长的最大值.
16. 如图，在四棱锥 中，底面四边形 的边长均为2，且
，棱 的中点为 .
（1）求证： 平面 ；
（2）若 的面积是 ，求点 到平面 的距离.
17. 已知椭圆 的离心率为 ，且短轴长2，O为坐标原点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设过点 的直线l与椭圆C交于M，N两点，当 的面积最大时，求直线l的方程．
的
18. 高性能计算芯片是一切人工智能 基础．国内某企业已快速启动AI芯片试生产，试产期需进行产品检
测，检测包括智能检测和人工检测．智能检测在生产线上自动完成，包括安全检测、蓄能检测、性能检测
等三项指标，且智能检测三项指标达标的概率分别为 ， ， ，人工检测仅对智能检测达标（即三
项指标均达标）的产品进行抽样检测，且仅设置一个综合指标．人工检测综合指标不达标的概率为
．
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学科网（北京）股份有限公司（1）求每个AI芯片智能检测不达标的概率；
（2）人工检测抽检50个AI芯片，记恰有1个不达标的概率为 ，当 时， 取得最大值，
求 ；
（3）若AI芯片的合格率不超过93%，则需对生产工序进行改良．以（2）中确定的 作为p的值，试判
断该企业是否需对生产工序进行改良．
19. 若数列 满足 ，则称数列 为“平方递推数列”．已知数列 中， ，点
在函数 的图象上，其中 为正整数．
（1）证明数列 是“平方递推数列”，且数列 为等比数列；
（2）设（1）中“平方递推数列”的前 项积为 ，即 ，求 ；
（3）在（2）的条件下，记 ，求数列 的前 项和 ，并求使 的 的最小
值．
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