雅礼中学3月综测数学答案_2025年4月_250401湖南省雅礼中学2025届高三3月综合自主测试（信心卷）

雅礼中学 2025 届高三 3 月综合自主测试（信心卷） 数学参考答案 选择题： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 D A A B D B C C AC AD BCD 【第8题】由题得函数 f x 在x x 处取得最小值，在xx 处取得最大值，则 x x 的最 1 2 1 2 2π T 小值为相邻两条对称轴间的距离，又最小正周期T  4，故 x x 的最小值为 2．  1 2 2 【11题】对于选项A：由题意可知： DD  BD 1， 1 若 BD 2，则 DD  BD  BD ，这与三角形性质不符，所以 BD 2，故A错误； 1 1 1 1 对于选项B：取CD的中点M ，连接BD,CD,BM,DM， 1 1 由题意可知：△BCD,△CDD 均为正三角形，则BM CD,DM CD ，且 1 1 BM I DM M ，BM,DM 平面BDM ，可得CD平面BDM ，又因为BD 平面 1 1 1 1 1 BDM ，所以BD CD，故B正确； 1 1 对于选项C：设AC∩BDO，连接AO， 1 因为ABCD为菱形，则ACBD，且O为BD的中点，又因为△AAB,△AAD 均为正 1 1 三角形，则AB AD，可得AOBD ，且AC∩AO O ，AC,AO平面AACC， 1 1 1 1 1 1 1 可得BD平面AACC，且BD平面BBDD，所以平面AACC 平面BBDD，对 1 1 1 1 1 1 1 1 于选项D：由题意可知：三棱锥A ABD为正三棱锥，可知顶点A在底面ABD的投 1 1 影为正△ABD的中心G， 2 3 6 则AG  AO ,AG  AA2AG2 ，所以平行六面体ABCD ABCD的体积 3 3 1 3 1 1 1 1 6 1 3 2 为V  2 11  ，故D正确； 3 2 2 2 填空题部分： 1,n1 12．x1,x2ax20 13． 14． 5(2分) 1,0 (3分) 4n6,n2 5 3 【第14题】第一空，因A2,3 ，B3,0 ，则AB中点坐标为 , ，k 3， 2 2 AB 1  5 3 1 2 则AB中垂线方程为：y x   y x ，则其与y10交点为 1,1 ，即外 k  2 2 3 3 AB 心坐标为 1,1 ，则外接圆半径R 1222  5； x5 y3 第二空，设Cx,y ，结合A2,3 ，B3,0 ，可得重心坐标为： , ，因其在y10  3 3  y3 上，则 1 y0，则Cx,0 .又R 5，外心坐标为 1,1 ，则 1x21 5 x1 3 或3（与B重合，舍去），则C1,0 . 解答题（13+15+15=17+17）：   15．（1）设Px,y ，则PA(1x,2y)，PB(3x,6y)，   由PAPB1x3x 2 y6 y 4，得 x22y42 1， 所以曲线C的标准方程为 x22y42 1. 数学答案(YL)-1-（共3页）（2）曲线C是以 2,4 为圆心，1为半径的圆， 过点A(1,2)的直线若斜率不存在，直线方程为x1，满足与圆C相切； 过点A(1,2)的切线若斜率存在，设切线方程为y2kx1 ，即kx y2k 0， 2k42k 3 由圆心到直线距离d  1，解得k  ， k21 4 则方程为3x4y50. 过点A(1,2)且与曲线C相切的直线的方程为x1或3x4y50. 16．（1）因为cos2AcosBcosCsinBsinCcosBCcosAcosA， 1 即2cos2A1cosA，解得cosA 或cosA1. 2 π 因为在VABC中，0 Aπ，所以A . 3 （2）在VABC中，由余弦定理a2 b2c22bccosA， 1 得62 b2(2 3)24 3b ，整理得b22 3b240， 2 1 1 3 由b0，解得b4 3，所以VABC的面积为S  bcsinA 4 32 3 6 3. ABC 2 2 2   17．（1） 向量a2,1,bx,y， ∵ x,y分别表示一枚质地均匀的骰子(六个面的点数分别为1,2,3,4,5,6) 先后抛掷两次时第一次、第二次出现的点数， 样本点总数n66， ∴  ab1， 2xy1， ∵   ∴  满足ab1的样本点bx,y 有 1,1,2,3,3,5 ，共3个， ∴   3 1 ab1的概率P   ； ∴ 1 36 12 （2）先后抛掷两次时第一次、第二次出现的点数的基本事件共36个，   ab0， 2xy0， ∵ ∴   满足ab0的样本点 x,y 有 1,1 ， 2,1,2,2,2,3 ， 3,1,3,2,3,3,3,4,3,5 ， ∴ 4,1,4,2,4,3,4,4,4,5,4,6 ， 5,1,5,2,5,3,5,4,5,5,5,6 ， 6,1,6,2,6,3,6,4,6,5,6,6 ，共27个，   27 3 ab0的概率P   . ∴ 2 36 4 18．（1）因为PAAB 2，AE 3，BC 2 2，   2  2  2 4 2 4  由BC AB AE 得BC  AB  AE  ABAE ， 3 9 3 4 4    即84 9 ABAE，即ABAE0，所以AB AE， 9 3 因为PA底面ABCDE，AB平面ABCDE，所以ABPA， 因为AE∩PAA，AE、PA平面PAE，所以AB平面PAE，      1 1  2   3 又DE DCCBBAAE  AB AEAB AEABAE  AB， 2 3   3  2 所以AB//DE，所以DE 平面PAE， 因为DE平面PDE，所以平面PAE平面PDE. （2）因为PA底面ABCDE，AB AE， 以点A为坐标原点，AB、AE、AP所在直线分别为x、y、z轴建立如图所示的空间直角 坐标系， 数学答案(YL)-2-（共3页）则P0,0,2 、B2,0,0 、E0,3,0 、� 0,0,0，   2 2  BC  AB AE 2,0,0 0,3,02,2,0 ，BP2,0,2 ， 3 3    mBC 2x 2y 0 设平面PBC 的法向量为� = � ,� ,� ，则  1 1 ， 1 1 1 mBP2x 2z 0 1 1  取x 1，可得m1,1,1 ， 1  3 3  ED AB 2,0,03,0,0 ，EP0,3,2 ， 2 2    nED3x 0 设平面PDE的法向量为 �= � ,� ,� ，则  2 ， 2 2 2 nEP3y 2z 0 2 2  取y 2，可得n0,2,3 ， 2     mn 1 39 所以cosm,n     ， mn 3 13 39 由题意可判断侧面PBC 与侧面PDE所成二面角为钝二面角， 39 故侧面PBC 与侧面PDE所成二面角的余弦值为 ． 39 19．（1）当ae时， f xexelnx，定义域为 0,+∞ ． e e fxex  ，构造函数g(x) fxex  ， x x e 则g(x)ex  0，�∈ 0,+∞ ， x2 e 所以�′ � 在 0,+∞ 上单调递增，又 f1e1 0， 1 所以当�∈ 0,1时， fx0, f x 单调递减； 当�∈ 1,+∞ 时， fx0, f x 单调递增． 所以 f x f 1e1eln1e0，故 f x0． a （2） fxex  ，当a0时，易知�′ � 在 0,+∞ 上单调递增， x  a  a  a  1ea  faea10， f  eea ea ea e ea 1  0 ea      a 所以存在� 0 ∈ 0,+∞ ，使得 fx 0 ex0  x 0，即x 0 lnalnx 0 ． 0 当�∈ 0,� 时， fx0, f x 单调递减； 0 当�∈ � ,+∞ 时， fx0, f x 单调递增． 0 a 所以 f x f x ex0 alnx  ax alnaa2lna ， 0 0 x 0 0 当且仅当x 1时取等，此时ae，满足a0．故原不等式得证． 0 数学答案(YL)-3-（共3页）