雅礼中学3月综测数学_2025年4月_250401湖南省雅礼中学2025届高三3月综合自主测试（信心卷）

雅礼中学 2025 届高三 3 月综合自主测试（信心卷） 数 学 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名、考场号、填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡 上，写在本试卷上无效。 3．考试结束，监考员将试题卷，答题卡一并收回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。 1．已知随机变量X Bn,p ，若D2X2EX ，则 p 1 1 1 1 A． B． C． D． 16 8 4 2     2．已知平面向量m(1,2),n(6,8)，则n在m方向上的投影向量坐标为  3 4 3 4 A．(2,4) B．(2,4) C． ,  D． ,   5 5 5 5 3．已知抛物线y2 2pxp0 与斜率为32p的直线恰有一个公共点P，则点P的纵坐标为 1 1 1 1 A． B． C． D． 32 64 16 8 4．斗不仅是我国古代容量单位，还是量粮食的器具，其可近似看作正四棱台，现制作一上 底面的面积为81平方分米，侧面积为120平方分米，侧高为5分米的米斗，若斗面的厚度 忽略不计，则该斗可以装米 （1立方分米1升） A．39升 B．156升 C．201升 D．210升 5．下列四个条件中，使ab成立的充要条件是 A．lnab0 B． a b C．a2 b2 D．2a 2b 6．古希腊毕达哥拉斯学派的“三角形数”是一列点（或圆球）在等距的排列下可以形成正三 角形的数，如1，3，6，10，15，…，我国宋元时期数学家朱世杰在《四元玉鉴》中所记载 的“垛积术”，其中的“落一形”锥垛就是每层为“三角形数”的三角锥的锥垛（如图所示，从上 到下，顶上一层1个球，第二层3个球，第三层6个球…），若一“落一形”三角锥垛有20层， 数学试题(YL)-第1页-（共4页）则该锥垛第18层球的个数为 A．190 B．171 C．153 D．136 7．已知函数 f xx2asin2xb，若曲线�=� � 在点  0, f 0 处的切线方程为 2xy30，则ab A．4 B．3 C．2 D．1 1 π π 8．设函数 f x sin x ，若对于任意的xR，都有 f x  f x f x  ，则 x x 2 2 3 1 2 1 2 的最小值为 1 A． B．1 C．2 D．4 2 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 1 9．已知数列 a  的前n项和为S ，a 3，a  ，则 n n 1 n1 1a n 2 1 A．a  B．a 0 C．a  D．S 40 3 3 5 2024 2 37 10．已知复数z 3i，z 12i（i为虚数单位），则 1 2 A．z 3i B．z 的虚部为2i 1 2 z C． 1 在复平面内对应的点位于第四象限 D． z  z z 1 2 2 11．平行六面体ABCD ABCD所有棱长都等于1，AABAADBAD 60，如图， 1 1 1 1 1 1 则有 数学试题(YL)-第2页-（共4页）A． BD 2 B．BD CD 1 1 C．平面AACC 平面BBDD D．平行六面体ABCD ABCD的体 1 1 1 1 1 1 1 1 2 积为 2 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．命题“x1，x2ax20”的否定是 ． 13．若数列 a  的前n项和为S 2n24n1，则通项公式a  ． n n n 14．数学家莱昂哈德▪欧拉在其所著的《三角形几何学》一书中提出：任意三角形的重心、 外心、垂心在同一条直线上，这条直线被称为欧拉线.已知VABC的顶点A2,3 ，B3,0 ， 其欧拉线方程为y10，则VABC外接圆的半径R ，顶点C的坐标 为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（本小题满分13分） 已知A1,2､B3,6 ，动点P满足  P  A    P  B  4，设动点P的轨迹为曲线C. (1)求曲线C的标准方程； (2)求过点A1,2 且与曲线C相切的直线的方程. 16．（本小题满分15分） 在VABC中，内角A,B,C 的对边分别为a,b,c.已知cos2AcosBcosCsinBsinC. (1)求角A的大小； (2)已知a6,c2 3.求VABC的面积. 数学试题(YL)-第3页-（共4页）17．（本小题满分15分）   已知向量a2,1,bx,y，若x,y分别表示一枚质地均匀的骰子(六个面的点数分别为 1,2,3,4,5,6)先后抛掷两次时第一次、第二次出现的点数，求：   (1)ab1的概率；   (2)ab0的概率． 18．（本小题满分17分） 如图，在五棱锥PABCDE中，已知PA底面ABCDE，PAAB2，AE 3，BC 2 2，   2  1 1 BC AB AE，DC AB AE. 3 2 3 (1)证明：平面PAE平面PDE； (2)求侧面PBC 与侧面PDE所成二面角的余弦值. 19．（本小题满分17分） 设函数 f xexalnx,aR． (1)当ae时，证明： f x0． (2)当a0时，证明： f xa2lna ． 数学试题(YL)-第4页-（共4页）