文档内容
2025 年 1 月葫芦岛市普通高中期末考试
高三数学
参考答案及评分标准
一、单项选择题
1.C 2.B 3.A 4.B 5 C 6.D 7. C 8.B
二、多项选择题
9 .ABD 10.AD 11. ACD
三、填空题
2 1
12.y=−3x− (或写成3ex+ey+2=0) 13. √2 14.
e 10
四、解答题
15.（13分）
（1）cos𝐵 = 𝑎2+𝑐2−𝑏2 =− 1， …………………………………………………………3分
2𝑎𝑐 2
2𝜋
又因为𝐵 ∈(0,π)，所以𝐵 = . …………………………………………………………6分
3
（2）解法一：
1 𝜋
如图，由题意可知，∠𝐴𝐵𝐷 =∠𝐷𝐵𝐶 = ∠𝐴𝐵𝐶 =
2 3
因为𝑆 =𝑆 +𝑆 ，
△𝐴𝐵𝐶 △𝐴𝐵𝐷 △𝐵𝐶𝐷
1 2𝜋 1 𝜋 1 𝜋
所以 𝑎𝑐𝑠𝑖𝑛 = 𝐵𝐷⋅𝑐𝑠𝑖𝑛 + 𝐵𝐷⋅𝑎𝑠𝑖𝑛
2 3 2 3 2 3
1 𝜋
= 𝐵𝐷⋅(𝑎+𝑐)𝑠𝑖𝑛 ，………………………………………………………………………8分
2 3
又c=3,BD=2，，
所以a=6，……………………………………………………………………………………10分
在ΔABC中，由余弦定理得𝑏2 =𝑎2+𝑐2−2𝑎𝑐𝑐𝑜𝑠∠𝐴𝐵𝐶 =63 ……………………12分
，所以b=3√7， …………………………………………………………………………13分
解法二：
1 𝜋
由解法一可知：如图，由题意可知，∠𝐴𝐵𝐷 =∠𝐷𝐵𝐶 = ∠𝐴𝐵𝐶 =
2 3
因为𝑆 =𝑆 +𝑆 ，
△𝐴𝐵𝐶 △𝐴𝐵𝐷 △𝐵𝐶𝐷
1 2𝜋 1 𝜋 1 𝜋 1 𝜋
所以 𝑎𝑐𝑠𝑖𝑛 = 𝐵𝐷⋅𝑐𝑠𝑖𝑛 + 𝐵𝐷⋅𝑎𝑠𝑖𝑛 = 𝐵𝐷⋅(𝑎+𝑐)𝑠𝑖𝑛 ，…………………8分
2 3 2 3 2 3 2 3
又c=3,BD=2，
所以a=6，……………………………………………………………………………………10分
在△𝐵𝐶𝐷中，由余弦定理得𝐶𝐷2 =𝐵𝐶2+𝐵𝐷2−2𝐵𝐶⋅𝐵𝐷cos∠𝐷𝐵𝐶 =28，
所以CD=2√7，………………………………………………………………………………11分
在△𝐴𝐵𝐷中，由余弦定理得𝐴𝐷2 =𝐴𝐵2+𝐵𝐷2−2𝐴𝐵⋅𝐵𝐷𝑐𝑜𝑠∠𝐴𝐵𝐷 =7，
{#{QQABBYSkwgAYkAaACZ7qAUn0CUiQsIMhLQgMwUASqAZKSBNIBAA=}#}所以AD=√7，………………………………………………………………………………12分
所以AC=2√7+√7=3√7，，即b=3√7， …………………………………………………13分
16.（15分）
(1)由题意抛物线C经过点M(1, 2 ),代入方程可得p=1………………………………2分
于是抛物线C的标准方程为y2=2x …………………………………………………………4分
(2)依题意，直线与抛物线有2个交点A(x ,y )B(x ,y )
1 1 2 2
所以直线存在斜率且不为0 ，
设直线l:x=ty+4
𝑦2 =2𝑥
联立{ ，整理得y2-2ty-8=0,△>0,t∈R……………………………………………6分
𝑥 =𝑡𝑦+4
y +y =2t, y y =-8………………………………………………………………………………8分
1 2 1 2
1
整理得：𝑆 = ×4|𝑦 −𝑦 |=2√(𝑦 +𝑦 )2−4𝑦 𝑦 =2√4𝑡2+32≥8√2
1 2 1 2 1 2
2
故S的取值范围是[8√2,+∞])…………………………………………………………………9分
1
(3)由题意得抛物线的焦点F( ,0),
2
又由𝐴⃗⃗⃗⃗𝐹⃗ =2𝐹⃗⃗⃗⃗𝐵⃗ ，可知 直线l过焦点F且斜率不为0
1
于是可设直线的方程为：x=ty+ , ……………………………………………………11分
2
设A(x ,y ),B(x ,y )
1 1 2 2
𝑦2 =2𝑥
联立方程组{ 1得y2-2ty-1=0,△=4t2+1>0
𝑥 =𝑡𝑦+
2
于是y +y =2t, y y =-1 ………………………………………………………………………13分
1 2 1 2
由𝐴⃗⃗⃗⃗𝐹⃗ =2𝐹⃗⃗⃗⃗𝐵⃗ 可知，-y =2y ，代入上式y =4t,y =-2t
1 2 1 2
2
y y =-8t2=-1,t=±
1 2 4
所以直线的方程4x- 2 y-2=0或4x+ 2 y-2=0……………………………………………15分
17.（15分）
（1）设𝐴𝐶,𝐵𝐷交于点𝑂，连接𝐴 𝑂，如图，
1
因为 B C = C D , A B = A D ，则点𝐴,𝐶在线段𝐵𝐷的垂直平分线上，
即有𝐴𝐶 ⊥𝐵𝐷,𝑂为𝐵𝐷的中点，………………………………………………………………2分
又因为𝐴 𝐵 =𝐴 𝐷，则𝐴 𝑂 ⊥𝐵𝐷， …………………………………………………………3分
1 1 1
又𝐴 𝑂∩𝐴𝐶 =𝑂,𝐴 𝑂,𝐴𝐶 ⊂平面𝐴𝐶𝐶 𝐴 ，因此𝐵𝐷 ⊥平面𝐴𝐶𝐶 𝐴 ， ……………………5分
1 1 1 1 1 1
而𝐴 𝐶 ⊂平面𝐴𝐶𝐶 𝐴 ，
1 1 1
所以𝐵𝐷 ⊥𝐴 𝐶.…………………………………………………………………………………7分
1
{#{QQABBYSkwgAYkAaACZ7qAUn0CUiQsIMhLQgMwUASqAZKSBNIBAA=}#}（2）由（1）知，𝐵𝐷 ⊥平面𝐴𝐶𝐶 𝐴 ，而𝐵𝐷 ⊂平面𝐴𝐵𝐶𝐷，则平面𝐴𝐵𝐶𝐷 ⊥平面𝐴𝐶𝐶 𝐴 ，
1 1 1 1
在平面𝐴𝐶𝐶 𝐴 内过𝑂作𝑂𝑧⊥𝐴𝐶 ，又平面𝐴𝐵𝐶𝐷∩平面
1 1
ACC A = AC，因此𝑂𝑧 ⊥平面𝐴𝐵𝐶𝐷，……………………8分
1 1
射线𝑂𝐵,𝑂𝐶,𝑂𝑧两两垂直，以𝑂为原点，射线𝑂𝐵,𝑂𝐶,𝑂𝑧的方向
为𝑥,𝑦,𝑧轴正方向，建立空间直角坐标系，
因为𝐸为棱𝐵𝐶的中点，则点𝐹是正△𝐵𝐶𝐷的重心，
又𝐵𝐶 =𝐶𝐷 =𝐷𝐵 =√2𝐴𝐵 =√2𝐴𝐷 =2，𝐶 𝐹 ⊥平面𝐴𝐵𝐶𝐷，且𝐶 𝐹 =2，
1 1
则𝐴(0,−
√3
,0),𝐵(1,0,0),𝐶(0,√3,0),𝐹(0,
√3
,0),𝐶 (0,
√3
,2)，…………………………9分
1
3 3 3
所以𝐴⃗⃗⃗⃗𝐵⃗ =(1, √3 ,0),𝐵⃗⃗⃗⃗𝐶⃗⃗⃗ =(−1, √3 ,2),𝐵⃗⃗⃗⃗𝐶⃗ =(−1,√3,0)，
1
3 3
𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗𝐹⃗ =(1,√3,−2) …………………………………………………………………………11分
1
设平面𝐶𝐵𝐶 的法向量为𝒏 =(𝑥 ,𝑦 ,𝑧 )，
1 𝟐 2 2 2
𝒏 ⋅𝐵⃗⃗⃗⃗𝐶⃗ =−𝑥 +√3𝑦 =0
𝟐 2 2
则{ ，令𝑥 =3，得𝒏 =(3,√3,1)，………………13分
𝒏 ⋅𝐵⃗⃗⃗⃗𝐶⃗⃗⃗ =−𝑥 + √3 𝑦 +2𝑧 =0 2 𝟐
𝟐 1 2 2 2
3
设直线𝐷 𝐹与平面𝐶𝐵𝐶 的夹角为𝜃，则
1 1
si𝑛θ=|cos⟨𝒏 ,D⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗F ⟩|= |𝒏𝟐∙D⃗⃗⃗⃗ 1 ⃗⃗⃗F⃗ | = 4 = √26 …………………………………………15分
𝟐 1 | ⃗⃗ 𝒏 ⃗⃗⃗ 𝟐 ⃗⃗⃗ | ⃗⃗ | ⃗ D⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ 1 ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ F⃗ ⃗ ⃗⃗ | ⃗⃗⃗ 2√2×√13 13
18．（17分）
（1）当a=4时，𝑓′(x)=−2e2x+6ex−4=−(ex−1)(ex−2),
当exϵ(1,2)时，即xϵ(0,ln2)时，𝑓′(𝑥)>0，………………………………………………2分
故𝑓(𝑥)单调递增区间为(0,ln2)； …………………………………………………………4分
（2）𝑓′(x)=−2e2𝑥+6e𝑥−a，令𝑡 =𝑒𝑥，即𝑓′(t)=−2𝑡2+6𝑡−𝑎
令𝑡 =𝑒𝑥1，𝑡 =𝑒𝑥2，则t ，
1 2 1
t2 是方程−2𝑡2+6𝑡−𝑎=0的两个正根，
9
则∆=36−8𝑎 >0，即a< ，………………………………………………………………6分
2
𝑎 9
有𝑡 +𝑡 =3，𝑡 𝑡 = 即00,g′(3)= −𝑙𝑛 <0
2 3 2
故存在𝑥 ∈(2,3)，使𝑔′(𝑥)=0，即 1 =l𝑛 𝑥0，……………………………………………13分
0
𝑥0 2
则当𝑥 ∈(0，𝑥 )时，𝑔′(𝑥)>0，当x∈(𝑥 , 9 )时，𝑔′(𝑥)<0，
0 0
2
9
故𝑔(𝑥)在(0,𝑥 )上单调递增，𝑔(𝑥)在(𝑥 , )上单调递减，
0 0
2
则g(x)≤𝑥 +5+(1-𝑥 )ln
𝑥0
=𝑥 +5+(1-𝑥 )
1
=𝑥 +
1
+4, ……………………………………15分
0 0 0 0 0
2 𝑥0 𝑥0
1 1 22
又𝑥 ∈(2,3)，故g(𝑥 )=𝑥 + +4<3+ +4=
0 0 0
𝑥0 3 3
22
即f(𝑥 )+f(𝑥 )+𝑥 +𝑥 < ……………………………………………………………………17分
1 2 1 2
3
19.（17分）
（1）x的所有可能取值为：12,13,14,16,17,18 ……………………………………2分
（2）若项数为4，不妨令a 为1,q,q2,q3
n
1+q3=q+q2,q2-q+1=q,(q-1)2=0,q=1(舍)
若项数为5，不妨令a 为1,q,q2,q3,q4为从小到大或从大到小排列，
n
① q+q4= q2+q3, 1+q3=q+q2, q2-q+1=q,(q-1)2=0,q=1(舍) ………………………………3分
② 1+q4= q2+q3, q3(q-1)= (q-1) (q+1),因为q≠1，所以q3-q+1=0
3 3
令f(x)=x3-x-1(x>0)，f′(x)=3x2-1,f(x)在(0, )递减，在( ,+∞)递增
3 3
f(1)=-1<0,f(2)=5>0,f(0)=-1<0
所以，存在p∈（1,2），使得f(p)=0 ………………………………………………5分
③ 1+q4= q+q3, q3(q-1)= (q-1), q3=1, q=1.(舍)……………………………………………6分
④ 1+q4= q+ q2，q2(q2-1)= (q-1)，q2(q+1)= 1， q3 + q2-1=0
{#{QQABBYSkwgAYkAaACZ7qAUn0CUiQsIMhLQgMwUASqAZKSBNIBAA=}#}令g(x)= x3+x2-1(x>0)，g′(x)=3x2+2x,
由x>0可得g′(x)>0,g(x)在（0,+∞）上为增函数，g(0)=-1<0,g(1)=1>0
所以，存在q∈（0,1），使得g(q)=0………………………………………………8分
⑤ 1+q3=q+q2 ,q2-q+1=q,(q-1)2=0,q=1(舍)
综上，满足条件的公式q一共有2个。 …………………………………………9分
(3)由题意，n为偶数，设 n=2m, 不妨取数列{a } 为 1,2,3…,2m.取出 4个数从小到大依
n
次为a ……………………………………15分
C4 8
2m
整理得：4m2-40m+43<0
57 57
5-
