2010年高考数学试卷（江苏）（解析卷）_数学历年高考真题_新·PDF版2008-2025·高考数学真题_数学（按试卷类型分类）2008-2025_自主命题卷·数学（2008-2025）_江苏自主命题·数学（2008-2020）

2010年普通高等学校招生全国统一考试江苏卷数学全解全析 数学Ⅰ试题 注 意 事 项 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1.本试卷共4页，包含填空题（第1题——第14题）、解答题（第15题—— 第20题）。本卷满分160分，考试时间为120分钟。考试结束后，请将本卷和答题卡一并交回。 2.答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的 规定位置。 3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与您本人是否相符。 4.请在答题卡上按照晤顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效。作答必须用0.5 毫米黑色墨水的签字笔。请注意字体工整，笔迹清楚。 5.如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗。 6.请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损。 参考公式： 1 锥体的体积公式: V = Sh，其中S是锥体的底面积，h是高。 锥体 3 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。请把答案填写在答题卡相应的位置 上. 1、设集合A={-1,1,3}，B={a+2,a2+4},A∩B={3}，则实数a=______▲_____. 2、设复数z满足z(2-3i)=6+4i（其中i为虚数单位），则z的模为______▲_____. 3、盒子中有大小相同的3只白球，1只黑球，若从中随机地摸出两只球，两只球颜色不同的 概率是_ ▲__. 4、某棉纺厂为了了解一批棉花的质量，从中随机抽 取了100根棉花纤维的长度（棉花纤维的长度是棉花 质量的重要指标），所得数据都在区间[5,40]中，其 频率分布直方图如图所示，则其抽样的100根中，有_ ▲___根在棉花纤维的长度小于20mm。 5、设函数f(x)=x(ex+ae- x)(xÎR)是偶函数，则实数a=_______▲_________ x2 y2 6、在平面直角坐标系xOy中，双曲线  1上一点M，点M的横坐标是3，则M到双 4 12 第1页 | 共23页曲线右焦点的距离是___▲_______ 7、右图是一个算法的流程图，则输出S的值是______▲_______ 8、函数y=x2(x>0)的图像在点(a ,a 2)处的切线与x轴交点的横坐标为a ,k为正整数，a =16 k k k+1 1 ，则a +a +a =____▲_____ 1 3 5 9、在平面直角坐标系xOy中，已知圆x2  y2 4上有且仅有四个点到直线12x- 5y+c=0的距离为1，则实数c的取值范围是______▲_____   10、定义在区间0, 上的函数y=6cosx的图像与y=5tanx的图像的交点为P，过点P作PP 1  2 ⊥x轴于点P ，直线PP 与y=sinx的图像交于点P ,则线段P P 的长为_______▲_____。 1 1 2 1 2 11、已知函数 f(x) ì í x21,x³0 ,则满足不等式 f(1x2)> f(2x)的x的范围是__▲___。 î1, x<0 x2 x3 12、设实数x,y满足3≤xy2≤8，4≤ ≤9，则 的最大值是 ▲ 。 y y4 b a 13、在锐角三角形ABC，A、B、C的对边分别为a、b、c，  6cosC，则 a b tanC tanC  =____▲_____。 tanA tanB 14、将边长为1m正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记 (梯形的周长）2 S  ,则S的最小值是____▲____。 梯形的面积 二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文 字说明、证明或演算步骤. 15、（本小题满分14分） 在平面直角坐标系xOy中，点A(－1,－2)、B(2,3)、C(－2,－1)。 (1)求以线段AB、AC为邻边的平行四边形两条对角线的长； 第2页 | 共23页(2)设实数t满足(ABtOC )·OC=0，求t的值。 16、（本小题满分14分） 如图，在四棱锥P- ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD=DC=BC=1，AB=2，AB∥DC，∠BC D=900。 (1)求证：PC⊥BC； (2)求点A到平面PBC的距离。 17、（本小题满分14分） 某兴趣小组测量电视塔AE的高度H(单位：m），如示意图，垂直放置的标杆BC的高度h=4 m，仰角∠ABE=a，∠ADE=b。 (1)该小组已经测得一组a、b的值，tana=1.24，tanb=1.20，请据此算出H的值； (2)该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到电视塔的距离d （单位：m），使a与b之差较大，可以提高测量精确度。若电视塔 的实际高度为125m，试问d为多少时，a-b最大？ 18、（本小题满分16分） x2 y2 在平面直角坐标系xoy中，如图，已知椭圆  1的左、右顶点为A、B，右焦点为 9 5 F。设过点T（t,m）的直线TA、TB与椭圆分别交于点M(x ,y )、N(x ,y )，其中m>0, 1 1 2 2 y >0,y <0。 1 2 （1）设动点P满足PF2 PB2  4,求点P的轨迹； 第3页 | 共23页1 （2）设x  2,x  ，求点T的坐标； 1 2 3 （3）设t 9,求证：直线MN必过x轴上的一定点（其坐标与m无关）。 19、（本小题满分16分）     设各项均为正数的数列 a 的前n项和为S ，已知2a  a a ，数列 S 是公差为d n n 2 1 3 n 的等差数列。   （1）求数列 a 的通项公式（用n,d 表示）； n （2）设c为实数，对满足mn 3k且m  n的任意正整数m,n,k ，不等式 9 S S >cS 都成立。求证：c的最大值为 。 m n k 2 20、（本小题满分16分） 设 f(x)是定义在区间(1,)上的函数，其导函数为 f'(x)。如果存在实数a和函数 h(x)，其中h(x)对任意的xÎ(1,)都有h(x)>0，使得 f'(x)  h(x)(x2 ax1)，则 称函数 f(x)具有性质P(a)。 b2 (1)设函数 f(x) lnx (x>1)，其中b为实数。 x1 (i)求证：函数 f(x)具有性质P(b)； (ii)求函数 f(x)的单调区间。 (2)已知函数g(x)具有性质P(2)。给定x ,x Î(1,),x < x ,设m为实数， 1 2 1 2 a mx (1m)x ，b(1m)x mx ，且a>1,b>1， 1 2 1 2 若|g(a)g(b)|<|g(x )g(x )|，求m的取值范围。 1 2 数学Ⅱ（附加题） 21.[选做题]本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答 。若多做，则按作答的前两题评分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 第4页 | 共23页A．选修4-1：几何证明选讲 D （本小题满分10分） AB是圆O的直径，D为圆O上一点，过D作圆O的切线交AB延 A B C O 长线于点C，若DA=DC，求证：AB=2BC。 B．选修4-2：矩阵与变换 （本小题满分10分） 在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0,0)，B(-2,0)，C(-2,1)。设k为非零实数，矩阵M= k 0 0 1  ,N=  ，点A、B、C在矩阵MN对应的变换下得到点分别为A 1 、B 1 、C 1 ，△A 1 0 1 1 0 B C 的面积是△ABC面积的2倍，求k的值。 1 1 C．选修4-5：不等式选讲 （本小题满分10分） 设a、b是非负实数，求证：a3b3 ³ ab(a2 b2)。 [必做题]第22题、第23题，每题10分，共计20分。请在答题卡指定区域内作答，解答时应 写出文字说明、证明过程或演算步骤。 22、（本小题满分10分） 某工厂生产甲、乙两种产品，甲产品的一等品率为80%，二等品率为20%；乙产品的一等 品率为90%，二等品率为10%。生产1件甲产品，若是一等品则获得利润4万元，若是二等 品则亏损1万元；生产1件乙产品，若是一等品则获得利润6万元，若是二等品则亏损2万元 。设生产各种产品相互独立。 （1）记X（单位：万元）为生产1件甲产品和1件乙产品可获得的总利润，求X的分布列； （2）求生产4件甲产品所获得的利润不少于10万元的概率。 第5页 | 共23页23、（本小题满分10分） 已知△ABC的三边长都是有理数。 （1）求证cosA是有理数；（2）求证：对任意正整数n，cosnA是有理数。 第6页 | 共23页一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。请把答案填写在答题卡相应的位置 上. 1、设集合A={-1,1,3}，B={a+2,a2+4},A∩B={3}，则实数a=______▲_____. [解析] 考查集合的运算推理。3ÎB, a+2=3, a=1. 2、设复数z满足z(2-3i)=6+4i（其中i为虚数单位），则z的模为______▲_____. [解析] 考查复数运算、模的性质。z(2-3i)=2(3+2 i), 2-3i与3+2 i的模相等，z的模为2。 3、盒子中有大小相同的3只白球，1只黑球，若从中随机地摸出两只球，两只球颜色不同的 概率是_ ▲__. [解析]考查古典概型知识。 3 1 p  6 2 4、某棉纺厂为了了解一批棉花的质量，从中随机抽 取了100根棉花纤维的长度（棉花纤维的长度是棉花 质量的重要指标），所得数据都在区间[5,40]中，其 频率分布直方图如图所示，则其抽样的100根中，有_ ▲___根在棉花纤维的长度小于20mm。 [解析]考查频率分布直方图的知识。 100×（0.001+0.001+0.004）×5=30 5、设函数f(x)=x(ex+ae-x)(xÎR)是偶函数，则实数a=_______▲_________ [解析]考查函数的奇偶性的知识。g(x)=ex+ae-x为奇函数，由g(0)=0，得a=－1。 x2 y2 6、在平面直角坐标系xOy中，双曲线  1上一点M，点M的横坐标是3，则M到双 4 12 曲线右焦点的距离是___▲_______ MF 4 [解析]考查双曲线的定义。 e 2，d 为点M到右准线x1的距离，d =2，MF=4 d 2 第7页 | 共23页。 7、右图是一个算法的流程图，则输出S的值是______▲_______ [解析]考查流程图理解。1222  24 31<33,输出S 1222  25 63。 L L 8、函数y=x2(x>0)的图像在点(a ,a 2)处的切线与x轴交点的横坐标为a ,k为正整数，a =16 k k k+1 1 ，则a +a +a =____▲_____ 1 3 5 [解析]考查函数的切线方程、数列的通项。 a 在点(a ,a 2)处的切线方程为：ya 2 2a (xa ),当y 0时，解得x k ， k k k k k 2 a 所以a  k ,a a a 164121。 k1 2 1 3 5 9、在平面直角坐标系xOy中，已知圆x2  y2 4上有且仅有四个点到直线12x- 5y+c=0的距离为1，则实数c的取值范围是______▲_____ [解析]考查圆与直线的位置关系。 圆半径为2， |c| 圆心（0，0）到直线12x-5y+c=0的距离小于1， <1，c的取值范围是（-13，13）。 13   10、定义在区间0, 上的函数y=6cosx的图像与y=5tanx的图像的交点为P，过点P作PP 1  2 ⊥x轴于点P ，直线PP 与y=sinx的图像交于点P ,则线段P P 的长为_______▲_____。 1 1 2 1 2 [解析] 考查三角函数的图象、数形结合思想。线段P P 的长即为sinx的值， 1 2 2 2 且其中的x满足6cosx=5tanx，解得sinx= 。线段P P 的长为 1 2 3 3 11、已知函数 f(x) ì í x21,x³0 ,则满足不等式 f(1x2)> f(2x)的x的范围是__▲___。 î1, x<0 [解析] 考查分段函数的单调性。 ìï1x2 >2x í ÞxÎ(1, 21) ïî1x2 >0 x2 x3 12、设实数x,y满足3≤xy2≤8，4≤ ≤9，则 的最大值是 ▲ 。 y y4 [解析] 考查不等式的基本性质，等价转化思想。 第8页 | 共23页x2 1 1 1 x3 x2 1 x3 ( )2Î[16,81]， Î[ , ]， ( )2× Î[2,27]， 的最大值是27。 y xy2 8 3 y4 y xy2 y4 b a 13、在锐角三角形ABC，A、B、C的对边分别为a、b、c，  6cosC，则 a b tanC tanC  =____▲_____。 tanA tanB [解析] 考查三角形中的正、余弦定理三角函数知识的应用，等价转化思想。一题多解。 （方法一）考虑已知条件和所求结论对于角A、B和边a、b具有轮换性。 1 C 1cosC 1 C 2 当A=B或a=b时满足题意，此时有：cosC  ，tan2   ，tan  ， 3 2 1cosC 2 2 2 1 tanC tanC tanAtanB  2 ，  = 4。 C tanA tanB tan 2 b a （方法二）  6cosC Þ6abcosC a2 b2， a b a2b2c2 3c2 6ab× a2b2,a2b2  2ab 2 tanC tanC sinC cosBsinAsinBcosA sinC sin(AB) 1 sin2C   ×  ×  × tanA tanB cosC sinAsinB cosC sinAsinB cosC sinAsinB 1 c2 c2 c2 由正弦定理，得：上式= ×   4 cosC ab 1 1 3c2 (a2 b2) × 6 6 2 14、将边长为1m正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记 (梯形的周长）2 S  ,则S的最小值是____▲____。 梯形的面积 [解析] 考查函数中的建模应用，等价转化思想。一题多解。 (3x)2 4 (3x)2 设剪成的小正三角形的边长为x，则：S   × (0< x<1) 1 3 3 1x2 ×(x1)× ×(1x) 2 2 （方法一）利用导数求函数最小值。 4 (3x)2 4 (2x6)×(1x2)(3x)2×(2x) S(x) × ，S¢(x) × 3 1x2 3 (1x2)2 第9页 | 共23页4 (2x6)×(1x2)(3x)2×(2x) 4 2(3x1)(x3)  ×  × 3 (1x2)2 3 (1x2)2 1 S¢(x)0,0< x<1,x ， 3 1 1 当xÎ(0, ]时，S¢(x)<0,递减；当xÎ[ ,1)时，S¢(x)>0,递增； 3 3 1 32 3 故当x 时，S的最小值是 。 3 3 （方法二）利用函数的方法求最小值。 1 1 1 4 t2 4 1 令3xt,tÎ(2,3), Î( , )，则：S  ×  × t 3 2 3 t2 6t8 3 8 6   1 t2 t 1 3 1 32 3 故当  ,x 时，S的最小值是 。 t 8 3 3 二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文 字说明、证明或演算步骤. 15、（本小题满分14分） 在平面直角坐标系xOy中，点A(－1,－2)、B(2,3)、C(－2,－1)。 (3)求以线段AB、AC为邻边的平行四边形两条对角线的长； (4)设实数t满足(ABtOC )·OC=0，求t的值。 [解析]本小题考查平面向量的几何意义、线性运算、数量积，考查运算求解能力。满分14分 。 uuur uuur （1）（方法一）由题设知AB(3,5),AC (1,1)，则 uuur uuur uuur uuur AB AC (2,6),ABAC (4,4). uuur uuur uuur uuur 所以| AB AC|2 10,| ABAC|4 2. 故所求的两条对角线的长分别为4 2、2 10 。 （方法二）设该平行四边形的第四个顶点为D，两条对角线的交点为E，则: E为B、C的中点，E（0，1） 又E（0，1）为A、D的中点，所以D（1，4） 第10页 | 共23页故所求的两条对角线的长分别为BC=4 2、AD=2 10 ； uuur uuur uuur （2）由题设知：OC=(－2,－1)，ABtOC (32t,5t)。 由(ABtOC )·OC=0，得：(32t,5t)×(2,1)0， 11 从而5t 11,所以t  。 5 uuur uuur uuur2 uuur u A u B ur ×O uu C ur 11 或者：AB·OC tOC ，AB(3,5), t   uuur |OC|2 5 16、（本小题满分14分） 如图，在四棱锥P- ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD=DC=BC=1，AB=2，AB∥DC，∠BC D=900。 (3)求证：PC⊥BC； (4)求点A到平面PBC的距离。 [解析] 本小题主要考查直线与平面、平面与平面的位置关系，考查几何体的体积，考查空间想象 能力、推理论证能力和运算能力。满分14分。 （1）证明：因为PD⊥平面ABCD，BCÌ平面ABCD，所以PD⊥BC。 由∠BCD=900，得CD⊥BC， 又PD DC=D，PD、DCÌ平面PCD， I 所以BC⊥平面PCD。 因为PCÌ平面PCD，故PC⊥BC。 （2）（方法一）分别取AB、PC的中点E、F，连DE、DF，则： 易证DE∥CB，DE∥平面PBC，点D、E到平面PBC的距离相等。 又点A到平面PBC的距离等于E到平面PBC的距离的2倍。 由（1）知：BC⊥平面PCD，所以平面PBC⊥平面PCD于PC， 因为PD=DC，PF=FC，所以DF⊥PC，所以DF⊥平面PBC于F。 2 易知DF= ，故点A到平面PBC的距离等于 2 。 2 （方法二）体积法：连结AC。设点A到平面PBC的距离为h。 因为AB∥DC，∠BCD=900，所以∠ABC=900。 从而AB=2，BC=1，得DABC的面积S 1。 DABC 第11页 | 共23页1 1 由PD⊥平面ABCD及PD=1，得三棱锥P-ABC的体积V  S ×PD 。 3 DABC 3 因为PD⊥平面ABCD，DCÌ平面ABCD，所以PD⊥DC。 又PD=DC=1，所以PC  PD2 DC2  2 。 2 由PC⊥BC，BC=1，得DPBC的面积S  。 DPBC 2 1 1 由V V ， S ×hV  ，得h 2， APBC PABC 3 VPBC 3 故点A到平面PBC的距离等于 2 。 17、（本小题满分14分） 某兴趣小组测量电视塔AE的高度H(单位：m），如示意图，垂直放置的标杆BC的高度h=4 m，仰角∠ABE=a，∠ADE=b。 (3)该小组已经测得一组a、b的值，tana=1.24，tanb=1.20，请据此算出H的值； (4)该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到电视塔的距离d （单位：m），使a与b之差较大，可以提高测量精确度。若电视塔 的实际高度为125m，试问d为多少时，a-b最大？ [解析] 本题主要考查解三角形的知识、两角差的正切及不等式的应用。 H H H h （1） tanbÞ AD ，同理：AB ，BD 。 AD tanb tana tanb AD— H H h htana 4´1.24 AB=DB，故得   ，解得：H   124。 tanb tana tanb tanbtana 1.241.20 因此，算出的电视塔的高度H是124m。 H H h H h （2）由题设知d  AB，得tana ,tanb   ， d AD DB d H H h  tanatanb d d hd h tan(ab)    1tana×tanb H H h d2 H(H h) H(H h) 1 × d  d d d 第12页 | 共23页H(H h) d  ³2 H(H h) ，（当且仅当d  H(Hh)  125´12155 5时，取等 d 号） 故当d 55 5时，tan(ab)最大。   因为00, 1 1 2 2 y >0,y <0。 1 2 （1）设动点P满足PF2 PB2  4,求点P的轨迹； 1 （2）设x  2,x  ，求点T的坐标； 1 2 3 （3）设t 9,求证：直线MN必过x轴上的一定点（其坐标 与m无关）。 [解析] 本小题主要考查求简单曲线的方程，考查方直线与椭圆的方程等基础知识。考查运算求解 能力和探究问题的能力。满分16分。 （1）设点P（x，y），则：F（2，0）、B（3，0）、A（-3，0）。 9 由PF2 PB2  4，得(x2)2  y2 [(x3)2  y2]4, 化简得x 。 2 9 故所求点P的轨迹为直线x 。 2 1 5 1 （2）将x  2,x  分别代入椭圆方程，以及y >0,y <0得：M（2， ）、N（ 1 2 3 1 2 3 3 20 ， ） 9 y0 x3 1 直线MTA方程为：  ，即y  x1， 5 23 3 0 3 第13页 | 共23页y0 x3 5 5 直线NTB 方程为：  ，即y  x 。 20 1 6 2  0 3 9 3 ìx7 ï 联立方程组，解得：í 10， y  ï î 3 10 所以点T的坐标为(7, )。 3 （3）点T的坐标为(9,m) y0 x3 m 直线MTA方程为：  ，即y  (x3)， m0 93 12 y0 x3 m 直线NTB 方程为：  ，即y  (x3)。 m0 93 6 x2 y2 分别与椭圆  1联立方程组，同时考虑到x 3,x 3， 9 5 1 2 3(80m2) 40m 3(m2 20) 20m 解得：M( , )、N( , )。 80m2 80m2 20m2 20m2 （方法一）当x  x 时，直线MN方程为： 1 2 20m 3(m2 20) y x 20m2 20m2  40m 20m 3(80m2) 3(m2 20)   80m2 20m2 80m2 20m2 令y 0，解得：x1。此时必过点D（1，0）； 当x  x 时，直线MN方程为：x1，与x轴交点为D（1，0）。 1 2 所以直线MN必过x轴上的一定点D（1，0）。 2403m2 3m2 60 （方法二）若x  x ，则由  及m>0，得m2 10， 1 2 80m2 20m2 此时直线MN的方程为x1，过点D（1，0）。 40m 80m2 10m 若x  x ，则m2 10 ，直线MD的斜率k   ， 1 2 MD 2403m2 40m2 1 80m2 第14页 | 共23页20m 20m2 10m 直线ND的斜率k   ，得k k ，所以直线MN过D点。 ND 3m2 60 40m2 MD ND 1 20m2 因此，直线MN必过x轴上的点（1，0）。 19、（本小题满分16分）     设各项均为正数的数列 a 的前n项和为S ，已知2a  a a ，数列 S 是公差为d n n 2 1 3 n 的等差数列。   （1）求数列 a 的通项公式（用n,d 表示）； n （2）设c为实数，对满足mn 3k且m  n的任意正整数m,n,k ，不等式 9 S S >cS 都成立。求证：c的最大值为 。 m n k 2 [解析] 本小题主要考查等差数列的通项、求和以及基本不等式等有关知识，考查探索、分析及论 证的能力。满分16分。 （1）由题意知：d >0， S  S (n1)d  a (n1)d n 1 1 2a a a Þ3a S Þ3(S S )S ，3[( a d)2 a ]2 ( a 2d)2, 2 1 3 2 3 2 1 3 1 1 1 化简，得：a 2 a ×d d2 0, a d,a d2 1 1 1 1 S d (n1)d nd,S n2d2， n n 当n³2时，a S S n2d2 (n1)2d2 (2n1)d2，适合n1情形。 n n n1 故所求a (2n1)d2 n （2）（方法一） m2 n2 S S >cS Þm2d2 n2d2 >c×k2d2 Þm2 n2 >c×k2， c< 恒成立。 m n k k2 m2 n2 9 又mn 3k且m  n，2(m2 n2)>(mn)2 9k2 Þ > ， k2 2 9 9 故c£ ，即c的最大值为 。 2 2 第15页 | 共23页（方法二）由 a d 及 S  a (n1)d ，得d >0，S n2d2。 1 n 1 n 于是，对满足题设的m,n,k ，mn，有 (mn)2 9 9 S S (m2 n2)d2 > d2  d2k2  S 。 m n 2 2 2 k 9 所以c的最大值c ³ 。 max 2 9 3 3 另一方面，任取实数a> 。设k为偶数，令m k1,n k1，则m,n,k 符合条 2 2 2 3 3 1 件，且S S (m2 n2)d2 d2[( k1)2 ( k1)2] d2(9k2 4)。 m n 2 2 2 2 1 于是，只要9k2 4<2ak2，即当k > 时，S S < d2×2ak2 aS 。 2a9 m n 2 k 9 9 所以满足条件的c£ ，从而c £ 。 2 max 2 9 因此c的最大值为 。 2 20、（本小题满分16分） 设 f(x)是定义在区间(1,)上的函数，其导函数为 f'(x)。如果存在实数a和函数 h(x)，其中h(x)对任意的xÎ(1,)都有h(x)>0，使得 f'(x)  h(x)(x2 ax1)，则 称函数 f(x)具有性质P(a)。 b2 (1)设函数 f(x) lnx (x>1)，其中b为实数。 x1 (i)求证：函数 f(x)具有性质P(b)； (ii)求函数 f(x)的单调区间。 (2)已知函数g(x)具有性质P(2)。给定x ,x Î(1,),x < x ,设m为实数， 1 2 1 2 a mx (1m)x ，b(1m)x mx ，且a>1,b>1， 1 2 1 2 若|g(a)g(b)|<|g(x )g(x )|，求m的取值范围。 1 2 [解析] 本小题主要考查函数的概念、性质、图象及导数等基础知识，考查灵活运用数形结合、分 类讨论的思想方法进行探索、分析与解决问题的综合能力。满分16分。 第16页 | 共23页1 b2 1 （1）(i) f '(x)    (x2 bx1) x (x1)2 x(x1)2 1 ∵x>1时，h(x) >0恒成立， x(x1)2 ∴函数 f(x)具有性质P(b)； b b2 (ii)（方法一）设j(x)x2 bx1(x )2 1 ，j(x)与 f'(x)的符号相同。 2 4 b2 当1 >0,20， f'(x) >0，故此时 f(x)在区间(1,)上递增； 4 当b±2时，对于x>1，有 f'(x) >0，所以此时 f(x)在区间(1,)上递增； b 当b<2时，j(x)图像开口向上，对称轴x <1，而j(0)1， 2 对于x>1，总有j(x) >0， f'(x) >0，故此时 f(x)在区间(1,)上递增； （方法二）当b£2时，对于x>1，j(x)x2 bx1³x2 2x1(x1)2 >0 所以 f'(x) >0，故此时 f(x)在区间(1,)上递增； b 当b>2时，j(x)图像开口向上，对称轴x >1，方程j(x)0的两根为： 2 b b2 4 b b2 4 b b2 4 b b2 4 2 , ，而 >1,  Î(0,1) 2 2 2 2 b b2 4 b b2 4 b b2 4 当xÎ(1, )时，j(x) <0， f'(x) <0，故此时 f(x)在区间(1, ) 2 2 b b2 4 上递减；同理得： f(x)在区间[ ,)上递增。 2 综上所述，当b£2时， f(x)在区间(1,)上递增； 当b>2时， f(x)在 (1, b b24 ) 上递减； f(x)在 [ b b24 ,) 上递增。 2 2 (2)（方法一）由题意，得：g'(x)h(x)(x2 2x1)h(x)(x1)2 又h(x)对任意的xÎ(1,)都有h(x)>0， 所以对任意的xÎ(1,)都有g¢(x)>0，g(x)在(1,)上递增。 又ab x x ,ab(2m1)(x x )。 1 2 1 2 第17页 | 共23页1 当m> ,m1时，a0对于 任意的xÎ(1,)都成立。所以，当x>1时，g'(x)h(x)(x1)2 >0，从而g(x)在区 间(1,)上单调递增。 ①当mÎ(0,1)时，有amx (1m)x >mx (1m)x  x ， 1 2 1 1 1 amx (1m)x 1,b>1及g(x)的单调性知 1 2 1 1 1 g(b)£ g(x )< g(x )£ g(a)，所以|g(a)g(b)|≥|g(x )g(x )|，与题设不符。 1 2 1 2 ③当m³1时，同理可得a£ x ,b³ x ，进而得|g(a)g(b)|≥|g(x )g(x )|，与题设 1 2 1 2 第18页 | 共23页不符。 因此综合①、②、③得所求的m的取值范围是（0，1）。 数学Ⅱ（附加题） 21.[选做题]本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答 。若多做，则按作答的前两题评分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 D．选修4-1：几何证明选讲 D （本小题满分10分） AB是圆O的直径，D为圆O上一点，过D作圆O的切线交AB延 A B C O 长线于点C，若DA=DC，求证：AB=2BC。 [解析] 本题主要考查三角形、圆的有关知识，考查推理论证能力。 （方法一）证明：连结OD，则：OD⊥DC， 又OA=OD，DA=DC，所以∠DAO=∠ODA=∠DCO， ∠DOC=∠DAO+∠ODA=2∠DCO， 所以∠DCO=300，∠DOC=600， 所以OC=2OD，即OB=BC=OD=OA，所以AB=2BC。 （方法二）证明：连结OD、BD。 因为AB是圆O的直径，所以∠ADB=900，AB=2 OB。 因为DC 是圆O的切线，所以∠CDO=900。 又因为DA=DC，所以∠DAC=∠DCA， 于是△ADB≌△CDO，从而AB=CO。 即2OB=OB+BC，得OB=BC。 故AB=2BC。 E．选修4-2：矩阵与变换 （本小题满分10分） 在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0,0)，B(-2,0)，C(-2,1)。设k为非零实数，矩阵M= 第19页 | 共23页k 0 0 1  ,N=  ，点A、B、C在矩阵MN对应的变换下得到点分别为A 1 、B 1 、C 1 ，△A 1 0 1 1 0 B C 的面积是△ABC面积的2倍，求k的值。 1 1 [解析] 本题主要考查图形在矩阵对应的变换下的变化特点，考查运算求解能力。满分10分。 k 00 1 0 k 解：由题设得MN        0 11 0 1 0 0 k0 2 2 0 0 k  由       ，可知A 1 （0，0）、B 1 （0，-2）、C 1 （k，- 1 00 0 1  0 2 2 2）。 计算得△ABC面积的面积是1，△A B C 的面积是|k|，则由题设知：|k|2´12。 1 1 1 所以k的值为2或-2。 F．选修4-4：坐标系与参数方程 （本小题满分10分） 在极坐标系中，已知圆ρ=2cosθ与直线3ρcosθ+4ρsinθ+a=0相切，求实数a的值。 [解析] 本题主要考查曲线的极坐标方程等基本知识，考查转化问题的能力。满分10分。 解：r2 2rcosq，圆ρ=2cosθ的普通方程为：x2  y2 2x,(x1)2  y2 1， 直线3ρcosθ+4ρsinθ+a=0的普通方程为：3x4ya0， |3×14×0a| 又圆与直线相切，所以 1,解得：a2，或a8。 32 42 G．选修4-5：不等式选讲 （本小题满分10分） 设a、b是非负实数，求证：a3b3 ³ ab(a2 b2)。 [解析] 本题主要考查证明不等式的基本方法，考查推理论证的能力。满分10分。 （方法一）证明：a3b3 ab(a2 b2)a2 a( a  b)b2 b( b  a) ( a  b)[( a)5 ( b)5] 第20页 | 共23页( a  b)2[( a)4 ( a)3( b)( a)2( b)2 ( a)( b)3( b)4] 因为实数a、b≥0，( a b)2³0,[( a)4( a)3( b)( a)2( b)2( a)( b)3( b)4]³0 所以上式≥0。即有a3b3 ³ ab(a2 b2)。 （方法二）证明：由a、b是非负实数，作差得 a3b3 ab(a2 b2)a2 a( a  b)b2 b( b  a) ( a  b)[( a)5 ( b)5] 当a³b时， a ³ b ，从而( a)5 ³( b)5，得( a  b)[( a)5 ( b)5]³0； 当a