2010年高考数学试卷（理）（四川）（解析卷）_数学历年高考真题_新·PDF版2008-2025·高考数学真题_数学（按试卷类型分类）2008-2025_自主命题卷·数学（2008-2025）

2010 年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷） 数学（理工农医类） 第Ⅰ卷 一、选择题： （1）i是虚数单位，计算i+i2 +i3 = （A）－1 （B）1 （C）-i （D）i （2）下列四个图像所表示的函数，在点x=0处连续的是 （A） （B） （C） （D） （3）2log 10+log 0.25= 5 5 （A）0 （B）1 （C） 2 （D）4 （4）函数 f(x)= x2 +mx+1的图像关于直线x=1对称的充要条件是 （A）m=-2 （B）m=2 （C）m=-1 （D）m=1 uuur2 uuur uuur uuur uuur （5）设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，BC =16,½AB+ AC½=½AB-AC½, uuuur 则½AM½= （A）8 （B）4 （C） 2 （D）1 p （6）将函数 y =sinx的图像上所有的点向右平行移动 个单位长度，再把所得各点的横 10 坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像的函数解析式是 第1页 | 共13页p p （A）y =sin(2x- ) （B）y =sin(2x- ) 10 5 1 p 1 p （C）y =sin( x- ) （D）y =sin( x- ) 2 10 2 20 （7）某加工厂用某原料由甲车间加工出A产品，由乙车间加工出B产品．甲车间加工一箱 原料需耗费工时10小时可加工出7千克A产品，每千克A产品获利40元，乙车间加 工一箱原料需耗费工时6小时可加工出4千克B产品，每千克B产品获利50元．甲、 乙两车间每天共能完成至多70箱原料的加工，每天甲、乙两车间耗费工时总和不得超 过480小时，甲、乙两车间每天总获利最大的生产计划为 （A）甲车间加工原料10箱，乙车间加工原料60箱 （B）甲车间加工原料15箱，乙车间加工原料55箱 （C）甲车间加工原料18箱，乙车间加工原料50箱 （D）甲车间加工原料40箱，乙车间加工原料30箱 a （8）已知数列a 的首项a ¹0，其前n项的和为S ，且S =2S +a ，则lim n = n 1 n n+1 n 1 n®¥S n 1 （A）0 （B） （C） 1 （D）2 2 x2 y2 （9）椭圆 + =1(a>b>0)的右焦点F ，其右准线与x轴的交点为A，在椭圆上存在 a2 b2 点P满足线段AP的垂直平分线过点F ，则椭圆离心率的取值范围是 （A） æ ç ç è 0, 2 2ù û ú （B） æ ç è 0, 1 2 ù û ú （C） é ë 2-1,1  （D） é ê ë 1 2 ,1÷ ö ø （10）由1、2、3、4、5、6组成没有重复数字且1、3都不与5相邻的六位偶数的个数是 （A）72 （B）96 （C） 108 （D）144 （11）半径为R的球O的直径AB垂直于平面a，垂足为B，VBCD是平面a内边长为R 的正三角形，线段AC、AD分别与球面交于点M，N，那么M、N两点间的球面距离 是 17 A （A）Rarccos 25 18 （B）Rarccos O 25 N （C） 1 pR M D 3 B a C 4 （D） pR 15 第2页 | 共13页1 1 （12）设a>b>c>0，则2a2 + + -10ac+25c2的最小值是 ab a(a-b) （A）2 （B）4 （C） 2 5 （D）5 2010 年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷） 数学（理工农医类） 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上． 1 （13）(2- )6的展开式中的第四项是__________． 3 x （14）直线x-2y+5=0与圆x2 + y2 =8相交于A、B两点，则½AB½=________． （15）如图，二面角a-l-b的大小是60°，线段ABÌa． a ·A BÎl，AB与l所成的角为30°．则AB与平面b所成 b · B 的角的正弦值是_________． （16）设S为复数集C的非空子集．若对任意x,yÎS ，都有x+ y,x- y,xyÎS，则称S 为封闭集。下列命题： ①集合S =½a+bi½ （a,b为整数，i为虚数单位）为封闭集； ②若S为封闭集，则一定有0ÎS； ③封闭集一定是无限集； ④若S为封闭集，则满足S ÍT ÍC的任意集合T 也是封闭集． 其中真命题是_________________ （写出所有真命题的序号） 三、解答题：本大题共6小题，共74分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 （17）（本小题满分12分） 某种有奖销售的饮料，瓶盖内印有“奖励一瓶”或“谢谢购买”字样，购买一瓶若其瓶 1 盖内印有“奖励一瓶”字样即为中奖，中奖概率为 ．甲、乙、丙三位同学每人购买了一瓶 6 该饮料。 第3页 | 共13页（Ⅰ）求甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率； （Ⅱ）求中奖人数ξ的分布列及数学期望Eξ． （18）（本小题满分12分） 已知正方体ABCD-A¢B¢C¢D¢的棱长为1，点M 是棱AA¢的中点，点O是对角线BD¢ 的中点． D¢ C¢ A¢ （Ⅰ）求证：OM 为异面直线AA¢和BD¢的公垂线； B¢ ·O （Ⅱ）求二面角M -BC¢-B¢的大小； M· D C （Ⅲ）求三棱锥M -OBC的体积． A B （19）（本小题满分12分） （Ⅰ）①证明两角和的余弦公式C :cos(a+b)=cosacosb-sinasinb； a+b ②由C 推导两角和的正弦公式S :sin(a+b) =sinacosb+cosasinb.． a+b a+b 1uuur uuur 3 （Ⅱ）已知△ABC的面积S = AB·AC =3，且cosB= ，求cosC． 2 5 （20）（本小题满分12分） 1 已知定点A(-1,0),F(2,0)，定直线l:x= ，不在x轴上的动点P与点F 的距离是 2 它到直线l的距离的 2 倍．设点P的轨迹为E，过点F 的直线交E于B、C两点，直线 AB、AC分别交l于点M、N （Ⅰ）求E的方程； （Ⅱ）试判断以线段MN 为直径的圆是否过点F ，并说明理由． （21）（本小题满分12分） 已知数列a 满足a =0,a =2，且对任意m,nÎN*都有 n 1 2 a +a = 2 +2(m-n)2 2m-1 2n-1 m+n-1 （Ⅰ）求a ,a ； 3 5 （Ⅱ）设b =a -a (nÎN*)证明：b 是等差数列； n 2n+1 2n-1 n （Ⅲ）设c =(a -a )qn-1(q ¹ 0,nÎN*)，求数列c 的前n项和S ． n 2n+1 n n n （22）（本小题满分14分） 1+ax 设 f(x)= （a>0且a¹1），g(x)是 f(x)的反函数． 1-ax 第4页 | 共13页t （Ⅰ）设关于x的方程log = g(x)在区间2,6上有实数解，求t的取 a (x2 -1)(7-x) 值范围； n 2-n-n2 （Ⅱ）当a=e（e为自然对数的底数）时，证明：åg(k)> ； 2n(n+1) k=2 n （Ⅲ）当00, p AÎ(0, ),cosA=3sin A. 2 10 3 10 又sin2 A+cos2 A=1,sin A= ,cosA= . 10 10 3 4 由题意cosB = ,得sinB = . 5 5 10 cos9(A+B) =cosAcosB =sin AsinB = . 10 10 故cosC =cos[p-(A+B)]=-cos(A+B)=- .…………（12分） 10 （20）本小题主要考查直线、轨迹方程、双曲线等基础知识，考查平面解析几何的思想方法 及推理运算能力。 解：（Ⅰ）设P(x,y),则 1 (x-2)2 + y2 = 2x- , 2 y2 化简得x2 - =1(y ¹ 0).………………（4分） 3 （Ⅱ）①当直线BC与x轴不生直时，设BC的方程为y = k(x-2)(k ¹ 0). y2 与双曲线方程x2 - =1联立消去y得 3 (3-k2)x2 +4k2x-(4k2 +3) =0, 由题意知,3-k2 ¹ 0且 >0. 4k2 4k2 +3 设B(x ,y ),C(x ,y ),则x + x = x x = , 1 1 2 2 1 2 k2 -3* 1 2 k2 -3 y y = k2(x -2)(x -2) = k2[x x -2(x + x )+4] 1 2 1 2 1 2 1 2 4k2 +3 8k2 = k2( - +4) k2 -3 k2 -3 -9k2 = . k2 -3 第9页 | 共13页因为x ,x ¹ -1. 1 2 y 1 3y 所以直线AB的方程为y = 1 (x+1),因此M点的坐标为( , 2 , x =1 2 2(x +1) 1 1 3 3y FM =(-  2 . 2 2(x +1) 2 3 3y 同理可得FN =(- , 2 ), 2 2(x +1) 2 3 3 9y y 因此FM = FN =(- )(- )+ 1 2 2 2 4(x +1)(x +1) 1 2 -81k2 9 k2 -3 = + 4 4k2 +3 4k2 4( + =1) k2 -3 k2 -3 =0 ②当直线BC与x轴垂直时，其方程为x = 2,则B(2,3),C(2,-3), 1 3 3 3 AB的方程为y = x+1,因此M点的坐标为( , ),FM =(- , ). 2 2 2 2 3 3 3 3 同理可得FM FN =(- )( )+(- ) =0, 2 2 2 2 综上，FM FN =0,即FM  FN. 故以线段MN为直径的圆过点F。………………（12分） （21）本小题主要考查数列的基础知识和化归，分类整合等数学思想，以及推理论证、分析 与解决问题的能力。 解：（Ⅰ）由题意，令m = 2,n =1可得a = 2a -a +2=6. 3 2 1 再令m =3,n =1可得a = 2a -a +8= 20.………………（2分） 5 3 1 当nÎN*时,由已知(以n+2代替m)可得 （Ⅱ）a +a = 2a =8 2n+1 2n-1 2n+1 于是[a -a ]-(a -a ) =8即 2(n=1)+1 2(n+1)-1 2n+1 2n-1 b -b =8. n+1 n 所以，数列  b 是公差为8的等差数列.………………（5分） n （Ⅲ）由（Ⅰ）、（Ⅱ）的解答可知  b 是首项b = a -a =6,公差为8的等差数列. n 1 3 1 第10页 | 共13页则b =8 -2,即 n n a -a =8n-2. 2n+1 2n-1 另由已知（令m =1)可得， a = a a = 2n+1 n -(n-1)3 n 2 a -a 那么，a -a = 2n+1 2n-1 -2n+1 n+1 n 2 8n-2 = -2n+1 2 = 2n 于是，c = 2nqn-1 n 当q =1时,S = 2+4+6+ +2n = n(n+1). n  当q ¹1时,S = 2q6 +4q4 +6q2 + +2nqn-1 n  两边同乘q可得 qS = 2q2 +4q2 +6q2 + +2(n-1)qn+1 +2nqn. n  上述两式相减即得 (1-q)S = 2(1+q1 +q2 + +qn-1)-2nqn n  1-qn =2 -2nqn 1-q 1-(n+1)qn +nqn+1 =2 1-q nqn+1 -(n+1)qn +1 所以S = 2 n (q-1)2 n(n+1)(q =1)  综上所述，S =  nqn+1 -(n+1)qn +1 n 2 ,(q ¹1), (12分)    (q-1)2 （22）本小题考查函数、反函数、方程、不等式、导数及其应用等基础知识，考查化归、分 类整合等数学思想方法，以及推理论证、分析与解决问题的能力。 第11页 | 共13页y-1 解：（Ⅰ）由题意，得an = >0, y+1 x-1 故g(x) =log ,xÎ(-¥,-1)(1,+¥). a x+1 t x-1 由log =log 得 a (x2 -1)(7-x) a x+1 t =(x-1)2(7-x),xÎ[2,6] 则t¢= -3x2 +18x-15= -3(x-1)(x-5). 列表如下： x 2 （2，5） 5 （5，6） 6 t¢ ＋ 0 － t 5 极大值 25 所以t =5,t =32 最小值 最大值 所以t的取值范围为[5，32]………………………………（5分） n 1 2 3 n-1 （Ⅱ）åg(k) =1n +1n +1n + 1n  3 4 5 n+1 n=2 1 2 3 n-1 =1n(     )  3 4 5 n+1 n(n =1) = -1n 2 1-z2 1 令u(z) = -1nz2 - = -21nz+ z- ,z >0, z z 2 1 1 则u¢(z) = - +1= =(1- )2 0. z z2 z 所以u(z)在(0,+¥)上是增函数. 第12页 | 共13页n(n+1) n(n+1) 又因为 >1>0,所以n( ) > n(1) =0 2 2 n(n+1) 1- 2 2 却1n - >0, n(n+1) n(n+1) 2 n 2-n-n2 即åg(k) > (9分)  2n(n+1) n=2 1 1+n 2 设n = ,则p 1,1< f(1) = =1+ £3 1+ p 1-n n 2 当n =1时, f(1)-1 = £ 2< 4. （Ⅲ） p 当n 2时, (1+ p)k+1 2 设k  2,kÎN*时,则f(k) = =1+ (1+ p)k-1 (1+ p)k -1 2 =1+ C2P+C2P2 + +C2Pn 4 4  4 2 4 4 4 所以1< f(k)£1+ =1+ =1+ - C1 +C2 k(k +1) k k +1 4 4 n 4 4 4 从而n-1< å f(k)£ n-1+ - = n+1- < n+1. 2 n+1 n+1 n=2 n 所以n< å f(k)< f(1)+n+1£ n+4 n=1 n 综上，总有 å(k)-n < 4.……………………………………（14分） n=1 第13页 | 共13页