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2024年新课标全国Ⅱ卷数学
一、单选题
1．已知 ，则 （ ）
A．0 B．1 C． D．2
2．已知命题p： ， ；命题q： ， ，则（ ）
A．p和q都是真命题 B． 和q都是真命题
C．p和 都是真命题 D． 和 都是真命题
3．已知向量 满足 ，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．1
4．某农业研究部门在面积相等的100块稻田上种植一种新型水稻，得到各块稻田的亩产量（均在 之间，
单位：kg）并部分整理下表
亩产量 [900，950） [950，1000） [1000，1050） [1100，1150） [1150，1200）
频数 6 12 18 24 10
据表中数据，结论中正确的是（ ）
A．100块稻田亩产量的中位数小于1050kg
B．100块稻田中亩产量低于1100kg的稻田所占比例超过80%
C．100块稻田亩产量的极差介于200kg至300kg之间
D．100块稻田亩产量的平均值介于900kg至1000kg之间
5．已知曲线C： （ ），从C上任意一点P向x轴作垂线段 ， 为垂足，则线段 的中点M
的轨迹方程为（ ）
A． （ ） B． （ ）
C． （ ） D． （ ）
6．设函数 ， ，当 时，曲线 与 恰有一个交点，则
（ ）
A． B． C．1 D．2
7．已知正三棱台 的体积为 ， ， ，则 与平面ABC所成角的正切值为（ ）
A． B．1 C．2 D．3
8．设函数 ，若 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．1二、多选题
9．对于函数 和 ，下列说法正确的有（ ）
A． 与 有相同的零点 B． 与 有相同的最大值
C． 与 有相同的最小正周期 D． 与 的图像有相同的对称轴
10．抛物线C： 的准线为l，P为C上的动点，过P作 的一条切线，Q为切点，过P作l
的垂线，垂足为B，则（ ）
A．l与 相切
B．当P，A，B三点共线时，
C．当 时，
D．满足 的点 有且仅有2个
11．设函数 ，则（ ）
A．当 时， 有三个零点
B．当 时， 是 的极大值点
C．存在a，b，使得 为曲线 的对称轴
D．存在a，使得点 为曲线 的对称中心
三、填空题
12．记 为等差数列 的前n项和，若 ， ，则 .
13．已知 为第一象限角， 为第三象限角， ， ，则 .
14．在如图的4×4方格表中选4个方格，要求每行和每列均恰有一个方格被选中，则共有 种选法，在所
有符合上述要求的选法中，选中方格中的4个数之和的最大值是 ．
四、解答题
15．记 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 ．
(1)求A．(2)若 ， ，求 的周长．
16．已知函数 ．
(1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
(2)若 有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围．
17．如图，平面四边形ABCD中， ， ， ， ， ，点E，F满足
， ，将 沿EF对折至△PEF，使得 ．
(1)证明： ；
(2)求面PCD与面PBF所成的二面角的正弦值．
18．某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队员组成，比赛具体规则如下：第一阶段由参赛队中一名队员
投篮3次，若3次都未投中，则该队被淘汰，比赛成员为0分；若至少投中一次，则该队进入第二阶段，由该队的
另一名队员投篮3次，每次投中得5分，未投中得0分.该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和．某参赛队由甲、
乙两名队员组成，设甲每次投中的概率为p，乙每次投中的概率为q，各次投中与否相互独立．
(1)若 ， ，甲参加第一阶段比赛，求甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分的概率．
(2)假设 ，
（i）为使得甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率最大，应该由谁参加第一阶段比赛？
（ii）为使得甲、乙，所在队的比赛成绩的数学期望最大，应该由谁参加第一阶段比赛？
19．已知双曲线 ，点 在 上， 为常数， ．按照如下方式依次构造点
，过 作斜率为 的直线与 的左支交于点 ，令 为 关于 轴的对称点，记 的坐标为
.
(1)若 ，求 ；
(2)证明：数列 是公比为 的等比数列；
(3)设 为 的面积，证明：对任意的正整数 ， .
