四月数学每周好题精选（第一周）_2024高考押题卷_152024其他平台全系列_资料2024版（名校︱机构）备考押题资料_（冲刺高考）正确云·四月每周好题精选（第1周）

四月数学每周好题精选（第一周）
1.随着“一带一路”经贸合作持续深化，西安某地对外贸易近几年持续繁荣，2023 年 6 月18
日，该地很多商场都在搞“618”促销活动.市物价局派人对某商品同一天的销售量及其价格进
行调查，得到该商品的售价 x（单位：元）和销售量 y（单位：百件）之间的一组数据（如表
所示），用最小二乘法求得 y 关于 x 的线性回归方程是 yˆ 0.25xaˆ，预测当售价为 45 元时，
销售量件数大约为（单位：百件）( )
x 20 25 30 35 40
y 5 7 8 9 11
A.12 B.12.5 C.13 D.11.75
2.函数y log  2x  13x 的定义域为( )
2
A.
2,0 
B.
2,0 
C.

0,2

D.
1,2 
     
2 2
3.已知点O为△ABC所在平面内一点，在△ABC中，满足2ABAO AB ，2ACAO  AC ，
则点O为该三角形的( )
A.内心 B.外心 C.垂心 D.重心
4.战国时期的铜镞是一种兵器，其由两部分组成，前段是高为3cm，底面边长为2cm 的正三棱
锥，后段是高为 1cm 的圆柱，圆柱底面圆与正三棱锥底面的正三角形内切，则此铜镞的体积
为( )
π 3 π 3π 3 3π
A. 3 cm3 B.  cm3 C. 3 cm3 D.  cm3
3 3 3 4 3 4
5.著名数学家华罗庚曾说过“数无形时少直觉，形少数时难入微”，事实上，很多代数问题都
可以转化为几何问题加以解决，如：  xa 2  yb 2 可以转化为平面上点M  x,y 与点
N  a,b 的距离，结合上述观点，可得 y2 4y20 y2 2y10的最小值为( )
版权所有©正确教育 侵权必究！A.2 5 B.5 2 C.8 D.6
x2 y2 y2
6.已知由椭圆C :  1(a b 1) 与椭圆C :x2  1的交点连线可构成矩形ABCD（点
1 a2 b2 2 a2
2
A，B 在x轴下方），且BC 3CD，则b2  的最小值为( )
a2
3 5 11
A.2 2 B. C. D.
2 4 4
1 π
7.已知函数 f  x  tan x  ，则下列说法正确的是( )
2 6
π
A. f

x
的最小正周期是
2
B. f  x 的值域是  y yR且y 0 
5π
C.直线x 是函数 f  x 图像的一条对称轴
3
 2π π
D. f  x 的递减区间是2kπ ,2kπ  ，kZ
 3 3
8.已知函数 f  x  xlnxax有两个不同的极值点x ，x  x  x 则下列说法不正确的是( )
1 2 1 2
A.a的取值范围是,1  B.x 是极小值点
1
lnx 2 x
C.当x x ,时， f x 0 D. 1  1
2 lnx 2 x
2 2
9.（多选）函数 f(x)2x24lnx3，则( )
1   1
A. f  x 在 ,1内有零点 B. f  x 在0, 内有零点
e   e
C. f  x 在  1, e  内有零点 D. f  x 在  e,e2  内有零点
10.（多选）在△ABC中，内角A，B，C 所对的边分别为a、b、c，则下列说法正确的是( )
b abc
A. 
sinB sinAsinBsinC
B.若A B，则sin2Asin2B
C.abcosCccosB
版权所有©正确教育 侵权必究！     
AB AC  AB AC 1
D.若    BC  0，且     ，则△ABC为等边三角形
 AB AC  AB AC 2
 
11.（多选）已知等差数列 a 的前n项和为S ，S 0，S 25，则( )
n n 10 15
A.a 0 B.  a 的前n项和中S 最小
5 n 5
S 
C.使S 0时n的最大值为9 D.数列 n的前10项和为15
n  n 
12.（多选）设z 为非零复数，则下列命题中正确的是( )
A.z2 |z|2 B.|z|2 zz
C. z2  z2 D.若 z 1，则 zi 的最大值为2
13.从甲、乙等 6 名专家中任选 2人前往某地进行考察，则甲、乙 2 人中至少有 1 人被选中的
概率为________.
14.如图，经过坐标原点 O且互相垂直的两条直线 AC 和BD与圆x2  y2 4x2y200相交
于A，C，B，D四点，则四边形ABCD面积的最大值为____________.
 2
x3,1 x0

15.函数y 
x
的值域为________.
2

 
,0 x1
3
16.已知数列  a  的前n项和为S ，且S 2a 2，数列  a b  是首项为1，公差为2的等差
n n n n n n
数列.
   
（1）求数列 a ， b 的通项公式；
n n
版权所有©正确教育 侵权必究！（2）设数列  b  的前n项和为T ，且不等式3T 对一切nN*恒成立，求实数的取值
n n n
范围.
17.已知双曲线C:
x2

y2
1(a 0,b0)的离心率为 2 ，右焦点为F  2,0  .
a2 b2
（1）求双曲线C 的标准方程.
 
（2）过点F的直线l与双曲线C 的右支交于A，B两点，在x轴上是否存在点P，使得 PA.PB
为定值?若存在，求出该定值；若不存在，请说明理由.
18.如图， 四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，PA平面ABCD，点E在线段PD上.
(1)若E为PD 的中点， 证明：PB//平面AEC；
5π
(2)若PA2，PD2AB 4，若二面角EACB的大小为 ，试求PE:ED的值.
6
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1.答案：D
1 1
解析：因为 x  (2025303540)30， y  (578911)8，所以回归直线过点
5 5
(30,8)，故80.2530aˆ，即aˆ 0.5，所以yˆ 0.25x0.5.将x45代入yˆ 0.25x0.5中，得
yˆ 0.25450.511.75.故选D.
2.答案：B
2x0 x 2
解析：要使得函数有意义，则 ，即 ，解得2 x0
13x 0 x0
所以函数的定义域为2,0  .故选：B
3.答案：B
         
2 2
解析：根据题意， 2ABAO AB ，即 2ABAO 2 AB AO cos AB,AO  AB ，所以
   1    
AO cos AB,AO  AB ，可得向量 AO 在向量 AB 上的投影为 AB 的一半，可分析出点 O
2
在边AB 的中垂线上，同理可得，点O在边AC 的中垂线上，所以点O为该三角形的外心.
故选B.
4.答案：A
解析：由题意，铜镞的直观图如图所示，
1 1 3
三棱锥的体积V  3 22  3cm3，
1 3 2 2
因为圆柱的底面圆与正三棱锥底面的正三角形内切，
版权所有©正确教育 侵权必究！1  1  2 π
所以圆柱的底面圆的半径r  cm，所以圆柱的体积V 1π
 
 cm3
3 2  3 3
π
所以此铜镞的体积为 3 cm3故选：A.
3
5.答案：B
解析：设 f(x) x2 4x20 x2 2x10 ，
则 f(x) (x2)2 (04)2  (x1)2 (03)2 ，
 f(x)的几何意义为点M(x,0)到两定点A(2,4) 与B(1,3)的距离之和，
设点A(2,4) 关于x 轴的对称点为A，则的坐标为(2,4)，
要求 f(x)的最小值，可转化为求|MA||MB|的最小值，
利用对称思想可知：|MA||MB| MA |MB| AB  (21)2 (43)2 5 2，
即 f(x) x2 4x20 x2 2x10 的最小值为 5 2 ，
也即 y2 4y20 y2 2y10的最小值为 5 2.
6.答案：D
解析：如图，
x2 y2 y2
易得直线AC的方程为 y 3x， 由  1 x2 得，
a2 b2 a2
 
y2 b2 a2 1 9a2
 9 ，则b2  ，
x2 a2 b2 a2 8
版权所有©正确教育 侵权必究！a2
2
2 9a2 2 9a2 1 9a2 8a2 1 11，
b2      4  2   
a2 a2 8 a2 a2 8 a2 4 a2 8 4a2 4 4
9a2 8a2 8
当且仅当  ，即a2  时等号成立.故选：D.
a2 8 4a2 5
7.答案：D
1 π
解析：函数 f  x  tan x 
2 6
π
T  2π
所以函数 f  x 的最小正周期 1 ，所以选项A错误；
2
由 f  x 解析式可知 f  x 0，所以 f  x 的值域为 0,∞，所以选项B 错误；
5π 1 π 2π kπ
当x 时， x   ，kZ，
3 2 6 3 2
5π
x 不是函数 f  x 图像的对称轴，所以选项C 错误.
3
π 1 π
令kπ  x kπ，kZ，
2 2 6
2π π
可得2kπ  x2kπ ，kZ，
3 3
 2π π
 f  x 的递减区间是2kπ ,2kπ

，kZ，所以选项D正确.故选：D.
 3 3
8.答案：A
lnx x lnx2
解析：令 f x   a  a  0，
2 x x 2 x
lnx2
由题意方程 a在 0,上有两根x ，x  x  x ，
1 2 1 2
2 x
x lnx2
lnx2 
设g  x  2 x ， g x  x 2 x  lnx ，
2x 4x x
当0 x1时，g x 0，g  x 单调递增，当x1时，g x 0，g  x 单调递减，
所以g  x   g  1 10，
max
版权所有©正确教育 侵权必究！lnx2 lnx2
当x0时，g  x  ，当x时，g  x  0，
2 x 2 x
所以a的取值范围是
0,1
，故A符合题意；
由A选项分析可知0 x 1 x ，
1 2
当0 x x 时， f x  f x 0， f  x 单调递减，
1 1
当x  x x 时， f x  f x 0 f x ， f  x 单调递增，
1 2 1 2
当x x 时， f x  f x 0， f  x 单调递减，
2 2
所以x 是极小值点，故BC 不符合题意；
1
lnx 2 lnx 2 lnx 2 x
对于D，因为 1  2  a，所以 1  1 ，故D不符合题意.故选：A.
2 x 2 x lnx 2 x
1 2 2 2
9.答案：AC
解析：作出函数y 2x2 3和y 4lnx的图象，如图所示，
由图象可知： f  x 最多有两个零点，
1 2
因为 f    430 ， f( e)2e230 ， f(1)230 ， f(e)2e2430 ，
e e2
 
f e2 2e4 830，
1
所以 f   f(1)0， f(1)f( e)0，
e
由零点存在性定理可知 f  x 在   1 ,1  内有零点，在  1, e  内有零点.故选：AC.
e 
版权所有©正确教育 侵权必究！10.答案：ACD
a b c b abc
解析：A：由   ，根据等比的性质有  ，正确；
sinA sinB sinC sinB sinAsinBsinC
π π
B：当A ，B  时，有sin2Asin2B，错误；
3 6
C：sinBcosCsinCcosBsin  BC ，而BC πA，
即sinBcosCsinCcosBsinA，由正弦定理易得abcosCccosB，正确；
   
 AB  AC AB AC     
D：如图，AE   ，AF   是单位向量，则     AE AF  AG，即 AGBC 0 、
AB AC AB AC
  1     π
AEAF  ，则 AGBC 且AG平分BAC， AE ， AF 的夹角为 ，易知△ABC为等边三角
2 3
形，正确.故选：ACD.
11.答案：BCD
解析：设等差数列的首项为a ，公差为d，
1
a 3
S 10a 45d 0  1
所以 10 1 ，解得 2 ，
S 15a 105d 25 d 
15 1  3
2 2n 11  a a  n 1 10
所以a 3 n1    ，S  1 n  n2 n ，
n 3 3 3 n 2 3 3
10 11 1
对于A：a    0，故错误；
5 3 3 3
1 10 1 25
对于B：S  n2  n  n5 2  ，
n 3 3 3 3
25
由二次函数的性质可知 S  S  ，故正确；
n min 5 3
1 10
对于C：令 n2  n0，解得0 n10，所以n的最大值为9，故正确；
3 3
S 1 10 S  1
对于D：因为 n  n ，所以 n是首项为3，公差为 的等差数列，
n 3 3  n  3
S  109 1
所以 n的前10项和为103   15，故正确；故选：BCD.
 n  2 3
12.答案：BD
解析：对于 A，设z abi  a,bR ，当 a，b 均不为 0 时，z2 (abi)2 a2 b2 2abi 为虚
版权所有©正确教育 侵权必究！数，而|z|2a2 b2为实数，所以z2 |z|2不成立，故A错误；
对于B，设z abi  a,bR ，则z abi ，所以 z  a2 b2 ，|z|2a2 b2 ，
而zz  abi  abi a2 b2，所以|z|2 zz 成立，故B 正确；
对于 C，设 z  x yi  x,yR  ， z2   xiy2   x2y2xyi  2 x2  y2 4x2y2  x y ，又
z2  x2  y2 2xyi，所以 z2  z2，故C 错误.
对于D，z 1，则复数z 对应的点P的轨迹是以O  0,0 为圆心，1为半径的圆，zi  zi 
的几何意义为复数z 对应的点P与Q  0,1 两点间的距离 PQ ，所以，如图可知，当点P为 0,1 
时， PQ 最大， zi 取最大值，最大值为2，故D正确.故选BD.
3
13.答案： 或0.6
5
解析：6名专家随机选取2人的情况有C2 15种，
6
其中甲、乙2人都未被选中的情况有C2 6种，
4
6 3 3
则甲、乙2人中至少有1人被选中的概率为1  .故答案为： .
15 5 5
14.答案：45
解析：由题得圆(x2)2 (y1)2 25，设圆心M(2,1)，半径r 5，|OM | 22 (1)2  5.
若圆心M(2,1)到直线 AC，BD 的距离为d ，d ，则d ，d [0 5]且d2 d2 OM2 5，
1 2 1 2 1 2
1
| AC|2 25d2 ， |BD|2 25d2 ， 而 S  | AC||BD| ， 所 以
1 2 四边形ABCD 2
S 2 62525  d2d2   d d 2 2 500  d d 2 ， 令 t d2 5d2[0,5] ， 则
四边形ABCD 1 2 1 2 1 2 2 1
版权所有©正确教育 侵权必究！ 5 2 2025 5 10
S 2 5005tt2 2  t   ，令t  ，即d d  时，四边形ABCD
四边形ABCD  2 4 2 1 2 2
面积的最大值为45.
15.答案： 0,1 或  y  0 y1 
解析：当1 x0时，
y x
2
3
在1,0 上单调递减，所以0 y1；
当0 x 1时， y    2  x 在 0,1 上单调递减，所以 2  y1；
3 3
 2
x3,1 x0

所以函数y 
x
的值域为 0,1 ，故答案为： 0,1 
2

 
,0 x1
3
2n1 2n1
16.答案：（1）b  
n a 2n
n
5 
（2）  , 
2 
解析：（1）当n 1时，a 2a 2，解得a  2.
1 1 1
当n2时，S 2a 2,S 2a 2，两式相减得a 2a 2a ，
n n n1 n1 n n n1
即a 2a  n2 ，所以 a 是首项、公比均为2的等比数列，故a 2n.
n n1 n n
2n1 2n1
又a b 12  n1 2n1，故b   .
n n n a 2n
n
2n1 1 3 5 2n1
（2）因为b  ，所以T     ①，
n 2n n 2 22 23 2n
1 1 3 5 2n1
T     ②，
2 n 22 23 24 2n1
1 1 1 1 1  2n1 1  1  2n1 3 2n3
①-②得 T          1    .
2 n 2 2 22 2n1 2n1 2  2n1 2n1 2 2n1
2n3
所以T 3 .
n 2n
2n3
不等式3T 对一切nN*恒成立，转化为 对一切nN*恒成立.
n 2n
版权所有©正确教育 侵权必究！2n3
令 f  n  ，nN*，
2n
2n1 5
f  n1  f  n  0， f  n 单调递减， f(n)  f  1 
2n1 max 2
5

2
5 
所以实数的取值范围为  , .
2 
x2 y2
17.答案：（1）  1
2 2
（2）1
c
 2

a
  a  2,
解析：（1）由题意可得c2 ，解得

c2 a2 b2
b 2,


x2 y2
则双曲线C 的标准方程为  1.
2 2
（2）由题意可知直线l的斜率不为0，设直线l:xmy2，A  x ,y ，B  x ,y ，P  x ,0 ，
1 1 2 2 0
xmy2,
  
联立x2 y2 整理得 m2 1 y2 4my20，

 1,
 2 2
4m 2
则y  y  ，y y  .
1 2 m2 1 1 2 m2 1
 
因为PA x x ,y ，PB  x x ,y ，
1 0 1 2 0 2
 
所以PAPB  x x  x x  y y   my  2x  my  2x  y y
1 0 2 0 1 2 1 0 2 0 1 2
  m2 1  y y m  2x  y  y x2 4x 4.
1 2 0 1 2 0 0
4m 2
将y  y  ，y y  代入上式，
1 2 m2 1 1 2 m2 1
   
  2 m2 1 4m2 2x  x2 2 m2 x2 4x 2
得 PAPB   0 x2 4x  4 0 0 0 .
m2 1 m2 1 0 0 m2 1
版权所有©正确教育 侵权必究！ 
若 PAPB 为定值，则x2 2 x2 4x 2，解得x 1，
0 0 0 0
 
故存在点P  1,0 ，使得 PAPB 为定值1.
18.答案：(1)证明见解析
(2)2
解析：（1）证明：连接PD交AC于O，连接OE，
因为四边形ABCD为矩形，O为BD的中点，
又因为E为PD的中点，则OE//PB，
因为OE 平面AEC，PB平面AEC，因此，OE//平面AEC .
（2）由题设PA平面ABCD，四边形ABCD为矩形，
以点A为坐标原点，AB、AD、AP所在直线分别为x、y、z轴建立如下图所示的空间直角
坐标系，
PA平面ABCD，AD平面ABCD，PA AD，
所以， AD  PD2 PA2 2 3 ，
则C(2,2 3,0)、D(0,2 3,0)、P(0,0,2)、A(0,0,0)，
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设PE PD (0,2 3,2)(0,2 3,2)，其中01，
   
则AE  APPE (0,2 3,22)，AC (2,2 3,0)，

  mAC  2x2 3y 0
设平面ACE的法向量为m(x,y,z)，则 ，
mAE  2 3y(22)z 0

取y 1，可得m( 3(1),1, 3)，

易知平面ABC的一个法向量为n(0,0,1)，
 
  |mn| 3 3
由题可得|cosm,n|     ，
|m||n| 4(1)2 32 2
2 PE
因为01，解得 ，此时 2.
3 ED
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