四月数学每周好题精选（第一周）_2024高考押题卷_152024其他平台全系列_资料2024版（名校︱机构）备考押题资料_（冲刺高考）正确云·四月每周好题精选（第1周）

四月数学每周好题精选（第一周） 1.随着“一带一路”经贸合作持续深化，西安某地对外贸易近几年持续繁荣，2023 年 6 月18 日，该地很多商场都在搞“618”促销活动.市物价局派人对某商品同一天的销售量及其价格进 行调查，得到该商品的售价 x（单位：元）和销售量 y（单位：百件）之间的一组数据（如表 所示），用最小二乘法求得 y 关于 x 的线性回归方程是 yˆ 0.25xaˆ，预测当售价为 45 元时， 销售量件数大约为（单位：百件）( ) x 20 25 30 35 40 y 5 7 8 9 11 A.12 B.12.5 C.13 D.11.75 2.函数y log  2x  13x 的定义域为( ) 2 A. 2,0  B. 2,0  C.  0,2  D. 1,2        2 2 3.已知点O为△ABC所在平面内一点，在△ABC中，满足2ABAO AB ，2ACAO  AC ， 则点O为该三角形的( ) A.内心 B.外心 C.垂心 D.重心 4.战国时期的铜镞是一种兵器，其由两部分组成，前段是高为3cm，底面边长为2cm 的正三棱 锥，后段是高为 1cm 的圆柱，圆柱底面圆与正三棱锥底面的正三角形内切，则此铜镞的体积 为( ) π 3 π 3π 3 3π A. 3 cm3 B.  cm3 C. 3 cm3 D.  cm3 3 3 3 4 3 4 5.著名数学家华罗庚曾说过“数无形时少直觉，形少数时难入微”，事实上，很多代数问题都 可以转化为几何问题加以解决，如：  xa 2  yb 2 可以转化为平面上点M  x,y 与点 N  a,b 的距离，结合上述观点，可得 y2 4y20 y2 2y10的最小值为( ) 版权所有©正确教育 侵权必究！A.2 5 B.5 2 C.8 D.6 x2 y2 y2 6.已知由椭圆C :  1(a b 1) 与椭圆C :x2  1的交点连线可构成矩形ABCD（点 1 a2 b2 2 a2 2 A，B 在x轴下方），且BC 3CD，则b2  的最小值为( ) a2 3 5 11 A.2 2 B. C. D. 2 4 4 1 π 7.已知函数 f  x  tan x  ，则下列说法正确的是( ) 2 6 π A. f  x 的最小正周期是 2 B. f  x 的值域是  y yR且y 0  5π C.直线x 是函数 f  x 图像的一条对称轴 3  2π π D. f  x 的递减区间是2kπ ,2kπ  ，kZ  3 3 8.已知函数 f  x  xlnxax有两个不同的极值点x ，x  x  x 则下列说法不正确的是( ) 1 2 1 2 A.a的取值范围是,1  B.x 是极小值点 1 lnx 2 x C.当x x ,时， f x 0 D. 1  1 2 lnx 2 x 2 2 9.（多选）函数 f(x)2x24lnx3，则( ) 1   1 A. f  x 在 ,1内有零点 B. f  x 在0, 内有零点 e   e C. f  x 在  1, e  内有零点 D. f  x 在  e,e2  内有零点 10.（多选）在△ABC中，内角A，B，C 所对的边分别为a、b、c，则下列说法正确的是( ) b abc A.  sinB sinAsinBsinC B.若A B，则sin2Asin2B C.abcosCccosB 版权所有©正确教育 侵权必究！      AB AC  AB AC 1 D.若    BC  0，且     ，则△ABC为等边三角形  AB AC  AB AC 2   11.（多选）已知等差数列 a 的前n项和为S ，S 0，S 25，则( ) n n 10 15 A.a 0 B.  a 的前n项和中S 最小 5 n 5 S  C.使S 0时n的最大值为9 D.数列 n的前10项和为15 n  n  12.（多选）设z 为非零复数，则下列命题中正确的是( ) A.z2 |z|2 B.|z|2 zz C. z2  z2 D.若 z 1，则 zi 的最大值为2 13.从甲、乙等 6 名专家中任选 2人前往某地进行考察，则甲、乙 2 人中至少有 1 人被选中的 概率为________. 14.如图，经过坐标原点 O且互相垂直的两条直线 AC 和BD与圆x2  y2 4x2y200相交 于A，C，B，D四点，则四边形ABCD面积的最大值为____________.  2 x3,1 x0  15.函数y  x 的值域为________. 2    ,0 x1 3 16.已知数列  a  的前n项和为S ，且S 2a 2，数列  a b  是首项为1，公差为2的等差 n n n n n n 数列.     （1）求数列 a ， b 的通项公式； n n 版权所有©正确教育 侵权必究！（2）设数列  b  的前n项和为T ，且不等式3T 对一切nN*恒成立，求实数的取值 n n n 范围. 17.已知双曲线C: x2  y2 1(a 0,b0)的离心率为 2 ，右焦点为F  2,0  . a2 b2 （1）求双曲线C 的标准方程.   （2）过点F的直线l与双曲线C 的右支交于A，B两点，在x轴上是否存在点P，使得 PA.PB 为定值?若存在，求出该定值；若不存在，请说明理由. 18.如图， 四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，PA平面ABCD，点E在线段PD上. (1)若E为PD 的中点， 证明：PB//平面AEC； 5π (2)若PA2，PD2AB 4，若二面角EACB的大小为 ，试求PE:ED的值. 6 版权所有©正确教育 侵权必究！答案以及解析 1.答案：D 1 1 解析：因为 x  (2025303540)30， y  (578911)8，所以回归直线过点 5 5 (30,8)，故80.2530aˆ，即aˆ 0.5，所以yˆ 0.25x0.5.将x45代入yˆ 0.25x0.5中，得 yˆ 0.25450.511.75.故选D. 2.答案：B 2x0 x 2 解析：要使得函数有意义，则 ，即 ，解得2 x0 13x 0 x0 所以函数的定义域为2,0  .故选：B 3.答案：B           2 2 解析：根据题意， 2ABAO AB ，即 2ABAO 2 AB AO cos AB,AO  AB ，所以    1     AO cos AB,AO  AB ，可得向量 AO 在向量 AB 上的投影为 AB 的一半，可分析出点 O 2 在边AB 的中垂线上，同理可得，点O在边AC 的中垂线上，所以点O为该三角形的外心. 故选B. 4.答案：A 解析：由题意，铜镞的直观图如图所示， 1 1 3 三棱锥的体积V  3 22  3cm3， 1 3 2 2 因为圆柱的底面圆与正三棱锥底面的正三角形内切， 版权所有©正确教育 侵权必究！1  1  2 π 所以圆柱的底面圆的半径r  cm，所以圆柱的体积V 1π    cm3 3 2  3 3 π 所以此铜镞的体积为 3 cm3故选：A. 3 5.答案：B 解析：设 f(x) x2 4x20 x2 2x10 ， 则 f(x) (x2)2 (04)2  (x1)2 (03)2 ，  f(x)的几何意义为点M(x,0)到两定点A(2,4) 与B(1,3)的距离之和， 设点A(2,4) 关于x 轴的对称点为A，则的坐标为(2,4)， 要求 f(x)的最小值，可转化为求|MA||MB|的最小值， 利用对称思想可知：|MA||MB| MA |MB| AB  (21)2 (43)2 5 2， 即 f(x) x2 4x20 x2 2x10 的最小值为 5 2 ， 也即 y2 4y20 y2 2y10的最小值为 5 2. 6.答案：D 解析：如图， x2 y2 y2 易得直线AC的方程为 y 3x， 由  1 x2 得， a2 b2 a2   y2 b2 a2 1 9a2  9 ，则b2  ， x2 a2 b2 a2 8 版权所有©正确教育 侵权必究！a2 2 2 9a2 2 9a2 1 9a2 8a2 1 11， b2      4  2    a2 a2 8 a2 a2 8 a2 4 a2 8 4a2 4 4 9a2 8a2 8 当且仅当  ，即a2  时等号成立.故选：D. a2 8 4a2 5 7.答案：D 1 π 解析：函数 f  x  tan x  2 6 π T  2π 所以函数 f  x 的最小正周期 1 ，所以选项A错误； 2 由 f  x 解析式可知 f  x 0，所以 f  x 的值域为 0,∞，所以选项B 错误； 5π 1 π 2π kπ 当x 时， x   ，kZ， 3 2 6 3 2 5π x 不是函数 f  x 图像的对称轴，所以选项C 错误. 3 π 1 π 令kπ  x kπ，kZ， 2 2 6 2π π 可得2kπ  x2kπ ，kZ， 3 3  2π π  f  x 的递减区间是2kπ ,2kπ  ，kZ，所以选项D正确.故选：D.  3 3 8.答案：A lnx x lnx2 解析：令 f x   a  a  0， 2 x x 2 x lnx2 由题意方程 a在 0,上有两根x ，x  x  x ， 1 2 1 2 2 x x lnx2 lnx2  设g  x  2 x ， g x  x 2 x  lnx ， 2x 4x x 当0 x1时，g x 0，g  x 单调递增，当x1时，g x 0，g  x 单调递减， 所以g  x   g  1 10， max 版权所有©正确教育 侵权必究！lnx2 lnx2 当x0时，g  x  ，当x时，g  x  0， 2 x 2 x 所以a的取值范围是 0,1 ，故A符合题意； 由A选项分析可知0 x 1 x ， 1 2 当0 x x 时， f x  f x 0， f  x 单调递减， 1 1 当x  x x 时， f x  f x 0 f x ， f  x 单调递增， 1 2 1 2 当x x 时， f x  f x 0， f  x 单调递减， 2 2 所以x 是极小值点，故BC 不符合题意； 1 lnx 2 lnx 2 lnx 2 x 对于D，因为 1  2  a，所以 1  1 ，故D不符合题意.故选：A. 2 x 2 x lnx 2 x 1 2 2 2 9.答案：AC 解析：作出函数y 2x2 3和y 4lnx的图象，如图所示， 由图象可知： f  x 最多有两个零点， 1 2 因为 f    430 ， f( e)2e230 ， f(1)230 ， f(e)2e2430 ， e e2   f e2 2e4 830， 1 所以 f   f(1)0， f(1)f( e)0， e 由零点存在性定理可知 f  x 在   1 ,1  内有零点，在  1, e  内有零点.故选：AC. e  版权所有©正确教育 侵权必究！10.答案：ACD a b c b abc 解析：A：由   ，根据等比的性质有  ，正确； sinA sinB sinC sinB sinAsinBsinC π π B：当A ，B  时，有sin2Asin2B，错误； 3 6 C：sinBcosCsinCcosBsin  BC ，而BC πA， 即sinBcosCsinCcosBsinA，由正弦定理易得abcosCccosB，正确；      AB  AC AB AC      D：如图，AE   ，AF   是单位向量，则     AE AF  AG，即 AGBC 0 、 AB AC AB AC   1     π AEAF  ，则 AGBC 且AG平分BAC， AE ， AF 的夹角为 ，易知△ABC为等边三角 2 3 形，正确.故选：ACD. 11.答案：BCD 解析：设等差数列的首项为a ，公差为d， 1 a 3 S 10a 45d 0  1 所以 10 1 ，解得 2 ， S 15a 105d 25 d  15 1  3 2 2n 11  a a  n 1 10 所以a 3 n1    ，S  1 n  n2 n ， n 3 3 3 n 2 3 3 10 11 1 对于A：a    0，故错误； 5 3 3 3 1 10 1 25 对于B：S  n2  n  n5 2  ， n 3 3 3 3 25 由二次函数的性质可知 S  S  ，故正确； n min 5 3 1 10 对于C：令 n2  n0，解得0 n10，所以n的最大值为9，故正确； 3 3 S 1 10 S  1 对于D：因为 n  n ，所以 n是首项为3，公差为 的等差数列， n 3 3  n  3 S  109 1 所以 n的前10项和为103   15，故正确；故选：BCD.  n  2 3 12.答案：BD 解析：对于 A，设z abi  a,bR ，当 a，b 均不为 0 时，z2 (abi)2 a2 b2 2abi 为虚 版权所有©正确教育 侵权必究！数，而|z|2a2 b2为实数，所以z2 |z|2不成立，故A错误； 对于B，设z abi  a,bR ，则z abi ，所以 z  a2 b2 ，|z|2a2 b2 ， 而zz  abi  abi a2 b2，所以|z|2 zz 成立，故B 正确； 对于 C，设 z  x yi  x,yR  ， z2   xiy2   x2y2xyi  2 x2  y2 4x2y2  x y ，又 z2  x2  y2 2xyi，所以 z2  z2，故C 错误. 对于D，z 1，则复数z 对应的点P的轨迹是以O  0,0 为圆心，1为半径的圆，zi  zi  的几何意义为复数z 对应的点P与Q  0,1 两点间的距离 PQ ，所以，如图可知，当点P为 0,1  时， PQ 最大， zi 取最大值，最大值为2，故D正确.故选BD. 3 13.答案： 或0.6 5 解析：6名专家随机选取2人的情况有C2 15种， 6 其中甲、乙2人都未被选中的情况有C2 6种， 4 6 3 3 则甲、乙2人中至少有1人被选中的概率为1  .故答案为： . 15 5 5 14.答案：45 解析：由题得圆(x2)2 (y1)2 25，设圆心M(2,1)，半径r 5，|OM | 22 (1)2  5. 若圆心M(2,1)到直线 AC，BD 的距离为d ，d ，则d ，d [0 5]且d2 d2 OM2 5， 1 2 1 2 1 2 1 | AC|2 25d2 ， |BD|2 25d2 ， 而 S  | AC||BD| ， 所 以 1 2 四边形ABCD 2 S 2 62525  d2d2   d d 2 2 500  d d 2 ， 令 t d2 5d2[0,5] ， 则 四边形ABCD 1 2 1 2 1 2 2 1 版权所有©正确教育 侵权必究！ 5 2 2025 5 10 S 2 5005tt2 2  t   ，令t  ，即d d  时，四边形ABCD 四边形ABCD  2 4 2 1 2 2 面积的最大值为45. 15.答案： 0,1 或  y  0 y1  解析：当1 x0时， y x 2 3 在1,0 上单调递减，所以0 y1； 当0 x 1时， y    2  x 在 0,1 上单调递减，所以 2  y1； 3 3  2 x3,1 x0  所以函数y  x 的值域为 0,1 ，故答案为： 0,1  2    ,0 x1 3 2n1 2n1 16.答案：（1）b   n a 2n n 5  （2）  ,  2  解析：（1）当n 1时，a 2a 2，解得a  2. 1 1 1 当n2时，S 2a 2,S 2a 2，两式相减得a 2a 2a ， n n n1 n1 n n n1 即a 2a  n2 ，所以 a 是首项、公比均为2的等比数列，故a 2n. n n1 n n 2n1 2n1 又a b 12  n1 2n1，故b   . n n n a 2n n 2n1 1 3 5 2n1 （2）因为b  ，所以T     ①， n 2n n 2 22 23 2n 1 1 3 5 2n1 T     ②， 2 n 22 23 24 2n1 1 1 1 1 1  2n1 1  1  2n1 3 2n3 ①-②得 T          1    . 2 n 2 2 22 2n1 2n1 2  2n1 2n1 2 2n1 2n3 所以T 3 . n 2n 2n3 不等式3T 对一切nN*恒成立，转化为 对一切nN*恒成立. n 2n 版权所有©正确教育 侵权必究！2n3 令 f  n  ，nN*， 2n 2n1 5 f  n1  f  n  0， f  n 单调递减， f(n)  f  1  2n1 max 2 5  2 5  所以实数的取值范围为  , . 2  x2 y2 17.答案：（1）  1 2 2 （2）1 c  2  a   a  2, 解析：（1）由题意可得c2 ，解得  c2 a2 b2 b 2,   x2 y2 则双曲线C 的标准方程为  1. 2 2 （2）由题意可知直线l的斜率不为0，设直线l:xmy2，A  x ,y ，B  x ,y ，P  x ,0 ， 1 1 2 2 0 xmy2,    联立x2 y2 整理得 m2 1 y2 4my20，   1,  2 2 4m 2 则y  y  ，y y  . 1 2 m2 1 1 2 m2 1   因为PA x x ,y ，PB  x x ,y ， 1 0 1 2 0 2   所以PAPB  x x  x x  y y   my  2x  my  2x  y y 1 0 2 0 1 2 1 0 2 0 1 2   m2 1  y y m  2x  y  y x2 4x 4. 1 2 0 1 2 0 0 4m 2 将y  y  ，y y  代入上式， 1 2 m2 1 1 2 m2 1       2 m2 1 4m2 2x  x2 2 m2 x2 4x 2 得 PAPB   0 x2 4x  4 0 0 0 . m2 1 m2 1 0 0 m2 1 版权所有©正确教育 侵权必究！  若 PAPB 为定值，则x2 2 x2 4x 2，解得x 1， 0 0 0 0   故存在点P  1,0 ，使得 PAPB 为定值1. 18.答案：(1)证明见解析 (2)2 解析：（1）证明：连接PD交AC于O，连接OE， 因为四边形ABCD为矩形，O为BD的中点， 又因为E为PD的中点，则OE//PB， 因为OE 平面AEC，PB平面AEC，因此，OE//平面AEC . （2）由题设PA平面ABCD，四边形ABCD为矩形， 以点A为坐标原点，AB、AD、AP所在直线分别为x、y、z轴建立如下图所示的空间直角 坐标系， PA平面ABCD，AD平面ABCD，PA AD， 所以， AD  PD2 PA2 2 3 ， 则C(2,2 3,0)、D(0,2 3,0)、P(0,0,2)、A(0,0,0)， 版权所有©正确教育 侵权必究！  设PE PD (0,2 3,2)(0,2 3,2)，其中01，     则AE  APPE (0,2 3,22)，AC (2,2 3,0)，    mAC  2x2 3y 0 设平面ACE的法向量为m(x,y,z)，则 ， mAE  2 3y(22)z 0  取y 1，可得m( 3(1),1, 3)，  易知平面ABC的一个法向量为n(0,0,1)，     |mn| 3 3 由题可得|cosm,n|     ， |m||n| 4(1)2 32 2 2 PE 因为01，解得 ，此时 2. 3 ED 版权所有©正确教育 侵权必究！版权所有©正确教育 侵权必究！