文档内容
专题 02 一元二次函数、方程和不等式
（3 种经典基础练+3 种优选提升练）
等式性质与不等式性质（共10题）
一、单选题
1．（22-23高一上·甘肃酒泉·期末）铁路总公司关于乘车行李规定如下：乘坐动车组列车携带品的
外部尺寸长、宽、高之和不超过130cm，且体积不超过 ，设携带品外部尺寸长、宽、高
分别记为a，b，c（单位：cm），这个规定用数学关系式可表示为（ ）
A． 且 B． 且
C． 且 D． 且
【答案】C
【分析】根据数量关系列不等式，“不超过”不等号为“小于等于”.
【详解】由长、宽、高之和不超过130cm得 ，由体积不超过 得 .
故选：C.
2．（23-24高一上·云南昆明·期末）已知 ，则下列命题为真命题的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
【答案】C
【分析】根据题意，结合不等式的基本性质，以及特例和作差比较法，逐项判定，即可求解.
【详解】对于A中，例如： ，满足 ，但 ，所以A不正确；
学科网（北京）股份有限公司对于B中，例如： ，满足 ，但 ，所以B不正确；
对于C中，由 ，
因为 ，可得 且 ，所以 ，所以C正确；
对于D中，由 ，可得 ，可得 ，
所以 ，所以D不正确.
故选：C.
3．（23-24高一上·辽宁沈阳·期末）已知 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据不等式的性质即可比较大小.
【详解】因为 ，
故 ，
，
，
即 ，
故 .
故选：D.
4．（22-23高一上·广东湛江·期末）下列命题中正确的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
学科网（北京）股份有限公司【答案】A
【分析】利用不等式的性质逐个判断各个选项即可．
【详解】对于A，若 ，又 ，则 ，故A正确，
对于B，若 ， ，满足 ，但是 ，故B错误，
对于C，若 ，则 ，故C错误，
对于D，若 ， ，满足 ，但是 ，故D错误，
故选：A．
二、多选题
5．（23-24高一上·宁夏石嘴山·期末）英国数学家哈利奥特最先使用“>”和“<”符号，并逐渐被数
学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远，若 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】CD
【分析】根据不等式的性质及特殊值法可判断各选项.
【详解】选项A：若 ，则 ，故A错误；
选项B：若 ，则 ，故B错误；
选项C：因为 ，则 ，即 ，故C正确；
选项D：因为 ，则 ，即 ，故D正确；
故选：CD.
6．（21-22高一上·江苏镇江·期末）对于实数 ， ， ，正确的命题是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 ， D．若 ， ，则
【答案】ABD
学科网（北京）股份有限公司【分析】利用作差法，作商法和特值法依次判断选项即可.
【详解】对选项A，因为 ，所以 ， ，
所以 ，故A正确；
对选项B， ， ，所以 ，
因为 ，所以 ，即 ，故B正确；
对选项C，令 ， ，满足 ，不满足 ， .
对选项D，因为 ， ，
所以 ，故D正确.
故选：ABD
7．（23-24高一上·浙江湖州·期末）若 ， ， ，则下列命题正确的是（ ）
A．若 且 ，则 B．若 且 ，则
C．若 ，则 D．
【答案】BD
【分析】利用特殊值判断A，利用作差法判断B、C、D.
【详解】对于A：当 ， 时，满足 且 ，但 ，故A错误；
对于B：因为 且 ，
所以 ，故 ，故B正确；
对于C：因为 ，所以 ，即 ，故C错误；
对于D：因为 ，
所以 ，故D正确．
学科网（北京）股份有限公司故选：BD．
8．（23-24高一上·广西贺州·期末）若 ， ，则下列不等关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABD
【分析】直接利用不等式的性质判断ABC，作差法判断D．
【详解】对A, ， ，由不等式性质易知 ，故A正确；
对B, ， ,则 ，故B正确；
对C, ， ，由不等式性质易知 ，故C错误；
对D, 若 ，则 , 故D正确.
故选：ABD.
9．（23-24高一上·安徽·期末）已知 ，则下列结论成立的是（）
A． B．若 ．则
C．若 ，则 D．
【答案】AC
【分析】对于A,用作差法比较大小即可；对于B,举特殊情况即可判断；对于C,用作差法比较即可；
对于D,用作差法比较即可.
【详解】对于 ,因为 ,所以 ,
即 , ，即 故 ，故 正确;
对于 ,若 则 ,故 错误;
对于 ,即 ,故 正确;
对于 , ,故 错误.
故选: .
学科网（北京）股份有限公司三、解答题
10．（23-24高一上·陕西榆林·期中）证明下列不等式：
(1)已知 ，求证： ；
(2)已知 ，求证： .
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）依题意可得 ，再根据不等式的性质证明；
（2）利用作差法证明即可.
【详解】（1） ，即 ，
，则 .
（2） ，
，
，
则 ，
基本不等式（共14题）
一、单选题
1．（23-24高一上·浙江·期末）已知 ， ，且 ，则 的最小值为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．9
【答案】D
【分析】根据题意，以 与 为基本量加以整理，化简后利用基本不等式算出答案.
学科网（北京）股份有限公司【详解】由 得 ，其中 ， ，
所以 ，
当且仅当 ，即 ，则 ， 时，等号成立，
故 的最小值为9.
故选：D
2．（22-23高一上·广东深圳·期末）若x，y满 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由基本不等式的性质进行逐一判断即可.
【详解】因为 ，当且仅当 时取等号，
所以 ，
因为 ，
而 ，所以 ，
于是有 ，故选项AB都不正确；
由 ，
故选：C
3．（23-24高一上·贵州安顺·期末）若不等式 恒成立，则实数 的最大值为
（ ）
学科网（北京）股份有限公司A．2 B．3 C．4 D．9
【答案】D
【分析】化简可得 恒成立，再根据基本不等式求解 的最小值即可.
【详解】由题意 恒成立，即 恒成立.
又 ，当且仅当 时取等号.
故实数 的最大值为9.
故选：D
4．（23-24高一上·云南昆明·期末）如图，为满足居民健身需求，某小区计划在一块直角三角形空
地中建一个内接矩形健身广场（阴影部分），则健身广场的最大面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设出边长，利用相似得到定值，再利用基本不等式求解即可.
【详解】设矩形广场的长为 ，宽为 ，且 ， ，
由三角形相似性质得 ，化简得 ，
而 ，当且仅当 时取等，故 ，
故健身广场的最大面积为 .
故选：C
二、多选题
5．（23-24高一上·福建漳州·期末）已知 ， ，且 ，则（ ）
学科网（北京）股份有限公司A． 的最大值为 B． 的最小值为
C． 的最小值为2 D． 的最大值为8
【答案】BC
【分析】A选项，利用基本不等式直接进行求解；B选项，利用基本不等式“1”的妙用求出最值；C
选项， 两边平方后，利用基本不等式求出答案；D选项，变形得到
，D错误.
【详解】A选项，因为 ，由基本不等式得 ，
即 ，故A错误；
B选项，因为 ，
所以 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立，
故 的最小值为 ，B正确；
C选项， 两边平方得 ，
，其中 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立，
故 ，解得 ，
的最小值为2，C正确；
D选项，因为 ， ，
所以 ，
学科网（北京）股份有限公司故D错误.
故选：BC
6．（23-24高一上·山东枣庄·期末）已知a，b，c满足 ，且 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABD
【分析】首先利用放缩法证明出 ， ，从而可以判断ABC，对于D则需要使用基本不等式.
【详解】因为 ，所以 ，即 ， ，即 ，
所以 ，故AB正确C错误；
对于D： ，故D正确.
故选：ABD
7．（22-23高一上·广东茂名·期末）已知 ，且 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【分析】利用基本不等式的性质依次判断选项即可得到答案.
【详解】对选项A，因为 ，所以 ，
当且仅当 时等号成立，故A正确.
对选项B，因为 ， ，且 ，
所以 .
当且仅当 ，即 时等号成立，故B正确.
对选项C， ，
当且仅当 时等号成立，故C错误.
学科网（北京）股份有限公司对选项D， ，且 ，所以 ，
即 ，当且 时等号成立.
所以 ，
所以 ，故D正确.
故选：ABD
8．（23-24高一上·河南安阳·期末）下列说法正确的是（ ）
A． ，则 的最小值是2
B． ，则 的最小值是
C． ，则 的最小值是1
D． 的最小值为9
【答案】BD
【分析】根据选项式子的特点，利用函数单调性或者基本不等式可得答案.
【详解】对于A，当 时， ，A不正确；
对于B， ，令 ，则 ，
由对勾函数的单调性可知，当 时， 为增函数，所以 的最小值是 ，B正确；
对于C，令 ，由 得 ， ，
由对勾函数的单调性可知，当 时， 为增函数，所以 的最小值是 ，C不正确；
对于D，由 可得 ， ，
学科网（北京）股份有限公司当且仅当 ，即 时，取到等号，D正确.
故选：BD.
三、填空题
9．（22-23高一上·广东广州·期末）已知 ， ，且 ，若 恒成立，则实数
的取值范围是 ．
【答案】
【分析】将 与 相乘，展开后利用基本不等式求出 的最小值，即可得出实数 的
取值范围.
【详解】因为 ， ，且 ，
所以， ，
当且仅当 时，等号成立，故 的最小值为 .
因为 恒成立，所以， .
故答案为： .
10．（23-24高一上·河南·期末）已知 ，且 ，则 的最大值是 .
【答案】
【分析】直接利用基本不等式计算即可.
【详解】因为 ，所以
学科网（北京）股份有限公司因为 ，所以 ，即 .
当且仅当 ，即 时，等号成立.
所以 的最大值是 .
故答案为： .
11．（21-22高一上·江西南昌·期末）当 时，函数 的最小值为 ．
【答案】
【分析】将函数解析式变形为 ，利用基本不等式可求得结果.
【详解】因为 ，则 ，则
，
当且仅当 时，等号成立，
所以，当 时，函数 的最小值为 .
故答案为： .
四、解答题
12．（23-24高一上·四川遂宁·期末）（1）已知 ，求 的最大值；
（2）已知 ，求 的最小值．
学科网（北京）股份有限公司【答案】（1） ；（2）
【分析】（1）利用基本不等式即可得解；
（2）利用基本不等式，结合换元法即可得解.
【详解】（1）因为 ，所以 ，
则 ，当且仅当 ，即 时，取到等号，
所以 的最大值为 ；
（2）因为 ，所以 ，
令 ，则 ，
所以 ，
当且仅当 ，即 ，即 时，取到等号，
所以 的最小值为 .
13．（22-23高一上·陕西榆林·期末）已知 ， .
(1)若 ，求 的最大值；
(2)若 ，证明： .
【答案】(1)9
(2)证明见解析
【分析】（1）由 运用基本不等式求乘积得最大值；
（2）直接由基本不等式 对已知等式进行放缩，证得结果.
【详解】（1）因为 ，所以 .
学科网（北京）股份有限公司，
当且仅当 ， ， 时，等号成立，
故 的最大值为9.
（2）证明：因为 ，
所以 ，又 ，
解得 ，
当且仅当 时，等号成立.
故 .
14．（22-23高一上·河南·期末）证明下列不等式，并讨论等号成立的条件．
(1)若 ，则 ；
(2)若 ，则 ．
【答案】(1)答案见解析
(2)答案见解析
【分析】（1）利用基本不等式即可证明；
（2）讨论 和 两种情况，脱掉绝对值符号，结合基本不等式证明即可.
【详解】（1）证明：因为 ，所以 ， ，
所以 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立．
学科网（北京）股份有限公司（2）证明：因为 ，当 时， ，
当且仅当 时等号成立．
当 时， ，
当且仅当 时等号成立．
综上，若 ，则 成立，当且仅当 时等号成立．
二次函数与一元二次方程、不等式（共20题）
一、单选题
1．（23-24高一上·江苏徐州·期末）若命题“ ， ”是假命题，则实数 的最小值
为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
【答案】C
【分析】根据特称命题与全称命题的真假性质，结合一元二次不等式的解集的性质进行求解即可.
【详解】因为命题“ ， ”是假命题，
所以命题“ ， ”是真命题，
因此有 ，所以实数 的最小值为 ，
故选：C
2．（23-24高一上·安徽宣城·期末）若命题“ ，使 ”是真命题，则实数m的取
值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
学科网（北京）股份有限公司【分析】由存在性问题得 即可得解.
【详解】由题意命题“ ，使 ”是真命题，所以 ，
当且仅当 ，有 ，所以实数m的取值范围是 .
故选：C.
3．（22-23高一上·河北保定·期末）关于二次函数 ，则下列正确的是（ ）
A．函数图象与x轴总有两个不同的交点
B．若函数图象与x轴正半轴交于不同的两点，则
C．不论k为何值，若将函数图象向左平移1个单位，则图象经过原点
D．当 时，y随x的增大而增大，则
【答案】C
【分析】根据二次函数对应二次方程的判别式判断A，由根与系数的关系判断B，由图象的平移判
断C，根据对称轴判断D.
【详解】 ， 函数图象与x轴总有两个不同的交点或
相同的交点，故A错误；
若函数图象与x轴正半轴交于不同的两点，则由根与系数的关系知 ，解得 且 ，
故B错误；
若将函数图象向左平移1个单位，可得到 ，令 ，则 ，即图象经
过原点，故C错误；
当 时，y随x的增大而增大，即函数图象的对称轴 ，解得 ，故D错误.
故选：C
4．（23-24高一上·江苏南京·期末）若函数 在区间 上单调递减，则实数
的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
学科网（北京）股份有限公司【答案】D
【分析】利用二次函数的对称轴及函数的单调性列出不等式求解.
【详解】因为函数 在区间 上单调递减，
所以 ，解得 .
故选：D
二、多选题
5．（23-24高一上·内蒙古巴彦淖尔·期末）已知命题 ： ，则命题 成立的一个充分
不必要条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AB
【分析】解不等式求得 ： ，利用充分不必要条件的概念计算即可.
【详解】由 ，解得 .
要满足题意，只需在 的子集中确定即可，
显然 和 都是命题 成立的充分不必要条件.
故选：AB.
6．（23-24高一上·湖北十堰·期末）已知关于 的不等式. 的解集为 .
则（ ）
A．
B．不等式 的解集是
C．
D．不等式 的解集为 或
【答案】AC
【分析】由条件可得 为方程 的两根，且 ，结合根与系数关系可得 的关
系，再逐项判断各选项.
学科网（北京）股份有限公司【详解】因为不等式. 的解集为 ，
所以 为方程 的两根，且 ，
所以 ， ，
所以 ， ， ，
因为 ，所以A正确；
因为 ， ， ，
所以不等式 可化为 ，B错误；
因为 ， ， ，
所以 ，C正确；
因为 ， ， ，
所以不等式 可化为 ，
解得， ，所以D错误；
故选：AC.
7．（23-24高一上·安徽宣城·期末）对任意的 ，函数 的值域是 ．
则下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C． 的最小值是12 D． 的最小值是
【答案】ABC
【分析】由题意可得 ，且 ，从而可求得 的关系，即可判断AB；再根据基本不
等式判断CD即可.
【详解】因为函数 的值域是 ，
所以 ，且 ，
学科网（北京）股份有限公司即 ，所以 ，故AB正确；
由 ，得 ，
则 ，
当且仅当 ，即 时，取等号，
所以 的最小值是12，故C正确；
由 ，得 ，
则 ，
当且仅当 ，即 时取等号，
所以 的最小值是 ，故D错误.
故选：ABC.
8．（23-24高一上·江西抚州·期末）若正实数 满足 ，则下列结论中正确的有（ ）
A． 的最小值为8．
B． 的最小值为
C． 的最大值为 ．
D． 的最小值为 ．
【答案】ABC
【分析】利用基本不等式求解最值判断A，B，C，利用消元法结合二次函数求得最值判断D.
【详解】A选项，因为 ，且 ，所以 ，
学科网（北京）股份有限公司所以 ，当且仅当 时，等号成立，
，当且仅当 时，等号成立，故A正确；
B选项，因为
，
当且仅当 ，即 时取等号，故B项正确；
C选项， ，
当且仅当 时取等号，所以 ，所以 的最大值为 ，故C项正
确；
D选项，因为 ，当且仅当 时取等
号，
所以 的最小值为 ，故D项错误．
故选：ABC.
【点睛】思路点睛：四个选项均要对所求式子进行变形，A，B，C选项利用“1”代换以及基本不
等式求最值，同时也要注意取等条件是否成立，D选项由条件消元转换成二次函数求最值.
三、填空题
9．（23-24高一上·安徽亳州·期末）若关于 的不等式 的解集为 ，则实数 的取值
范围为 .
【答案】
【分析】由一元二次不等式的解集为 ，可知二次函数开口向上，判别式小于0，解得即可.
【详解】当 时， ， ，不满足题意；
学科网（北京）股份有限公司当 时， ,所以 ，
综上，实数 的取值范围为 .
故答案为：
10．（23-24高一上·江西九江·期末）设二次函数 的值域是 ，则
的最小值是 .
【答案】2
【分析】由二次函数值域确定参数关系，结合基本不等式即可求解.
【详解】根据题意知， ， ，即 ，
所以 ，当且仅当 即 时等号成立.
所以 的最小值是2.
故答案为：2.
11．（23-24高一上·新疆阿克苏·期末）已知不等式 对于任意实数x恒成立，实数
a的取值范围 ．
【答案】
【分析】由不等式 对于任意实数 恒成立，可得 ，从而得解.
【详解】由不等式 对于任意实数 恒成立，可得 ，
即 ，解得 .
故答案为： .
12．（22-23高一上·江苏淮安·期末）设 表示函数 在闭区间 上的最大值.若正
实数 满足 ，则正实数 的取值范围是 .
学科网（北京）股份有限公司【答案】
【分析】根据 的表达式，画出其图象，根据图象，分 和 两种情况讨论，结合图象得
在区间 的最大值即可列不等式求解.
【详解】函数 的图像如下：
的对称轴为 ， ；当 时， ，
分类讨论如下：
（1）当 时， ， ,
依题意， ，而函数在 时是增函数，此时 ， ，故不可能；
（2）当 时， ，
依题意， ，即 ，
令 ，解得： ，
则有： 并且 ，解得： ；
或者 并且 ，无解；
综上：
故答案为：
学科网（北京）股份有限公司13．（23-24高一上·江苏盐城·期末）关于 的不等式 在 上有解，则实数 的取
值范围是 .
【答案】
【分析】根据题意将不等式转化为 在 能成立即可，再由二次函数性质求出
即可得 的取值范围是 .
【详解】由不等式 以及 可得 ，
依题意可知 即可，
令 ，
又 ，由 可得 ，
利用二次函数性质可知 ，即可得 ；
即实数 的取值范围是 .
故答案为：
14．（23-24高一上·重庆·期末）关于x的一元二次方程 有一个根小于 ，
另一个根大于1，则a的取值范围是 .
【答案】
【分析】根据二次函数图像特征，满足 ，即得a的取值范围.
【详解】设 ，开口向上，
学科网（北京）股份有限公司由题意知 ，
即 ，解得 ，
所以 ．
故答案为： ．
四、解答题
15．（23-24高一上·新疆阿克苏·期末）（1）求不等式 的解集；
（2）求函数 的最小值．
【答案】（1） .
（2）5.
【分析】（1）把不等式因式分解，因为开口向上，所以小于0取中间，得到结果；
（2）利用均值不等式相关知识进行求解.
【详解】（1） ，
，所以不等式的解集为 .
（2）
当且仅当 即 时，取等号.
16．（23-24高一上·河北唐山·期末）已知函数 .
(1)若 ，求不等式 的解集；
学科网（北京）股份有限公司(2)若函数 的图象与 轴交于 ， 两点，求 的最小值.
【答案】(1) 或
(2)
【分析】（1）解一元二次不等式，求出解集；
（2） ，由韦达定理得到两根之和，两根之积，进而得到
，求出最小值.
【详解】（1） 时， ，解得 或 ，
原不等式的解集为 或 ；
（2）令 ，
由 得 ，
故 ，
故
，
当 时， 取得最小值，最小值为 .
17．（23-24高一上·黑龙江牡丹江·期末）设命题 ：实数 满足 ，其中 ，命
题 ：实数 满足 .
学科网（北京）股份有限公司(1)若 ，且 和 都是真命题，求实数 的取值范围；
(2)若 是 的充分不必要条件，求实数 的取值范围.
【答案】(1) ；
(2) .
【分析】（1）把 代入，求出命题 为真命题的 范围，再求出公共部分即得.
（2）求出命题 为真命题的 范围，再充分不必要条件的意义列式求解即得.
【详解】（1）当 时，不等式 为 ，解得 ，即
，
由 ，得 ，即 ，
由 和 都是真命题，得 ，
所以实数 的取值范围是 .
（2）由 ， ，得 ，即命题 ，由（1）知命题 ，
因为 是 的充分不必要条件，因此 或 ，解得 或 ，即 ，
所以实数 的取值范围是 .
18．（22-23高一上·湖南邵阳·期末）已知二次函数 的图象过点 .
(1)求 的解析式，并写出 的单调递增区间（不要求证明）；
(2)求不等式 的解集．
【答案】(1) ， ；
(2) .
【分析】（1）由题意可得 ，求解即可；
（2）原不等式可转化为 ，根据一元二次不等式的解法求解即可.
【详解】（1）因为函数 的图象过点 ，
学科网（北京）股份有限公司所以 ,解得 .
所以 的解析式为 .
，故 的单调递增区间为 .
（2） 即为 ,
即 ，解得 或 .
故不等式 的解集为 .
19．（22-23高一上·湖北黄冈·期末）设函数 .
(1)若不等式 的解集为 ，求 的值；
(2)若 ，且 都有 ，求 的最大值.
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)根据一元二次不等式的解集即可求解；
(2)根据题意可得函数关于直线 对称，利用二次函数的对称轴得出 ，再结合基本不等
式即可求解.
【详解】（1）依题意可知： 和 是方程 的两根，
则有 且
∴
（2）由 知 关于直线 对称，
即
学科网（北京）股份有限公司当且仅当 时等号成立.
∴ 的最大值为
20．（23-24高一上·江苏无锡·期末）已知函数 ，
.
(1)若 在区间 上最大值为2，求实数 的值；
(2)当 时，求不等式 的解集.
【答案】(1) ；
(2)答案见解析.
【分析】（1）求出二次函数图象的对称轴，再利用二次函数性质求解即得.
（2）分类讨论求解含参数的一元二次不等式即得.
【详解】（1）函数 图象的对称轴为 ，
当 ，即 时， ，解得 ，则 ；
当 ，即 时， ，解得 ，矛盾，
所以 .
（2）显然 ，而 ，
因此不等式为 ，
当 ，即 时，不等式解集为 ；
当 ，即 时，不等式解集为 ；
当 ，即 时，不等式解集为 ，
学科网（北京）股份有限公司所以当 时，不等式解集为 ；当 时，不等式解集为 ；当 时，不等式解集为
.
最值问题（共9题）
一、填空题
1．（22-23高一上·重庆九龙坡·期中）已知 ， ， 是正实数，且 ，则 最
小值为 .
【答案】
【分析】首先变形为 ，再根据 ，变形为
，展开后，利用基本不等式求最小值，最后再用基本不等式求
最小值.
【详解】由题， ，
其中
，
学科网（北京）股份有限公司当且仅当 ，即 时取等，
故
，
当且仅当 时，即 时取等.
故答案为：
2 ． （ 23-24 高 一 上 · 山 东 菏 泽 · 期 末 ） 若 、 、 、 均 为 正 实 数 ， 则
的最小值为 .
【答案】
【分析】
从最后两项开始，逐次使用基本不等式，可求得所求代数式的最小值.
【详解】原式
，
学科网（北京）股份有限公司当且仅当 时，
即当 时，等号成立，
故 的最小值为 ，
故答案为： .
【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则
必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定
值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
3．（23-24高一上·安徽蚌埠·期末）已知实数 且 ，则 的
最大值为 ，最小值为 ．
【答案】
【分析】由已知 ， ，
由基本不等式和配方法求最大值， ，由配方法求最小值.
【详解】已知实数 且 ，
则 ，
，
当 或 时等号成立，即 的最大值为1；
学科网（北京）股份有限公司，当 ， 或 时等号成立，
即 的最小值为 .
故答案为： ； .
【点睛】方法点睛：已知条件下求 的最值，要利用好 ，即 可化为
，由 可利用基本不等式求积的最小值，二次三项式可以用配方法求最值.
二、解答题
4．（23-24高一上·山西长治·期末）已知 ， .
(1)当 时，求 的最小值；
(2)当 时，求 的最小值.
【答案】(1)9
(2)5
【分析】（1）利用基本不等式结合二次不等式求解即可；
（2）利用基本不等式中常数代换技巧求解最值即可.
【详解】（1）当 时， ，即 ，
所以 ，即 ，当且仅当 时等号成立，所以 的最小值为9；
（2）当 时， ，即 ，
所以 ，
学科网（北京）股份有限公司当且仅当 ，即 时等号成立，所以 的最小值为5.
5．（23-24高一上·甘肃·期末）已知 .
(1)求证： ；
(2)若 ，求 的最小值.
【答案】(1)证明见解析；
(2)8.
【分析】（1）根据给定条件，利用基本不等式推理即得.
（2）利用基本不等式“1”的妙用求出最小值.
【详解】（1） ，则 ，当且仅当 时取等
号，
所以 .
（2）由 ，且 ，得 ，
当且仅当 ，即 时取等号，
所以当 时， 取得最小值8.
6．（23-24高一上·贵州贵阳·期末）《见微知著》谈到：从一个简单的经典问题出发，从特殊到一
般，由简单到复杂：从部分到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，
是思想阀门发现新问题、新结论的重要方法.
阅读材料一：利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找
到简便解决方法，常用的途径有：（1）整体观察：（2）整体设元；（3）整体代入：（4）整体
求和等.
例如， ，求证： ．
证明：原式 ．
学科网（北京）股份有限公司阅读材料二：解决多元变量问题时，其中一种思路是运用消元思想将多元问题转化为一元问题，再
结合一元问题处理方法进行研究.
例如，正实数 满足 ，求 的最小值．
解：由 ，得 ，
，
当且仅当 ，即 时，等号成立．
的最小值为 ．
波利亚在《怎样解题》中指出：“当你找到第一个蘑菇或作出第一个发现后，再四处看看，他们总
是成群生长”类似问题，我们有更多的式子满足以上特征.
结合阅读材料解答下列问题：
(1)已知 ，求 的值；
(2)若正实数 满足 ，求 的最小值．
【答案】(1)1
(2) ．
【分析】（1）将1化成 ，约分即可求解，
（2）利用将1化成 ，即可得 ，通分后分离常数，即可利用基本不等式求解，
或者利用 ，代入后得 ，即可求解.
【详解】（1）由题意得
；
（2）解法1（整体代入）：由
学科网（北京）股份有限公司，
由于 ，故 ，当且仅当 ，即 时等号成立，
因为 有最小值 ，此时 有最大值 ，
从而 最小值 ，即 有最小值 ．
解法2（消元思想）：由题意得 ．
因为 ，当且仅当 ，即 时等号成立，
因为 有最小值 ，此时 有最大值 ，
从而 最小值 ，即 有最小值 ．
7．（23-24高一上·辽宁朝阳·期末）冷链物流是指以冷冻工艺为基础、制冷技术为手段，使冷链物
品从生产、流通、销售到消费者的各个环节始终处于规定的温度环境下，以减少冷链物品损耗的物
流活动.随着人民食品安全意识的提高及线上消费需求的增加，冷链物流市场规模也在稳步扩大.某
学科网（北京）股份有限公司冷链物流企业准备扩大规模，决定在2024年初及2025年初两次共投资4百万元，经预测，每年初
投资的 百万元在第 （ ，且 ）年产生的利润（单位：百万元）
，记这4百万元投资从2024年开始的第 年产生的利润之和
为 .
(1)比较 与 的大小；
(2)求两次投资在2027年产生的利润之和的最大值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由 求出 ， ，再由作差法比较大小即可得出答案.
（2）先求出两次投资在2027年产生的利润之和 ，再由基本不等式或判别式
求出 的最大值.
【详解】（1） 表示2024年及2025年各投资2百万元，
由题意得 ，
，
，
所以 .
（2）两次投资在2027年产生的利润之和为 百万元，
学科网（北京）股份有限公司设2024年初投资 百万元，则2025年初投资 百万元，
2024年初投资的 百万元在2027年产生的利润为 （百万元），
2025年初投资的 百万元在2027年产生的利润为 （百万元），
所以 .
解法一：
，设 ，
则 ，两边平方得 ，
由 得 ，所以 ，
当 时取等号.
所以 ， .
所以两次投资在2027年产生的利润之和的最大值为 百万元.
解法二：
，
当且仅当 ，即 时取等号，
所以 ，两次投资在2027年产生的利润之和的最大值为 百万元.
8．（23-24高一上·广东广州·期末）某食品企业为了提高其生产的一款食品的收益，拟在下一年度
开展促销活动，已知该款食品年销量 吨与年促销费用 万元之间满足函数关系式 （
为常数），如果不开展促销活动，年销量是1吨.已知每一年生产设备折旧、维修等固定费用为3
万元，每生产1吨食品需再投入32万元的生产费用，通过市场分析，若将每吨食品售价定为：
“每吨食品平均生产成本的1.5倍”与“每吨食品平均促销费的一半”之和，则当年生产的该款食
学科网（北京）股份有限公司品正好能销售完.
(1)求 值；
(2)将下一年的利润 （万元）表示为促销费 （万元）的函数；
(3)该食品企业下一年的促销费投入多少万元时，该款食品的利润最大？
（注：利润 销售收入 生产成本 促销费，生产成本 固定费用 生产费用）
【答案】(1)
(2)
(3)该食品企业下一年的促销费投入6万元时，该款食品的利润最大为 万元.
【分析】（1）依题意当 时， 代入计算可得；
（2）依题意求出当年生产 吨时，求出年生产成本和为年销售收入，从而可表示出食品的利润；
（3）由（2）可得 ，利用基本不等式计算可得.
【详解】（1）由题意可知，当 时， ，所以 ，解得 ；
（2）由于 ，故 ，
由题意知，当年生产 吨时，年生产成本为： ，
当销售 吨时，年销售收入为： ，
由题意， ，
即 .
（3）由（2）知： ，
即
，
学科网（北京）股份有限公司当且仅当 ，又 ，即 时，等号成立.
此时， .
该食品企业下一年的促销费投入6万元时，该款食品的利润最大为 万元.
9．（23-24高一上·河北石家庄·期末）对于定义域为 的函数 ，如果存在区间 ，
同时满足：① 在 内是单调函数；②当定义域是 时， 的值域也是 ，则称
是该函数的“优美区间”.
(1)求证： 是函数 的一个“优美区间”；
(2)已知函数 （ ， ）有“优美区间” ，当 变化时，求出
的最大值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）通过 在区间 上单调递增，利用新定于判断即可证明；
（2）设 是已知函数定义域的子集，通过 是已知函数的“优美区间”，则 ，
说明 ， 是方程 的两个同号且不等的实数根，转化求解 的最大值.
【详解】（1）因为 在区间 上单调递增，
又 ， ，
所以 的值域为 ，
学科网（北京）股份有限公司所以区间 是 的一个“优美区间”.
（2）设 是已知函数定义域的子集，
因为 的定义域为 ，则 或 ，
而函数 在 上单调递增，
若 是已知函数的“优美区间”，则 ，
所以 ， 是方程 ，即 的两个同号且不等的实数根，
因为 ，
所以 ， 同号，只需 ，
解得 或 ，
因为 ，
所以当 时， 取得最大值 .
【点睛】关键点睛：本题第二问的关键是将 转化为方程 的两个同号且不
等的实数根，再结合 ，代入计算即可.
基本不等式的应用（共11题）
1．（23-24高一上·河南开封·期末）如图，一份印刷品的排版（阴影部分）为矩形，面积为 32，
它的左、右两边都留有宽为2的空白，上、下两边都留有宽为 1的空白.记纸张的面积为 S，排版
矩形的长和宽分别为x，y.
学科网（北京）股份有限公司(1)用x，y 表示 S;
(2)如何选择纸张的尺寸，才能使纸张的面积最小? 并求最小面积.
【答案】(1)
(2)纸张的长和宽分别为12，6时，纸张的面积最小，最小面积为72.
【分析】（1）由题意知 ，再代入 化简即可；
（2）利用基本不等式即可求出最值.
【详解】（1）由题意， ，
.
（2） ，
当且仅当 ，即 时等号成立，
所以纸张的长和宽分别为12，6时，纸张的面积最小，最小面积为72.
2．（22-23高一上·江苏宿迁·期末）汽车在隧道内行驶时，安全车距 （单位： ）正比于车速
（单位： ）的平方与车身长 （单位： ）的积，且安全车距不得小于半个车身长．当车速
为 时，安全车距为 个车身长．
(1)求汽车在隧道内行驶时的安全车距 与车速 之间的函数关系式；
(2)某救灾车队共有10辆同一型号的货车，车身长为 ，当速度为多少时该车队通过（第一辆车
头进隧道起，到最后一辆车尾离开隧道止，且无其它车插队）长度为 的隧道用时最短?
【答案】(1)
(2) km/h
【分析】（1）根据题意 为定值，设比例常数为 ，则 ，代入数值，得到 ，令
，则 ，最后写出分段函数解析式即可；
学科网（北京）股份有限公司（2）设通过隧道的时间为 ，则 ，分当 和 两种情况，结合幂函数的
性质及基本不等式计算可得．
【详解】（1）根据题意 为定值，设比例常数为 ，则 ，
所以 ，所以 ，
所以 ，令 ，则 ，
所以 .
（2）设通过隧道的时间为 ，则 ．
①当 时， ．
②当 时，
．
当且仅当 ，即 时等号成立．
又 ，
所以当 时用时最短．
答：当速度为 时该车队通过该隧道用时最短．
3．（22-23高一上·湖北武汉·期末）某企业研发部原有 名技术人员，年人均投入 万元，现将
这 名技术人员分成两部分：技术人员和研发人员，其中技术人员 名，调整后研发人
员的年人均投入增加 ，技术人员的年人均投入调整为 万元
(1)要使这 名研发人员的年总投入不低于调整前的 名技术人员的年总投入，求调整后的技
术人员的人数 最多为多少人?
(2)若技术人员在已知范围内调整后，必须研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入，
求出正整数 的最大值.
【答案】(1) 人
学科网（北京）股份有限公司(2)
【分析】（1）根据题意可得出关于 的不等式，结合 ，可解得 的范围，即可得出结论；
（2）根据题意可得出 ，参变量分离可得 ，
结合基本不等式可求得实数 的取值范围.
【详解】（1）解：依题意得 ，整理可得 ，
又因为 ，解得 ，
所以调整后的技术人员的人数最多 人.
（2）解：由研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入有：
，得 ，
整理得 ，
由基本不等式可得 ，
当且仅当 时，即当 时等号成立，所以 .
因此，正整数 的最大值为 .
4．（22-23高一上·湖南衡阳·期末）如图为传统节日玩具之一走马灯，常见于除夕、元宵、中秋等
节日灯内点上蜡烛，蜡烛燃烧产生的热力造成气流，令轮轴转动．轮轴上有剪纸，烛光将剪纸的影
投射在屏上，图像便不断走动，因剪纸图像为古代武将骑马的图画，在转动时看起来好像几个人你
追我赶一样，故名走马灯，现打算做一个体积为96000 的如图长方体状的走马灯（题中不考虑
木料的厚薄粗细）．
学科网（北京）股份有限公司(1)若底面大矩形的周长为160cm，当底面边长为多少时，底面面积最大？（设大矩形的长为 ，宽
为 ）
(2)若灯笼高为40cm，现只考虑灯笼的主要框架，当底面边长为多少时，框架用料最少？
【答案】(1)长宽均为 ；
(2)长为 ，宽为
【分析】（1）由 ，然后利用基本不等式求出 的最大值，从而求解；
（2）由体积一定得 然后利用基本不等式求出 的最小值，从而求解.
【详解】（1）由题意得底面大矩形周长为 ，且大矩形的长设为 ，宽设为 ，
所以 ，得 ，所以 ，
当且仅当 时取等号，此时 ，
所以底面面积最大为 .
（2）由题意知走马灯的体积为 ，高为 ，所以底面积为 ，
框架用料最少等价于底面用料为 最小即可，
学科网（北京）股份有限公司，当 ，即 取等号，
故当长为 、宽为 时，用料最少.
5．（23-24高一上·甘肃临夏·期末）某单位建造一间地面面积为12平方米的背面靠墙的矩形小房，
由于地理位置的限制，房子侧面的长度x不得超过5米，房屋正面的造价为400元/平方米，房屋
侧面的造价为150元/平方米，屋顶和地面的造价费用合计为5800元，如果墙高为3米，且不计房
屋背面的费用，当侧面的长度为多少时，总造价最低？最低总造价是多少元？
【答案】当侧面的长度为4米时，总造价最低．最低总造价是13000元
【分析】根据题意得到函数表达式 ，利用基本不等式求出最小值即可.
【详解】由题可知
因为 ，当且仅当 ，即 时取等号，
所以 在 时取最小值 ，
于是当侧面的长度为 米时，总造价最低．最低总造价是 元．
6．（23-24高一上·广东深圳·期末）某公司为了提高生产效率，决定投入160万元买一套生产设备，
预计使用该设备后，前 年的支出成本为 万元，每年的销售收入98万元.使用若
干年后对该设备处理的方案有两种，方案一：当总盈利额达到最大值时，该设备以20万元的价格
处理；方案二：当年平均盈利额达到最大值时，该设备以30万元的价格处理.哪种方案较为合理？
并说明理由.（注：年平均盈利额 ）
【答案】方案二更合理，理由见解析
【分析】分别求出两种方案的总利润，以及所需要的时间，即可得出结论.
【详解】方案二更合理，理由如下：
设 为前 年的总盈利额，单位：万元；
由题意可得 ，
学科网（北京）股份有限公司方案一：总盈利额 ，
当 时， 取得最大值 ；此时处理掉设备，则总利润为 万元；
方案二：平均盈利额为 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立；即 时，平均盈利额最大，此时 ，
此时处理掉设备，总利润为 万元；
综上，两种方案获利都是 万元，但方案二仅需要4年即可，故方案二更合适.
7．（23-24高一上·四川成都·期末）如图所示，一条笔直的河流 （忽略河的宽度）两侧各有一个
社区 （忽略社区的大小）， 社区距离 上最近的点 的距离是 社区距离 上最近的点
的距离是 ，且 .点 是线段 上一点，设 .
现规划了如下三项工程：
工程1：在点 处修建一座造价0.1亿元的人行观光天桥；
工程2：将直角三角形 地块全部修建为面积至少 的文化主题公园，且每平方千米造价为
亿元；
工程3：将直角三角形 地块全部修建为面积至少 的湿地公园，且每平方千米造价为1
亿元.
记这三项工程的总造价为 亿元.
(1)求实数 的取值范围；
(2)问点 在何处时， 最小，并求出该最小值.
学科网（北京）股份有限公司【答案】(1)
(2)当点 满足 时， 最小，最小值为 亿元.
【分析】（1）由直角三角形 地块全部修建为面积至少 和直角三角形 地块全部
修建为面积至少 的文化主题公园湿地公园，列不等式求解即可得出答案.
（2）由题意可得 ，由基本不等式求解即可.
【详解】（1）因为直角三角形 地块全部修建为面积至少 的湿地公园，
所以 ，解得：
直角三角形 地块全部修建为面积至少 的文化主题公园，
所以 ，解得： ,
故实数 的取值范围为 .
（2）依题意可得：
，
当且仅当 ，即 时取等.
所以当点 满足 时， 最小，最小值为 亿元.
8．（22-23高一上·山东菏泽·期末）为提高隧道车辆通行能力，研究了隧道内的车流速度 （单位：
学科网（北京）股份有限公司千米/小时）和车流密度 （单位：辆/千米）所满足的关系式： ．
研究表明：当隧道内的车流密度达到120辆/千米时造成堵塞，此时车流速度为0千米/小时．
(1)若车流速度 千米/小时，求车流密度 的取值范围；
(2)隧道内的车流量 （单位时间内通过隧道的车辆数，单位：辆/小时）满足 ，求隧道内车
流量 的最大值，并指出车流量最大时的车流密度 辆/千米．
【答案】(1)
(2)最大值为2600辆/小时，此时车流密度 为80辆/千米
【分析】（1）先求解 的值，再利用解析式求解范围；
（2）先表示出 的解析式，利用基本不等式进行求解最值.
【详解】（1）由题意知，当 （辆/千米）时， （千米/小时），代入 得
，
所以
当 时， ，易知符合题意；
当 时， ，解得 ，所以 ．
综上，车流密度 的取值范围是 ．
（2）由（1）知
所以当 时， 为增函数，所以 ，当且仅当 等号成立；
当 时，
学科网（北京）股份有限公司，
即 ，当且仅当 ，即 等号成立．
综上： 的最大值为2600（辆/小时），此时 （辆/千米）．
即隧道内车流量 的最大值为2600辆/小时，此时车流密度 为80辆/千米．
9．（22-23高一上·陕西渭南·期末）某学校要建造一个长方体形的体育馆，其地面面积为 ，
体育馆高 ，如果甲工程队报价为：馆顶每平方米的造价为100元，体育馆前后两侧墙壁平均造
价为每平方米150元，左右两侧墙壁平均造价为每平方米250元，设体育馆前墙长为 米．
(1)当前墙的长度为多少时，甲工程队报价最低？
(2)现有乙工程队也参与该校的体育馆建造竞标，其给出的整体报价为 元
，若无论前墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求 的取值范围．
【答案】(1)当前墙的长度为20米时，甲工程队报价最低为84000元
(2)当 时，无论前墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功
【分析】（1）根据题意求出报价的表达式，再根据基本不等式即可得解；
（2）根据题意可知 对任意的 恒成立，分离
参数可得 对任意的 恒成立，分类常数结合基本不等式求出 的最小值，即
可得解.
【详解】（1）因为体育馆前墙长为 米，地面面积为 ，
所以体育馆的左右两侧墙的长度均为 米 ，
设甲工程队报价为 元，
所以 ，
因为 ，
学科网（北京）股份有限公司当且仅当 ，即 时等号成立，
所以当前墙的长度为20米时，甲工程队报价最低为84000元；
（2）根据题意可知 对任意的 恒成立，
即 对任意的 恒成立，
所以 对任意的 恒成立，
因为 ，
，
当且仅当 ，即 时等号成立，
所以 ，
故当 时，无论前墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功．
10．（22-23高一上·江苏无锡·期末）现有一个无盖长方体形箱体，如图所示，该长方体的长为2米，
宽为x米，高为y米．
(1)如果箱体容积为100立方米，那么至少需要多少平方米制箱材料；
(2)如果制箱材料为60平方米，那么怎样设计箱体能使箱体的容积最大?最大容积是多少?
【答案】(1)至少需要 平方米制箱材料
(2)当 米时，箱体的容积最大，最大容积是 立方米
【分析】（1）先求得几何体的表面积的表达式，然后利用基本不等式求得正确答案.
（2）先求得几何体的体积的表达式，然后利用基本不等式求得正确答案.
【详解】（1）依题意， ，
学科网（北京）股份有限公司需要材料 平方米，
当且仅当 且 ，即 时，等号成立，
所以至少需要 平方米制箱材料.
（2）依题意， ，
则 ，即 ，
所以 ，故 ，
所以箱体的容积 ，
当且仅当 且 ，即 时，等号成立,
所以当 米时，箱体的容积最大，最大容积是 立方米.
11．（22-23高一上·四川凉山·期末）为迎接四川省第十六届少数民族传统运动会，州民族体育场
进行了改造翻新，在改造州民族体育场时需更新所有座椅，并要求座椅的使用年限为15年，已知
每千套座椅建造成本是8万元，设每年的管理费用为 万元与总座椅数 千套，两者满足关系式：
．15年的总维修费用为80万元，记 为15年的总费用．（总费用=建造成本
费用+使用管理费用+总维修费用）．请问当设置多少套座椅时，15年的总费用 最小，并求出最
小值．
【答案】 千套时， 取得最小值为180万元
【分析】根据总费用=建造成本费用+使用管理费用+总维修费用，再根据基本不等式求总费用的最
值，并求等号成立的条件.
【详解】由题意得：建造成本费用为 ，
使用管理费： ，所以 ，
，
当且仅当 时，即 千套时， 取得最小值为180万元．
学科网（北京）股份有限公司恒成立问题（共8题）
1．（23-24高一上·陕西汉中·期末）已知函数
(1)若不等式 的解集为 ，求 的值；
(2)若对任意的 恒成立，求实数 的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据一元二次不等式的解、根与系数关系求得 .
（2）利用分离常数法，结合基本不等式求得 的取值范围.
【详解】（1）原不等式可化为 ，因为该不等式的解集为 ，
可知 的两根为 和 ，
则 ，即 ，解得 ；
所以 .
（2）若对任意的 恒成立，
则对任意的 ， 恒成立，
即对任意的 ， 恒成立，所以 ，
又因为 ， ，
当且仅当 ，即 时取等号，所以 ，
学科网（北京）股份有限公司所以实数 的取值范围是 .
2．（23-24高一上·福建龙岩·期末）已知二次函数 ，对任意 都有
，且 ．
(1)求函数 的解析式；
(2)若对于 ，不等式 恒成立，求x的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由题意可得函数 关于 对称，再根据 求出 即可；
（2）不等式 即为 ，将 当作参数，分 ， 和
三种情况讨论，利用分离参数法求解即可.
【详解】（1）因为 ，所以函数 关于 对称，
则 ，解得 ，
所以 ；
（2）不等式 即为 ，
当 时，则 恒成立，
而 ，
所以 ，即 ，
因为 ，
所以 ；
学科网（北京）股份有限公司当 时， 恒成立，此时 ；
当 时，则 恒成立，
而 ，
所以 ，解得 ，
综上所述， 的取值范围为 ．
3．（23-24高一上·河南郑州·期末）已知函数 .
(1)若不等式 对一切实数x恒成立，求a的取值范围；
(2)解关于x的不等式 .
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）把恒成立问题转化为 对于一切实数x恒成立，用判别式法列式求
解即可；
（2）分类讨论解一元二次不等式即可.
【详解】（1）由题意，不等式 对于一切实数x恒成立，
等价于 对于一切实数x恒成立，所以 ，
解得 .
（2）不等式 等价于 ．
当 即 时，不等式可化为 ，原不等式的解集 ；
当 即 时，不等式可化为 ，原不等式的解集为： ；
当 即 时，不等式可化为 ，此时 ．
学科网（北京）股份有限公司综上所述：①当 时，不等式的解集为 ；
②当 时，不等式的解集为 ；
③当 时，不等式的解集为 .
4．（23-24高一上·陕西渭南·期末）设 .
(1)若不等式 对一切实数 恒成立，求实数 的取值范围；
(2)解关于 的不等式 .
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）讨论a是否为0，不为0时，结合一元二次不等式恒成立列出不等式组，即可求得
答案；
（2）将 化简为 ，分类讨论，比较 的大小，即可得答案.
【详解】（1）不等式 对一切实数 恒成立，即 对一切实数 恒成立，
当 时， 即 ，满足题意；
当 时，需满足 ，解得 ；
故实数 的取值范围为 ；
（2）由 可得 ，即 ，
即
当 ，即 时， 的解集为 ；
当 ，即 时， 的解集为 ；
当 ，即 时， 的解集为 ；
故原不等式的解集为：当 时，解集为 ；
学科网（北京）股份有限公司当 时，解集为 ；
当 ，时，解集为 ；
5．（22-23高一上·天津·期末）已知函数
(1)若 的解集为 ，求实数 的值；
(2)若 对 恒成立，求实数 的取值范围；
(3)若 ，求关于 的不等式 的解集.
【答案】(1) ；
(2) ；
(3)详见解析.
【分析】（1）根据题意，得到 和3为方程 的两根，根据韦达定理，即可得出结
果；
（2）根据题意，得到 恒成立，分别讨论 和 两种情况，即可得出结果；
（3）分 ， ， ， 四种情况讨论结合二次不等式解法可得.
【详解】（1）因为 的解集为 ，
所以 且 和3为方程 的两根，所以 ，
解得 ；
（2） 对 恒成立，
①当 时， ，符合题意；
②当 时， ，解得 ，
学科网（北京）股份有限公司综上，实数a的取值范围是 ；
（3）由 ，得 ，
即 ，
当 时， ，即 ，
当 时， ，
当 时， ，解得 ，
当 时， ，
解得 ，或 ，
当 时， ，
解得 ，或 ，
综上：当 时，原不等式的解集为 ；
当 时，原不等式的解集为 ；
当 时，原不等式的解集为 ，或
当 时，原不等式的解集为 ，或
6．（23-24高一上·云南德宏·期末）已知 ．
(1)若 恒成立，求实数 的取值范围；
(2)求不等式 的解集．
【答案】(1)
(2)答案见解析
学科网（北京）股份有限公司【分析】（1）由 恒成立，即 恒成立，即得 ，从而可求解.
（2）由 即 ，然后对 分情况讨论，从而可求解.
【详解】（1）∵ 恒成立，
∴ 对 恒成立，
故 ，化简得 ，解得 ，
故实数 的取值范围 .
（2） ，即 ；
当 时，不等式的解为 或 ，
当 时，不等式的解为 或 ，
当 时，不等式的解为 .
7．（23-24高一上·湖北恩施·期末）已知函数 .
(1)当 时，解关于 的不等式 ；
(2)若不等式 对一切 恒成立，求实数 的取值范围.
【答案】(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）先把二次不等式化为 ，然后分类讨论解不等式即可；
（2）参变分离，把恒成立问题转化为 的最大值问题，换元后利用基本不等式求解即可.
【详解】（1）因为 ，
所以不等式 ，
学科网（北京）股份有限公司可化简为： ，
①当 时，不等式化为 ，
②当 即 时， ，
方程 的两个根为 ，1.则不等式的解为 或 ，
③当 即 时， ，
方程 的两个根为 ，1.则不等式的解为 ，
综上所述：当 时，不等式的解集为 ，
当 时，不等式的解集为 ，
当 时，不等式的解集为 .
（2）不等式 即 ，
即 对 恒成立，令 ，所以 ，
因为 ，当且仅当 时取“＝”，
所以 ，当且仅当 时取“＝”，
所以 的取值范围为 .
8．（22-23高一上·浙江湖州·期末）已知函数 ， ．
(1)若对任意 ，不等式 恒成立，求m的取值范围；
(2)若对任意 ，存在 ，使得 ，求m的取值范围；
学科网（北京）股份有限公司(3)若 ，对任意 ，总存在 ，使得不等式 成立，求实数k的取
值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）将不等式 恒成立转化为 恒成立，再根据 即可求
m的取值范围；
（2）将题中条件转化为 的值域包含于 的值域，再根据区间 的两端点的函数值
可得到 的对称轴 在区间 之间，从而可得到 ，进而可求得
m的取值范围；
（3）将不等式 成立化简得到不等式 成立，再构造函数
，从而得到 ，再构造函数 ，根据
即可求解．
【详解】（1）由题意得 恒成立，
得 恒成立，即
解得 ．
（2）当 ，当 ，
由题意得
学科网（北京）股份有限公司∴ 得 ，
此时 对称轴为 ，
故 ，即 得 或 ，
综上可得 ．
（3）由题意得对任意 ，总存在 ，使得不等式 成立，
令 ，由题意得 ，
而 ，
设 ，则 ，
而 ，
易得 ，故 ．
【点睛】关键点点睛：小问（2）的关键是将题中条件转化为 的值域包含于 的值域，再
根据闭区间的端点和函数的对称轴来求解参数的取值范围；小问（3）的关键是构造函数，即将不
等式成立问题转化为求解函数的最值问题．
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