文档内容
2024年初升高开学考模拟卷02
数 学
（考试时间：150分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的准考证号、姓名、考场号和座位号填写在
答题卡上。用 2B 铅笔在“考场号”和“座位号”栏相应位置填涂自己的考场号和座位号。将条形码粘贴
在答题卡“条形码粘贴处”。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如
需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置
上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的
答案无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的．
1．估算式子 的值最接近的整数是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【分析】本题考查了估算无理数的大小，以及二次根式的混合运算．
根据二次根式的混合计算法则化简后，估算即可得到结果．
【详解】解：
∵ ， ，
∴ ，即 ，
故 最接近的整数是5．
故选C．
2．已知集合 ，若 ，则实数 的值为（ ）
A．2 B． C．2或 D．4
【答案】B
【分析】根据元素与集合之间的关系，分类讨论 、 、 ，即可求解.
【详解】由 ，
若 ，则 ，不符合集合元素的互异性；
若 ，则 或 （舍）， ，此时 符合集合元素的特性；
若 ，即 ，则 不符合集合元素的互异性.故 .
故选：B.
3．如图，已知函数 和 的图象交于点 ，则 时 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了一次函数的交点问题，根据图象即可求解，掌握数形结合思想是解题的关键．
【详解】解：∵函数 和 的图象交点为 ，
∴当 时， ，
故选： ．
4．将关于 的一元二次方程 变形为 ，就可以将 表示为关于 的一次多项式，从
而达到“降次”的目的，又如 ，我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法
可以化简次数较高的代数式．根据“降次法”，已知： ，且 ，则 的值为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了代数式求值，先由 得到 ，再利用“降次法”将
转化为 ，进一步得到 ，据此可得答案．
【详解】解：∵ ，
∴ ．
∴
，
，
，
，
，
故选：C。
5．一元二次方程 有一个正实根和一个负实根的充分不必要条件是（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【分析】求出方程有一个正实根和一个负实根的充要条件，结合选项，判断哪一个是该条件的真子集，即
可得答案.
【详解】由题意知一元二次方程 的两根为 ，
要使得方程有一个正实根和一个负实根，需 ，
结合选项知，只有 ，
即一元二次方程 有一个正实根和一个负实根的充分不必要条件是 ，
故选：C
6．已知 ， ， ，若不等式 恒成立，则实数 的最大值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
【答案】C
【分析】根据“1”的变形技巧，利用均值不等式求最值即可得解.
【详解】因为 ， ，
所以 ，即 ，
所以
，当且仅当 ，即 时等号成立，
故 .
故选：C
7．已知 ，且函数 在 上是增函数，则 （ ）
A． B． C． D．3
【答案】C
【分析】根据分段函数的单调性，列出不等式求解即可.
【详解】因为函数 在 上是增函数，
所以 ，解得 ，又 ，所以 .
故选：C
8．若对 ， ，有 ，则函数 在 上的最大值和
最小值的和为（ ）
A．4 B．8 C．6 D．12
【答案】B
【分析】利用赋值法可得 以及 ，即可构造函数 ，判断奇偶性，即可
根据奇偶性的性质可得 为奇函数以及最值.
【详解】 ， ．有 ，
取 ，则 ，故 ，
取 ，则 ，故 ，
令 ，则 ,故 为奇函数，
，设 ，
，故 为奇函数，故 为奇函数，
故 ，
则 ，
故
故函数 在 上的最大值和最小值的和是8，
故选：B．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知 ，则下列结果正确的有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AB
【分析】根据题意，利用不等式的基本性质，逐项判定，即可求解.
【详解】对于A中，由 ，可得 ，由不等式的性质，可得 ，所以A正确；
对于B中，由 ，根据不等式的性质，可得 ，所以B正确；对于C中，由 ，可得 ，所以 ，所以C错误；
对于D中，由 ，可得 ，所以D错误.
故选：AB.
10．小甬，小真两人不同时刻从同一起点同向出发，在同一条道路上的跑步路程 （米）和跑步时间
（分）之间的关系如图所示，已知小甬的跑步速度比小真快，则下列说法正确的是（ ）
A．小甬每分钟跑200米．小真每分钟跑100米
B．小甬每跑100米时，小真只能跑60米
C．相遇时，小甬、小真两人都跑了500米
D．计时6分钟时，小甬、小真两人都只跑了800米
【答案】BC
【分析】根据函数图像，求出相关解析式，按照选项要求求解判断即可得到答案．
【详解】解：根据题意，设小真跑步的路程与时间的解析式为 ，
由图可知，该函数图象过 和 ，则
，解得 ，
小真跑步的路程与时间的解析式为 ，
相遇时，即 时， ；
设小甬跑步路程与时间的解析式为 ，
由图可知，该函数图像过 和 ，则
，解得 ，
小真跑步的路程与时间的解析式为 ，
A、根据以上解析式可知，小甬每分钟跑250米．小真每分钟跑150米，该选项说法错误，不符合题意；
B、根据以上解析式可知，当小甬每跑100米时，耗时 分钟，此时小真只能跑
米，该选项说法正确，符合题意；
C、由以上解析可知，相遇时，小甬、小真两人都跑了500米，该选项说法正确，符合题意；
D、根据以上解析式可知，计时6分钟时，小甬跑了 米，小真跑了800
米，该选项说法错误，不符合题意；故选：BC．
【点睛】本题考查函数图像获取信息解决问题，读懂题意，求出函数解析式是解决问题的关键．
11．一般地，若函数 的定义域为 ，值域为 ，则称 为函数 的“ 倍伴随区
间”，另函数 的定义域为 ，值域也为 ，则称 为 的“伴随区间”，下列结论正确
的是（ ）
A．若 为函数 的“伴随区间”，则
B．函数 存在“伴随区间”
C．若函数 存在“伴随区间”，则
D．二次函数 存在“3倍伴随区间”
【答案】AD
【分析】
对于ABC：利用伴随区间的定义来判断；对于D：不妨取 ，则 ，列方程求解即可.
【详解】对于A． 在 上单调递增，又
∴ 即 ，∴ （舍）或 ，A正确；
对于B． 在 和 上单调递减，若存在“伴随区间” 则 ， ，
即 , ，解得 或 ，与 矛盾，B错误；
对于C． 在上 单调递减，假设存在“伴随区间”， ，则
且 ，
∴ ，
∴ 即 或 ，
因此 ，
∴ 在 内有两个不同根，
令 ，∴ ， ， ， ，
∴ ，C错误；
对于D．不妨取 ，则 ，所以 ，解得 ，故存在 ， ，所以D正确．
故选：AD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．命题 ：“ ， ”的否定是 ．
【答案】 ，
【分析】根据题意，由特称命题的否定为全称命题，即可得到结果.
【详解】因为命题 ：“ ， ”，
则其否定为 ， .
故答案为： ， .
13．2024年3月14日森林学校举行了以 为主题的数学节，小兔和小龟进行了新型的“龟兔赛跑”比
赛，它们在校园的 型跑道（图1）进行赛跑，小兔以A为起点，沿着 的线路到达终点D，小龟
以B为起点，沿着 的线路到达终点C．小龟提前出发，小兔和小龟在经过线路中的大树E时都休
息了2分钟，再以原速度继续比赛，最终小兔和小龟同时到达各自的终点．设小兔所跑的时间为x分钟（
），小龟所跑的路程 与小兔所跑的路程 差为y米， ，图2是y与x的函数关系图
象，则下列说法正确的是 （填写正确的序号）．
①小龟跑了500米后小兔出发；
②当 时，小龟到达大树E开始休息；
③小兔的速度为100米/分钟，大树E距离小兔的起点A800米．
【答案】 /
【分析】①本题③主③要①考查了从函数图象获取信息，根据当 时， ，即可判断①；在第7分钟时，
，则在兔子出发7分钟后兔子和乌龟的路程相同，继续运动到第8秒后，兔子所走的路程比乌龟大，
在第8分钟到第10分钟，兔子和乌龟的路程差值减小，则此过程兔子在休息，乌龟在继续运动，据此可判
断②；第8分到第10分钟，只有乌龟在比赛；第10分钟到第12分钟，每分钟内兔子和乌龟的路程差为
米，而在前 7分钟，每分钟的路程差为 米，据此可得第10分钟到第12分钟内乌龟休息，兔子运动，据此求出兔子的速度，进而求出兔子与大树E的距离，即可判断③．
【详解】解：①当 时， ．
∵小龟所跑的路程 与小兔所跑的路程 差为y米， ，，
∴小龟跑了500米后小兔出发．故①正确；
②在第7分钟时， ，则在兔子出发7分钟后兔子和乌龟的路程相同，继续运动到第8秒后，兔子所走
的路程比乌龟大，在第8分钟到第10分钟，兔子和乌龟的路程差值减小，因此此过程兔子在休息，乌龟在
继续运动，故②错误；
③第8分到第10分钟，只有乌龟在比赛；第10分钟到第12分钟，每分钟内兔子和乌龟的路程差为
米，而在前 7分钟，每分钟的路程差为 米，而在两只动物运动过程中速度不变，那么
在同时运动过程中二者每分钟的路程差是不变的，
∴第10分钟到第12分钟内乌龟休息，兔子运动，
∴兔子的运动速度为每分钟100米，
∴兔子与大树E的距离为 米故③正确．
故答案为：①③．
14．已知定义在 上的奇函数 满足 ，且 ．若 ， ，
， ，则不等式 的解集为 ．
【答案】
【分析】令 ， ，即可得到 在 上单调递减，再判断 的单调
性，然后求出 的值，则不等式 等价于 ，结合奇偶性与单调性转化为自变量的
不等式，解得即可.
【详解】令 ， ，
因为 ， ， ， ，
即 ， ， ， ，
所以 在 上单调递减，
又 为定义在 上的奇函数，
所以 ，所以 ，所以 为偶函数，
所以 在 上单调递增，
又 ，且 ，
所以 ，所以 ，
不等式 （依题意 ，则 ）等价于 ，
即 ，所以 ，则 且 ，
解得 或 ，
所以不等式 的解集为 .
故答案为：
四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16,17题15分，第18,19题17分，共77分．解答应
写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．已知函数 的定义域是 .
(1)当 时，求函数 的值域；
(2)若 ，都有 ，求 的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）结合二次函数的性质求解即可；
（2）由题意可得 ，进而结合二次函数的性质可得 ，进而求解即可.
【详解】（1）当 时， ，对称轴为 ，
且函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以当 时， ，
当 时， ，
所以函数 的值域为 .（2）因为 ，都有 ，则 ，
则 ，解得 或 ，
所以 的取值范围为 .
16．阅读理解：
在松松与南南学习到分解因式的知识时，发现 年级上教材第 页有一种因式分解的方法叫十字相乘法，
即 ，则可按此多项式乘法计算逆向思考，将二次三项式 因式分
解成 ，松松没有看明白书中的方法，请南南帮助他，南南告诉他：“要把二次三项式中的常
数项 分成两个整数的积，且这两个整数的和等于 才可以，即 ， ，则口算就可以得到
， 或 ， ，然后在将 与 的值代入式子 中即可得到 ；
(1)松松按照南南教他的方法将二次三项式分解成 ，那么松松应该将二次三项式
如何分解呢？
______；
(2)南南看到松松十字相乘的方法掌握的很好，便考了他一个变式问题，可是松松想了想没有好办法，请你
帮松松完成这个因式分解的题目吧：
；
(3)在松松南南的齐心努力下，终于学会了因式分解的十字相乘法，但是老师却给他出了一个思考题，大家
帮助松松南南一起完成这个因式分解的题吧：
．
【答案】(1) ；
(2) ；
(3) ．
【分析】（ ）根据题意中十字相乘的方法即可求解；
（ ）先提“ ” ，再用十字相乘的方法即可求解；
（ ）用十字相乘的方法即可求解；
此题考查了利用十字相乘法因式分解，解题的关键是正确理解和掌握十字相乘法因式分解的应用．
【详解】（1）二次三项式中的常数项 分成两个整数的积，且这两个整数的和等于 才可以，即
， ，则口算就可以得到 ， 或 ， ，然后在将 与 的值代入式子
中即可得到 ，
故答案为：
（2），
；
（3）
，
，
，
，
．
17．随着我国经济发展、医疗消费需求增长、人们健康观念转变以及人口老龄化进程加快等因素的影响，
医疗器械市场近年来一直保持了持续增长的趋势.上饶市医疗器械公司为了进一步增加市场竞争力，计划改
进技术生产某产品.已知生产该产品的年固定成本为400万元，最大产能为100台.每生产 台，需另投入成
本 万元，且 ，由市场调研知，该产品每台的售价为200万
元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完.
(1)写出年利润 万元关于年产量 台的函数解析式（利润=销售收入-成本）；
(2)当该产品的年产量为多少时，公司所获利润最大?最大利润是多少?
【答案】(1)
(2)该产品的年产量为35（台）时所获利润最大，最大利润为2050（万元）
【分析】（1）由已知条件，根据销售收入和成本计算利润；
（2）由利润的函数解析式，结合函数性质和基本不等式，求最大值.
【详解】（1）由题意可得 ，
所以 .
（2）当 时， ，
当 时， 取最大值， （万元）；当 时， ，
当且仅当 ，即 时，等号成立，即 （万元），因为 ，
故当该产品的年产量为35（台）时所获利润最大，最大利润为2050（万元）.
18．已知函数 ．
(1)判断 在 上的单调性，并用定义证明：
(2)设 ，若对任意的 ，总存在 ，使得 成立，求
实数 的取值范围．
【答案】(1)单调递增，证明见解析
(2) 或
【分析】（1）利用函数单调性的定义，即可证明；
（2）根据（1）的结果求函数 的值域，讨论 和 两种情况求函数 的值域，转化子集问
题，即可求解.
【详解】（1）设 ，
，
因为 ，所以 ， ，
所以 ，即 ，
所以 在 单调递增；
（2）由于对任意的 ，总存在 ，使得 成立，
所以函数 的值域是 的值域的子集，
由（1）知 在 单调递增， ， ，
所以 的值域为 ，
当 时， 在 单调递增， ， ，
所以 ，由 ，解得： ，
当 时， 在在 单调递减， ， ，所以 ，由 ，解得： ，
综上所述， 或
19．定义1:对于一个数集 ，定义一种运算 ，对任意 都有 ，则称集合 关于运算 是
封闭的（例如:自然数集 对于加法运算是封闭的）.
定义2:对于一个数集 ，若存在一个元素 ，使得任意 ，满足 ，则称 为集合 中的零
元，若存在一个元素 ，使得任意 ，满足 ，则称 为集合 中的单位元（例如:0和1分别
为自然数集 中的零元和单位元）.
定义3:对于一个数集 ，如果满足下列关系:
①有零元和单位元；
②关于加、减、乘、除（除数不为0）四种运算都是封闭的；
③对于乘法和加法都满足交换律和结合律，且满足乘法对加法的分配律；则称这个数集 是一个数域.
(1)指出常用数集 中，那些数集可以构成数域（不需要证明）；
(2)已知集合 ，证明:集合 关于乘法运算是封闭的；
(3)已知集合 ，证明:集合 是一个数域.
【答案】(1) ；
(2)证明见解析；
(3)证明见解析.
【分析】（1）利用数域的定义直接判断即可.
（2）利用关于乘法运算封闭的定义推理即得.
（3）利用数域的定义，逐一验证各个条件被满足即可.
【详解】（1）由于 ，而 ，因此 不是数域；
由于 ，而 ，因此 不是数域；
中，都有零元：0和单位元：1；
关于加、减、乘、除（除数不为0）四种运算都是封闭的；
对于乘法和加法都满足交换律和结合律，且满足乘法对加法的分配律，
所以 可以是数域.
（2）设 ( 都为整数)，显然, 且 ，
则
显然 ，因此 ，所以集合A关于乘法运算是封闭的.
（3）①显然,当 时， ；当 时， ，
显然对任意 ，都有 ，所以集合 中有零元0和单位元1；
②设 ，则 ，
因为 都为有理数，则 也都为有理数，
因此 ；
又由（2）同理可得， 都为有理数时， 也都为有理数，
于是 ；
当 时，令 ，
显然 都是有理数，则 ，于是 ，
因此集合A关于加、减、乘、除运算都是封闭的；
③显然任意 ，都有 ，由 中加法、乘法运算都满足交换律、结合律，还满足乘法对加法的分配
律，
因此集合A中加法、乘法运算都满足交换律、结合律，还满足乘法对加法的分配律，
所以集合A是一个数域.
