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2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学文史类
(广东卷)
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的．
1．(2013广东，文1)设集合S＝{x|x2＋2x＝0，x∈R}，T＝{x|x2－2x＝0，x∈R}，则S∩T＝( )．
A．{0} B．{0,2} C．{－2,0} D．{－2,0,2}
lg(x+1)
2．(2013广东，文2)函数y = 的定义域是( )．
x-1
A．(－1，＋∞) B．[－1，＋∞)
C．(－1,1)∪(1，＋∞) D．[－1,1)∪(1，＋∞)
3．(2013广东，文3)若i(x＋yi)＝3＋4i，x，y∈R，则复数x＋yi的模是( )．
A．2 B．3 C．4 D．5
æ5π ö 1
4．(2013广东，文4)已知sin ç +a ÷ = ，那么cos α＝( )．
è 2 ø 5
2 1 1 2
- -
5 5 5 5
A． B． C． D．
5．(2013广东，文5)执行如图所示的程序框图，若输入n的值为3，则输出s
的值是( )．
A．1 B．2 C．4 D．7
6．(2013广东，文6)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是(
)．
1 1 2
6 3 3
A． B． C． D．1
7．(2013广东，文7)垂直于直线y＝x＋1且与圆x2＋y2＝1相切于第Ⅰ象限的直线方程是( )．
2 2
A．x＋y－ ＝0 B．x＋y＋1＝0 C．x＋y－1＝0 D．x＋y＋ ＝0
8．(2013广东，文8)设l为直线，α，β是两个不同的平面．下列命题中正确的是( )．
A．若l∥α，l∥β，则α∥β B．若l⊥α，l⊥β，则α∥β
C．若l⊥α，l∥β，则α∥β D．若α⊥β，l∥α，则l⊥β
1
9．(2013广东，文9)已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1,0)，离心率等于 ，则C的方程是( )．
2
x2 y2 x2 y2 x2 y2 x2 y2
+ =1 + =1 + =1 + =1
3 4 4 3 4 2 4 3
A． B． C． D．
第1页 | 共12页10．(2013广东，文10)设a是已知的平面向量且a≠0.关于向量a的分解，有如下四个命题：
①给定向量b，总存在向量c，使a＝b＋c；
②给定向量b和c，总存在实数λ和μ，使a＝λb＋μc；
③给定单位向量b和正数μ，总存在单位向量c和实数λ，使a＝λb＋μc；
④给定正数λ和μ，总存在单位向量b和单位向量c，使a＝λb＋μc.
上述命题中的向量b，c和a在同一平面内且两两不共线，则真命题的个数是( )．
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．
(一)必做题(11～13题)
11．(2013广东，文11)设数列{a}是首项为1，公比为－2的等比数列，则a＋|a|＋a＋|a|＝______
n 1 2 3 4
____.
12．(2013广东，文12)若曲线y＝ax2－ln x在(1，a)处的切线平行于x轴，则a＝__________.
ìx- y+3³0,
ï
13．(2013广东，文13)已知变量x，y满足约束条件í-1£ x£1, 则z＝x＋y的最大值是__________
ï
y³1,
î
．
(二)选做题(14～15题，考生只能从中选做一题)
14．(2013广东，文14)(坐标系与参数方程选做题)已知曲线C的极坐标方程为ρ＝2cos
θ.以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立直角坐标系，则曲线C的参数方程为__________．
15．(2013广东，文15)(几何证明选讲选做题)如图，在矩形ABCD中，AB＝ 3，BC＝3，BE⊥AC，垂足
为E，则ED＝__________.
三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．
æ π ö
16．(2013广东，文16)(本小题满分12分)已知函数 f(x)= 2cos ç x- ÷，x∈R.
è 12ø
æπö
(1)求 f ç ÷的值；
è3ø
3 æ3π ö æ πö
(2)若cos θ＝ ，θ∈ç ,2π ÷，求 f ç q- ÷.
5 è 2 ø è 6ø
17．(2013广东，文17)(本小题满分12分)从一批苹果中，随机抽取50个，其重量(单位：克)的频数分布
表如下：
分组(重量) [80,85) [85,90) [90,95) [95,100)
频数(个) 5 10 20 15
(1)根据频数分布表计算苹果的重量在[90,95)的频率；
第2页 | 共12页(2)用分层抽样的方法从重量在[80,85)和[95,100)的苹果中共抽取4个，其中重量在[80,85)的有几个？
(3)在(2)中抽出的4个苹果中，任取2个，求重量在[80,85)和[95,100)中各有1个的概率．
第3页 | 共12页18．(2013广东，文18)(本小题满分14分)如图(1)，在边长为1的等边三角形ABC中，D，E分别是AB，AC上
的点，AD＝AE，F是BC的中点，AF与DE交于点G.将△ABF沿AF折起，得到如图(2)所示的三棱锥A－BCF，其
2
中BC＝ .
2
图(1) 图(2)
(1)证明：DE∥平面BCF；
(2)证明：CF⊥平面ABF；
2
(3)当AD＝ 时，求三棱锥F－DEG的体积V .
F－DEG
3
19．(2013广东，文19)(本小题满分14分)设各项均为正数的数列{a}的前n项和为S，满足4S＝a 2－4n
n n n n＋1
－1，n∈N*，且a，a，a构成等比数列．
2 5 14
(1)证明：a = 4a +5；
2 1
(2)求数列{a}的通项公式；
n
1 1 1 1
(3)证明：对一切正整数n，有 + + + < .
L
aa a a a a 2
1 2 2 3 n n+1
第4页 | 共12页20．(2013广东，文20)(本小题满分14分)已知抛物线C的顶点为原点，其焦点F(0，c)(c＞0)到直线l：x
3 2
－y－2＝0的距离为 .设P为直线l上的点，过点P作抛物线C的两条切线PA，PB，其中A，B为切点．
2
(1)求抛物线C的方程；
(2)当点P(x，y)为直线l上的定点时，求直线AB的方程；
0 0
(3)当点P在直线l上移动时，求|AF|·|BF|的最小值．
第5页 | 共12页21．(2013广东，文21)(本小题满分14分)设函数f(x)＝x3－kx2＋x(k∈R)．
(1)当k＝1时，求函数f(x)的单调区间；
(2)当k＜0时，求函数f(x)在[k，－k]上的最小值m和最大值M.
第6页 | 共12页2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学文史类(广东卷)
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的．
1．
答案：A
解析：∵S＝{－2,0}，T＝{0,2}，∴S∩T＝{0}．
2．
答案：C
ìx+1>0,
解析：要使函数有意义，则í
îx-1¹0,
解得x＞－1且x≠1，
故函数的定义域为(－1,1)∪(1，＋∞)．
3．
答案：D
解析：∵i(x＋yi)＝－y＋xi＝3＋4i，
ìx=4,
∴í
îy =-3.
∴x＋yi＝4－3i.
∴|x＋yi|＝ 42 +(-3)2 ＝5.
4．
答案：C
æ5π ö æ π ö
解析：∵sin
ç
+a
÷
=sin
ç
2π+ +a
÷
è 2 ø è 2 ø
æπ ö 1
＝sin ç +a ÷＝cos α＝ ，
è2 ø 5
1
∴cos α＝ .
5
5．
答案：C
解析：i＝1，s＝1，i≤3，s＝1＋0＝1，i＝2；
i≤3，s＝1＋1＝2，i＝3；
i≤3，s＝2＋2＝4，i＝4；
i＞3，s＝4.
6．
答案：B
解析：由俯视图知底面为直角三角形，又由正视图及侧视图知底面两直角边长都是1，且三棱锥的高为2
1 1 1
，故V ＝ × ×1×1×2＝ .
三棱锥
3 2 3
7．
答案：A
解析：由于所求切线垂直于直线y＝x＋1，可设所求切线方程为x＋y＋m＝0.由圆心到切线的距离等于半
|m|
径得 =1，解得m=± 2 .
2
又由于与圆相切于第Ⅰ象限，则m=- 2 .
8．
答案：B
解析：如图，在正方体ABCD－ABCD中，
1 1 1 1
第7页 | 共12页对于A，设l为AA，平面BBCC，平面DCCD为α，β.
1 1 1 1 1
AA∥平面BBCC，AA∥平面DCCD，
1 1 1 1 1 1
而平面BBCC∩平面DCCD＝CC；
1 1 1 1 1
对于C，设l为AA，平面ABCD为α，平面DCCD为β.AA⊥平面ABCD，AA∥平面DCCD，
1 1 1 1 1 1 1
而平面ABCD∩平面DCCD＝DC；
1 1
对于D，设平面AABB为α，平面ABCD为β，直线DC为l，平面AABB⊥平面ABCD，DC∥平面AABB，而DC∥
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
平面ABCD．
故A，C，D都是错误的．
而对于B，根据垂直于同一直线的两平面平行，知B正确．
9．
答案：D
解析：由中心在原点的椭圆C的右焦点F(1,0)知，c＝1.
1 c 1
又离心率等于 ，则 = ，得a＝2.
2 a 2
由b2＝a2－c2＝3，
x2 y2
故椭圆C的方程为 + =1.
4 3
10．
答案：B
解析：对于①，由向量加法的三角形法则知正确；对于②，由平面向量基本定理知正确；对于③，以a
的终点作长度为μ的圆，这个圆必须和向量λb有交点，这个不一定能满足，故③不正确；对于④，利
用向量加法的三角形法则，结合三角形两边之和大于第三边，即必须|λb|＋|μc|＝λ＋μ≥|a|，故④
不正确．
二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．
(一)必做题(11～13题)
11．答案：15
解析：由数列{a}首项为1，公比q＝－2，则a＝(－2)n－1，a＝1，a＝－2，a＝4，a＝－8，则a＋|a|
n n 1 2 3 4 1 2
＋a＋|a|＝1＋2＋4＋8＝15.
3 4
1
12．答案：
2
1
解析：由曲线在点(1，a)处的切线平行于x轴得切线的斜率为0，由y′＝2ax－ 及导数的几何意义得y′
x
1
| ＝2a－1＝0，解得a＝ .
x＝1
2
13．答案：5
解析：由线性约束条件画出可行域如下图，平移直线l，当l过点A(1,4)，即当x＝1，y＝4时，z ＝5.
0 max
第8页 | 共12页(二)选做题(14～15题，考生只能从中选做一题)
ìx=1+cosj,
14．答案：í (φ为参数)
îy =sinj
解析：由曲线C的极坐标方程ρ＝2cos
θ知以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立直角坐标系知曲线C是以(1,0)为圆心，半径为1的圆，其方
ìx=1+cosj,
程为(x－1)2＋y2＝1，故参数方程为í (φ为参数)．
îy =sinj
15．
21
答案：
2
BC
解析：在Rt△ABC中，AB＝ 3，BC＝3，tan∠BAC＝ = 3，
AB
1 3
则∠BAC＝60°，AE＝ AB＝ .
2 2
在△AED中，∠EAD＝30°，AD＝3，
ED2＝AE2＋AD2－2AE·ADcos∠EAD
2
æ 3ö 3
＝ç ÷ ＋32－2× ×3×cos 30°
ç ÷
2 2
è ø
3 3 3
＝ ＋9－2× ×3×
4 2 2
21
＝ .
4
21
∴ED＝ .
2
三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．
16．
æπö æπ π ö π
解：(1) f ç ÷ = 2cos ç - ÷ = 2cos =1.
è3ø è3 12ø 4
第9页 | 共12页3 æ3π ö
(2)∵cos θ＝ ，θ∈ç ,2π ÷，
5 è 2 ø
4
sin θ＝- 1-cos2q=- ，
5
æ πö æ πö
∴ f ç q- ÷ = 2cos ç q- ÷
è 6ø è 4ø
æ π πö 1
＝ 2 ç cosqcos +sinqsin ÷ =- .
è 4 4ø 5
17．
20
解：(1)苹果的重量在[90,95)的频率为 ＝0.4；
50
5
(2)重量在[80,85)的有4× ＝1个；
5+15
(3)设这4个苹果中[80,85)分段的为1，[95,100)分段的为2,3,4，从中任取两个，可能的情况有：(1,2)
，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，共6种．任取2个，重量在[80,85)和[95,100)中各有1个记为事
3 1
件A，则事件A包含有(1,2)，(1,3)，(1,4)，共3种，所以P(A)＝ = .
6 2
18．
(1)证明：在等边三角形ABC中，
AD AE
∵AD＝AE，∴ = .
DB EC
AD AE
又 = ，在折叠后的三棱锥A－BCF中也成立，
DB EC
∴DE∥BC．
∵DEË平面BCF，BCÌ平面BCF，
∴DE∥平面BCF.
1
(2)证明：在等边三角形ABC中，∵F是BC的中点，BC＝1，∴AF⊥CF，BF＝CF＝ .
2
2
∵在三棱锥A－BCF中，BC＝ ，
2
∴BC2＝BF2＋CF2.∴CF⊥BF.
∵BF∩AF＝F，∴CF⊥平面ABF.
(3)解：由(1)可知GE∥CF，结合(2)可得GE⊥平面DFG.
1 1 1 1 1 æ1 3ö 1 3
∴V ＝V ＝ × ·DG·FG·GE＝ ´ ´ ´ç ´ ÷´ = .
F－DEG E－DFG ç ÷
3 2 3 2 3 3 2 3 324
è ø
19．
(1)证明：当n＝1时，4a＝a2－5，∴a2＝4a＋5.
1 2 2 1
∵a＞0，∴a = 4a +5.
n 2 1
(2)解：当n≥2时，4S ＝a2－4(n－1)－1，①
n－1 n
4S＝a 2－4n－1，②
n n＋1
由②－①，得4a＝4S－4S ＝a 2－a2－4，
n n n－1 n＋1 n
∴a 2＝a2＋4a＋4＝(a＋2)2.
n＋1 n n n
∵a＞0，∴a ＝a＋2，
n n＋1 n
∴当n≥2时，{a}是公差d＝2的等差数列．
n
∵a，a，a构成等比数列，
2 5 14
∴a2＝a·a，(a＋6)2＝a·(a＋24)，解得a＝3.
5 2 14 2 2 2 2
由(1)可知，4a＝a2－5＝4，∴a＝1.
1 2 1
第10页 | 共12页∵a－a＝3－1＝2，
2 1
∴{a}是首项a＝1，公差d＝2的等差数列．
n 1
∴数列{a}的通项公式为a＝2n－1.
n n
1 1 1
(3)证明： + + +
L
aa a a a a
1 2 2 3 n n+1
1 1 1 1
＝ + + + +
L
1´3 3´5 5´7 (2n-1)×(2n+1)
1 éæ 1ö æ1 1ö æ1 1ö æ 1 1 öù
＝ ´ êç 1- ÷ + ç - ÷ + ç - ÷ + L + ç - ÷ú
2 ëè 3ø è3 5ø è5 7ø è2n-1 2n+1øû
1 æ 1 ö 1
＝ ´ ç 1- ÷ < .
2 è 2n+1ø 2
20．
|0-c-2| 3 2
解：(1)依题意d = = ，解得c＝1(负根舍去)．
2 2
∴抛物线C的方程为x2＝4y.
(2)设点A(x，y)，B(x，y)．
1 1 2 2
1 1
由x2＝4y，即y＝ x2，得y′＝ x.
4 2
x
∴抛物线C在点A处的切线PA的方程为y－y＝ 1 (x－x)，
1 1
2
x 1
即y＝ 1 x＋y－ x2.
1 1
2 2
1 x
∵y＝ x2，∴y＝ 1 x－y.
1 1 1
4 2
∵点P(x，y)在切线PA上，
0 0
x
∴y＝ 1 x－y.①
0 0 1
2
x
同理，y＝ 2 x－y.②
0 0 2
2
x
综合①，②得，点A(x，y)，B(x，y)的坐标都满足方程y＝ x－y.
1 1 2 2 0 0
2
∵经过A(x，y)，B(x，y)两点的直线是唯一的，
1 1 2 2
x
∴直线AB的方程为y＝ x－y，即xx－2y－2y＝0.
0 0 0 0
2
(3)由抛物线的定义可知|AF|＝y＋1，|BF|＝y＋1，
1 2
∴|AF|·|BF|＝(y＋1)(y＋1)
1 2
＝y＋y＋yy＋1.
1 2 1 2
ìx2 =4y,
联立í
x x-2y-2y =0,
î
0 0
消去x得y2＋(2y－x2)y＋y2＝0，
0 0 0
∴y＋y＝x2－2y，yy＝y2.
1 2 0 0 1 2 0
∵点P(x，y)在直线l上，∴x－y－2＝0.
0 0 0 0
∴|AF|·|BF|＝x2－2y＋y2＋1
0 0 0
＝y2－2y＋(y＋2)2＋1
0 0 0
2
æ 1ö 9
＝2y 0 2＋2y 0 ＋5＝2 ç è y 0 + 2 ÷ ø + 2 .
第11页 | 共12页1 9
∴当y＝- 时，|AF|·|BF|取得最小值为 .
0
2 2
21．
解：f′(x)＝3x2－2kx＋1，
(1)当k＝1时，
f′(x)＝3x2－2x＋1，Δ＝4－12＝－8＜0，
∴f′(x)＞0，即f(x)的单调递增区间为R.
k
(2)(方法一)当k＜0时，f′(x)＝3x2－2kx＋1，其开口向上，对称轴x= ，且过(0,1)．
3
①当Δ＝4k2－12＝4(k+ 3)(k- 3)≤0，
即- 3≤k＜0时，f′(x)≥0，f(x)在[k，－k]上单调递增．
从而当x＝k时，f(x)取得最小值m＝f(k)＝k；
当x＝－k时，f(x)取得最大值M＝f(－k)＝－k3－k3－k＝－2k3－k.
②当Δ＝4k2－12＝4(k+ 3)(k- 3)＞0，即k＜- 3时，
令f′(x)＝3x2－2kx＋1＝0，
k+ k2 -3 k- k2 -3
解得：x = ，x = ，注意到k＜x＜x＜0.
1 3 2 3 2 1
1 2k
(注：可用韦达定理判断x·x＝ ，x＋x＝ ＞k，从而k＜x＜x＜0；或者由对称结合图象判断)
1 2 1 2 2 1
3 3
∴m＝min{f(k)，f(x)}，M＝max{f(－k)，f(x)}．
1 2
∵f(x)－f(k)＝x3－kx2＋x－k
1 1 1 1
＝(x－k)(x2＋1)＞0，
1 1
∴f(x)的最小值m＝f(k)＝k.
∵f(x)－f(－k)＝x3－kx2＋x－(－k3－k·k2－k)＝(x＋k)[(x－k)2＋k2＋1]＜0，
2 2 2 2 2 2
∴f(x)的最大值M＝f(－k)＝－2k3－k.
综上所述，当k＜0时，f(x)的最小值m＝f(k)＝k，最大值M＝f(－k)＝－2k3－k.
(方法2)当k＜0时，对∀x∈[k，－k]，都有
f(x)－f(k)＝x3－kx2＋x－k3＋k3－k＝(x2＋1)(x－k)≥0，故f(x)≥f(k)．
f(x)－f(－k)＝x3－kx2＋x＋k3＋k3＋k＝(x＋k)(x2－2kx＋2k2＋1)＝(x＋k)[(x－k)2＋k2＋1]≤0.
故f(x)≤f(－k)．∵f(k)＝k＜0，f(－k)＝－2k3－k＞0，
∴f(x) ＝f(－k)＝－2k3－k，f(x) ＝f(k)＝k.
max min
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