2013年高考数学试卷（理）（福建）（解析卷）_数学历年高考真题_新·PDF版2008-2025·高考数学真题_数学（按年份分类）2008-2025_2013·高考数学真题

生阅读理解相关的知识材料，提练解决问题的思想方法（类比）并加以应用，考查了考生学习新知 识、解决新问题的能力；理18证明9个点都在同一条抛物线上，考生可从特殊入手，通过合情推 第1页 | 共19页第Ⅰ卷(选择题 共 50分) 本解析为学科网名师解析团队原创，授权学科网独家使用，如有盗用，依法追责！ 一、选择题：本题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项符合题目的要求的. 1.已知复数z的共轭复数z12i（i为虚数单位），则z在复平面内对应的点位于（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 [答案]D [解析] 由z 12i知z 1-2i，所对应的点为（1，-2）位于第四象限。 [学科网考点定位]本题只考查了共扼复数及复平面的概念，属于简单题。 2.已知集合A1,a，B1,2,3，则“a3”是“AB”的（ ） 第2页 | 共19页A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D. 既不充分也不必要条 件 x2 3.双曲线 -y2 1的顶点到渐进线的距离等于（ ） 4 2 4 2 5 4 5 A. 5 B.5 C. D. 5 5 4.某校从高一年级学生中随机抽取部分学生，将他们的模块测试成绩 分成6组：[40,50), [50,60), [60,70), [70,80), [80,90), [90,100]加以统计， 得到如图所示的频率分布直方图。已知高一年级共有学生600名， 据此估计，该模块测试成绩不少于60分的学生人数为（ ） A.588 B.480 C.450 D.120 其纵坐标为频率/组距，属于简单题。 5.满足a,b-1,0,1,2，且关于x的方程ax22xb0有实数解的有序数对的个数为（ ） 第3页 | 共19页A. 14 B. 13 C. 12 D. 10 6.阅读如图所示的程序框图，若编入的k 10，则该算法的功能是（ ）     A. 计算数列 2n-1 的前10项和 B.计算数列 2n-1 的前9项和     C. 计算数列 2n-1 的前10项和 D. 计算数列 2n-1 的前9项和 [答案]A [解析]由核心得法S 12S 可得S 2n -1，所以a 2n-1，再由循环次 n1 n n n 数可知为10次，所以答案为A。 [学科网考点定位]此题属于用框图考查数列的简单应用。此题还可通过验证得 到正确答案。 7. 在四边形ABCD中，AC (1,2)，BD(-4,2),则该四边形的面积为（ ） A. 5 B.2 5 C.5 D.10 题。 8. 设函数 f(x)的定义域为R，x x 0是 f(x)的极大值点，以下结论 0 0 一定正确的是（ ） 第4页 | 共19页A． xR, f(x) f(x ) B.-x 是 f(-x)的极小值点 0 0 C. -x 是- f(x)的极小值点 D.-x 是- f(-x)的极小值点 0 0 9. 已知等比数列a 的公比为q，记b a a a ， n n m(n-1)1 m(n-1)2 m(n-1)m b a a a ，m,nN*，则以下结论一定正确的是（ ） n m(n-1)1 m(n-1)2 m(n-1)m A. 数列b 为等差数列，公差为qm B. 数列b 为等比数列，公比为q2m n n C. 数列c 为等比数列，公比为qm2 D. 数列c 为等比数列，公比为qmm n n c n1  a mn1g a mn2gLg a mnm   qmm qm2 ，所以等比，且以qm2 qm2 为公比。 c a a a n m(n-1)1g m(n-1)2gLg m(n-1)m [学科网考点定位]对等比，等差数列的判断，对于学生来说计算有一定的难度。不过可以尝试用特 例。如给m取值。 10. 设S,T 是R的两个非空子集，如果存在一个从S到T 的函数y f(x)满足： 第5页 | 共19页  (i)T  f(x)xS ；(ii)对任意x ,x S，当x x 时，恒有 f(x ) f(x )，那么称这两个集合 1 2 1 2 1 2 “保序同构”，以下集合对不是“保序同构”的是（ ）     A. AN*,BN B. A x -1x3,B xx-8或0x10   C. A x0x1,BR D. AZ,BQ ！ 第Ⅱ卷（非选择题 共100分） 本解析为学科网名师解析团队原创，授权学科网独家使用，如有盗用，依法追责 二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填写在答题卡的相应位 置. 11. 利用计算机产生 0 ～1之间的均匀随机数 a ，则事件‘ 3a-10 ’的概率为_________ 2 [答案] 3 2 1 3 2 [解析] 由3a-1>0知a> ，由几何概型知 p  3 1 3 [学科网考点定位]简单的几何概型的考查。 12. 已知某一多面体内接于球构成一个简单组合体，如果该组合体的正视图、 俯视图、均如图所示，且图中的四边形是边长为2的正方形，则该球 的表面积是_____ 第6页 | 共19页2 2 13. 如图，在ABC中，已知点D在BC边上，AD AC,sinBAC  ,AB3 2, AD3, 则 3 BD的长为_____ x2 y2 14. 椭圆:  1a>b>0的左右焦点分别为F,F ,焦距为2c，若直线y  3  xc  与椭圆 a2 b2 1 2 的一个交点满足MFF 2MF F ,则该椭圆的离心率等于_____ 1 2 2 1 [答案] 3-1 第7页 | 共19页15. 当xR, x 1时，有如下表达式： 1 1xx2xn 1-x 1 1 1 1 1 1 两边同时积分得：21dx2xdx2x2dx2xndx2 dx 0 0 0 0 0 1-x 从而得到如下等式： 1 1 1 1 1 1 1 1  ( )2 ( )3 ( )n1ln2. 2 2 2 3 2 n1 2 请根据以上材料所蕴含的数学思想方法，计算： 1 1 1 1 1 1 1 C0  C1( )2 C2( )3 Cn( )n1 n 2 2 n 2 3 n 2 n1 n 2 第8页 | 共19页本解析为学科网名师解析团队原创，授权学科网独家使用，如有盗用，依法追责！ 三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.（本小题满分13分） 2 某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲、乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为 ，中奖可以获 3 2 得2分；方案乙的中奖率为 ，中奖可以获得3分；未中奖则不得分。每人有且只有一次抽奖机会， 5 每次抽奖中奖与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品。 （1）若小明选择方案甲抽奖，小红选择方案乙抽奖，记他们的累计得分为X ,求X 3的概率； （2）若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖，问：他们选择何种方案抽奖，累 计得分的数学期望较大？ 2 2 [答案]（Ⅰ）由已知得：小明中奖的概率为 ，小红中奖的概率为 ，两人中奖与否互不影响，记“这 3 5 2人的累计得分X  3”的事件为A，则A事件的对立事件为“X 5”， 2 2 4 11 P(X 5)   ，\P(A)1-P(X 5) Q 3 5 15 15 第9页 | 共19页17.（本小题满分13分） 已知函数 f(x)x-alnx(aR) （1）当a2时，求曲线y f(x)在点A(1, f(1))处的切线方程； （2）求函数 f(x)的极值 a [答案] 函数 f(x)的定义域为(0,¥)， f¢(x)1- ． x 2 （Ⅰ）当a  2时， f(x) x-2lnx， f¢(x)1- (x >0)，\ f(1)1, f¢(1) -1， x 第10页 | 共19页[学科网考点定位] 本题主要考查函数与导数、不等式的基础。注意对参数的分类讨论，属于函数 中的简单题。 18.（本小题满分13分） 如图，在正方形OABC中，O为坐标原点，点A的坐标为10,0， 点C 的坐标为0,10，分别将线段OA和AB十等分，分点分别记为 A,A ,,A 和B,B ,,B ，连接OB ，过A 作x轴的垂线与OB 1 2 9 1 2 9 i i i 交于点P iN*,1i9。 i （1）求证：点P iN*,1i9都在同一条抛物线上，并求抛物线E 的 i 方程； （2）过点C 作直线l与抛物线E交于不同的两点M,N , 若OCM 与OCN的面积之比为4:1，求 直线l的方程。 第11页 | 共19页[学科网考点定位] 本题考查抛物线的性质、直线与抛物线的位置关系等基础知识，考查运算求解 能力，化归与转化及数形结合思想、函数与方程思想。属于中等难度。 第12页 | 共19页19.（本小题满分13分） 如图，在四棱柱ABCD-ABC D 中，侧棱AA 底面ABCD, 1 1 1 1 1 AB//DC,AA 1,AB3k,AD4k,BC 5k,DC 6k,(k >0) 1 （1）求证：CD平面ADD A 1 1 6 （2）若直线AA 与平面ABC所成角的正弦值为 ，求k 的值 1 1 7 （3）现将与四棱柱ABCD-ABC D 形状和大小完全相同的两个四棱柱拼成一个新的四棱柱，规 1 1 1 1 定：若拼成的新四棱柱形状和大小完全相同，则视为同一种拼接方案，问共有几种不同的拼接方 案？在这些拼接成的新四棱柱中，记其中最小的表面积为 f(k)，写出 f(k)的解析式。（直接写出答 案，不必说明理由） uuur uuur uuur （Ⅱ）以D为原点，DA,DC,DD 的方向为x,y,z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系 1 A(4k,0,0)，C(0,6k,0)，B (4k,3k,1)，A(4k,0,1) 1 1 第13页 | 共19页20.（本小题满分14分）   已知函数 f(x)sin(wx)(w>0,0)的周期为，图象的一个对称中心为 ,0，将函数  4   f(x)图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向右平移个 单位 2 长度后得到函数g(x)的图象。 （1）求函数 f(x)与g(x)的解析式 第14页 | 共19页  （2）是否存在x  , ，使得 f(x ),g(x ), f(x )g(x )按照某种顺序成等差数列？若存在，请 0 6 4 0 0 0 0 确定x 的个数，若不存在，说明理由； 0 （3）求实数a与正整数n，使得F(x) f(x)ag(x)在0,n内恰有2013个零点 （Ⅲ）依题意，F(x)asinxcos2x，令F(x)asinxcos2x0 第15页 | 共19页直线y a与曲线y h(x)在(0,)U(,2)内有3个交点，由周期性，20133671，所以 第16页 | 共19页本小题设有(1)、(2)、(3)三个选考题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分.如果多做，则按 所做的前两题计分. (1). (本小题满分7分) 选修4-2：矩阵与变换 1 2 已知直线l:ax y1在矩阵A( )对应的变换作用下变为直线l':xby1 0 1 （I）求实数a,b的值 x  x  （II）若点P(x ,y )在直线l上，且A 0 0，求点P的坐标 0 0  y   y   0  0 第17页 | 共19页(2).(本小题满分7分) 选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知点A的极    坐标为 2, ，直线l的极坐标方程为cos(- )a，且点A在直线l上。  4 4 （Ⅰ）求a的值及直线l的直角坐标方程； x1cosa, （Ⅱ）圆C的参数方程为 (a为参数)，试判断直线l与圆C的位置关系.  ysina (3).(本小题满分7分) 选修4-5：不等式选讲 3 1 设不等式 x-2 a(aN*)的解集为A,且 A, A 2 2 第18页 | 共19页（Ⅰ）求a的值 （Ⅱ）求函数 f(x) xa  x-2 的最小值 第19页 | 共19页