文档内容
2024 年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）
数学
本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟．
第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷4至6页．
答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上，并在规定位置
粘贴考试用条形码．答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效．考试结
束后，将本试卷和答题卡一并交回．
祝各位考生考试顺利！
第Ⅰ卷（选择题）
注意事项：
1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干
净后，再选涂其他答案标号．
2．本卷共9小题，每小题5分，共45分．
参考公式：
·如果事件 互斥，那么 ．
·如果事件 相互独立，那么 ．
·球的体积公式 ，其中 表示球的半径．
·圆锥的体积公式 ，其中 表示圆锥的底面面积， 表示圆锥的高．
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
.
1 集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
2. 设 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件3. 下列图中，线性相关性系数最大的是（ ）
A. B.
C D.
.
的
4. 下列函数是偶函数 是（ ）
A. B. C. D.
5. 若 ，则 的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
6. 若 为两条不同的直线， 为一个平面，则下列结论中正确的是（ ）
A. 若 ， ，则 B. 若 ，则
C. 若 ，则 D. 若 ，则 与 相交
7. 已知函数 的最小正周期为 ．则 在 的最小值是（ ）
A. B. C. 0 D.
8. 双曲线 的左、右焦点分别为 是双曲线右支上一点，且直线 的
斜率为2． 是面积为8的直角三角形，则双曲线的方程为（ ）A. B. C. D.
9. 一 个 五 面 体 ． 已 知 ， 且 两 两 之 间 距 离 为 1 ． 并 已 知
．则该五面体的体积为（ ）
A. B. C. D.
第Ⅱ卷
注意事项：
1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上．
2．本卷共11小题，共105分．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．试题中包含两个空的，答对1个的给
3分，全部答对的给5分．
10. 已知 是虚数单位，复数 ______．
11. 在 的展开式中，常数项为______．
12. 圆 的圆心与抛物线 的焦点 重合， 为两曲线的交点，则原点到
直线 的距离为______．
13. 五种活动，甲、乙都要选择三个活动参加.甲选到 的概率为______；已知乙选了 活动，
他再选择 活动的概率为______．
14. 在边长为1的正方形 中，点 为线段 的三等分点， ，则______； 为线段 上的动点， 为 中点，则 的最小值为______．
15. 若函数 恰有一个零点，则 的取值范围为______．
三、解答题：本大题共5小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
16. 在 中，角 所对的边分别为 ，已知 ．
（1）求 ；
（2）求 ；
（3）求 的值．
17. 已知四棱柱 中，底面 为梯形， ， 平面 ，
，其中 ． 是 的中点， 是 的中点．
（1）求证 平面 ；
（2）求平面 与平面 的夹角余弦值；
（3）求点 到平面 的距离．18. 已知椭圆 椭圆的离心率 ．左顶点为 ，下顶点为 是线段 的中点
其中 ．
（1）求椭圆方程．
（2）过点 的动直线与椭圆有两个交点 ．在 轴上是否存在点 使得 ．若存在
求出这个 点纵坐标的取值范围，若不存在请说明理由．
19. 已知数列 是公比大于0 的等比数列．其前 项和为 ．若 ．
（1）求数列 前 项和 ；
（2）设 ， ．
（ⅰ）当 时，求证： ；
（ⅱ）求 ．
20. 设函数 ．
（1）求 图象上点 处的切线方程；
（2）若 在 时恒成立，求 的值；
（3）若 ，证明 ．
